粒子数表象中的产生与湮灭算符
温伯格 产生湮灭算符-概述说明以及解释
温伯格产生湮灭算符-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述温伯格-沃尔面产生湮灭算符是量子力学中重要的数学工具，它在描述多粒子系统中的相互作用过程中起到了关键的作用。
该算符是由德国物理学家格雷戈尔·温伯格和约翰·温伯格以及奥地利物理学家弗里茨·沃尔面所提出的。
温伯格-沃尔面算符在量子场论中也扮演着重要的角色，特别是在描述电磁相互作用以及粒子的产生和湮灭过程时。
温伯格-沃尔面算符被定义为一对互为共轭的算符，分别用a和a†表示，它们与粒子的产生和湮灭有着密切的关系。
其中，a†算符表示粒子的产生，而a算符则表示粒子的湮灭。
这两个算符在量子力学的形式体系中起到了重要的作用，能够用于构建系统的哈密顿量以及描述系统的演化过程。
温伯格-沃尔面算符具有一系列特殊的性质，比如它们满足一定的对易关系，即[a, a†] = 1。
这个对易关系是描述产生和湮灭算符之间互相作用的基础，也是构建量子场论的重要基础之一。
此外，温伯格-沃尔面算符还具有正定性和严格的归一化条件等性质，这些性质使得它们在描述物理过程时具有很强的实用性和可计算性。
温伯格-沃尔面算符的应用非常广泛。
它们在量子力学以及量子场论的各个领域都扮演着重要的角色。
比如，在量子力学中，它们可以用于描述系统中粒子的数目变化以及相应的能量变化；在量子场论中，它们可以描述粒子的产生和湮灭过程，以及粒子与场之间的相互作用。
除此之外，温伯格-沃尔面算符还在量子信息和量子计算等领域有着广泛的应用。
综上所述，温伯格-沃尔面产生湮灭算符在量子力学和量子场论中具有重要的地位和作用。
它们的定义、性质以及应用都是研究这两个领域的基础知识。
对于理解多粒子系统的相互作用以及粒子的产生和湮灭过程，深入了解和掌握温伯格-沃尔面算符是非常重要的。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文将按照以下结构进行讨论：1. 引言：在引言部分，将对温伯格产生湮灭算符进行简要介绍，并说明本文的目的和意义。
06_二次量子化
⊗ ni i ⊗ ni +1
i +1
...
对态的作用
a n1...ni ... = ni + 1 n1...(ni + 1)... ai n1...ni ... = ni n1...(ni − 1)... ...ni ...n1 ai+ = ...(ni − 1)...n1 ...ni ...n1 ai = ...(ni + 1)...n1 ni ni + 1
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
全同费米子的全反称波函数一般形式（无相互作用）
由于泡利不相容原理的存在，要求粒子数不大于态的数目。
根据全同粒子系统的特点，人们发展了一种使用Fock空间处 理全同粒子系统的方法，就是二次量子化。 二次量子化的引入：Dirac(1927);Wigner,Jordan(1928) “二次量子化”的含义：
+
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
量子力学中自由粒子演化的算符方法
（ ） ｄｐ
ｅ ψ ｐ ｉ ｐｘ－Ｅ ｐｔ ／ ０
２π
ψ０ ｐ ＝ ｐ ｜ ψ ０
（５）
解，又可以当做练习用来熟悉算符的运算．这种处理 但对于一些特殊的问题，也可以直接从算符的运算
具体物理体系的练习，应该比一些纯形式计算有好 规则出发，得到严格的结果，本文中我们将采用算符
处，因为学生在做这些纯形式计算的时候往往不知 道它们有什么用处．
系之一为自由粒子．自由粒子可以为引入薛定谔方 算 ｔ 时刻的波函数［４］．对于自由粒子，可以在位置表
程而讲述，自由粒子有一些重要的性质，这些性质可 象下插入动量的完全性关系，将波函数表为平面波
以解析的给出证明．在量子力学教材中，这些性质通 的叠加，之后计算相应的积分．
常 是 以 波 包 的 形 式 讲 述 的 ［１，２］． 实 际 上 ，自 由 粒 子 演 化的很多结论可以通过算符的形式计算给出严格的
（７）
（）〉 （） （）〉， （） （） ｜ ψ ｔ ＝ Ｕ＾ ｔ ｜ ψ ０
Ｕ＾ ｔ ＝ ｅ ＾－ｉＨ０ｔ ／ ｈ
３
〈 〉 〈 （ ） （ ）〉 ｘ＾ ２ ｔ ＝ ψ ０ ｜ ｅ ＾ｉＨ０ｔ／ ｘ＾ ｅ ＾ ２ －ｉＨ０ｔ／ ｜ ψ ０
（８）
； 收稿日期： 修回日期：
２０１８ － １１ － １９
该高斯波包，我们不妨借用这些工具进行计算．若该
！［ ， ］ ｅＡ＾ Ｂ＾ ｅ－Ａ＾ ＝ ∞ １ Ａ＾ （ｎ） Ｂ＾ ｎ ｎ ＝ ０
根据基本对易关系： ［，］ ｘ＾ ｐ＾ ＝ ｉ
（９） 自由粒子初始时刻处于态 ｜０〉，则有
（１０）
（）〉 〉 ｜ ψ ｔ
＝
ｅ ＾－
ｐ ２ｔ ｉ２ｍ
｜
０
关于量子力学中的表象
给粒子编号， 因为自动满足全同性原理的要 求。 描述全同多粒子系统状态的这一方法 所用的态矢是 n1 , n2 ,......nv ...... ，相应的表 象称为福克表象。其中，对于玻色子nv =0， 1，2……；而对于费米子，由于必须满足泡 利不相容原理，因此nv =0，1。
3 表象变换
设力学量 F 和 G 在各自表象中的本征方 程为 F i = fi i 和 G n = g n n ，那么， 如果我们定义 S = n i 以及 S = i n ， 那
†
参考文献
[1] 刘连寿.理论物理基础教程.高等教育 出版社.2003.pp.373-379. [2] 曾谨言.量子力学教程（第二版）.科学 出版社.2008.pp.82-84. [2] 钱伯初 曾谨言.量子力学习题精选与 剖 析 （ 第 三 版 ） . 科 学 出 版 社.2008.pp.259-260.
c ( p, t ) =
i − px 1 h ψ x t e dx ( , ) ∫ 2π h
(12)
其中，在表象表换时，我们要特别注意 一下两点：
1、表象变换矩阵的幺正性。即表象变 换算符 S 为要争算符， S † S = 1 。 2、表象变换下量子力学的基本公式不 变，物理观测结果不变。其具体包括： a、表象变换不改变算符之间的对易关 系。 b、表象变换不改变力学量的本征值。 c、表象变换不改变矢量的内积。
∑n
v =1
∞
v
= N 。这种方法从一开始就不
1 表象与绘景
在量子力学中， 表象和绘景是两个完全 不同的概念。 由于希尔伯特空间中的基底选择不同， 而使量子力学原理有不同的表象。 表象是选 定基底使态矢量和算符有具体的表示形式。 也可以这样说， 表象就是希尔伯特空间中的 “坐标系” 。 由于对时间演化的处理方式不同， 使量 子力学有不同的绘景。 绘景是描述状态随时 间变化的图像，在同一绘景中，还可以有不 同的表象。 在量子力学中， 已知我们可以直接观测 的是力学量 F 在状态 a 中取不同值的概率 分布 P = n a
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学
量子力学智慧树知到课后章节答案2023年下内蒙古民族大学内蒙古民族大学绪论单元测试1.卢瑟福粒子实验证实了（）。
答案:原子的有核模型2.斯特恩-盖拉赫实验证实（）。
答案:原子的自旋磁矩取向量子化.3.康普顿效应证实了（）。
答案:光的量子性4.戴维逊-革末实验证实了（）答案:电子的波动性5.下列各物体哪个是绝对黑体（）答案:不能反射任何光线的物体6.光电效应证明光具有粒子性。
（）答案:对7.黑体辐射证明光的能量是量子化的，具有粒子属性。
（）答案:对8.电子衍射实验证明电子具有粒子性。
（）答案:错9.写出德布罗意关系式___，___。
答案:null10.Einstein的光量子假说揭示了光的___性。
答案:null11.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是什么？答案:null12.Bohr的氢原子理论解决了哪些问题？答案:null13.金属的光电效应的红限依赖于什么？答案:null第一章测试1.完全描述微观粒子运动状态的是（）。
答案:波函数2.完全描述微观粒子运动状态变化规律的是（）。
答案:薛定谔方程3.粒子处于定态意味着（）。
答案:粒子的力学平均值及概率密度分布都与时间无关的状态4.一维运动的粒子，所处状态为，则粒子在处单位体积内出现的概率为（）。
答案:5.下列条件不是波函数的必备条件的是（）。
答案:归一6.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:对7.若是描述电子运动状态的波函数，则与描述的是同一个状态。
（）答案:错8.写出德布罗意波的表达式]___，___答案:null9.光电效应证明光具有___性。
答案:null10.电子衍射实验证明电子具有___性。
答案:null11.波函数是否自由粒子的能量本征态？为什么？如果是，能量本征值是多少？答案:null12.平面单色波所描述的态下，粒子具有确定的动量，称为动量本征态，动量的本征值为，在动量表象中写出此量子态。
答案:null13.微观粒子与经典粒子的粒子性的相同点是什么？不同点是什么？答案:null第二章测试1.粒子处于宽度为为的无限深对称方势阱中，则粒子的能级为（）。
谐振子的产生湮灭算符
谐振子的产生湮灭算符谐振子的产生湮灭算符谐振子是一种能量特别简单的量子系统，通常用于描述分子振动、光学振动以及固体材料中原子的晶格振动等现象。
它是量子力学中一个经典的例子，相信每一个学习量子力学的人都会在课本中见到谐振子经典问题的解析式。
谐振子是一个比较简单的物理模型，因此，用一些物理学中最基本和最基础的概念和方法就可以解析其性质和特性。
在量子力学中，我们使用产生湮灭算符来描述谐振子。
接下来，我们将详细讨论什么是谐振子的产生湮灭算符。
量子谐振子的产生湮灭算符量子谐振子的产生湮灭算符是通过经典谐振子中的 Hamiltonian 哈密顿量来定义的。
哈密顿量描述了谐振子的能量，通过把 Hamiltonian 哈密顿量表达式变为产生算符和湮灭算符的形式，这样，我们就可以直接使用这些算符来描述谐振子的物理性质和特性了。
物理学家德·布罗意(D. Broglie)和惠更斯(C. F. Huygens)首先提出产生湮灭算符的概念，在欧洲物理学家中，它们得到了广泛的接受。
在量子力学中，产生湮灭算符是一类运算符，它们可以被用于创建或摧毁量子系统中的项，例如粒子、能量量等。
在量子力学中，我们考虑二次量子化图片，其中谐振子的产生湮灭算符是：$\hat{a}^\dagger$微扰场的产生算符$\hat{a}^\dagger$可以用它的Hermite工程写成\begin{equation}\hat{a}^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{q}-\dfrac{im\hat{p}}{m\omega\hbar}\right),\end{equation}其中$\hat{q}$和$\hat{p}$是位置和动量算符，$m$和$\omega$是谐振子的质量和频率，$\hbar$则是普朗克常数的一半。
类似地,有其共轭算符$\hat{a}^\dagger$的湮灭算符可以写成\begin{equation}\hat{a}=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat{q}+\dfrac{im\h at{p}}{m\omega\hbar}\right),\end{equation}这个湮灭算符是产生算符的共轭算符，它也经常被写成$\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger$，其中$\hat{a}^\dagger$是厄森堡(Hermitian)共轭。
【试题】量子力学期末考试题库含答案22套
【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。
（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。
（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。
五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。
性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。
4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。
5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。
以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，， 令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即 三、解： 已知氢原子的本征解为： ，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为： ，，（1）能量的取值几率，， 平均值为：（2）取值几率只有：，平均值 （3）的取值几率为： ，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
北京科技大学2014年硕士研究生入学考试试题876量子力学
【 3 】 对 于 (L2, Lz )的 共 同 本 征 态 lm ， 证 明 ： （ 1 ） Lx = Ly = 0 ； （ 2 ）
x,
t
)
*
i
t
( x, t )
【4】玻尔模型中，角动量量子化条件是：__________ A. mvr = nh, n = 0,1, 2,... B. mvr = nh, n = 0,1, 2,... C. mvr = nh, n = 1, 2,... D. mvr = nh, n = 1, 2,...
【20】以下哪些态矢量表示的是“自旋三重态态” ：_________
A. B. C. 1 D. 1
2
2
（二）简答题（每题 5 分，共 50 分）： 【1】在狄拉克记号下， p¢ 的物理含义是什么？
【2】对一维空间， x¢ p¢ 的数学表达式是什么？ 【3】请写出在位置表象下，位置算符和动量算符的表达式： 【4】请写出在动量表象下，位置算符和动量算符的表达式： 【5】假设 x, p 分别是位置算符，动量算符，请证明： éêëxn , pùúû= ihnxn- 1 【6】对厄米算符 A，假设有本征值问题 A a¢ = a¢a¢ ，请证明 a¢一定是实数。
【18】线性谐振子的占有数表象， a† ， a 分别是产生和湮灭算符，以下哪些是厄 米算符：___________ A． a† B． a C． a†a D． aa†
【19】线性谐振子的占有数表象， a† ， a 分别是产生和湮灭算符，以下哪些算式
【精品文档】量子力学第九章粒子数表象.大学本科.课堂教案
由于 [Nˆ , aˆ+ ] = aˆ+
（13）
则 Nˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Nˆ + aˆ+ ) n = (n +1)(aˆ+ n ) （17）
aˆ +
说明
n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n +1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ+ ] = ωaˆ+
则
Hˆ (aˆ+ n ) = (aˆ+ Hˆ + ωaˆ+ ) n = (En + ω)(aˆ+ n )
2
其中厄米算符 xˆ 和 pˆ 满足如下对易关系： [xˆ, pˆ ] = i
本节我们从新的角度讨论这一问题，给出谐振子能量本征值问题的一种 代数解法。（Schrödinger因式分解法）
一、用 aˆ, aˆ+ 重新改写谐振子的Hamilton量 1.定义新的算符 aˆ, aˆ+ , Nˆ
2.用算符 aˆ , aˆ + 表示谐振子Hamilton量
说明 aˆ n 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值为 n −1
也可看到由于 [Hˆ , aˆ] = − ωaˆ 则 Hˆ (aˆ n ) = (aˆHˆ − ωaˆ) n = (En − ω)(aˆ n )
而由（12）式 Nˆ n = n n
Nˆ n −1 = (n −1) n −1
（12’）
可知
即， n −1 也是 Nˆ 的一个本征态，对应的本征值也为 n −1
则有
aˆ n = c n −1
再利用归一化条件： 〈n | aˆ+aˆ | n〉 = 〈n −1| c*c | n −1〉
中科院量子力学题90-11
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
（
C(E1'...EN' , t) E1'...EN' ）
E1' ...EN'
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 全同性的充分+必要条件： C( Ei Ej ,t) C( Ej Ei ,t)
充分性可通过代入得到证明；
必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。
态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现
N V
2
d 3xd 3 x ' e xx' x x'
1 2
e2
N V
2
d 3x d 3z ez z
1 e2 N 2 4 2 V 2
N
Helb e2
i 1
d 3x n(x)e xri x ri
N
e2
N
d 3 x e xri
i1 V
x ri
N
e2
N
d 3.z ez
多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难:
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
N
H [T (xk ) Vext (xk )] V (x1, x2 ,..., xN ) k 1
由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?)
一、一次量子化的薛定谔方程
i
t
(
x1...xN
,
t
)
H
(
x1...xN
,
t
)
产生湮灭算符的维克定理
产生湮灭算符的维克定理1.引言概述部分应该对整篇文章的主题进行简要介绍和概述，下面是一个可能的概述部分的内容供参考：1.1 概述产生湮灭算符的维克定理是量子力学中一个重要的数学工具和理论定理。
它提供了一种计算量子态演化和相互作用的方法，尤其在量子光学和量子信息领域有广泛的应用。
维克定理最早由英国物理学家Hugo D. W. Weli在20世纪50年代提出，并在之后的发展中得到了广泛的应用和完善。
通过维克定理，我们可以得到产生湮灭算符的一系列重要性质和关系，从而方便地描述和计算物理体系的演化和性质。
本文旨在深入探讨维克定理的基本原理、推导过程和应用实例。
首先，我们将简要介绍维克定理的基本概念和定义，并通过一些具体的数学形式来说明其在量子力学中的应用场景。
接着，我们将详细讨论如何利用维克定理计算和描述产生湮灭算符的性质和相互作用，以及如何应用于具体的物理问题中。
本文分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将简要介绍维克定理的背景和意义，以及本文的结构和目的。
在正文部分，我们将详细阐述维克定理的基本原理和推导过程，并给出一些实际应用的例子。
最后，在结论部分，我们将总结维克定理的要点，并展望其在未来的发展方向。
通过深入研究和理解维克定理，我们可以更好地理解和描述量子力学中的产生湮灭算符，为进一步研究量子体系的演化、相互作用和性质提供更多的数学工具和计算方法。
同时，本文也将为相关领域的科研人员和学习者提供一份详尽的参考和学习材料。
1.2 文章结构文章结构的安排对于文章的整体组织和逻辑性至关重要。
在本文中，为了准确描述产生湮灭算符的维克定理，我们将按照以下结构进行阐述：2. 正文2.1 第一个要点在本部分，我们将介绍维克定理的基本概念和相关定义。
我们将从量子力学的基本原理出发，引入量子态和算符的概念，并建立其数学表达形式。
同时，我们会阐述湮灭算符的意义和作用，并介绍其在物理学中的应用领域。
2.2 第二个要点在这一部分，我们将详细介绍产生湮灭算符的维克定理以及其推导过程。
高等量子力学
1） 表象理论：Schrodinger表象，Heisenberg表象，相互作用表象。
2） 形式微扰理论，相互作用表象中时间演化算符的一般性质，形式解以及和散射矩阵的关系。
3） 形式散射理论，散射矩阵的微扰展开，散射截面，光学定理。
4） 中心力场中粒子的散射截面，分波法。
(5) Time reversal symmetry: Invariance of a specific Hamiltonian under time reversal transformation; The properties of anti-unitary operators; The role played by the internal degrees of freedom of quantum systems under time reversal transformation; The Kramer theorem and its applications.
(3) Theory of angular momentum: the SU(2) and SO(3) groups and their linear representations; Solutions of the rotating rigid-body systems; The definition of irreducible tensor of operators; Wigner-Eckart theorem and its applications.
高等量子力学课程详细信息
课程号
00410340
学分
4
英文名称
Advanced Quantum Mechanics
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
根据x与p的对易关系，得
定义 故有
1` a , a 2 x, p i p, x i 1
m 2 p2 i 1 N a a x x , p 2 2 2 2 m 2
由波函数的对称性得： x p 0
2
2 x0 基态时： x 2m 2
,
m p , 2
2
2 (x) (p) 4
2 2
。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由 x 2 (a 2 a 2 a a aa ) (a 2 a 2 2 N 1)
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
x | a | 0 0 x | m ip m d x | 0 x x | 0 2 m 2 m dx
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
可得
it i 2 2 H , H , x(0) x(t ) x(0) [ H , x(0)] 2 … 2!
1 t 3 2 p(0) p(0) 1 2 2 x(0) t t x(0) … 3! m m 2!
粒子数表象中的产生与湮灭算符
一．粒子数表象只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同玻色子体系的量子态可以用下列右矢来标记：对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
） 这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Foc k 表象。
二．产生和湮灭算符利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述a i +与ai 应理解为单粒子态的i ϕ产生和湮灭算符 玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+],[ 0],[],[==++j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与ai 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[=+i i a a在单粒子态上i ϕ有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子它是粒子数算符i i i a a n +=ˆ的本征态，本征值为ni （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数算符的本征∑=iinNˆˆ态，本征值为∑=iinN 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：其伴式为2．全同费米子体系的量子态描述利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示由于费米子体系波函数的交换反对称性，即所以，00 ++++++-=γβαγαβa a a a a a 。
高量19-产生算符和消灭算符
对易关系
[ N (b), a (b' )] a (b) (b b) [ N (b), a(b' )] a(b) (b b)
将此二式积分，可得N与它们的对易关系
[ N , a (b)] a (b) [ N , a(b)] a(b)
以上四个对易关系对Bose子和Fermi子都一样。
(b b ) n;b b b b [ (b b )] n; b b b
而 N n; b b b dbN(b) | n; b b b
db (b b ) | n; b b b n n;b b b (共有n项求和)
之一相同，则a+(b)对态作用的结果为零。
3
粒子数n任意的系统的基矢统一用真空态|0>和适 当的产生算符表示出来：
0
1; b a b 0
在R0空间
在R1空间
在R2空间
2; b b
1 2!
a b a b 0
n; b b b
dx dx dx n; x x x n; x x x 1
15
由于历史的原因，习惯上用
ψ (x)
ψ (x)
表示产生算符 表示消灭算符
位置表象是连续表象，产生和消灭算符的作用是
ψ ( x) n; x x x n 1 n 1; x x x x
18
式中的
1 n; x x x n x b n! P
是由X表象变到B表象的变换矩阵。
产生湮灭算符-集智俱乐部
从此式我们看出来：(1),a|v>为aa+的特征向量，对应的特征值为(v-1) （2） a v v 1
上式对于一切v推理都成立。也就是说对于任意的v1,v-2,…,都是a+a的本征值，但是因为v>=0，所以v只能 取0,1,2,….，并且 a v v v -1
a 2 aa v a v v - 1 v(v 1) v - 1 a n n n! 0
a a v v v v a a v a v
2
v a v v , 并且v 0
我们用a乘以（1）式：
a a a v av v 1 a a a v a v aa a v va v aa a v v 1a v
exp x 2 Ln ( m / h x) 2h
其中 L ( m / hx) 是一个很复杂的函数，被称为厄米多项式。 最终薛定谔方程的解为：
n
m / h n ( x, t ) g (t ) f n ( x) 2n n!
1/ 2
x [ A, B] x 2
位置与动量
首先任何一个关于位置的实数函数可以看作一个 X“坐标基”下的一个向量
f ( x) f (0) 0 f (0.1) 0.1 f (0.2) 0.2 f ( x) x
一个态Ψ既可以写成X坐标下的向量（位置波函数）， 又可以写成P“坐标基”下的波函数 ( x) x ( p) p , ( x) x , ( p) p 两个坐标系下的波函数可以相互转换
坐标本征态的 Fock 表象表示
坐标本征态的 Fock 表象表示林蓉【摘要】We introduce the Fock representation by using the eigenstates of linear harmonic oscillator represen-ted by the Dirac symbol.And the specific expression of the coordinate eigenstate in Fock representation is generated through the completeness of the eigenstates of linear harmonic oscillator and the generating function of Hermite poly-nomials.It paves the way for the further development of Dirac symbol.%利用由 Dirac 符号表示的线性谐振子的本征态，引入了 Fock 表象，并通过线性谐振子本征态的完备性和厄米多项式的母函数得出了坐标本征态在 Fock 表象中的具体表达式，为进一步发展Dirac 符号做好了铺垫。
【期刊名称】《菏泽学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】5页(P29-32,43)【关键词】狄喇克(Dirac)符号;Fock 表象;粒子的湮灭算符;粒子的产生算符【作者】林蓉【作者单位】菏泽学院物理与电子工程系，山东菏泽 274015【正文语种】中文【中图分类】O413.1林蓉(菏泽学院物理与电子工程系，山东菏泽274015)Dirac证明了薛定谔的波动力学与海森堡的矩阵力学的统一性，并且创造性的引入了Dirac符号，Dirac符号是量子力学理论最普遍的表述［1］.许多教材［2～4］阐述了波函数在不同表象中，如动量表象、角动量表象等的表示形式，由此可以得出描述微观粒子的态可以在任何表象下表示出，即态矢不依赖于任何表象.本文利用线性谐振子本征态│n〉的完备性│n〉〈n│= 1导出了坐标本征态│x〉在Fock 表象下［5］的表达式.在Fock表象中计算简洁，而且用途越来越广.在量子力学中，微观粒子的状态大多用波函数描写，但决定粒子状态变化的是薛定谔方程，它描写势场中粒子状态随时间的变化.薛定谔方程为：如果不含时间则(1)式的解可用分离变量法进行简化，考虑一特解将(2)式代入(1)式并对方程进行计算可得到定态薛定谔方程：所谓定态就是指能量具有确定值的状态.在几何学或经典力学中，常用矢量形式讨论问题而不指明坐标系，同样，在量子力学中，描写态和力学量也可以不用具体表象，这种描写方式是狄喇克最先引用的，因此这样的一套符号称为狄喇克符号.微观体系的状态可以用一种矢量来表示，它的符号是│〉，称为刃矢，简称刃，也称为右矢，某一确定的刃矢A可用符号│A〉表示.微观体系的状态也可以用另一种矢量来表示，这种矢量的符号是〈│，称为刁矢，简称刁，也称为左矢，某一确定的刁矢B可用符号〈B│表示.刃和刁是两种不同的矢量，二者不能相加，它们在同一种表象中的相应分量互为共轭复数.│A〉在Q表象中的分量为{ a1，a2，…an…}，那么〈A│在Q表象的分量为{ a*1，a*2，…a*n…}.和│A〉〈B│在同一表象中相应分量的乘积之和称为│A〉和〈B│的标积，用符号〈B | A〉表示.用{ b*1，b*2，…b*n…}表示〈B│在Q表象中的分量，那么显然〈B│A〉和〈A│B〉互为共轭复数，即：设│A〉为表示某一状态的刃，这个态在x表象中以波函数Ψ(x，t)描写，Ψ(x，t)就是刃│A〉在x表象中的分量，由于基刃│x〉组成完全系，所以│A〉可以按│x'〉展开：以〈x│左乘上式两边，并且利用坐标x的本征态正交归一条件：可得：由(4)式和(7)式可得：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象.常见的表象有坐标表象、动量表象、能量表象、角动量表象和Fock表象.3.1 线性谐振子在一维空间内运动的粒子的势能为，ω是常量，则这种体系就是线性谐振子.此体系的薛定谔方程为：引入没有量纲的变量ξ代替x，它们的关系是可解得线性谐振子能级和波函数分别为其中Hn(αx)为厄密多项式，Nn是归一化常数，且Hn(ξ)=Hn(αx)满足递推关系［6］：3.2 本征矢│n〉的封闭性Q表象的正交归一基矢全体集合为{│n〉，n=1，2，3…}，是完备的，任意态矢│ψ〉可以通过│n〉表示为，即因为│ψ〉是任意的，故(15)式所表示的性质称为本征矢│n〉的封闭性，也称为完备性.通常将这组正交、归一、完备基{│n〉}所张的空间称为Fock空间.在Fock空间中，计算简洁，富于粒子图像，后继量子力学中经常使用，且用途越来越广.3.3 Fock表象引入新算符利用(10)式可将(16)、(17)式改写为：将均作用于谐振子哈密顿算符的第n个本征态ψn并用公式(11)、(12)、(13)、(14)可得：上面的讨论都是在坐标表象中进行的，算符及态矢量ψn都是在坐标表象中表述的，若不用具体表象，则(18)、(19)两式可表示为：称为粒子的湮灭算符，称为粒子的产生算符.由(21)式可得：由(16)、(17)两式可得：将带入线性谐振子的哈密顿：并利用的对易关系：可得到：用表示，即；再由(20)、(21)可得：即│n〉为的本征态，本征值为n.以│n〉为基矢的表象称为Fock表象，也称占有数表象.利用本征矢│n〉的封闭性：和以及可得：由于Ψn是实函数，所以Ψ*n=Ψn；则利用厄密多项式的母函数坐标本征态的Fock表象表示为：若取自然单位=μ=ω= 1，则可表示为：综上所述，利用线性谐振子本征态的完备性和厄米多项式的母函数得出了坐标本征态在Fock表象中的具体表达式，方法简洁，易于接受，并且此表达式在量子力学研究的各个领域有着重要的应用.［1］Dirac P A M.The principles of Quantum Mechanics［M］.Oxford：Clarendon Press，1930.［2］曾谨言.量子力学(卷Ⅰ)［M］，第四版，北京：科学出版社，2007：128-137.［3］周世勋.量子力学教程［M］，北京：高等教育出版社，1979，2：103-111. ［4］陈鄂生.量子力学基础教程［M］，第三版，济南：山东大学出版社，2006，1：139-152.［5］袁洪春，王帅，范洪义.从二维正态分布密度函数的角度研究量子力学基本表象［J］.大学物理，2011，30(12) ：1-3.［6］梁昆淼.数学物理方法［M］，第三版(修订本)，北京：高等教育出版社，1998：270-292.The Fock Representation of Coordinate EigenstatesLIN Rong(Department of Physics and Electronic Engineering，Heze University，Heze Shandong 274015，China)。
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一．粒子数表象
只须把处于每个态上的粒子数，（n 1，n 2，…，n N ）交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了。
所以，只需用（n 1，n 2，…，n N ）来标记波函数就可以了。
为了避免对全同粒子编号，就需脱离q 表象。
此时，全同
对于费米子，泡利原理要求n ＝0或1。
设系统有量子态αβγ…。
脱离q 表象，可记为
（后式只标出了被粒子占据的那些单粒子态。
）
这种表示方式称为粒子填布数表象简称粒子数表象，也称为Fock 表象。
二．产生和湮灭算符
利用它们可以把粒子数表象的基矢以及各种类型的力学量方便的表示出来，而各种计算中，只需利用这些产生和湮灭算符的基本对易关系，量子力学的置换对称性即可自动得以保证。
1．全同玻色子体系的量子态描述
a i +与a i 应理解为单粒子态i ϕ的产生和湮灭算符
玻色子产生和湮灭算符满足对易关系： j i j i a a δ=+
],[ 0],[],[==+
+
j i j i a a a a (代表了玻色子产生和湮灭算符全部代数性质) （1） 此处a i +与a i 是相互共轭的。
（2） 特殊的1],[=+i i a a
在单粒子态i ϕ上有n i （i ＝0，1，2，，，，，）个玻色子
它是粒子数算符i i i a a n +
=ˆ的本征态，本征值为n i （i ＝1，2，，，，，），它也是总粒子数∑=i
i
n
N
ˆˆ算符的本征态，本征值为∑=
i
i
n
N 。
|0>为真空态。
可以可以看出上式是交换对称的。
玻色子产生和湮灭算符作用：
其伴式为
2．全同费米子体系的量子态描述
利用粒子产生算符，设系统有量子态αβγ…（α≠β≠γ≠…）。
则系统的量子态用一下右矢表示
由于费米子体系波函数的交换反对称性，即
所以，
00 +
+++++-=γβαγαβa a a a a a 。
即费米子产生和湮灭算符满足反对易关系：βαβαδ=++
],[a a
0],[],[==++++βαβαa a a a (代表了费米子产生和湮灭算符全部代数性质) （1）0==++ααααa a a a
（2）+
+++-=βααβa a a a
玻色子产生和湮灭算符作用：
由于单粒子态的归一性，<α|α>=1，即100=+
ααa a ，由于真空态|0>及其伴态<0|不简并，所以0+
ααa a 代表一个确定的态，即真空态|0>。
00==+
ααααa a a
α
（α≠β≠γ≠…）
（0，不是|0>。
|0>为真
空态。
0代表不存在。
）
如果把每个单粒子态上的粒子数明显写出来 21n n 对于费米子n i ＝0或1。
与玻色子相对应有
()()()0
1110
11112121111
1==⎪⎩
⎪⎨
⎧∑-=+-∑-=-=-=+ααααα
αααυναυνn n n n n n n n n n a n n
因为不同单粒子态上的(产生和湮灭)算符是反对易的，而+
αa 要跨过算符
()()
()
1
21
1
2
1
-+
-++ααn n n a a a 后才能对α态上的粒子数进行运算。
由于反对易关系，就出现了因
子()
()∑-=--=++1
1
111αυνα
n n n
于是有：
其伴式为：。