自动控制原理第三章__线性系统时域分析
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第三章线性系统的时域分析典型输入信号
eT
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
T
c(t )
1
t2
Tt
T 2 (1
t
eT
)
2
§3 二阶系统的时域分析
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统 微分方程的标准形式：
d 2 c(t ) dt 2
2 n
dc(t) dt
n 2 c(t )
n 2 r (t )
—阻尼比，n —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
d 1 2
cos d t p )
0
- n (cos d t p
1 2
sin d t )
d (-sin d t p
d 1 2
cos d t p )
0
sin d t p 0, d t p 0, ,2 ,3 .......
R(s) Ts 1
1 TS 1
一．单 位 阶 跃 响 应
r(t) 1(t) R(s) 1 s
C(s) (s)R(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
t
c(t) 1 e T
说明:
1.可以用时间常数去度量系统输出量的数值
t t
T时, c(t) 1 e1 0.632 3T时, c(t) 0.95 95%
好 等 于c(), 令N m , 得 2
n
N
1 2 t s arctg
1 2
2
将t s
1
n
ln
1 代入,并取整数得
1- 2
N N(
1- 2 2
ln
1
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
夏德钤《自动控制原理》(第4版)-名校考研真题-第3章 线性系统的时域分析【圣才出品】
名校考研真题第3章 线性系统的时域分析一、选择题1．线性定常系统对某输入信号的响应已知，则求该系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对该输入信号响应的（）来求取；而求系统对该输入信号的积分的响应，可通过系统对该信号响应的（）来求取。
[北京理工大学研]A．导数，导数B．积分，积分C．导数，积分D．积分，导数【答案】C2．某系统的开环传递函数，该系统是（）。
[南京理工大学研]A．Ⅰ型三阶系统B．Ⅲ型三阶系统C．Ⅲ型两阶系统D．Ⅰ型两阶系统【答案】A【解析】由于积分环节个数为1，所以选A 。
3．单位反馈控制系统的开环传递函数为，其开环增益和时间常数分别为（ ）。
[南京理工大学研]A ．20，5B ．50，0.2C ．10，5D ．10，0.2【答案】D 【解析】将传递函数改写成如下形式，开环增益和时间常数分别为10，0.2。
4．二阶振荡环节中，三个有定义的频率为：为无阻尼自然频率为有阻尼自然频率为谐振频率，它们之间的大小关系为( )。
[清华大学研]A．B ．C ．D ．【答案】B【解析】，显然。
5．闭环传递函数为的单位脉冲响应曲线，在处的值为( )。
[南京理工大学研]A．B．C．D．0【答案】B【解析】，所以当时，。
6．系统校正中引入“偶极子”的作用是改善系统的（）。
[东南大学研]A．稳态特性B．动态特性C．稳定性D．以上说法均不对【答案】A【解析】偶极子可以产生很大的开环增益而对系统的动态性能影响不大。
7．对高阶系统常常用主导极点的概念和偶极子对的方法进行简化，进而简化计算过程。
下面是几个简化式子，正确的是（）。
[南京理工大学]A．B．C．D．【答案】B【解析】利用闭环主导极点和偶极子对对系统进行化简时应该保证系统的开环增益不变。
二、填空题1．在反馈控制系统中，设置______或______可以消除或减小稳态误差。
[南京邮电大学研]【答案】开环增益；题型系统型次2．当系统的输入信号为单位斜坡函数时，______型以上的系统，才能使系统的稳态误差为零。
自动控制原理课件 第三章线性系统的时域分析法
1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)
1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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小结： tr：克服非线性的影响，快速起动，故一般将系统 设计成欠阻尼 ：很重要，
0 1 , t t 只与 有 s r
3 ~ 4 t t 0 . 4 ~ 0 . 8 s n s
n
二阶系统的单位斜坡响应
t
e lim e ( t ) lim sE ( s ) 2 / ss n
s 0
存在的问题：
t % e 矛 r ssv
1 2 KT K , n 存在关联与矛盾 n K T
分析：T不可改变，只能改变K
% K ， e 不能满足 n ss
n t
n
n t c(t ) 1 e cos d t e sin d t d t 1 e (cos d t sin d t ) 2 1
n
arctan
1 2
1
1 1 2
e t sin( d t )
e lim e ( t ) lim sE ( s ) 2 / ss n
s 0
存在的问题：
t % e 矛 r ssv
1 2 KT K , n 存在关联与矛盾 n K T
K G(s) s(Ts1 )
二阶系统分析
t c ( t ) 1 e s i n ( t ) d 2 1
n
1
t 0
几个特征： 1、 =0时，等幅振荡； 2、0< <1时， 越小，振荡越严重，超调越大（最大超 调量100%），衰减越慢； 3、 =1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态； 4、 >1时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5、-1< <0时，振荡发散，系统不稳定。 6、 <-1时，单调发散，系统不稳定。
12 s2 +2s+12 Step1 Scope out
•超调量
1.4 1.2
h ( tp) h ( ) % 100 % h ( )
• 过度过程时间ts 系统达到给定△区所需 的时间
1 +△ 1 -△
1 0.8 0.6 0.4 0.2
h ( t ) h () ≤ h () ,t ≥ t s
=0（零阻尼）
单位阶跃响应 拉氏变换式： 时域响应式：
系统处于无阻尼振 荡状态，暂态响应为恒 定振幅的周期函数，频 率为n(也称为无阻尼自 然振荡角频率)。
几个特征： 1、 =0时，等幅振荡； 2、0< <1时， 越小，振荡越严重，超调越大（最大超 调量100%），衰减越慢； 3、 =1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态； 4、 >1时， 越大，曲线单调上升过程越缓慢； 5、-1< <0时，振荡发散，系统不稳定。 6、 <-1时，单调发散，系统不稳定。
h ( tp) h ( ) % 100 % h ( )
• 过度过程时间ts 系统达到给定△区所需 的时间
1 +△ 1 -△
1 0.8 0.6 0.4 0.2
h ( t ) h () ≤ h () ,t ≥ t s
0 0
tr tp1
2
ts
3
4
5
一阶系统分析
可用时间常数T表示 性能指标
超调量 %
将tp带入二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应表达式，可得：
0 e o
2 1
0 1 0 0 o
超调量 %仅与有关。
调节时间
根据ts的定义，并借助 二阶系统欠阻尼衰减正 弦包络线图进行近似计 算，可得：
当0 < <0.8时，通常 使用以下近似式：
1
临界阻尼
C ( s ) 1 ( s ) 2 2 22 R ( s ) s 2 s s 2 T s 1 n n T
2 n
3.3 二阶系统的时域分析
s 2 s 0 n
2 2 n
s 1 ,2 n n
1
2
二阶系统的单位阶跃响应
1 1 ct () L e T s 1 T
1
t T
t 0
三、 一阶系统的单位斜坡响应
2 1 1 1 T T C () s () sR () s 2 2 T s 1s s s Ts 1
c ( t )( t TT ) e t T ( 1 e)
0 1
s 2 11 C ( s ) s 2 s s s s 2 s
2 n n 2 2 n n n 2 n
2 s j 1 j 1 , 2 n n n d
s 1 n n 2 2 2 2 s( s ) s ) n d ( n d
t t n n n
t h ( t ) 1 et e 1( e 1 t )t 0
n
n
1
过阻尼
2 2 1 1 1 ( 1 ) t ( 1 ) t n n h ( t ) c ( t ) 1 e e t 0 2 2 2 2 1 1 1
一定，即
tr ,响应速度越快 一定， n
峰值时间 tp
t n h ( t ) 1 e s i n ( t ) d 2 1 求导，并令其为零
1
, t 0
t n n d d
n
t e s i n ( t ) e c o s ( t ) 0
d
tg(dt )
12
t 0 , ,2, dp
根据峰值时间定义，应取
因为
tg
1 2
一定时，n
dt p 1 2 1 t t p d 2 2 2 1 d d n
（闭环极点离负实轴的距离越远） t p
单独调节：解耦
Td ~ % K
p
~ e ss
3.4 高阶系统的时域响应 高阶系统分析方法： 由Matlab求解系统响应 由基本概念指引结构与参数的调整方向
m m 1 bs L b Cs ( ) bs 0 1 m ( s ) n n 1 Rs ( ) as as L a 0 1 n
(t 0)
td 0 .6 9 T tr 2 .2 0 T
T
ts 3T ~ 4T
ess lime(t ) 1 h()
t t s 0
可用时间常数度量系统响应在 各个时刻上的数值
lim[r (t ) c(t )] lim sE( s )
二、 一阶系统的单位脉冲响应
(K Ts p d ) Gs ( ) s (s2 s (s/2 1 ) n) n
2 n
T d K ( s 1 ) p K p
2 sK nT d( p /T d) (s) 2 2 s 2 s K d n p n
1 d ( nT d) 2 KP
小结： tr：克服非线性的影响，快速起动，故一般将系统 设计成欠阻尼 ：很重要，
0 1 , t t 只与 有 s r
3 ~ 4 t t 0 . 4 ~ 0 . 8 s n s
n
二阶系统的单位斜坡响应
t
结论：无法变参数，只能变结构
K K (s ) 2 2 (1 as ) K Ts ( 1 a )sK 1
s (Ts 1)
a H ( s ) 1 s 1 K s t K
1 ( 1 a ) ( 1 KK ) K t t t n 2
典型输入信号 阶跃函数 斜坡函数
0, t 0 r(t ) R0 , t 0
0 r(t) Rt t 0 t 0
1 L r (t ) s
1 L r (t ) 2 s
1 L r (t ) 3 s
抛物线函数
0 r (t ) 1 2 Rt 2
n
t0
上升时间
tr
, t 0
1 t n h ( t ) 1 e s i n ( t ) d 2 1
1
h(tr ) 1
，求得
1
2
t n e s i n ( tr ) 0 d
dt r
tr d
1 t 1 2 2 T c ( t ) t T t T ( 1 e) 2
2
( t 0 )
1 t T
e ( t ) r ( t ) c ( t ) T t T ( 1 e)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 0
脉冲函数
0 t 0 ( t ) ( t ) d t 1 Lt ( ) 1 t 0
正弦函数
r ( t) A s i n t
A L [r(t)] 2 2 s
•上升时间 tr 从原始状态开始，第 一次达到单位阶跃响应 的时间
第三章 线性系统的时域分析
• 时域、根轨迹、频域分析法
• 时域特点：直观，准确，能提供时间响应 的全部信息 • 重点：二阶系统的时域响应 系统稳定性分析 稳态误差的分析与计算
3.1 控制系统的时域响应及其性能指标
一、时域响应
稳态响应——稳态误差 动态响应——稳、快、准 二、时域性能指标