(完整版)数值分析教案
数值分析 教案
数值分析教案教案标题：数值分析教学目标：1. 了解数值分析的基本概念和原理2. 掌握数值分析的常用方法和技巧3. 能够应用数值分析解决实际问题4. 培养学生的数学思维和分析能力教学内容：1. 数值分析的基本概念和分类2. 插值与逼近3. 数值微分与数值积分4. 常微分方程的数值解法5. 线性代数的数值方法6. 数值分析在实际问题中的应用教学过程：1. 导入：通过引入一个实际问题，引起学生对数值分析的兴趣和认识2. 理论讲解：介绍数值分析的基本概念和分类，以及常用的数值分析方法和技巧3. 案例分析：通过具体的案例，演示数值分析在实际问题中的应用过程，引导学生理解和掌握数值分析的解决方法4. 练习与讨论：设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，并进行讨论和交流，加深对数值分析的理解5. 总结与拓展：总结本节课的重点内容，引导学生进行拓展思考，鼓励他们应用数值分析解决更多实际问题教学手段：1. 讲授2. 案例分析3. 讨论交流4. 练习与实践5. 总结与拓展教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论和练习，是否能够理解和掌握数值分析的基本概念和方法2. 作业与考试：设计一些作业和考试题目，检验学生对数值分析的掌握程度3. 实际应用：观察学生是否能够将数值分析应用到实际问题中，解决实际困难教学建议：1. 引导学生多进行实际问题的分析和解决，提高数值分析的实际应用能力2. 鼓励学生进行课外拓展阅读，了解数值分析在不同领域的应用案例3. 加强与其他学科的交叉融合，促进数值分析与实际问题的结合以上是关于数值分析的教案建议，希望对你有所帮助。
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。
通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
以上是《数值分析》课程教案的概要内容。
通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。
数值分析课程设计c
数值分析课程设计c一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握数值分析的基本概念和方法，培养学生运用数值分析解决实际问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：（1）了解数值分析的基本概念；（2）掌握常用的数值算法及其原理；（3）了解数值分析在实际工程中的应用。
2.技能目标：（1）能够运用数值分析方法解决实际问题；（2）能够编写简单的数值计算程序；（3）能够对数值计算结果进行分析和评估。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对科学探究的兴趣和热情；（2）培养学生团队合作精神，提高学生沟通与协作能力；（3）培养学生运用科学知识解决实际问题的责任感。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括数值分析的基本概念、常用数值算法及其原理，以及数值分析在实际工程中的应用。
具体安排如下：1.数值分析的基本概念：（1）数值问题的概念；（2）数值方法的定义及其与解析方法的比较；（3）数值分析的主要任务。
2.常用数值算法及其原理：（1）线性代数方程组的求解；（2）非线性方程的求解；（3）插值与逼近；（4）数值微积分。
3.数值分析在实际工程中的应用：（1）数值模拟与仿真；（2）工程优化与设计；（3）数值计算在科学研究中的应用。
三、教学方法为了提高学生的学习兴趣和主动性，本节课将采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、案例分析法和实验法等。
1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握数值分析的基本概念和方法；2.讨论法：引导学生分组讨论数值分析的实际应用案例，培养学生的团队合作精神；3.案例分析法：分析具体的数值计算实例，使学生了解数值分析在实际工程中的应用；4.实验法：安排课后数值计算实验，让学生动手编写程序，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，我们将选择和准备以下教学资源：1.教材：《数值分析导论》；2.参考书：《数值分析》、《计算方法》等；3.多媒体资料：相关教学视频、PPT课件等；4.实验设备：计算机、编程环境等。
数值分析教学设计方案
一、教学目标1. 知识目标：（1）使学生掌握数值分析的基本概念、基本理论和基本方法；（2）使学生了解数值分析在各个领域的应用；（3）使学生具备数值计算能力，能够解决实际问题。
2. 能力目标：（1）培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）提高学生编程能力和计算机应用能力；（3）培养学生的团队协作和创新能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数值分析的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）提高学生的社会责任感和使命感。
二、教学内容1. 数值分析的基本概念和理论；2. 常用数值方法，如插值法、数值微分、数值积分、数值解微分方程等；3. 数值方法的误差分析；4. 数值方法的稳定性分析；5. 数值计算软件介绍与应用。
三、教学策略1. 采用启发式教学，引导学生主动探究；2. 注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力；3. 采用案例教学，激发学生的学习兴趣；4. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力；5. 利用现代教育技术，提高教学效果。
四、教学过程1. 导入新课：介绍数值分析的基本概念和意义，激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解：系统讲解数值分析的基本概念、基本理论和基本方法，注重理论联系实际。
3. 实例分析：结合实际问题，分析数值方法的应用，使学生掌握数值计算的基本步骤。
4. 实践操作：布置课后作业，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实际操作能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，培养学生的团队协作能力。
6. 总结与反思：引导学生总结所学知识，反思自己的学习过程，提高学习效果。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、讨论积极性和问题解决能力。
2. 作业完成情况：检查学生的作业完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 期末考试：通过考试检验学生对数值分析知识的掌握程度，了解教学效果。
4. 学生反馈：收集学生对教学方法的意见和建议，不断改进教学方法。
六、教学资源1. 教材：《数值分析》；2. 教学课件；3. 实际案例；4. 数值计算软件（如MATLAB、Python等）。
数值分析教案
数值分析
数值分析
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f ( x*) f ( x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数.
例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对
误差为2%,函数值相对误差为24%.
定义2 若近似值x *的误差限是某一位数字的半个单位,该位
到x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.
即 x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) (2.1)
其中a1 0 . 并且
x x * 1 10mn1
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
数值分析
数值分析
四、如何学好数值分析 1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
数值分析
数值分析
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f
(x)
Pn (x)
f
(0)
f
(0) x 1!
f
(0) 2!
x2
f
(n) (0) n!
f
(x)
f
( x*)
f
(x*)(x x*)
f
(
2
)
(
x
x*)
2
,
在x, x *之间,
得f (x*)的误差限
( f (x*)) | f (x*) | (x*).
数值分析教案
数值分析教案数值分析教案是一份旨在帮助学生深入理解数值分析概念和原理的教学计划。
通过数值分析教案的学习，学生将能够掌握数值计算方法，理解数值误差分析和算法设计等重要内容。
本教案将分为以下几个部分进行讨论与学习：一、数值分析概述数值分析是一门研究用数值方法解决数学问题的学科。
其主要目的是通过数值计算的方法，得到数学、物理或工程问题的近似解。
数值分析的应用领域非常广泛，涵盖了数学、计算机科学、工程等多个学科领域。
二、数值误差分析在进行数值计算时，往往会产生误差。
这些误差可能来源于测量精度、舍入误差、截断误差等多个方面。
了解不同类型的误差对于正确理解数值计算结果至关重要。
三、插值和逼近插值和逼近是数值分析中的重要内容。
插值是指通过一组已知数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处与原函数取值相同；而逼近则是通过多个已知数据点，构造一个函数来近似原函数。
四、数值积分与微分方程数值积分和微分方程是数值分析中的另外两大重要内容。
数值积分是对函数在一定区间上的积分进行数值计算，而微分方程则是研究描述变化的物理现象的数学方程。
五、算法设计算法设计是数值分析中一个至关重要的环节。
一个高效、准确的算法可以大大提高数值计算的效率和精度。
学生需要学会设计和实现各种数值计算算法。
通过本教案的学习，相信学生将对数值分析有更为深入的了解，掌握数值计算方法，提高数学建模和问题求解的能力。
数值分析作为一门重要的学科，对于理工科学生的学习和研究具有重要的指导意义。
愿本教案能够帮助学生打下坚实的数值分析基础，为未来的学习和工作打下良好的基础。
《数值分析》教案5
1.6.4 分段三次Hermite 插值为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。
它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。
为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210根据这些节点的取值i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足下述条件：①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。
② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式：332210)(xa x a x a a x H i i i i i +++=把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。
由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式1211211121112111)()(2121)(++++++++++++'⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=i i i ii i i i i i i i i ii i i i i i i i i iy xx x x x x y x x x x x x y xx x x x x x x y x x x x xx x x x H也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。
参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次Hermite 插值的基函数为⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=],[0],[21)(11021010100n x x x x x x x x x x x x x x x h)1,,1(],(),[0],(21],[21)(1101211112111-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+-++++----n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x h n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i （1-38）⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-----],[0],[21)(1012111n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x h⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=],[0],[)()(110210100n x x x x x x x x x x x x x H)1,,1(],(),[0],[)(],[)()(11012111211-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+-+++---n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x H n i i i i i i i i i i i i i i i （1-39）⎪⎩⎪⎨⎧∈∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=----],[0],[)()(101211n n n n nn n n x x x x x x x x x x x x x H分段三次Hermite 插值函数为])()([)(0∑='+=ni i i i i x H y x h y x H （1-40）由余项公式（1-37）可以导出，分段三次Hermite 插值的误差有如下估计)(max 384)()()()4(4x f h x H x f x R b x a ≤≤≤-= （1-41）其中)(max 110i i n i x x h -=+-≤≤。
数值分析教案
数值分析教案一、引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，通过数值方法求解数学问题的近似解。
本教案以数值分析为主题，旨在帮助学生理解数值分析的基本概念和方法，并培养其数值计算与问题解决的能力。
二、教学目标1. 理解数值分析的基本定义和应用领域；2. 掌握数值分析的常用技术和算法；3. 能够利用数值方法解决实际问题，如数值积分、方程求根等；4. 培养学生的编程思维和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 数值分析的概述1.1 数值分析的定义和发展历程1.2 数值分析的应用领域2. 数值逼近与插值2.1 插值多项式的定义和性质2.2 插值方法的选择与应用2.3 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分3.1 数值求导的基本原理和方法3.2 数值积分的基本原理和方法3.3 数值微分方程的初值问题求解4. 数值线性代数4.1 线性方程组的直接解法4.2 线性方程组的迭代解法4.3 线性最小二乘问题及其解法5. 非线性方程求解5.1 非线性方程求解的基本概念5.2 数值解法的选择与比较5.3 牛顿法与割线法的原理和应用四、教学方法1. 理论授课：通过讲解数值分析的基本概念和方法，帮助学生建立起基本的数值计算思维；2. 计算机实验：利用数值分析软件或编程语言，进行相应的数值计算实验，加深学生对数值方法的理解和应用；3. 课堂讨论：引导学生结合实际问题，讨论并解决数值计算过程中的困难和挑战；4. 课后作业：布置相关的数值计算作业，加强学生对数值分析的巩固和应用能力。
五、教学评价1. 平时表现：包括课堂参与、实验报告完成情况等；2. 课堂小测：针对教学内容进行的小型测试，检验学生对数值分析知识的理解；3. 期末考试：综合考察学生对数值分析知识和应用的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数值分析导论》（教师自备教材）；2. 计算机实验室：配备数值分析软件和编程环境。
七、教学进度安排1. 第一周：数值分析的概述；2. 第二周：数值逼近与插值；3. 第三周：数值微积分；4. 第四周：数值线性代数；5. 第五周：非线性方程求解；6. 第六周：综合复习和考试。
大学四年级数值分析教案
大学四年级数值分析教案一、教学目标学习数值分析的基本概念和原理，掌握一些常见的数值计算方法，并能够应用于实际问题中。
二、教学内容1. 数值分析的基本概念- 数值分析的定义和作用- 数值分析的基本原理和方法- 数值分析的应用领域2. 插值与逼近- 插值与逼近的概念及区别- 常见插值方法：拉格朗日插值、牛顿插值- 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分- 数值微积分的基本思想和方法- 数值积分的近似计算方法- 常微分方程的数值解法4. 数值线性代数- 线性方程组的数值解法- 矩阵的特征值和特征向量的数值计算- 最小二乘问题的数值算法三、教学方法1. 理论讲授：通过讲解数值分析的基本概念和原理，帮助学生建立起相应的知识体系。
2. 数值计算实例分析：通过实际的数值计算实例，帮助学生将理论知识应用于实际问题中。
3. 计算机模拟：利用计算机软件进行数值计算的模拟，帮助学生更好地理解和掌握数值分析方法。
四、教学过程1. 引入- 通过实际案例介绍数值分析的重要性和应用场景。
- 激发学生的学习兴趣和探索欲望。
2. 基础知识讲解- 分别介绍数值分析中的插值与逼近、数值微积分、数值线性代数的基本概念和原理。
- 通过示意图和具体例子帮助学生理解。
3. 方法演示- 分别演示插值与逼近中的拉格朗日插值、牛顿插值的计算过程。
- 演示数值微积分中的数值积分和常微分方程的数值解法。
- 演示数值线性代数中线性方程组的数值解法和特征值计算的过程。
4. 实际案例分析- 选取几个实际问题，如数据拟合、信号处理等，演示如何利用数值分析方法解决问题。
- 强调实际应用中需要注意的问题和方法选择的依据。
五、教学评估1. 平时作业：布置一些数值计算作业，包括插值与逼近、数值微积分、数值线性代数等方面的题目，以检验学生对知识的掌握和应用能力。
2. 课堂测试：进行随堂小测，检验学生对本堂课内容的理解程度。
3. 期末考试：设置综合性考试题目，综合考察学生对数值分析知识的掌握和运用能力。
《数值分析》教案1
第1章 插值法和数据拟合插值法是函数逼近的重要方法之一, 它是求近似函数的一种方法，有着广泛的应用。
插值法有很多种，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermite 插值，分段插值和样条插值等。
这里只给出Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值和样条插值的构造过程及程序。
① 解析法：用数学解析式表示x 和y 对应关系，如x x x f y sin )(3+==。
② 列表法：用一系列的x 值和对应的值y 列成表，如平方表、三角函数表等。
③ 图示法：在Y X -平面将对应的x 和y 的数值画成一条曲线。
工程技术实践中，特别是在实验测试中，往往只能得到两个相关变量的一系列离散值，它们间的函数关系就只得用列表法或图示法表示。
但是，有时因为某种原因希望把这种关系转换成解析表达式。
另外，有些变量间的关系虽然可以用解析法表示，由于数学解析式过于繁杂不便使用，也希望用一个简单的解析表达式来近似地代替它，凡此种种，利用简单解析式)(x φ近似地代替列表法、图示法或复杂解析式表示的函数)(x f 一类问题，即寻找一个满足)()(x f x ≈φ的简单函数)(x φ的问题，都可称之为函数逼近。
本章介绍的插值法和数据拟合法就是函数逼近的两种方法。
1.1 多项式插值设函数)(x f y =是以表1-1给出的，即给出了一系列的x 和与其对应y 的值。
表1-1 函数)(x f y =的列表法表示其中],[b a x ∈。
要构造一个简单的解析式)(x ，使它满足下述的插值原则：① ],[),()(b a x x f x ∈≈φ；② n i y x i i ,,2,1,0,)( ==φ。
称)(x φ为)(x f 的插值函数，点n x x x x ,,,,210 为插值节点（也叫样本点）。
由插值原则可知，插值函数在样本点上的取值必须等于已知函数在样本点上的对应值。
《数值分析》教案3
1.5 分段线性插值从已知的一些离散数据点及其函数值，即函数的列表法表示，推求出未知点上的函数值的所谓插值方法，在科技工作中应用十分广泛，如查对数表、三解函数表中都会遇到这类插值问题。
MATLAB 中设有许多插值指令，这里仅1.5.1 一元函数插值（查表）的MATLAB 实现该命令的调用格式为：)method'',x y,interp1(x,y k k =① 输入参数x 和y 为已知的两个同维向量n 1i }{x x⨯=和n 1i }{y y ⨯=，满足函数)(x y i i f =关系，它们是进行“造表”的根据，把i i y ,x 称为样本点即插值节点。
② 输出量k y 是与k x 对应的函数值。
插值点],[n 1k x x x ∈可以是数值、向量或矩阵，k y 与k x 维数相同，其元素一一对应。
③ 用单引号界定的method 有4种参数可供选择：∙ nearest 最近插值——用直角折线连接各样本点。
∙ linear线性插值——用直线依次连接各样本点，形成折线。
省略'method'时，即默认为此项。
∙ pchip(或cubic)分段三次插值——用分段三次多项式Hermite 插值曲线，依次连接相邻样本点，整体上具有函数及其一阶导数连续性。
∙ spline三次样条插值——用分段三次多项式曲线光滑地连接相邻样本点，整体上具有函数、一阶和二阶导数连续性，插值点k x 可以在区间[n 1,x x ]外的附近取值，可以是数值、向量或矩阵，k y 与k x 同维。
这个命令并不输出插值多项式函数，只输出插值点上的函数值。
这就相当于根据数据对),(y x “造表”，然后查出对应用于k x 的函数值k y ，所以又称为查表指令。
【例1-8】在区间[0，10]画出)s i n (x y =的曲线，取插值节点10,,1,0, ==k k x k 和节点处的函数值)sin(k k x y =，作分段线性插值，并画出相应的折线图，将两图形绘在一张图上。
《数值分析》教案
讲授新 进展内容
介绍等距节点插值公式在工程设计上的应用，例如在微电机设计在设计上的 应用。
课后总结
5
河北工程大学教师授课教案（5）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.5 埃尔米特插值
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
6
河北工程大学教师授课教案（6）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.6 曲线拟合的最小二乘法
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求
1. 掌握最小二乘法的基本原理；2. 掌握多项式拟合方法； 3. 了解可化为多项 式拟合的最小二乘方法。
课后总结
8
河北工程大学教师授课教案（8）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
3.2 牛顿--柯特斯公式
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求 1. 掌握牛顿--柯特斯公式； 2. 了解低阶牛顿--柯特斯公式的截断误差。
1、复习旧课（15 分钟）
回顾差商的定义。
2、讲授部分（25 分钟）
引入重节点的差商，并于 Taylor 展开式联系，介绍两者的关系（难点）。
3、复习部分（5 分钟）
（完整版）数值分析教案.doc
（完整版）数值分析教案.doc§1 插值型数值求积公式教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
教学时数12 学时教学过程1． 1 一般求积公式及其代数精度设(x) 是 ( a, b) 上的权函数， f ( x) 是 [ a, b] 上具有一定光滑度的函数。
用数值方逑下积分b(x) f ( x) dxa的最一般方法是用 f (x) 在节点 a x0 x1 x n b 上函数值的某种线性组合来近似b n(x) f ( x) dx A i f ( x i )ai 0其中 A i ,i 0, , n 是独立于函数 f ( x) 的常数，称为积分系数，而节点x i , i 0,1, , n 称为求积节点。
我们也可将（ 1． 2）写成带余项的形式b n(x) f ( x) dx A i f ( x i ) R[ f ]ai0（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。
更一般些的求积公式还可以包含函数 f ( x) 在某些点的低阶导数值。
在（ 1.3）中余项R[ x] 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都精确成立，而对 x m 1 不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
例 1 确定求积公式1 1 4 f (0) f (1)]f (x)dx [ f ( 1)1 3的代数精度。
《数值分析》教案4
1.6 埃尔米特（Hermite ）插值如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。
本节主要讨论在节点处插值函数与函数值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。
1.6.1 Hermite 插值设已知函数)(x f y =在1+n 个互异节点n x x x ,,,10 上的函数值)(i i x f y =),,2,1,0(n i =和导数值)(i i x f y '='),,2,1,0(n i =，要求一个至多12+n 次的多项式)(x H ，使得i i y x H =)( i i y x H '=')( ),,2,1,0(n i = (1-28)满足条件(1-28)的多项式)(x H 称为Hermite 插值多项式。
我们仍采用构造插值基函数的方法来求Hermite 插值多项式。
可以设想，如果有两组函数)(),(x H x h i i ),,2,1,0(n i =，它们满足：（1）)(),(x H x h i i ),,2,1,0(n i =都是至多12+n 次多项式；（2）0)(10)(='⎩⎨⎧=≠=j i j i x h ij i j x h ),,2,1,0(n j = (1-29)0)(=j i x H ⎩⎨⎧=≠='ij i j x H j i 1)( ),,2,1,0(n j =则多项式])()([)(0∑='+=ni i i iix H y x hy x H必定满足插值多项式条件式（1-28），且次数不超过12+n 。
按条件式（1-29），)(i x h 在)(i j x j ≠处函数值与导数值均为0，故它们应含因子)()(2i j x x j ≠-，因此可以设为)()]([)(2x l x x b a x h ii i -+= (1-30)其中)]()/[()()(11i n i n i x x x x x l ++-=ωω为Lagrange 插值基函数。
(完整版)高等数值分析48课时教案
高等数值分析48课时教案
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
11。
高等教育数值分析教案
高等教育数值分析教案Ch1、引 论 §1、数值分析及其特点1、数值分析及其主要内容数值分析也称计算方法，主要研究用计算机求解数学问题的数值方法及理论，内容主要包括：(1)数值逼近—插值与拟合、多项式逼近、有理逼近等(Ch2~Ch3)；(2)数值积分与微分(Ch4)；(3)数值代数—求解方程(组)以及特征问题的数值方法(Ch6~Ch9)；(4)常微分方程的数值解法(Ch5)。
2、数值分析的特点(1)首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性和数值稳定性；(2)其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度；（见例3）(3)还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。
例如Cooley 和Tukey1965年提出FFT ，NN N 22log 2，N=32K ，1000倍。
1、分析用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组的计算量。
解：计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。
用Cramer 法则解一个n 阶线性方程组需计算1n +个n 阶行列式，而用定义计算n 阶行列式需()!1n n -次乘法，故总计共需()()()()1!11!1n n n n n +-=+-。
此外，还需n 次除法。
当20n =时，计算量约为()()201!19.710n n +-=⨯次乘法。
即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。
可见，Cramer 法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。
§2、数值分析中的误差1、误差的类型与来源(1)模型误差；(2)观测误差；(3)截断误差(方法误差) —模型的准确解与数值方法准确解之间的误差；(4)舍入误差—实数形式的原始数据与有限字长的计算机数据之间的误差。
数值分析主要研究截断误差与舍入误差。
例2、根据Taylor 展式)(!!212x R n x x x e n nx++⋅⋅⋅+++=计算1-e (误差小于0.01)。
解：)(!5)1(!4)1(!3)1(!2)1()1(1554321x R e+-+-+-+-+-+=-12012416121-+-≈(截断误差)3667.0≈ (舍入误差)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从而高阶Newton-Cotes公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在 上的连续函数 ，对Newton-Cotes公式来说，不成立 。即Newton-Cotes公式当时 ，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes求积人以式，而是采用Gauss型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
例1确定求积公式
的代数精度。
解
。
从而该求积公式的代数精度为 。
对给定节点， 如何选择求积系数 使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1．2插值型求积公式
对给定求积节点 构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设 是 关于 的Lagrange插值多项式
解 、2、3、4、5相应Newton—Cotes公式所得积分近似值见表4-2
表4-2
n
积分近似值
1
0.9207354
2
0.9461459
3
0.9461109
4
0.9460830
5
0.9460830
积分的准确值是0.9460830。容易发现 的结果比 有显著改进，但 相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n是偶数的情形。
就有 。上述方程的解为 ，对应的求积公式为
对于 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为 。
对于任意求积节点 ，任意求积系数，求积公式
n=1,2的Newton-Cotes求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直边梯形的面积 来近似曲边梯形面积 （图4-1）。即
表4-1
（1.8）
的Newton-Cotes公式称为Simpson公式:
（1.9）
Simpson公式的几何意义是用以插值抛物线 为曲边的曲边梯形面积来近似 为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson求积公式也称为抛物线公式。
1.5Newton—Cotes公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设 的近似值 。由近似值 所得数值积分值为
其误差为 。在 的前提下，最大可达
一般求积公式对 准确成立。因此有
对Newton-Cotes公式来说， 从而
§1插值型数值求积公式
教学目的1.会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2.理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3.理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。
教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
§2Gauss型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4求节点 使插值型求积公式
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解首先有
由于是插值型的，其代数精度 。令 ，有 ，及
故只要有 ，就有 。进一步取 ，有
在（1.3）中余项 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1若求积公式（1.2）对任意不高于 次的代数多项式都精确成立，而对 不能精确成立，则称该求积公式具有 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。
教学时数12学时
教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设 是 上的权函数， 是 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
的最一般方法是用 在节点 上函数值的某种线性组合来近似
其中 是独立于函数 的常数，称为积分系数，而节点 称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数 在某些点的低阶导数值。
。
假设 。注意到多项式 的次数为 ，对 = 数值求积精确成立，从而
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1对给定求积节点 ，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2求插值型求积公式
并确定其代数精度。
解 。Байду номын сангаас
从而求积公式为
且 。
对
从而 。
若我们利用Hermite插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
证明 由例１知Simpson公式的代数的精度为 。令 为 的三次Hermite插值多项式，满足插值条件：
对多项式 ，Simpson公式精确成立，即：
从而
利用 上小于等于零，由积分中值定理给出
可以证明，对一般的 ，只要 充分光滑，Newton—Cotes公式的余项为
（1．2）
其中 。
例3用 、2、3、4、5相应的Newton—Cotes公式计算积分
Newton—Cotes公式分别为Simpson 法则（公式）和Cotes公式。
1.4Newton—Cotes求积公式的余项
定理２ 若 ，则梯形公式(1.8)的余项为
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
利用 在 上不变的号，由积分中值定理得
定理３ 若 ，则Simpson公式(1.9)的余项为
(1.11)
其中
为Lagrange基函数。取
其中
。
定义2对给定互异求积节点 ，若求积系数 是由（1.4）给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度 。
证明假设求积公式（1.2）是插值型的，则
上面我们假设了 。从而当 为次数 的代数多项时必精确成立，故有
推论2若 是插值型求积公式，则有余项公式
其中
1．3Newton-Cotes求积公式
在[a,b]上 的插值型求积公式应用最方便、最广泛，称之为Newton-Cotes求积公式。
设 令 则求积系数为
其中
因此，Newton-Cotes公式为
其中 由（1．6）给出。
求职系数 独平于区间[a,b]称之为Cotes系数。Cotes系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。