深圳华师一附中实验学校数学几何模型压轴题单元测试卷(解析版)
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深圳华师一附中实验学校数学几何模型压轴题单元测试卷(解析
版)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.
【答案】(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=
492. 【解析】
【分析】
(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =,12
PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;
(2)先判断出ABD ACE ∆≅∆,得出BD CE =,同(1)的方法得出12
PM BD =,12
PN BD =,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;
(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ∆的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论.
【详解】
解:(1)点P ,N 是BC ,CD 的中点,
//PN BD ∴,12
PN BD =, 点P ,M 是CD ,DE 的中点,
//PM CE ∴,12
PM CE =, AB AC =,AD AE =,
BD CE ∴=,
PM PN ∴=,
//PN BD ,
DPN ADC ∴∠=∠,
//PM CE ,
DPM DCA ∴∠=∠,
90BAC ∠=︒,
90ADC ACD ∴∠+∠=︒,
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,
PM PN ∴⊥,
故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;
(2)PMN ∆是等腰直角三角形.
由旋转知,BAD CAE ∠=∠,
AB AC =,AD AE =,
()ABD ACE SAS ∴∆≅∆,
ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =, 利用三角形的中位线得,12PN BD =,12
PM CE =, PM PN ∴=,
PMN ∴∆是等腰三角形,
同(1)的方法得,//PM CE ,
DPM DCE ∴∠=∠,
同(1)的方法得,//PN BD ,
PNC DBC ∴∠=∠,
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,
MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠
ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠,
90BAC ∠=︒,
90ACB ABC ∴∠+∠=︒,
90MPN ∴∠=︒,
PMN ∴∆是等腰直角三角形;
(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ∆是等腰直角三角形,
MN ∴最大时,PMN ∆的面积最大,
//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面,
MN ∴最大AM AN =+,
连接AM ,AN ,
在ADE ∆中,4AD AE ==,90DAE ∠=︒,
22AM ∴=
在Rt ABC ∆中,10AB AC ==,52AN =
22522MN ∴=最大,
222111149(72)22242
PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大. 方法2:由(2)知,PMN ∆是等腰直角三角形,12
PM PN BD ==, PM ∴最大时,PMN ∆面积最大,
∴点D 在BA 的延长线上,
14BD AB AD ∴=+=,
7PM ∴=,
2211497222
PMN S PM ∆∴==⨯=最大. 【点睛】
此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出
12PM CE =,12
PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆,解(3)的关键是判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大.
2.直线m ∥n ,点A 、B 分别在直线m ,n 上(点A 在点B 的右侧),点P 在直线m 上,AP =
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AB ,连接BP ,将线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BC ,连接AC 交直线n 于点E ,连接PC ,且ABE 为等边三角形. (1)如图①,当点P 在A 的右侧时,请直接写出∠ABP 与∠EBC 的数量关系是 ,AP 与EC 的数量关系是 .
(2)如图②,当点P 在A 的左侧时,(1)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若