(完整版)数值分析教案
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 、2、3、4、5相应Newton—Cotes公式所得积分近似值见表4-2
表4-2
n
积分近似值
1
0.9207354
2
0.9461459
3
0.9461109
4
0.9460830
5
0.9460830
积分的准确值是0.9460830。容易发现 的结果比 有显著改进，但 相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。
§1插值型数值求积公式
教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
§2Gauss型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4求节点 使插值型求积公式
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解首先有
由于是插值型的，其代数精度 。令 ，有 ，及
故只要有 ，就有 。进一步取 ，有
Newton—Cotes公式分别为Simpson 法则（公式）和Cotes公式。
1.4Newton—Cotes求积公式的余项
定理２ 若 ，则梯形公式(1.8)的余项为
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
利用 在 上不变的号，由积分中值定理得
定理３ 若 ，则Simpson公式(1.9)的余项为
(1.11)
。
假设 。注意到多项式 的次数为 ，对 = 数值求积精确成立，从而
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1对给定求积节点 ，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2求插值型求积公式
并确定其代数精度。
解 。
从而求积公式为
且 。
对
从而 。
若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
就有 。上述方程的解为 ，对应的求积公式为
对于 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为 。
对于任意求积节点 ，任意求积系数，求积公式
当 时， 是数值稳定的。当 时， 有正பைடு நூலகம்负，而且有
从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在 上的连续函数 ，对Newton-Cotes公式来说，不成立 。即Newton-Cotes公式当时 ，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
例1确定求积公式
的代数精度。
解
。
从而该求积公式的代数精度为 。
对给定节点， 如何选择求积系数 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1．2插值型求积公式
对给定求积节点 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设 是 关于 的Lagrange插值多项式
教学时数12学时
教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设 是 上的权函数， 是 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
的最一般方法是用 在节点 上函数值的某种线性组合来近似
其中 是独立于函数 的常数，称为积分系数，而节点 称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数 在某些点的低阶导数值。
n=1,2的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积 来近似曲边梯形面积 （图4-1）。即
表4-1
（1.8）
的Newton-Cotes公式称为Simpson公式:
（1.9）
Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线 为曲边的曲边梯形面积来近似 为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。
其中
为Lagrange基函数。取
其中
。
定义2对给定互异求积节点 ，若求积系数 是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度 。
证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则
上面我们假设了 。从而当 为次数 的代数多项时必精确成立，故有
推论2若 是插值型求积公式，则有余项公式
其中
1．3Newton-Cotes求积公式
在[a,b]上 的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。
设 令 则求积系数为
其中
因此，Newton-Cotes公式为
其中 由（1．6）给出。
求职系数 独平于区间[a,b]称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。
证明 由例１知Simpson公式的代数的精度为 。令 为 的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：
对多项式 ，Simpson公式精确成立，即：
从而
利用 上小于等于零，由积分中值定理给出
可以证明，对一般的 ，只要 充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为
（1．2）
其中 。
例3用 、2、3、4、5相应的Newton—Cotes公式计算积分
在（1.3）中余项 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1若求积公式（1.2）对任意不高于 次的代数多项式都精确成立，而对 不能精确成立，则称该求积公式具有 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设 的近似值 。由近似值 所得数值积分值为
其误差为 。在 的前提下，最大可达
一般求积公式对 准确成立。因此有
对Newton-Cotes公式来说， 从而
表4-2
n
积分近似值
1
0.9207354
2
0.9461459
3
0.9461109
4
0.9460830
5
0.9460830
积分的准确值是0.9460830。容易发现 的结果比 有显著改进，但 相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。
§1插值型数值求积公式
教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
§2Gauss型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4求节点 使插值型求积公式
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解首先有
由于是插值型的，其代数精度 。令 ，有 ，及
故只要有 ，就有 。进一步取 ，有
Newton—Cotes公式分别为Simpson 法则（公式）和Cotes公式。
1.4Newton—Cotes求积公式的余项
定理２ 若 ，则梯形公式(1.8)的余项为
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
利用 在 上不变的号，由积分中值定理得
定理３ 若 ，则Simpson公式(1.9)的余项为
(1.11)
。
假设 。注意到多项式 的次数为 ，对 = 数值求积精确成立，从而
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1对给定求积节点 ，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2求插值型求积公式
并确定其代数精度。
解 。
从而求积公式为
且 。
对
从而 。
若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
就有 。上述方程的解为 ，对应的求积公式为
对于 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为 。
对于任意求积节点 ，任意求积系数，求积公式
当 时， 是数值稳定的。当 时， 有正பைடு நூலகம்负，而且有
从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在 上的连续函数 ，对Newton-Cotes公式来说，不成立 。即Newton-Cotes公式当时 ，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
例1确定求积公式
的代数精度。
解
。
从而该求积公式的代数精度为 。
对给定节点， 如何选择求积系数 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1．2插值型求积公式
对给定求积节点 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设 是 关于 的Lagrange插值多项式
教学时数12学时
教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设 是 上的权函数， 是 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
的最一般方法是用 在节点 上函数值的某种线性组合来近似
其中 是独立于函数 的常数，称为积分系数，而节点 称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数 在某些点的低阶导数值。
n=1,2的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积 来近似曲边梯形面积 （图4-1）。即
表4-1
（1.8）
的Newton-Cotes公式称为Simpson公式:
（1.9）
Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线 为曲边的曲边梯形面积来近似 为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。
其中
为Lagrange基函数。取
其中
。
定义2对给定互异求积节点 ，若求积系数 是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度 。
证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则
上面我们假设了 。从而当 为次数 的代数多项时必精确成立，故有
推论2若 是插值型求积公式，则有余项公式
其中
1．3Newton-Cotes求积公式
在[a,b]上 的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。
设 令 则求积系数为
其中
因此，Newton-Cotes公式为
其中 由（1．6）给出。
求职系数 独平于区间[a,b]称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。
证明 由例１知Simpson公式的代数的精度为 。令 为 的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：
对多项式 ，Simpson公式精确成立，即：
从而
利用 上小于等于零，由积分中值定理给出
可以证明，对一般的 ，只要 充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为
（1．2）
其中 。
例3用 、2、3、4、5相应的Newton—Cotes公式计算积分
在（1.3）中余项 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1若求积公式（1.2）对任意不高于 次的代数多项式都精确成立，而对 不能精确成立，则称该求积公式具有 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设 的近似值 。由近似值 所得数值积分值为
其误差为 。在 的前提下，最大可达
一般求积公式对 准确成立。因此有
对Newton-Cotes公式来说， 从而