态和算符的表象表示

( x, t ) F ( x, i ) ( x, t ) x
（4.2.21）
我们来看这个方程在 Q 表象中的表达式。先设Q 只有分离的本 征值 ，对应的本征函数是1 ( x), 2 ( x), n ( x), 将 ( x, t ) 和 ( x, t ) 分别按 n ( x )展开：
Fqq ( x) F ( x, i )q ( x)dx x
* q
（4.2.34）
4.2 态和算符的表象表示
例如，在坐标表象中 F 的矩阵元为
Fxx ( x x" ) F ( x, i = F ( x, i ) ( x x" )dx x
x 的本征方程是
（4.2.4）
本征函数是 ( x x) 。量子态 ( x) 总可按 x 的本征函数系 展开，得 （4.2.5） ( x) ( x) ( x x)dx
展开系数 ( x) 就是该量子态在
x 表象的表示，即波函数。
4.2 态和算符的表象表示
（2）动量表象
Q 表象的基底；
IV. 不同表象 不同基底，不同坐标系； VI. 厄米算符的本征函数系 一组完备的基矢。
4.2 态和算符的表象表示
2. 算符的表象表示
Q1 , Q2 , , Qn 前面我们讨论了态在各种表象中的表示，下面我们讨论算 符在各种表象中的表示。
( x, t )后，得出另一波函 ) 作用于波函数 设算符 F ( x, i x 数 ( x, t ) ，在坐标表象下记为：
*
（4.2.27） （4.2.28） （4.2.29）
令
则
m
{am (t )} 和{bn (t )} 上式就是（4.2.21） 在 Q 表象中的表达式。 Fnm 是算符 F 在 分别是 ( x, t )和 ( x, t )在 Q 表象中的表示。 表象中的表示。这一组方程用矩阵形式写出为：
b1 (t ) b2 (t ) bn (t ) F11 F12 F21 F22 Fn1 Fn 2 F1m F2 m Fnm a1 (t ) a2 (t ) an (t )
* Fmn Fnm n ( x){Fm ( x)}* dx * ( x)Fn ( x)dx Fmn （4.2.32） m
4.2 态和算符的表象表示
n ( x )是算符 Q 的本征函数，则：
Qnm ( x) Q ( x, i
* n * = n ( x)Qm m ( x)dx
4.2 态和算符的表象表示
( x, t ) 在 Q 表象中的表示为
a1 (t ) a ( t ) 2 = * a1* (t ), a* (t ), 2 a (t ) n

, a* (t ) n

（4.2.13）
* 归一化条件： an (t )an (t ) 1 n
an (t ) 是在 ( x, t ) 所描述的态中，力学量 Q 具有 由此可知， 确定值 Qn 的几率。它具有和 统计解释完全相同的几 率解释。因此，我们可以用一组系数{an (t )}代替 ( x, t ) 来描 述该状态，将系数 a1 (t ), a2 (t ), , an (t ) 写一个列矩阵，则
2
C( p, t ) ( x, t ) * p ( x)dx
2
4.2 态和算符的表象表示
C ( p, t ) 是同一个状态在动量 状态在坐标表象中的波函数， 表象中的波函数。
1. 态的表象表示
（1）坐标表象
以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表
象。以一维的 x 坐标为例。算符
x ( x x) x ( x x)
p x
C ( p , t )e
dp
展开系数 C ( p, t ) 就是动量表象中的波函数。
4.2 态和算符的表象表示
动量表象也可以用动量为自变量表示
C( p) p ( x) p ( x)dx
* i
1 2
e
( p p )
dx ( p p)
（4.2.8）
所以，在动量表象中，粒子具有确定的动量 p 的波函数 是以动量 p 为变量的 函数。 （3） 任意表象 设有某一线性厄米算符 Q 。假定算符 Q 具有分离本征 值谱。它的本征方成为
若算符 Q 的本征值谱连续，则相应的表达式为
( x, t ) a (t ) ( x)d
* a (t ) ( x, t ) ( x)dx
（4.2.18）
（4.2.19） （4.2.20）
* ( x) ( x)dx ( )
波函数 பைடு நூலகம் x, t ) 在 Q 表象中用相应的连续列矩阵表示。
4.2 态和算符的表象表示
在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。 假设体系的状态在坐标表象中用波函数 ( x, t ) 来描述，前面 已经介绍过动量的本征函数为
p ( x)
1 (2 )1 2
i
e
p x
（4.2.1） （4.2.2） （4.2.3）
且
其中
( x, t ) C( p, t ) p ( x)dp
（4.2.14）
如果力学量 Q 除具有分立本征值 Q1 , Q2 , , Qn 具有连续本征值 q对应的归一化波函数是
1 ( x), 2 ( x), n ( x), q ( x),
外还
则
( x, t ) an (t ) n ( x) aq (t ) q ( x)dq
n
4.2 态和算符的表象表示
( x, t ) am (t ) m ( x)
( x, t ) bm (t ) m ( x)
m
m
（4.2.22） （4.2.23）
将（4.2.22）和（4.2.23）代入（4.2.21） 得：
bm (t )m ( x) F ( x, i
m
n
) am (t )m ( x) x m
)m ( x)dxam (t ) x
（4.2.24）
* 上式两边左乘 ( x)再对 x 在整个区域内积分得：
bm (t ) *n ( x)m ( x)dx *n ( x)F ( x, i
m m
（4.2.25）
利用 n ( x)的正交归一性
Qn (r ) Qn n (r )
（4.2.9）
将波函数 (r , t ) 按 Q 算符得正交归一本征函数系 {n (r )} 展开 (r , t ) an (t ) n (r )
n
（4.2.10）
4.2 态和算符的表象表示
* an (t ) ( x, t )n ( x)dx 式中 设 ( x, t ) 和 n ( x) 都是归一化的，那么就有
4.2 态和算符的表象表示
从上面的讨论可知，同一个态可以在不同的表象中 用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式不同， 物理意义不同。 总结上述，可以得出下列对应关系：
I.
II.
希尔伯特空间中的态矢量； 波函数 态矢量在特定基底中的分量，可以用列矩阵或函数表
量子态
示； III. 任意算符 Q 的本征函数系 V. 本征函数 基矢；
) m ( x)dx x
（4.2.33）
=Q m n,m
上式表明，算符在自身表象中是一个对角矩阵。 如果 Q 只具有连续分布的本征值 q ，上述讨论仍然 b 的脚标由可数的 m、 a、 n 换成连续变化 成立，只是 、 的 q ，所有的求和要换为对 q 的积分，算符 Q 在 Q 表象 中仍旧是一个矩阵，矩阵元为：
( x, t ) dx 是在 ( x, t ) 所描述的态 从前面的讨论知道：
中在 x x dx 范围内测量粒子位置的几率；同样 C( p, t ) dp 是在 ( x, t ) 所描述的态中在 p p dp 范围内测量粒子动 ( x, t ) 和 C ( p, t ) 描述同一个状态， ( x, t ) 是这个 量的几率。
（4.2.30）
4.2 态和算符的表象表示
所以，算符 F 在 Q 表象中是一个矩阵，它的矩阵元是 Fnm 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，现在我们 来看厄米算符在 Q 表象中的矩阵表示有什么特点。 由
* * F dx ( F ) dx
（4.2.31）
上式表明， F 矩阵的第 m列第 n 行的矩阵元等于第 n列第 m 行矩阵元的复共轭，此即厄米矩阵。所以，表示厄米算 符的矩阵是厄米矩阵。 现在要问：算符在自身表象中的矩阵表示又取什么形式？
* ( x)m ( x)dx n,m
n
（4.2.26）
4.2 态和算符的表象表示
得：
bm (t ) n ( x) F ( x, i )m ( x)dxam (t ) x m Fnm * ( x ) F ( x , i )m ( x)dx n x bn (t ) Fnm am (t )
（4.2.15）
4.2 态和算符的表象表示
式中
* aq (t ) ( x, t )q ( x)dx
（4.2.16）
q
归一化条件
2
a (t )a (t ) a (t )a (t )dq 1
* n n * q n
（4.2.17）
aq (t ) dq 表示在 ( x, t ) 中测量力学量 Q 所得结果在 q q dq 之间的几率。
（4.2.11）
( x, t )
2
dx a (t )an (t ) ( x) n ( x)dx