2016年贵州大学数学分析考研真题
2016考研数学一真题及解析答案
x
上服从均匀分布，令
（I）写出 ( X ,Y ) 的概率密度； （II）问U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （III）求 Z U X 的分布函数 F (z) .
3x2
（23）设总体 X 的概率密度为 f x,
3 ,0 x ，其中 0， 0,
其他 X1, X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令T max X1 , X 2 , X 3 。
（3）若 y 1 x2 2 1 x2 , y 1 x2 2 两个解，则 q x （ ）
1 x2 是微分方程 y p x y q x
的
A 3x 1 x2
B 3x 1 x2
C
1
x x2
D
x 1 x2
x, x 0
（4）已知函数 f x
1 n
,
n
1
1
x
1 n , n 1,2,
，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点 （B） x 0 是 f x 的第二类间断点
2
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
x t ln 1 t sint dt
（9） lim 0 x0
1
cos x2
__________
（10）向量场 A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度 rotA _________
（ 11） 设 函 数 f u,v 可 微 ， z z x, y 由 方 程 x 1 z y 2 x2 f x z, y 确 定 ， 则 dz 0,1 _________
0 11 2 30 000
（I）求 A
2016年考研数学一试题及解答
B
有唯一解,
X
=
1 0
3a
a a a
+ − +
2 4 2
.
−1 0
21.（本题满分 11 分）
0 −1 1
已知矩阵 A = 2 −3 0 .
000
( I ) 求 A99;
( II ) 设 3 阶矩阵 B = (α1, α2, α3) 满足 B2 = BA, 记 B100 = (β1, β2, β3), 将 β1, β2, β3 分别表示为 α1, α2, α3 的线性组合.
002
0 00
−2 + 299 1 − 299
A99 = (P ΛP −1)99 = P Λ99P −1 = −2 + 2100 1 − 2100
2 − 298 2 − 299 .
0
0
0
( II ) 解 B2 = BA ⇒ B100 = BA99, 即
β1 = (−2 + 299) α1 + (−2 + 2100) α2,
˚Σ (
)
=
∂ (x2 + 1) − ∂ (2y) + ∂ (3z) dV
˚Ω ∂x
∂y
∂z
= (2x + 1) dV ,
注意到 dV
Ω
= (1 − x)2 dx, 于是 I
ˆ =
1
(2x + 1)(1 − x)2 dx =
1 .
0
2
19.（本题满分 10 分）
已知函数
f (x)
可导,
且
f (0)
=
( ξn−1介于xn, xn−1之间 ) ( ξn−2介于xn−1, xn−2之间 )
2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
高数1-2(15-16)(A)答案
4、解：∵，
而 ， ∴
5、解：原方程化为：
方程是一阶线性方程，其通解为 ，
由初始条件，解得 ∴ 特解为
6、解：原方程对应的齐次方程为: ，
特征方程为: ， 特征根为: ，
齐次方程的通解为: . 由于是特征方程的二重根，
设特解 代入所给方程化简, 得，
求得一个特解为: ， 原方程通解为:． 7、解：令 则. 设直线段与围成区域. 由格林公式得：
8、解：设曲面所围成的空间区域为， 由高斯公式得：
＝ =
贵州大学2015-2016学年第一学期考试试卷A卷 高数1-2答案
1、 选择题 1、B 2、D 3、 A 4、C
2Байду номын сангаас 填空题
1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、； 8、
二、解答题 1、解：（1）
① 函数在处取得极值，所以. 解得 （2）将代入①式，并令，得驻点
在点处， ，又，所以函数在点处有极小值 在点处，，所以点不是极值点.
2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
贵州财经大学651数学分析+817高等代数2016到2018考研真题
）
Dk
A. I1 0 C. I3 0
B. I2 0 D. I4 0
6、设函数 f ( x, y) 连续
，则二次积分
dx
1 f ( x, y) dy 等于
sin x
2
( ).
A.
1
dy
f ( x, y)dx
0
+arcsin y
B.
1
dy
f ( x, y)dx
0
−arcsin y
C. y = x + cos 1
x
D. y = x2 + cos 1
x
2、
若广义积分
+ 1
dx xk
收敛，则
（
）.
A． k ＞1
B． k ≥1
C． k ≤1
D． k ＜1
3、 函数 f (x, y) 在 (x, y) = (x0, y0 ) 处的偏导数存在是在该处可
微的（ ）条件.
A.充分
B. 必要
贵州财经大学 2016 年硕士研究生入学考试 《数学分析》试题 A 卷
一、选择题(本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.在每
小题给出的四个答案中只有一个是符合要求的，要求把
答案填写在答题纸上)
1、 下列曲线中有渐近线的是 ( ).
A. y = x + cos x
B. y = x2 + cos x
( ) C.
1
+arcsin y
dy
0
f x, y dx
2
D.
( ) 1
−arcsin y
dy
0
f x, 小题 5 分，共 30 分. 要
2016年考研数学一真题及答案解析
( A) 单叶双曲面
(B) 双叶双曲面 (C) 椭球面 (D) 柱面
（7）设随机变量 X 为 X ~ N(, 2 )( 0), 记 p P{X 2}. 则（ ）
( A) p 随着 增加而增加
(B) p 随着 增加而增加
(C) p 随着 增加而减少
(D) p 随着 增加而减少
（8）
随机试验
E
有三种两两不相容的结果
A1,
A2
,
A3,
且三种结果发生的概率均为
1 3
，将试验
E
独
立重复做两次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y 表示两次试验中结果 A2 发生的次数，则
X Y 的相关系数为（ ）
A 1 B 1 C 1
（19）已知函数
f
x 可导，且
f
0 1,0
f
x
1 2
，设数列 xn 满足 xn1
f
xn n 1, 2,
，
证明（1）级数
xn1 xn
绝对收敛；（2） lim n
xn
存在且 0
lim
n
xn
2
。
n1
1 1 1 2 2
2
3
3
D 1
2
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
x t ln 1 t sin t dt
（9） lim 0 x0
1 cos x2
_______ .
( ) ( ) （10）向量场 A x, y, z = x + y + z i + xyj+ zk ，旋度 rotA _______
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
2016年考研数学二真题与详解详析
1
(−
x2
+
2x
+ 1)dx
5 20
0
3
14 ． 设 二 次 型
f
( x1 , x2 , x3 )
=
x12
−
x
2 2
+
2ax1 x3
+
4x2 x3
的负惯性
指数是
1，则 a 的取值范围
Page 4 of 10
是
．
【详解】由配方法可知
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − x22 + 2ax1 x3 + 4 x2 x3 = ( x1 + ax3 )2 − ( x2 − 2 x3 )2 + (4 − a 2 ) x32
(1 + y'2 )3
K
dx
本题中
dt
= 2t, dy dt
= 2t + 4 ，所以 dy dx
=
2t + 4
2 d2y
2t = 1+ t ， dx 2
=
−
2 t2
2t
1 = − t3
，
对应于 t = 1的点处 y'= 3, y"= −1，所以 K =
y" = 1 ，曲率半径 R = 1 = 10 10 ．
∂u ∂u
∂2u
∂2u
∂2u ∂2u
内部存在驻点 ( x0 , y0 ) ，也就是 ∂x = ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = ∂x∂y = ∂y∂x ，由
条件，显然 AC − B 2 < 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最
2016年考研数学(二)真题
x
x
1 6
x3
1
o
(
x
4
)
1 x4 o(x4 )
lim 3
x0
x4
1
3。
16． 0 x 1时， f (x) x x2 t2 dt 1 t2 x2 dt 4 x3 x2 1
0
x
3
3，
当 x 1时， f (x) 1 x2 t2 dt x2 1
0
3 ，则
f
在区间
3 2
]
上的平均值。
（2）证明
f
x
(0,
在区间
3 2
)
内存在唯一零点。
22．（本题满分 11 分）。
1
设矩阵
A
1
a 1
1 0 1
1 a
a
，
a 1
0 1 2a
，且方程组 2
Ax
无解。
（1）求 a 的值。 （2）求方程组 AT Ax AT 的通解。
23．（本题满分 11 分）。
2016 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题
一、选择题（1—8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求）
1．设 a1 x cos x 1 , a2 x ln 1 3 x , a3 3 x 1 1，当 x 0 时，以上 3 个无
穷小量按照从低阶到高阶的排序是（ ）。
P1( A A1)P P1AP P1 A1P B B1 ，因此 A A1 ~ B B1 ，
而 C 选项中， P1 AT P 不一定等于 BT 。
8． 【答案】C
a 1 1
【解析】二次型矩阵为
1 1
2016 年全国硕士研究生入学统一考试(数学)真题及答案解析
11
(B)
dx .
1 1 x2
(D)
1 0
1 x2
1
e x dx
.
()
(5) 函数 f x，g x 都有二阶连续导数且满足 f 0 0, g 0 0, f 0 g0 0 ，则
函数 z f x g y 在 0, 0 处取得极小值的一个充分条件是
()
(A) f 0 0, g0 0 .
(B) x 2 是 y f (x) 的极小值点.
(C) 2, f (2) 是 y f (x) 的拐点.
(D) x 2 不是 y f (x) 的极值点，且 2, f (2) 也不是 y f (x) 的拐点.
(4) 下列积分中发散的是
(A) ex2 dx . 0
(C) 1 ln xdx . 0x
向量组线性无关，则 r(B* ) ________.
(14)
设 X1, X 2,, X n 为 来 自 总 体 X
~ N(, 2) 的简单随机样本，记 X
1n n i1 X i
，
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
，则 E(S 4)
.
三、解答题:15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 10 分)
数学（一）试题 第 2 页 （共 4 页）
1
已知 lxim01
x2 f x esin x ex
ln cos x
e12 ，求 lim x0
fx x3
.
(16) (本题满分 10 分）
(I)证明柯西中值定理：设函数 f ( x), g ( x) 在闭区间[a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可 导，且 g ( x) 0 ，则至少存在一点 (a,b) ，使得
2016年考研数学二试题及解答
16. （本题满分 10 分） ˆ 1 ′ 设函数 f (x) = | t2 − x2 | dt (x > 0), 求 f (x) 并求 f (x) 的最小值. 0 ˆ 1 4 x3 − x2 + 1 , 0 < x < 1, 2 2 3 解 f (x) = | t − x | dt = 3 1 0 x2 − , x ⩾ 1, 3 4x2 − 2x, 0 < x < 1, ′ 于是 f (x) = 2x, x ⩾ 1. ( ) 1 1 1 ′ 令 f (x) = 0 ⇒ x = , 即 f (x) 的最小值为 f = . 2 2 4 17. （本题满分 10 分） 已知函数 z = z (x, y ) 由方程 (x2 + y 2 ) z + lnz + 2 (x + y + 1) = 0 确定, 求 z = z (x, y ) 的极值. 解 (x2 + y 2 ) z + lnz + 2 (x + y + 1) = 0, (z > 0), 1 对 (1) 式微分得: (2x dx + 2y dy ) z + (x2 + y 2 ) dz + dz + 2 (dx + dy ) = 0, z ( ) 1 2 2 整理得: 2 (xz + 1) dx + 2 (yz + 1) dy + x + y + dz = 0, z 求 z 的极值, 就令 dz = 0, 代入 (2) 式得: (xz + 1) dx + (yz + 1) dy = 0, { xz + 1 = 0, 系数矩阵降秩, 即 与 (1) 式联立可解得 (x, y, z ) = (−1, −1, 1), yz + 1 = 0, 下面判断 z (−1, −1) = 1 是极大值还是极小值, 有两种方法. 方 法一: 对 (2) 式再微分, 得: :::::::: 2 (x dz + z dx) dx + 2 (xz + 1) d2 x + 2 (y dz + z dy ) dy + 2 (yz + 1) d2 y ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 +d x + y + dz + x + y + d2 z = 0 . z z 注意到 x, y 是自变量, 于是 d2 x = 0, d2 y = 0, 再代入 (x, y, z ) = (−1, −1, 1), dz = 0, 即有 2 dx2 + 2 dy 2 + 3 d2 z = 0, 2 于是 d2 z (−1, −1, 1) = − (dx2 + dy 2 ) < 0, 即 z (−1, −1) = 1 是极大值. 3 方 法二: 若 z (−1, −1) = 1 取极值, 则在 (1) 式确定的曲面上, (−1, −1, 1) 的去心邻 :::::::: 域内, z 必从单侧趋近于 1. 令 z = 1 + ε, 代入 (1) 式, 整理得: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (x2 + y 2 ) ε + ln(1 + ε) = 0. 从 (3) 式看出, 必有 ε < 0, 即 z → 1− , 从而可以判断 z (−1, −1) = 1 是极大值. (3) (1)
贵州财经大学2016年《651数学分析(A卷)》考研专业课真题试卷
x
2、设 b a 0, 证明存在 ( a, b ) 使得 aeb − bea =
(1 − )e (a − ) 在区间 a, + ) 上有定义并且是连续的，而且
f ( x, y ) dx
f ( x, y ) dx
B. D.
1
0
dy
−arcsin y
f ( x, y ) dx
f ( x, y ) dx
dy
0
2
dy
0
1
−arcsin y
2
二、填空题(本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 要求把答案填写 在答题纸上) 1、曲线 y = sin x 在 x = 处的切线方程是 2、若函数 f ( t ) 连续且 lim f (t ) = 1,
2、求函数 y = sin 4 x + cos4 x 的 n 阶导数 y ( n ) .
第 2 页 共 3 页
3、将函数 f ( x) =
1, x [− ,0) 展开成傅立叶级数. 0 x 0,
4、求函数 f ( x, y) = x4 + 2 y 4 − 2 x2 −12 y 2 + 6 的极值. 5、 计算不定积分 ln 1 +
n
6、 设 f ( sin 2 x ) =
1 x x ，则 02 f ( x ) dx = sin x 1− x
三、计算题(本题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分. 要求把答案填 写在答题纸上)
sin 2 x x0 x , x = 0 ，求 a, b 的值，使 f ( x ) 在 ( −, + ) 上连续. 1、 设 f ( x ) = a, 1 x sin + b, x 0 x
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2016考研真题完整版数学（一）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y xy x=+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim2=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AXB =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
贵州大学2005-2015年数学分析考研真题
贵州大学2005年数学分析考研真题一、判断下列结论的正误，正确的简要说明理由，错误的给出反例（每小题5分，共30分）1、设有数列}{a n ，满足0)(lim 1=-+∞→n n n a a ，则极限n n a ∞→lim 存在.2、设)()(limx g x f x x →存在，)(lim 0x g x x →存在，则)(lim 0x f x x →必存在.3、若)(x f 在开区间),(b a 上连续，则)(x f 在),(b a 上一致连续.4、若可导函数)(x f 在],[b a 严格单调递增，则在),(b a 内必有0)('>x f .5、若)(x f 在0x x =处有定义，且)0()0-(00+=x f x f ，则)(x f 在0x x =处连续.6、若二元函数),(y x f 在),(00y x 处偏导数存在，则),(y x f 在),(00y x 连续.二、求解下列各题（每小题10分，共60分）1、求数列的极限nnn a a +∞→2lim ，（其中0||≠a ）.2、设⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=0),1ln(0,)(x x x chx x f ，试讨论)(x f 的可导性并在可导处求出')(x f .3、确定a,b 之值，使函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=00,0,)(x b x x a x e x f x ，当当当处处连续.4、在抛物线2x y =找出直线243=-y xk 的距离为最短的点.5、求由不等式33cos sin x y x ≤≤，40πx ≤≤所确定的区域的面积.6、求曲线222,1t t y t x -=+=与x 轴所围成的封闭图形绕x 轴旋转所得的立体的体积.三、证明题(每小题15分，共60分）1、)(x f 在],[b a 上连续，且a a f <)(，b b f >)(，证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得ξξf =)(.2、函数),(y x z z =由方程)(z φy x z +=所确定，其中)(z φ具有连续导数，且0)(-1'≠z φy ，证明xzz φy z ∂∂=∂∂)(.3、设)(x f ，)(x g 都在],[b a 上连续，)}(),({max )(],[x g x f x M b a x ∈=，证明)(x M 在],[b a 上连续.4、设)}({x S n 在],[b a 上一致收敛于)(x S ，且每个)(x S n 在],[b a 上连续，则)(x S 连续.贵州大学2006年数学分析考研真题一、单项选择题（共六小题，每小题5分，满分30分）1.在以下格式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（）A.0sin lim x x x→ B.1lim(1)xx x →∞+ C.sin lim x x x x →∞+ D.lim axnx e x→∞2.设f(x)在[0,1]连续可导，不恒为常数，若f(0)=f(1)，则在开区间（0，1）内（）A.'()0f x = B.'()0f x >C.'()0f x < D.存在12ξξ≠，使得''12()()0f f ξξ<3.设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件又非必要条件4.设()f x 在区间[a,b]上非负，在（a,b ）内''()0f x >，'()0f x <，1(()())2b aI f b f a -=-，2()baI f x dx =⎰，1()()I b a f b =-，则123,,I I I 的大小关系（）A.213I I I ≤≤B.123I I I ≤≤C.132I I I ≤≤ D.321I I I ≤≤5.设函数()f x 在(,)-∞∞内连续，则导函数的图形如图1所示，则图1()f x 的图形为（）6.'00(,)0x Z x y =，'00(,)0y Z x y =是函数(,)Z f x y =在00(,)x y 取得极值的（）A.必要条件但非充分条件B.充分条件但非必要条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件二、判断下列结论是否正确，请说明理由或举出反例（每小题5分，共25分）1.11limsin()lim lim sin()0lim sin()0n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞=⨯=⨯=.2.函数()f x 在0x x =处可导，则|()|f x 在0x 处可导.3.设()f x 是在区间[a,b]上取0，1两值的函数，则()f x 在[a,b]必存在间断点.4.设()f x 是在区间[a,b]上可导且严格单调下降，则在区间（a,b ）上，'()0f x <.5.1nnn a x∞=∑在数域上必绝对收敛，三、解答题（共7小题，共95分）1.（16分）分别举出满足下列要求的函数（1）定义域为R ，值域为{-1，0，1}的递减函数.（2）定义在闭区间[0,1]上的无上界的函数.（3）定义在R 上的不是常数的周期函数，且无最小周期（在定义域（a,b ）内任意区间上都不是单调的.（4）定义在闭区间[0,1]上的函数，它有反函数，但在[0,1]的任意区间上都不单调.2.（10分）试给出lim n n a A →∞≠的N ε-定义，并由此证明lim cos 1n n π→∞=.3.（14分）1110,1,(1,2,...2n n naa x a x n x +>==+=，证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n x x →∞.4.（14分）试叙述罗尔中值定理，并证明罗尔中值定理与下面的命题等价：若()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，且存在0(,)x a b ∈，使得00(()())(()())0f x f a f x f b -->，则存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=5.（18分）（1）110,0,,1,2,...n n n n n na b a b n a b ++>>≤=，试证：i ）1nn b∞=∑收敛，则1nn a∞=∑也收敛.Ii ）1nn a∞=∑发散，则1nn b∞=∑也发散.（2）幂级数1nnn a x∞=∑在2x =处收敛，试证1(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.6.（11分）设sin()(,xz xy x y ϕ=+，其中(,)u v ϕ具有二阶连续的偏导数，求：22z x ∂∂，2zxy∂∂7.计算累次积分2222yRy y y x I dy edx dy dx----=+⎰贵州大学2007年数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，满分40分）1.已知201cos 2lim 1ln (1)x x a x b →-=++，则a ，b 的值为____________.2.设vz u =，u x y =+，v x y =-，那么zy ∂∂______________.3.()sin sin sin(cos )f x x x x =+⋅在[,44ππ-上的定积分值是__________.4.已知曲线积分(,)Ly Q x y dy +⎰与积分路径无关，则(,)Q x y _______________.5.设)(x f是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则)(''x F ____________.6.使级数nn xx n )11(1211+--∑+∞=绝对收敛的x 的取值范围__________________.7.写出一个闭区间[0,1]的函数)(x f ，使得)(2x f 是Riemann 可积的，但)(x f 不是Riemann 可积的，例如__________________.8.关于数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理是________________________________________.二、计算题，每小题10分，满分40分1.求极限0lim x x +→2.讨论1()sin xf x e x =在开区间（0，1）内的一致连续性.3.按定义讨论级数1111()1n n n x x n n +∞+=-+∑在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.4.设(,)f x y =，按定义证明(,)f x y 在(0,0)处连续，(0,0)x f 与(0,0)y f 存在，但(,)f x y 在（0，0）处不可微.三、本题15分，设()ln(),(,)f x x x e x e =-+∈-+∞1.求()f x 在(,)e -+∞上的最小值2.令11,(),1n n x e x f x n +==≥，讨论数列{}n x 极限的存在性，若极限存在，求出此极限，若极限不存在，说明理由.四、本题12分，计算积分()()()I x y dydz y z dzdx z x dxdy =+++++∑⎰⎰，其中∑为中心在原点，边长为2的正方体：[1,1][1,1][1,1]-⨯-⨯-的表面，积分沿外侧.五、本题13分，设22(,),()(,)yf x y I y f x y dxx y +∞==+⎰1.证明()I y 在y=0处不连续2.证明()I y 在含有y=0的任何闭区间上连续六、本题15分，设()f x 在[0,2]连续，在（0，2）可导，(0)(2)0,(1)2f f f ===1.证明存在(1,2), ()c f c c∈=使2.证明存在'(0,),st ()[()]1c f c f ξξξξ∈--=七、本题15分，利用幂级数21!n n n x n +∞=∑的和函数S(x).证明212!n n e n +∞==∑，并求31!n n n +∞=∑的值贵州大学2008数学分析考研真题一、填空题（每小题5分，共30分）1.已知1)1(ln 2cos 1lim2=++-→bx a x x ，则b a ,的值分别为___________________________________.2.设y x v y x u u z v -=+==,,，那么=∂∂yz__________________________________________.3.)sin(cos sin sin )(x x x x f +=在]4,4[ππ-上的定积分值是_____________________________.4.已知曲线积分⎰+Ldy y x Q dx x y ),(sin与积分路径无关，则=),(y x Q _________________.5.设)(x f 是可导函数，⎰+=xdy y f y x x F 0)()()(，则=)(x F n ___________________________.6.级数∑∑∑+∞=+∞=+∞=--11111cos ,)1(,n 1n n n n n n 中收敛的有_______________________________________.二、（每小题9分，满分54分）按要求解答以下各题1.（1）给出区间[0,1]上函数)(x f 黎曼可积的两种不同类型的条件；（2）给出[0,1]上的一个函数)(x f ，使得|)(|x f 黎曼可积，但)(x f 非黎曼可积.2.叙述数列}{n x 收敛的Cauchy 收敛原理，并且此原理讨论数列1,121122≥+++=n nx n 的敛散性.3.求极限11ln 11lim-+-+--→x x x e x x .4.讨论xe xf x 1sin)(=在开区间(0,1)内的已知连续性.5.按定义讨论级数∑+∞=++-11)111(n n n x n x n 在闭区间[-1,1]上的一致收敛性.6.设||),(xy y x f =，按定义证明),(y x f 在(0,0)处连续，），（），（与0000||yfx f ∂∂∂∂存在但),(y x f 在(0,0)处不可微.三、（本题14分）设),(),ln()(+∞-∈+-=e x e x x x f 1.求)(x f 在),(+∞-e 上的最小值；2.令1),(11≥==+n x f x e x n n ，。
贵州大学数值分析往年试题(6套)
贵州大学2009级工程硕士研究生考试试卷数值分析注意事项：1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。
2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。
4．满分100分，考试时间120分钟。
专业 学号 姓名一、（12分）用牛顿迭代法求3220--=x x 在区间[1.5,2]内的一个近似根，要求31||10-+-<k k x x 。
（1）用三次插值公式求(1.28)f 的近似值；（2）用中心差商微分公式，求(1.5)'ƒ与求(2.0)'ƒ的近似值。
三、（20分）设方程组12312312335421537++=-+=--⎧⎪⎨⎩+=⎪x x x x x x x x x（1）用列主法求解方程组；（2）构造使G-S 方法收敛的迭代法，并取(0)(0,0,0)=T x，求方程组的二次迭代近似解根。
四、（16分）将积分区间2等分，分别用复化梯形公式与复化辛普森公式求21⎰x e dx的近似值。
五、（9分）设3211⎛⎫= ⎪--⎝⎭A，31⎛⎫= ⎪-⎝⎭x，求2||||x；谱半径()s A及条件数1()cond A。
六、（16分）取步长0.1=h ，用Euler 预报-校正公式求微分方程024|2='=--⎧⎨=⎩x y y x y 的解()y x 在x =0.1与x =0.2处的近似值(2)(0.1)y ，(2)(0.2)y 。
七、（7分）设A 为非奇异矩阵，0≠b ，%x 是=Ax b 的近似解，x 是=Ax b的解，证明1||||||||.()||||||||--≤%%b Ax x x cond A b x 。
贵州大学2010级工程硕士研究生考试试卷A数值分析注意事项：1.请考生按要求在下列横线内填写姓名、学号和年级专业。
2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。
3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容，4．满分100分，考试时间120分钟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贵州大学
2016年硕士生入学考试式题
考试科目：数学分析
注：题大多数为靠回忆写的，个别题可能与真题不一样，但类型相同。
一、（共90分）
1、每小题6分，判断正误，并说明理由）
（1）、设0()lim ()
x x f x g x →存在，0lim ()x x g x →存在，则存在。
（2）、设有数列{}n a 满足1lim()0n n n a a +→∞-=，则极限lim 0n n a →∞
=。
（3）、若()f x 在开区间(,)a b 上连续，则()f x 在(,)a b 上一致连续。
（4）、若()f x 在[,]a b 上严格单调递增，则()f x 在(,)a b 内必有()0f x '>
2、求极限dt t dt t x
x x ⎰⎰+→tan 0
sin 00sin tan lim 。
（6分） 3、设)(00cos sin 1)(2x f x x x x xe x f x '>≤⎪⎩⎪⎨⎧--=-，求。
（6） 4、设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数，且12,,,n x x x (,)a b ∈. 证明: 存在(,)a b ξ∈，使得211()(21)()n
k
k f k f x n ξ==-∑.（6分） 5、证明：当x x x x 3sin 2tan 20>+<
<时，π。
（6分） 6、求数列{}n n 中的最大项。
（6分）
7、求dx x ⎰
2cos 。
（6分） 8、设()()dy y x f dx dy y x f dx I x x x x
⎰⎰⎰⎰---+-+=22422204220
2,,，请改变I 的积分次序。
（7分） 9sin cos sin sin cos ,1,;(2),x R y R z R R z z x y x y
θφθφθθθ===∂∂∂∂∂∂∂∂、设，，为常数，
求（）。
(8分)
10、 计算积分1
20ln(1)(1)
x dx x x ++⎰ (15分) 二．（每小题12分，共60分）
1、 求
,)1002cos 2()2sin (dy y e dx y y e x l
x -+-⎰其中l 为单位圆从点（1，0）到点（-1，0）的上半圆周和从点（-1，0）到点（1，0）的直线段组成的闭路。
2、 设)(x f 在[a,b]连续，在（a,b ）有二阶导数。
连接(a, )(a f )和(b, )(b f )的直线段交曲线
)(x f y =于(c, )(c f ), a<c<b 。
证明：在（a,b ）内至少存在一点0)(,=''ξξf 使。
3、 设),2,1(,1,11212 ===⎰+-n dx x a n a n n n n 。
判断级数n n n a 11)
1(-∞=∑-的敛散性，并证明下列极限存在：)ln 1211(lim n n
n -+++
∞→ 。
4、 设)(x f 是[0,1]上的连续函数，且0)1(=f ，证明函数序列
),2,1()
()( ==n x f x x g n n
在[0,1]上一致收敛。
5、 设a 是常数，已知方程2222220z z z x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂（原自变量,x y ）在自变量变换,u x y x ay ν=+=+作用下，可化为关于,u ν的方程220z u
∂=∂，证明1a =-（假定所有一阶二阶偏导都连续）。