2014最新小学奥数高斯问题

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高斯小学奥数含答案三年级(上)第16讲 复杂周期问题

高斯小学奥数含答案三年级(上)第16讲 复杂周期问题

第十六讲复杂周期问题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 同学们看看漫画中的小蜗牛,它在第几天爬出井呢?其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口,并不会往下滑了,所以在考虑周期的时候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期.当实际问题并不是一个完整的周期问题时,一定要先把周期之外的问题考虑好,再计算周期相关的问题.比如一串数1、2、3、4、3、4、3、4……,在计算这个数列的相关问题时,一般要先排除掉前两个数的影响,即有头周期,要先“砍头”.比如在蜗牛爬井问题中,爬出井口的那天不需要再下滑,所以要先去掉最后一天的影响,即有尾周期,要先“去尾”.注意最后的周期是否完整.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1一只蜗牛在一口15米深的井底,如果它每个白天往上爬3米,但是在晚上又往下滑1米,请问:6这只蜗牛在第几天能爬出这口井?分析:经典的蜗牛爬井问题,想清楚每天会向上爬几米以及最后一次是怎么爬的?练习1(1)工厂的仓库里有80吨货物,这些货物都由同一辆卡车负责运输.第一天卡车往仓库里运进50吨,第二天运出了60吨,第三天又运进50吨,第四天再运出60吨,……如此不停地循环下去.第几天的时候,仓库里的货物才会被运完?(2)工厂的仓库里有80吨货物,同样是由一辆卡车负责货物的运输.第一天,卡车从仓库里运出60吨,第二天再运进50吨,第三天又运出60吨,第四天再运进50吨,……如此不停地循环下去.第几天的时候,仓库里的货物才会被运完?例题2桌子上原本放着6块巧克力,第1天阿呆吃掉了2块,第2天妈妈又放了4块巧克力,第3天阿呆又吃掉2块,第4天妈妈又放上4块,……如此不停循环下去,请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力?(请写出所有的可能)分析:这个题目的周期和例题1相似,每两天桌上多出2块巧克力,那么多少天以后桌上有10块巧克力?想想是否一定要两天两天的考虑?练习2菜地里有7根成熟的胡萝卜,第1天白兔妈妈挖出3根,第2天又有4根胡萝卜成熟了,第3天白兔妈妈又挖出3根,第4天又有4根胡萝卜成熟了,……照这样下去,到第几天的时候,菜地里刚好有8根成熟的胡萝卜?(请写出所有的可能)- - 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- - - - - - - - - - - -小判断四年一闰,百年不闰,四百年再闰.判断下面哪些年份是闰年?哪些年份是平年?(1)1949年是__________.(3)1900年是__________.(2)1988年是__________.(4)4000年是__________.8例题4(1)2033年1月4日是星期二,请问:2033年4月20日是星期几?(2)2052年1月20日是星期六,请问:2052年4月5日是星期几?分析:2033年和2052年各是平年还是闰年?1月、2月、3月都有多少天?一个星期有多少天?练习42012年3月12日是星期一,请问:2012年儿童节是星期几?- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”,那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗?例题52013年元旦是星期二,请问:(1)2012年元旦是星期几?(2)2014年5月20日是星期几?分析:度过一个平年,星期数会加几?例题6某月有31天,有4个星期二和4个星期五,那么这个月的20日是星期几?分析:想清这个月是几个整周,零出来几天?这几天分别是星期几?本月的第一天是星期几呢?9课堂内外闰年地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒(合365.24219天),即一回归年(tropical year).公历的平年只有365日,比回归年短约0.2422日,每四年累积约一天,把这一天加于2月末(即2月29日),使当年时间长度变为366日,这一年就为闰年.需要注意的是,现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得.由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题,从公元前46年,到16世纪,一共累计多出了10天.为此,当时的教皇格雷果里十三世,将1582年10月5日人为规定为10月15日.并开始了新闰年规定.即规定公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年,不是400的倍数的就是平年.比如,1700年、1800年和1900年为平年,2000年为闰年.此后,平均每年长度为365.2425天,约4年出现1天的偏差.按照每四年一个闰年计算,平均每年就要多算出0.0078天,经过四百年就会多出大约3天来,因此,每四百年中要减少三个闰年.闰年的计算,归结起来就是通常说的:四年一闰,百年不闰,四百年再闰.作业1.小懒猴摘桃子.它每天白天摘3个桃子,但到了晚上就要吃掉5个桃子.如果第一天白天之前小懒猴家里存着20个桃子,那么到第几天晚上它就会吃完所有的桃子?2.第一天蜗牛在井的底部,井深100米,蜗牛每天白天向上爬10米,晚上下滑5米,请问蜗牛在第几天爬出井口?3.如果今天是星期三,那么再过24天是星期几?4.2013年10月1日是星期二,那么2013年12月31日是星期几?5.2020年元旦是星期三,那么2021年元旦是星期几?1011第十六讲 复杂周期问题1. 例题1答案:7天详解:最后一次一定是上爬到达井口.2. 例题2答案:4天;7天详解:有2种情况,第一个是放上去4块后有10块巧克力,第二个是吃掉2块巧克力后有10块.3. 例题3答案:(1)三;(2)四 详解:(1)星期问题7天为一个周期,60784÷=,则再过60天是6473+-=,即星期…… -2 +4每2天增加2块10266+-=(块)()6423÷-=(组)3217⨯+=(天)6块 每2天增加2块-2 +4 -2单独的先计算 …… -2 +4 每2天增加2块1064-=(块)()4422÷-=(组) 224⨯=(天)4块每2天增加2块-2 +4 1天上爬2米1天上爬2米1天上爬2米 12米单独的先减去+3+3 -1 +3 -1 +3 -1 15312-=(米)()12316÷-=(天) 617+=(天)……12三.(2)今天为星期三,再过50天,50771÷=,则再过50天是314+=,即星期四. 4. 例题4答案:(1)三;(2)五 详解:(1)1.4到4.20经过了多少天,首先得判断一下二月有28或29天,2033年为平年,2月有28天.,31283116106+++=天,1067151÷=,相当于星期二再过1天是星期三.(2)要求1.20到4.5经过了多少天,首先得判断一下二月有28或29天,2052年为闰年,2月有29天.共经过了3129311576++-=天,767106÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期六再过6天为星期6675+-=,星期五.5. 例题5答案:(1)日;(2)二详解:(1)2013.1.1到2012.1.1过的是2012的二月为闰年,星期数减2,所以2012.1.1星期日.(2)到2014.1.1过的二月是2013年的,为平年,所以2014.1.1星期三.要求1.1到5.20经过了多少天,2014为平年,所以2月有28天,共经过了3128313019139++++=天,1397196÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期三再过6天为星期3672+-=,星期二.6. 例题6答案:四详解:31743÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,说明31天的月份会有如下特征,假如“星期A 星期B 星期C 星期D 星期E 星期F 星期G ”,会有5个“星期A 星期B 星期C ”,这个“星期A 星期B 星期C ”必须是连续的3天,以及4个“星期D 星期E 星期F 星期G ”,这题中有4个星期二和4个星期五,说明星期六、日、一会各有5个,则这个月的第一天肯定为星期六,这个月的20日相当于过了20119-=天,则19725÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,那么为6574+-=,即星期四.7. 练习1 答案:(1)16天;(2)5天简答:关键在于只有运出货物才能使得仓库没有货物,…… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨 605010-=(吨) 80108÷=(组)8216⨯=(天)80吨+50 -60 +50 -60第一问1.14.13.12.15.1+31+28+31+305.20+191.204.20 3.202.20 4.5+31+29 +31 -151.4 4.43.42.44.20+31 +28+31+16138. 练习2答案:2天;9天简答:有2种情况,第一个是成熟了4棵后有8棵,第二个是挖出3棵后有8棵.9. 练习3答案:六简答:星期问题7天为一个周期,30742÷=,则再过30天是426+=,即星期六.10. 练习4答案:五简答:要求3.12到6.1经过了多少天,共经过了3130311181++-=天,817114÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期一再过4天为星期145+=,星期3.126.12 5.12 4.126.1 +31+30 +31 -11…… -3 +4每2天增加1块8734-+=(块)()4434÷-=(组) 4219⨯+=(天)4块每2天增加1块-3 +4 -3单独的先计算 …… -3 +4 每2天增加1块871-=(块)()1431÷-=(组)122⨯=(天)1块每2天增加1块-3 +4 …… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨806020-=(吨)()2060502÷-=(组) 2215⨯+=(天)20吨-60单独的先减去第二问+50 -60 +50 -6014五. 11. 作业1答案:10天简答:每天家里存的桃子减少532-=个,到第20210÷=天晚上吃完.12. 作业2答案:19天简答:一上一下为一周期,最后爬出井一定是向上爬出,是不完整的周期,先考虑它,向上爬10米后就爬出了,于是前面完整的周期中向上爬了90米,每周期向上爬5米,90518÷=,所以前面爬了18天,第19天爬出井口. 13. 作业3答案:六简答:24733÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,星期三往后三天是星期六. 14. 作业4答案:二简答:10月1日到12月31日共经过313031191++-=天,91713÷=,则12月31日是星期二. 15. 作业5答案:星期五简答:由于2020年是闰年,所以星期数加2,则2021年元旦为星期五.。

高斯函数取值与求和问题

高斯函数取值与求和问题

高斯函数取值与求和问题1.八岁的高斯发现了数学定理高斯念小学的时候,有一次老师在教完加法后,想要休息一下,便出了一道题目要同学们算算看。

题目是:1+2+3+……+97+98+99+=?老师心想,这下子小朋友一定必须抹掉被迫辞职了吧!急忙借口过来时,却被高斯拦住了。

原来呀,高斯已经算是出了,小朋友你可以晓得他就是如何算是的吗?高斯告诉大家,把1加至与加至1排成两排相加。

也就是说:1+2+3+4+……+96+97+98+99++99+98+97+96+……+4+3+2+1=+++……++++共有一百个相加,但算式重复了两次,所以把除以2便得到答案。

从此,高斯小学的自学远远打破了其他同学,也因此打下了他以后的数学基础,更使他沦为——数学天才!2.高斯用尺规作正17边形(两千年数学难题)年的一天,在德国哥廷根大学,一个19岁的青年剩饭剩菜晚饭,已经开始搞导师单独布置给他的每天例会的两道数学题。

像是往常一样,前2道题目在2 个小时内成功地顺利完成了。

但青年辨认出今天导师给他多布置了一道题。

第三道题写在一张大纸条上,就是建议就用圆规和一把没刻度的直尺作出正17边形。

他也没多想要,就搞了出来。

然而,青年深感非常吃力。

开始,他还想,也许导师特意给我增加难度吧。

但是,随着时间一分一秒地过去了,第三道题竟毫无进展。

青年绞尽脑汁,感到自己学到的数学知识对解开这道题没有什么帮助。

困难激起了青年的斗志:我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去解这道题.。

当窗口遮住一丝曙光时,青年短舒了一口气,他终于作出了这道难题!看见导师时,青年深感有些愧疚和内疚。

他对导师说道:“您给我布置的第三道题我搞了整整一个通宵,我忘了您对我的栽培……”导师接过学生的作业一看看,当即吓坏了。

他的声音都喊叫了,说道:“这……真是你自己……搞出的?”青年有些困惑地看著激动不已的导师,提问道:“就是的,但我很屎,竟然花掉了整整一个晚上才搞出。

高斯巧算数学题汇总.

高斯巧算数学题汇总.
别是应用题等。
课文一(第一课时)
课文一(第一课时)
介绍高斯
高斯(1777—1855):德国著名数学家 、物理学家、天文学家、大地测量学家。他 有数学王子的美誉,并被誉为历史上伟大的 数学家之一,和阿基米德、牛顿、欧拉同享 盛名。
10元马克中高斯图像
初读理解课文
课文一(第一课时)
小组中带着问题阅读理解课文,讨论交流。
13 高斯巧算数学题
小学《汉语》
五年级上册
供维吾尔学生使用
第十三课 高斯巧算数学题
菜单四课后练习
1、课文一 高斯巧算数学题 2、课文二 爱迪生 3、语言知识强化训练 4、话题交际
课文导入
讨下论面:,数我学们学来习 中看遇看到这什篇么文困章难中,的怎 么高解斯决是的如;何汉学语习学数习 与怎学么数的学看?学懂习数的学关书系,,特
小组表演比赛
(1)以小组为单位准备, 一个人扮演高斯,一个人扮演 老师,自编对话,用言语和动 作表演课文的内容。
(2)小组代表表演,小组 间进行评比,评出优胜小组。
课文一(第三课时)
写作训练
课文一(第三课时)
思考高斯为什么算得那么快,然后总 结他的学习经验。
在小组中交流,尽可能写得完整一些, 然后派代表朗读,学生评比,评出写 的最好的小组。
听力训练
听课文录音,写出或说出空格处的词语。
1.老师坐在( 椅子)上,看起( 小说)来。 2.老师认为高斯在( 捣乱、胡闹),让他(重算 )。 3.老师接过高斯(递过来)的本子,( 愣)住了, 上面写着( 5050 )。 4.算出来这道题时,高斯才(八岁 )。 5.高斯之所以算得这么快,是因为( 他没有一个个 数依次加下去 1.有感情地朗读全文。
作业布置

四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容

四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:1+2+3+4+…+99+100=?老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。

于是,小高斯把这道题巧算为(1+100)×100÷2=5050。

小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。

例如:(1)1,2,3,4,5, (100)(2)1,3,5,7,9,...,99;(3)8,15,22,29,36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2。

]例1 1+2+3+…+1999=?分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11+12+13+…+31=?分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。

原式=(11+31)×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中,年龄一般只与年份有关,比如某人在 2012年是----------------- n,在多少岁吗?30岁,那么他在2013年一定是31岁,不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中,给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系•所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同,年龄问题也可以通过画线段图来分析,但和其他和差倍相比,年龄问题中时常包含着一些隐藏条件,需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.今年小高12岁,他父亲42岁,请问:多少年后,父亲年龄是小高的2倍?多少年前,父亲年龄是小高的4倍?「分析」小高和父亲的年龄差是不变的,怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢?练习1今年小高10岁,他父亲30岁,请问:多少年前,父亲年龄是小高的5倍?多少年前,父亲年龄是小高的6倍?对于两个人来说,每过一年,两个人的年龄都会增长一岁,但是他们的年龄差不变•抓住这一不变量,很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍,4年以后,爸爸年龄就只有儿子的 3 倍,请问今年爸爸、儿子各几岁?「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化,是一个典型的变倍问题,其中的不变量是什么呢?把不变量设为几份呢?今年,母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后,母亲年龄是儿子年龄的2倍•请问:今年母亲的年龄是多少岁?年龄问题中,我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄•对这类问题,我们仍然像解决基本和差倍问题一样,画出线段图来.小高问师傅多少岁,师傅说:“当我像你这么大时,你刚3岁;当你像我这么大时,我已经39岁了.”请问:师傅和小高现在分别多少岁?「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了,你能在一个图里把这些时间都表示出来吗?叔叔对亮亮说:“当你像我这么大的时候,我已经60岁了;当我像你这么大的时候,你才24岁•”请问:亮亮和叔叔今年各多少岁?例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁,当哥哥像弟弟现在这么大时,哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问:哥哥现在多少岁了?「分析」这个题目中只有现在和过去,应该先画哪个时间点呢?和差倍问题, 有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时,姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问:姐姐现在的年龄是多少?1年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁,妈妈今年多少岁?「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题,我们是不是应该把父母二人分成一组,兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6 哥哥对弟弟说:“你长到我这么大的时候,我恰好获得博士学位;我在你这么大的时候,你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁,哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍,请问:哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁?「分析」和差倍问题,有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗?年龄“外号”知多少总角:指童年•语出《诗经》,如《诗卫风氓》“总角之宴”.垂髫(chu iti co):指童年. 古时童子未冠,头发下垂,因而以“垂髫"代指童年.束发:指青少年. 一般指15岁左右,这时应该学会各种技艺.及笄(j i) j指女子15岁. 语出《礼记内则》“女子十有五年而笄待年:指女子成年待嫁,又称“待字弱冠:指男子20岁. 语出《礼记曲礼上》“二十曰弱,冠”.古代男子20岁行冠礼,表示已经成年.而立:指30岁. 语出《论语为政》“三十而立” •以后称三十岁为“而立”之年.不惑:指40岁. 语出《论语为政》“四十而不惑” •以后用“不惑”作40岁的代称.艾:指50岁•语出《礼记曲礼上》“五十曰艾” •老年头发苍白如艾.花甲:指60岁•以天干地支名号错综参互而得名.古稀:指70岁•语出杜甫《曲江》诗:“酒债寻常行处有,人生七十古来稀•” 皓首:指老年,又称“白首”.黄发:指长寿老人•语出《诗经》,如《诗鲁颂•宫》“黄发台背” •老人头发由白转黄.鲐背:指长寿老人.语出《诗经》,如《诗大雅行苇》“黄台背”,“台”与“鲐”通用.耄:古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣,无能为也. 一一《左传隐公四年》耋: 年八十曰耊•字亦作耋. 一一《易 离》•马注:“七十曰耋•”期颐:指百岁•语出《礼记 曲礼上》“百年曰期,颐” •谓百岁老人应由后代赡养.孑«I-養十有A厨志于孝r *=十:r二^做 凹十两平孤.%--'「岂JI十帀知A4-作业1.2010年张伯伯45岁,小聪9岁,那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的 3倍?2.今年,父亲年龄是儿子年龄的 4倍;24年后,父亲年龄是儿子年龄的 2倍•今年父亲多少岁?3.李家有三兄弟,老大、老二、老三•当老二像老三那么大时,老二的年龄是老三的 3倍,老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为 28岁,现在老大多少岁?4.哥哥对弟弟说:“当我到爸爸现在的年龄时, 爸爸就70岁了. ”弟弟又对哥哥说:“当我 到妈妈现在的年龄时, 妈妈也70岁了. ”已知爸爸比妈妈大 2岁,那么哥哥比弟弟大多 少岁?5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 10倍,明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍,那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍?第十四讲年龄问题1. 例题1答案:18年后;2年前详解:小高和父亲年龄差30岁,根据年龄差不变的性质,当父亲年龄是小高2倍时,设小高年龄为“ 1”,父亲年龄为“ 2”,差值为“1”,即30岁,则当小高30岁,父亲60岁时,父亲年龄 是小高的2倍,这是在18年后;同理,当父亲年龄是小高 4倍时,设小高年龄为“ 1”,父亲年 龄为“ 4”,差值为“ 3”,即30岁,则“ 1”为10岁,小高为10岁,那是在2年前.详解:设年龄差为“6”,则儿子今年年龄为“2 ”, 爸爸今年年龄为“8 ”,4年后,儿子年龄为“ 3 ”, 爸爸年龄为“ 9”,则“ 1”为4年,那么儿子今 年8岁,爸爸今年32岁.1”,则4年后的父母年龄和为 “8”,兄弟年龄和为“ 2”,则10岁为“ 1 ”,所以爸爸妈妈今年年龄和为 72,所以妈妈今年36岁.6. 例题6 答案:28岁详解:如右图所示,根据 7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍,设弟弟上幼儿园时年2.例题2答案:儿子8岁;爸爸32岁3. 例题3答案:小高15岁;师傅27岁详解:画“过去、现在、将来”图,如右图所示.设 年龄差为“ 1”,发现“ 3”恰好是3岁到39岁, 即36岁,则“ 1”为12岁,所以现在小高和师 傅分别是15岁和27岁.4. 例题4 答案:20岁详解:画出“过去、现在”图,如右图所示•设哥哥像弟 1” ------ “ 3”__ I 45.弟现在这么大时,弟弟年龄为“ 1”,哥哥年龄为“ 3”,年龄差为“ 2”,则现在弟弟年龄“ 3”,哥哥年龄为“ 5”,年 龄和为“ 8”,即是32岁,则“ 1 ”为4岁,所以哥哥现例题5 答案:36岁详解:将父母年龄和看成一组,将兄弟二人年龄和看成一组,根据 之差统一为“ 6”.则1年前父母年龄和为“ 7”,兄弟年龄和为“ 倍和4倍,把两组年龄和 将龄为“1”,则哥哥获博士学位年龄为 “ 7 ”, 弟 1 则现在弟弟年龄为“ 3”哥哥年龄为“ 5 ” 两个人的年龄和为“ 8”,32岁,则“ 1”为 4岁;那么哥哥获得博士学位的年龄为 28岁.练习1答案:5年前;6年前详解:小高和父亲年龄差20岁,根据年龄 差不变的性质,当父亲年龄是小高5倍时, 设小高年龄为“ 1 ”,父亲年龄为“ 5”,差 值为“ 4”,即20岁,则当小高5岁,父亲 25岁时,父亲年龄是小高的 5倍,这是在龄为“ 1”,父亲年龄为“ 6”,差值为“ 5”,即20岁,则“ 1”为4岁,小高为4岁,那是在6 年前.8. 练习2 答案:30岁详解:设年龄差为“ 2”则儿子今年年龄为“ 1”母亲今年年龄为“ 3”,10年后,儿子年龄为 “2”母亲年龄为“ 4”,则“ 1”为10年,那么儿子今年10岁,母亲今年30岁.9. 练习3答案:亮亮36岁;叔叔48岁简答:方法同例3,画出线段图,设年龄差为“ 1 ”,发现“ 3”恰好是24岁到60岁,即36岁, 贝U“1 ”为12岁,所以现在亮亮和叔叔分别是 36岁和48岁.10. 练习4答案:21岁简答:方法同例4,画出线段图,设姐姐像妹妹现在这么大时,妹妹年龄为“ 1 ”,姐姐年龄为“2”年龄差为“1”,则现在妹妹年龄“ 2”,姐姐年龄为“ 3 ”,年龄和为“ 5”,即35岁,则“ 1 ”为7 岁,所以姐姐现在21岁.11. 作业1答案:2019年简答:两人年龄差为45 9 36岁.张伯伯年龄是小聪的 3倍时,小聪的年龄为36 3 1 18岁, 这是在18 9 9年后,为2019年.12. 作业2答案:48岁简答:设年龄差是“ 3”.今年父亲的年龄是“ 4”,今年儿子的年龄是“ 1 ”,24年后儿子的年龄7.5年前;同理,当父亲年龄是小高 6倍时,设小高年是“ 3”,父亲年龄是“ 6”. “1”份是12年,今年父亲的年龄是12 4 48岁. 13. 作业3答案:12岁简答:当老二像老三那么大时,假设老三的年龄为“1”,则老二的年龄为“ 3”,老大的年龄为“ 4”,如下图所示•老三、老二的年龄差为“ 2”,则现在老三年龄为“ 3”,老二年龄为“ 5”, 老大年龄为“ 6”,“1 ”为28 3 5 62岁.因此现在老大12岁,老二10岁,老三6岁.现在现在卜28岁现在14. 作业4答案:4岁简答:先根据父母年龄差 2岁画出线段图,如下所示•从图中看出,由于爸爸比妈妈大2岁,所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大 2岁,比哥哥与妈妈年龄差大 2 2 4岁,所以哥 哥和弟弟年龄差为4岁.为“3”,相差的“ 2”相当于5 1 2 12年,即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁,父母年龄和为6 1060岁,今年兄弟年龄和为 6 5 2 16岁,父母年龄和为60 5 270岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为 70 16 54岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时,兄弟年龄和为542 154岁,是在 54 162 19年后.老二1”,明年兄弟年龄和。

高斯小学奥数含答案三年级(上)第16讲 复杂周期问题

高斯小学奥数含答案三年级(上)第16讲 复杂周期问题

第十六讲复杂周期问题- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 同学们看看漫画中的小蜗牛,它在第几天爬出井呢?其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口,并不会往下滑了,所以在考虑周期的时候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期.当实际问题并不是一个完整的周期问题时,一定要先把周期之外的问题考虑好,再计算周期相关的问题.比如一串数1、2、3、4、3、4、3、4……,在计算这个数列的相关问题时,一般要先排除掉前两个数的影响,即有头周期,要先“砍头”.比如在蜗牛爬井问题中,爬出井口的那天不需要再下滑,所以要先去掉最后一天的影响,即有尾周期,要先“去尾”.注意最后的周期是否完整.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1一只蜗牛在一口15米深的井底,如果它每个白天往上爬3米,但是在晚上又往下滑1米,请问:6这只蜗牛在第几天能爬出这口井?分析:经典的蜗牛爬井问题,想清楚每天会向上爬几米以及最后一次是怎么爬的?练习1(1)工厂的仓库里有80吨货物,这些货物都由同一辆卡车负责运输.第一天卡车往仓库里运进50吨,第二天运出了60吨,第三天又运进50吨,第四天再运出60吨,……如此不停地循环下去.第几天的时候,仓库里的货物才会被运完?(2)工厂的仓库里有80吨货物,同样是由一辆卡车负责货物的运输.第一天,卡车从仓库里运出60吨,第二天再运进50吨,第三天又运出60吨,第四天再运进50吨,……如此不停地循环下去.第几天的时候,仓库里的货物才会被运完?例题2桌子上原本放着6块巧克力,第1天阿呆吃掉了2块,第2天妈妈又放了4块巧克力,第3天阿呆又吃掉2块,第4天妈妈又放上4块,……如此不停循环下去,请问第几天结束的时候桌子上有10块巧克力?(请写出所有的可能)分析:这个题目的周期和例题1相似,每两天桌上多出2块巧克力,那么多少天以后桌上有10块巧克力?想想是否一定要两天两天的考虑?练习2菜地里有7根成熟的胡萝卜,第1天白兔妈妈挖出3根,第2天又有4根胡萝卜成熟了,第3天白兔妈妈又挖出3根,第4天又有4根胡萝卜成熟了,……照这样下去,到第几天的时候,菜地里刚好有8根成熟的胡萝卜?(请写出所有的可能)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在周期问题中,还有一类非常经典的题型,即和日期相关的题型.比如同学们最熟悉的星期.我们经常需要去计算一些和星期几有关的问题.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3(1)如果今天是星期六,再过60天是星期几?(2)如果前天是星期一,从今天起再过50天是星期几?分析:(1)每个星期有几天?(2)前天和今天差几天?练习3如果今天是星期四,再过30天是星期几?7小总结➢四年一闰,百年不闰,四百年再闰.➢闰年:2月有29天,一年366天.平年:2月有28天,一年365天.➢一星期是7天,所以是7天一周期.➢大月小月的判断:一、三、五、七、八、十、腊,三十一天永不差;拳头法:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 接下来我们来学习如何判断某一年是闰年还是平年.如1921年,不是4的倍数,所以一定是平年.如1924年,是4的倍数,但不是100的倍数,所以一定是闰年.如1700年,是4的倍数,是100的倍数,但不是400的倍数,所以一定是平年.如2000年,是4的倍数,是100的倍数,也是400的倍数,所以一定是闰年.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -小判断四年一闰,百年不闰,四百年再闰.判断下面哪些年份是闰年?哪些年份是平年?(1)1949年是__________.(3)1900年是__________.(2)1988年是__________.(4)4000年是__________.8例题4(1)2033年1月4日是星期二,请问:2033年4月20日是星期几?(2)2052年1月20日是星期六,请问:2052年4月5日是星期几?分析:2033年和2052年各是平年还是闰年?1月、2月、3月都有多少天?一个星期有多少天?练习42012年3月12日是星期一,请问:2012年儿童节是星期几?- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在日期问题中有个非常好用的小技巧叫“度年如日”,那么这个小技巧对于我们解决其他的周期问题有什么启示吗?例题52013年元旦是星期二,请问:(1)2012年元旦是星期几?(2)2014年5月20日是星期几?分析:度过一个平年,星期数会加几?例题6某月有31天,有4个星期二和4个星期五,那么这个月的20日是星期几?分析:想清这个月是几个整周,零出来几天?这几天分别是星期几?本月的第一天是星期几呢?9课堂内外闰年地球绕日运行周期为365天5小时48分46秒(合365.24219天),即一回归年(tropical year).公历的平年只有365日,比回归年短约0.2422日,每四年累积约一天,把这一天加于2月末(即2月29日),使当年时间长度变为366日,这一年就为闰年.需要注意的是,现在的公历是根据罗马人的“儒略历”改编而得.由于当时没有了解到每年要多算出0.0078天的问题,从公元前46年,到16世纪,一共累计多出了10天.为此,当时的教皇格雷果里十三世,将1582年10月5日人为规定为10月15日.并开始了新闰年规定.即规定公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年,不是400的倍数的就是平年.比如,1700年、1800年和1900年为平年,2000年为闰年.此后,平均每年长度为365.2425天,约4年出现1天的偏差.按照每四年一个闰年计算,平均每年就要多算出0.0078天,经过四百年就会多出大约3天来,因此,每四百年中要减少三个闰年.闰年的计算,归结起来就是通常说的:四年一闰,百年不闰,四百年再闰.作业1.小懒猴摘桃子.它每天白天摘3个桃子,但到了晚上就要吃掉5个桃子.如果第一天白天之前小懒猴家里存着20个桃子,那么到第几天晚上它就会吃完所有的桃子?2.第一天蜗牛在井的底部,井深100米,蜗牛每天白天向上爬10米,晚上下滑5米,请问蜗牛在第几天爬出井口?3.如果今天是星期三,那么再过24天是星期几?4.2013年10月1日是星期二,那么2013年12月31日是星期几?5.2020年元旦是星期三,那么2021年元旦是星期几?1011第十六讲 复杂周期问题1. 例题1答案:7天详解:最后一次一定是上爬到达井口.2. 例题2答案:4天;7天详解:有2种情况,第一个是放上去4块后有10块巧克力,第二个是吃掉2块巧克力后有10块.3. 例题3答案:(1)三;(2)四 详解:(1)星期问题7天为一个周期,60784÷=,则再过60天是6473+-=,即星期…… -2 +4每2天增加2块10266+-=(块)()6423÷-=(组)3217⨯+=(天)6块 每2天增加2块-2 +4 -2单独的先计算 …… -2 +4 每2天增加2块1064-=(块)()4422÷-=(组) 224⨯=(天)4块每2天增加2块-2 +4 1天上爬2米1天上爬2米1天上爬2米 12米单独的先减去+3+3 -1 +3 -1 +3 -1 15312-=(米)()12316÷-=(天) 617+=(天)……12三.(2)今天为星期三,再过50天,50771÷=,则再过50天是314+=,即星期四. 4. 例题4答案:(1)三;(2)五 详解:(1)1.4到4.20经过了多少天,首先得判断一下二月有28或29天,2033年为平年,2月有28天.,31283116106+++=天,1067151÷=,相当于星期二再过1天是星期三.(2)要求1.20到4.5经过了多少天,首先得判断一下二月有28或29天,2052年为闰年,2月有29天.共经过了3129311576++-=天,767106÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期六再过6天为星期6675+-=,星期五.5. 例题5答案:(1)日;(2)二详解:(1)2013.1.1到2012.1.1过的是2012的二月为闰年,星期数减2,所以2012.1.1星期日.(2)到2014.1.1过的二月是2013年的,为平年,所以2014.1.1星期三.要求1.1到5.20经过了多少天,2014为平年,所以2月有28天,共经过了3128313019139++++=天,1397196÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期三再过6天为星期3672+-=,星期二.6. 例题6答案:四详解:31743÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,说明31天的月份会有如下特征,假如“星期A 星期B 星期C 星期D 星期E 星期F 星期G ”,会有5个“星期A 星期B 星期C ”,这个“星期A 星期B 星期C ”必须是连续的3天,以及4个“星期D 星期E 星期F 星期G ”,这题中有4个星期二和4个星期五,说明星期六、日、一会各有5个,则这个月的第一天肯定为星期六,这个月的20日相当于过了20119-=天,则19725÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,那么为6574+-=,即星期四.7. 练习1 答案:(1)16天;(2)5天简答:关键在于只有运出货物才能使得仓库没有货物,…… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨 605010-=(吨) 80108÷=(组)8216⨯=(天)80吨+50 -60 +50 -60第一问1.14.13.12.15.1+31+28+31+305.20+191.204.20 3.202.20 4.5+31+29 +31 -151.4 4.43.42.44.20+31 +28+31+16138. 练习2答案:2天;9天简答:有2种情况,第一个是成熟了4棵后有8棵,第二个是挖出3棵后有8棵.9. 练习3答案:六简答:星期问题7天为一个周期,30742÷=,则再过30天是426+=,即星期六.10. 练习4答案:五简答:要求3.12到6.1经过了多少天,共经过了3130311181++-=天,817114÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,相当于星期一再过4天为星期145+=,星期3.126.12 5.12 4.126.1 +31+30 +31 -11…… -3 +4每2天增加1块8734-+=(块)()4434÷-=(组) 4219⨯+=(天)4块每2天增加1块-3 +4 -3单独的先计算 …… -3 +4 每2天增加1块871-=(块)()1431÷-=(组)122⨯=(天)1块每2天增加1块-3 +4 …… +50 -60 每2天运出10吨每2天运出10吨每2天运出10吨806020-=(吨)()2060502÷-=(组) 2215⨯+=(天)20吨-60单独的先减去第二问+50 -60 +50 -6014五. 11. 作业1答案:10天简答:每天家里存的桃子减少532-=个,到第20210÷=天晚上吃完.12. 作业2答案:19天简答:一上一下为一周期,最后爬出井一定是向上爬出,是不完整的周期,先考虑它,向上爬10米后就爬出了,于是前面完整的周期中向上爬了90米,每周期向上爬5米,90518÷=,所以前面爬了18天,第19天爬出井口. 13. 作业3答案:六简答:24733÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅,星期三往后三天是星期六. 14. 作业4答案:二简答:10月1日到12月31日共经过313031191++-=天,91713÷=,则12月31日是星期二. 15. 作业5答案:星期五简答:由于2020年是闰年,所以星期数加2,则2021年元旦为星期五.。

2014小学奥数高斯题目

2014小学奥数高斯题目

五年級(繁體)下冊《高斯求和》姓名:班別:日期:得分:高斯求和德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人,上學時,有一天老師出了一道題讓同學們計算:1+2+3+4+…+99+100=?老師出完題後,全班同學都在埋頭計算,小高斯卻很快算出答案等於5050。

高斯為什麼算得又快又准呢?原來小高斯通過細心觀察發現:1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

1~100正好可以分成這樣的50對數,每對數的和都相等。

於是,小高斯把這道題巧算為(1+100)×100÷2=5050。

小高斯使用的這種求和方法,真是聰明極了,簡單快捷,並且廣泛地適用於“等差數列”的求和問題。

若干個數排成一列稱為數列,數列中的每一個數稱為一項,其中第一項稱為首項,最後一項稱為末項。

後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列,後項與前項之差稱為公差。

例如:(1)1,2,3,4,5, (100)(2)1,3,5,7,9, (99)(3)8,15,22,29,36, (71)其中(1)是首項為1,末項為100,公差為1的等差數列;(2)是首項為1,末項為99,公差為2的等差數列;(3)是首項為8,末項為71,公差為7的等差數列。

由高斯的巧算方法,得到等差數列的求和公式:和=(首項+末項)×項數÷2。

例1 1+2+3+…+1999=?分析與解:這串加數1,2,3,…,1999是等差數列,首項是1,末項是1999,共有1999個數。

由等差數列求和公式可得原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

注意:利用等差數列求和公式之前,一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

例2 11+12+13+…+31=?分析與解:這串加數11,12,13,…,31是等差數列,首項是11,末項是31,共有31-11+1=21(項)。

原式=(11+31)×21÷2=441。

高斯求和、还原问题、平均数问题(复习课) (1)

高斯求和、还原问题、平均数问题(复习课) (1)

个性化一对一教学辅导教案学科: 奥数 学生姓名 年级 四 任课老师 授课时间一、教学内容:高斯求和、还原问题、平均数问题(复习课)二、教学重、难点:求和公式、还原问题中问题的倒退三、教学过程:高斯求和:若干个数按照一定的顺序规律排列起来就是一个数列。

例如::1,1, 2,3,5,8,13,21,34,……2、如果在一个数列中,任意两个相邻的数之间的差都相等,我们把这个数列称为等差数列。

其中第一个数称为首项,最后一个数称为末项。

相邻两个数之间的差称为公差(通常用d 表示),这列数中数的个数称为项数。

3. 等差数列的计算公式:前n 项和: 2n a a S n 1÷+=)( 项数: 1d a -a n 1n +÷=)( )(n 1a a 2S n +÷=第n 项: d 1-n a a 1n )(+= 公差: )()(1-n a -a d 1n ÷=例题1、 计算 1+2+3+……+99+100 (等差数列求和公式的推导)你会怎么求?高斯算法:高斯,德国著名数学家,被誉为“数学王子”。

200多年前,高斯的算术教师提出了下面的问题:1+2+3+…+100=?据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050例题2、 2+4+6+8+……+48+50 5+10+15+20+……+45+50练习:○1 计算 1+2+3+……+49+50○2 计算 1+3+5+7+……+97+99○3时钟在1点钟时敲一下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,以此类推,从1~12点钟共敲了几下?例2、求 5+8+11+14+……+29+32 (如何求项数)练习:○1 1+5+9+6+……+33+37○2 5+10+15+……+90+95+100○3丹丹学英语单词,第一天学会了6个单词,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了26个。

最新四年级奥数《高斯求和》答案及解析

最新四年级奥数《高斯求和》答案及解析

高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:1+2+3+4+…+99+100=?老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。

于是,小高斯把这道题巧算为(1+100)×100÷2=5050。

小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。

例如:(1)1,2,3,4,5, (100)(2)1,3,5,7,9,...,99;(3)8,15,22,29,36, (71)其中(1)是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列;(2)是首项为1,末项为99,公差为2的等差数列;(3)是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:和=(首项+末项)×项数÷2。

]例1 1+2+3+…+1999=?分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11+12+13+…+31=?分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。

原式=(11+31)×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时,有时项数并不是一目了然的,这时就需要先求出项数。

奥数系列训练-高斯算法(含答案)

奥数系列训练-高斯算法(含答案)

奥数系列训练-高斯算法(含答案)【奥数系列训练】(含答案)——高斯算法请填入正确答案:【题目1】1+2+3+……+8+9+10 =【题目2】1+3+5+……+17+19 =【题目3】1+2+3+……51+52+……+99+100 =【题目4】1+3+5+……51+53+……+97+99 =【题目5】2+4+6+……50+52+……+98+100 =【题目6】3+6+9+……+51+54+57+……+96+99 = 【题目7】5+10+15+……+50+55+……+95+100 =【题目8】1+4+7+……+52+55+58+……+97+100 =【题目9】小甜甜家的时钟每整点时就敲钟,而敲的数目和当时的时间是一样的,而且在两个整点中还会敲一下,这时时钟一天内共敲多少下?【题目10】有一列数:19、22、25、28……,这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?【参考答案】1.【解答】(1+10)×10/2 = 55【分析】方法一:步骤一:先写出这个数列;步骤二:然后再把这个数列倒着排列;步骤三:算出同一列的数字和都是11;步骤四:所以数列和就是11×10/2 = 55。

1+2+ 3+……+8+ 9+1010+9+ 8+……+3+ 2+ 111 11 11 11 11 11方法二:左边堆放着许多木头,从上到下木头的数目为1,2,3,4,……,8,9,10,那么木头的总数就是这个数列的和。

2.【解答】(1+19)×10/2 = 1003.【解答】(1+100)×100/2 = 50504.【解答】(1+99)×50/2 = 25005.【解答】(2+100)×50/2 = 25506.【解答】(3+99)×33/2 = 16837.【解答】(5+100)×20/2 = 10508.【解答】(1+100)×34/2 = 17179.【解答】(1+12)×12+24 = 180(下)10.【解答】19+3×(49-1)= 163,919+163)×49/2 = 4459。

四年级奥数高斯行程问题二

四年级奥数高斯行程问题二

第18讲行程问题二1.小高站在火车轨道旁,一辆长200米的火车以每秒钟10米的速度开过.请问:火车从他身边经过需要多少秒?2.(1)王老师沿着一条与铁路平行的公路散步,每分钟走60米,迎面开过来一列长300米的火车,从火车头与王老师相遇到火车尾离开他共用了20秒,求火车的速度.(2)沿着一条与铁路平行的公路散步,她散步的速度是每秒2米.这时从萱萱背后开来一列火车,从车头追上她到车尾离开她共用了18秒.已知火车速度是每秒17米,求火车的长度.3.(1) -列火车长180米,每秒行20米,这列火车通过320米的大桥,需要多长时间?(2)一列火车以每秒20米的速度通过一座长200米的大桥,共用21秒,这列火车长多少米?4.一列火车长180米,每秒行20米;另一列火车长200米,每秒行】8米,两车相向而行,它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时r?5.甲火车长370米,每秒行15米;乙火车长350米,每秒行21米.两车同向行驶,乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间?6.许三多所在的钢七连队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进.问:(1)许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?(2)从队头返回队尾,又需要多长时间?7.甲、乙两列火车相向而行,甲车每小时行48千米,乙车每小时行60千米.坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗为止共用13秒.问:乙车全长多少米?8.早上6:00,甲、乙两人分别从相距240千米的A、B两城同时出发同向而行,甲在前,乙在后.甲每小时行40千米,乙每小时行60千米,如果丙以每小时72千米的速度前进,同时追上甲、乙两人,丙应当在几点从B城出发?9.A有甲、乙、丙三人,甲每分钟走40米,乙每分钟走50米,丙每分钟走60米.A、B两地相距2700米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,他们出发15分钟后,丙从B地出发去追赶乙,请问:(1)甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?(2)又过了多少分钟丙才追上乙?10.东、西两城相距75千米,小明从东向西走,每小时走6.5千米;小强从西向东走,每小时走6千米;小辉骑自行车从东向西行,每小时行15千米.三人同时出发,途中小辉遇见小强即折回向东骑,遇见了小明又折回向西骑,再遇见小强又折回向东骑……这样往返,直到三人在途中相遇为止,请问:小辉共骑了多少千米?11.一列火车长180米,每秒行20米;另一列火车长200米,每秒行】8米,两车相向而行,它们从车头相遇到车尾相离要经过多长时r?12.甲火车长370米,每秒行15米;乙火车长350米,每秒行21米.两车同向行驶,乙车从追上甲车到完全超过甲车需要多长时间?13.许三多所在的钢七连队伍长450米,以每秒1.5米的速度行进.问:(1)许三多以每秒3米的速度从队尾跑到队头需要多长时间?(2)从队头返回队尾,又需要多长时间?14.甲、乙两列火车相向而行,甲车每小时行48千米,乙车每小时行60千米.坐在甲车上的小坤从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗为止共用13秒.问:乙车全长多少米?15.早上6:00,甲、乙两人分别从相距240千米的A、B两城同时出发同向而行,甲在前,乙在后.甲每小时行40千米,乙每小时行60千米,如果丙以每小时72千米的速度前进,同时追上甲、乙两人,丙应当在几点从B城出发?16.A有甲、乙、丙三人,甲每分钟走40米,乙每分钟走50米,丙每分钟走60米.A、B 两地相距2700米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行,他们出发15分钟后,丙从B地出发去追赶乙,请问:(1)甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?(2)又过了多少分钟丙才追上乙?17.东、西两城相距75千米,小明从东向西走,每小时走6.5千米;小强从西向东走,每小时走6千米;小辉骑自行车从东向西行,每小时行15千米.三人同时出发,途中小辉遇见小强即折回向东骑,遇见了小明又折回向西骑,再遇见小强又折回向东骑……这样往返,直到三人在途中相遇为止,请问:小辉共骑了多少千米?18.两列火车同时同方向齐头行进,快车每秒行18米,慢车每秒行10米,行】2秒后快车超过慢车.如果这两列火车车尾对齐,同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车.请问:快车和慢车的车长分别是多少米?19.一列货车和一列客车同向行驶,由于货车有紧急任务,因此开始赶超客车.小明在客车内沿着客车前进的方向向前走,发现货车用了140秒就超过了他.已知小明在客车内行走的速度为每秒1米,客车的速度为每秒20米,客车长350米,货车长280米.求货车从追上客车到完全超过客车所需要的时间.20.A甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米,两车同时从A地出发到B地去,出发6小时后,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,又过了l小时,乙车也遇到了这辆卡车.请问:这辆卡车的速度是多少?21.A有甲、乙、丙三人,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米.如果甲从A地,乙和丙从B地,三人同时出发相向而行,甲和乙相遇后,过了15分钟又与丙相遇,求A、B两地的距离.22.甲、乙两人同时从A地出发向B地前进,甲骑车,乙步行.与此同时,丙从B地出发向A地前进.甲骑9千米后与丙相遇,而乙走6千米后就与丙相遇.如果甲骑车的速度是乙步行速度的3倍,求A、B两地的距离,23. A、B两城相距56千米,甲、乙、丙三人分别以每小时6千米、5千米、4千米的速度前进.甲、乙两人从A城,丙从B城同时出发,相向而行.请问:出发多长时间后,乙正好在甲和丙的中点?24.米老鼠沿着铁路旁的一条小路向前走,一列货车从后面开过来,8:00货车追上了米老鼠,又过了30秒,货车超过了它;另有一列客车迎面驶来,9:30客车和米老鼠相遇,又过了12秒客车离开了它.如果客车的长度是货车的2倍,客车的速度是货车的3倍,请问:客车和货车什么时间相遇?两车错开需要多长时间?25.货车和客车相向而行,两车在A点迎面相遇,在B点错开,A点和B点之间的距离为150米,已知客车的长度力450米,速度为每小时108千米,货车的速度为每小时72千米.如果货车比客车长,那么货车的长度是多少?26.铁路旁有一条小路,一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去,14时10分追上向北行走的一位工人,15秒后离开这个工人;14时16分迎面遇到一个向南走的学生,12秒后离开这个学生.请问:工人与学生将在何时相遇?。

小学奥数计算专题练习之高斯算法

小学奥数计算专题练习之高斯算法

小学奥数计算专题练习之高斯算法高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。

一生成就极为丰硕,以他名字“高斯”命名的成果达110个,属数学家中之ZUI。

他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

计算方法(公式)具体的方法是:首项加末项乘以项数除以2项数的计算方法是末项减去首项除以项差(每项之间的差)加1.如:1+2+3+4+5+······+n,则用字母表示为:n(1+n)/2等差数列求和公式Sn=(a1+an)n/2Sn=n(2a1+(n-1)d)/2;d=公差Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)算法由来高斯小时候非常淘气,一次数学课上,老师为了让他们安静下来,给他们列了一道很难的算式,让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。

全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案,因为他想到了用(1+100)+(2+99)+(3+98)……+(50+51)……一共有50个101,所以50×101就是1加到一百的得数。

后来人们把这种简便算法称作高斯算法。

1.1+2+3+……+8+9+10=2.1+3+5+……+17+19=3.1+2+3+……51+52+……+99+100=4.1+3+5+……51+53+……+97+99=5.2+4+6+……50+52+……+98+100=6.3+6+9+……+51+54+57+……+96+99=7.5+10+15+……+50+55+……+95+100=8.1+4+7+……+52+55+58+……+97+100=9.小添添家的时钟每整点时就敲钟,而敲的数目和当时的时间是一样的,而且在两个整点中还会敲一下,这时时钟一天内共敲多少下?10.有一列数:19、22、25、28……,这列数的前49个数(从19开始算起)的总和是的多少?。

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中,年龄一般只与年份有关,比如某人在2012年是30岁,那么他在2013年一定是31岁,不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中,给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系.所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同,年龄问题也可以通过画线段图来分析,但和其他和差倍相比,年龄问题中时常包含着一些隐藏条件,需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.例题1今年小高12岁,他父亲42岁,请问:多少年后,父亲年龄是小高的2倍?多少年前,父亲年龄是小高的4倍?「分析」小高和父亲的年龄差是不变的,怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢?练习1今年小高10岁,他父亲30岁,请问:多少年前,父亲年龄是小高的5倍?多少年前,父亲年龄是小高的6倍?对于两个人来说,每过一年,两个人的年龄都会增长一岁,但是他们的年龄差不变.抓住这一不变量,很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍,4年以后,爸爸年龄就只有儿子的3倍,请问今年爸爸、儿子各几岁?「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化,是一个典型的变倍问题,其中的不变量是什么呢?把不变量设为几份呢?练习2今年,母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后,母亲年龄是儿子年龄的2倍.请问:今年母亲的年龄是多少岁?年龄问题中,我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄.对这类问题,我们仍然像解决基本和差倍问题一样,画出线段图来.例题3小高问师傅多少岁,师傅说:“当我像你这么大时,你刚3岁;当你像我这么大时,我已经39岁了.”请问:师傅和小高现在分别多少岁?「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了,你能在一个图里把这些时间都表示出来吗?练习3叔叔对亮亮说:“当你像我这么大的时候,我已经60岁了;当我像你这么大的时候,你才24岁.”请问:亮亮和叔叔今年各多少岁?例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁,当哥哥像弟弟现在这么大时,哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问:哥哥现在多少岁了?「分析」这个题目中只有现在和过去,应该先画哪个时间点呢?和差倍问题,有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时,姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问:姐姐现在的年龄是多少?例题51年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁,妈妈今年多少岁?「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题,我们是不是应该把父母二人分成一组,兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6哥哥对弟弟说:“你长到我这么大的时候,我恰好获得博士学位;我在你这么大的时候,你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁,哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍,请问:哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁?「分析」和差倍问题,有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗?课堂内外年龄“外号”知多少总角:指童年.语出《诗经》,如《诗·卫风·氓》“总角之宴”.垂髫(chuí tiáo):指童年.古时童子未冠,头发下垂,因而以“垂髫”代指童年.束发:指青少年.一般指15岁左右,这时应该学会各种技艺.及笄(jí jī):指女子15岁.语出《礼记·内则》“女子……十有五年而笄”.待年:指女子成年待嫁,又称“待字”.弱冠:指男子20岁.语出《礼记·曲礼上》“二十曰弱,冠”.古代男子20岁行冠礼,表示已经成年.而立:指30岁.语出《论语·为政》“三十而立”.以后称三十岁为“而立”之年.不惑:指40岁.语出《论语·为政》“四十而不惑”.以后用“不惑”作40岁的代称.艾:指50岁.语出《礼记·曲礼上》“五十曰艾”.老年头发苍白如艾.花甲:指60岁.以天干地支名号错综参互而得名.古稀:指70岁.语出杜甫《曲江》诗:“酒债寻常行处有,人生七十古来稀.”皓首:指老年,又称“白首”.黄发:指长寿老人.语出《诗经》,如《诗·鲁颂·宫》“黄发台背”.老人头发由白转黄.鲐背:指长寿老人.语出《诗经》,如《诗·大雅·行苇》“黄台背”,“台”与“鲐”通用.耄:古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣,无能为也.――《左传·隐公四年》养.作业1.2010年张伯伯45岁,小聪9岁,那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍?2.今年,父亲年龄是儿子年龄的4倍;24年后,父亲年龄是儿子年龄的2倍.今年父亲多少岁?3.李家有三兄弟,老大、老二、老三.当老二像老三那么大时,老二的年龄是老三的3倍,老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为28岁,现在老大多少岁?4.哥哥对弟弟说:“当我到爸爸现在的年龄时,爸爸就70岁了.”弟弟又对哥哥说:“当我到妈妈现在的年龄时,妈妈也70岁了.”已知爸爸比妈妈大2岁,那么哥哥比弟弟大多少岁?5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍,明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍,那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍?第十四讲 年龄问题1.例题1答案:18年后;2年前详解:小高和父亲年龄差30岁,根据年龄差不变的性质,当父亲年龄是小高2倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“2”,差值为“1”,即30岁,则当小高30岁,父亲60岁时,父亲年龄是小高的2倍,这是在18年后;同理,当父亲年龄是小高4倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“4”,差值为“3”,即30岁,则“1”为10岁,小高为10岁,那是在2年前. 2.例题2答案:儿子8岁;爸爸32岁详解:设年龄差为“6”,则儿子今年年龄为“2”,爸爸今年年龄为“8”,4年后,儿子年龄为“3”,爸爸年龄为“9”,则“1”为4年,那么儿子今年8岁,爸爸今年32岁. 3.例题3答案:小高15岁;师傅27岁详解:画“过去、现在、将来”图,如右图所示.设年龄差为“1”,发现“3”恰好是3岁到39岁,即36岁,则“1”为12岁,所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁. 4.例题4 答案:20岁详解:画出“过去、现在”图,如右图所示.设哥哥像弟弟现在这么大时,弟弟年龄为“1”,哥哥年龄为“3”,年龄差为“2”,则现在弟弟年龄“3”,哥哥年龄为“5”,年龄和为“8”,即是32岁,则“1”为4岁,所以哥哥现在20岁. 5.例题5 答案:36岁详解:将父母年龄和看成一组,将兄弟二人年龄和看成一组,根据7倍和4倍,把两组年龄和之差统一为“6”.则1年前父母年龄和为“7”,兄弟年龄和为“1”,则4年后的父母年龄和为“8”,兄弟年龄和为“2”,则10岁为“1”,所以爸爸妈妈今年年龄和为72,所以妈妈今年36岁. 6.例题6 答案:28岁详解:如右图所示,根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍,设弟弟上幼儿园时年高 师高 高 师师过现将“1” “1”“1”339弟 哥弟 哥过 现“1”“2”“3” “2”龄为“1”,则哥哥获博士学位年龄为“7”,则现在弟弟年龄为“3”,哥哥年龄为“5”,两个人的年龄和为“8”,32岁,则“1”为4岁;那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁. 7.练习1答案:5年前;6年前详解:小高和父亲年龄差20岁,根据年龄差不变的性质,当父亲年龄是小高5倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“5”,差值为“4”,即20岁,则当小高5岁,父亲25岁时,父亲年龄是小高的5倍,这是在5年前;同理,当父亲年龄是小高6倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“6”,差值为“5”,即20岁,则“1”为4岁,小高为4岁,那是在6年前. 8.练习2 答案:30岁详解:设年龄差为“2”,则儿子今年年龄为“1”,母亲今年年龄为“3”,10年后,儿子年龄为“2”,母亲年龄为“4”,则“1”为10年,那么儿子今年10岁,母亲今年30岁. 9.练习3答案:亮亮36岁;叔叔48岁简答:方法同例3,画出线段图,设年龄差为“1”,发现“3”恰好是24岁到60岁,即36岁,则“1”为12岁,所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁. 10. 练习4答案:21岁简答:方法同例4,画出线段图,设姐姐像妹妹现在这么大时,妹妹年龄为“1”,姐姐年龄为“2”,年龄差为“1”,则现在妹妹年龄“2”,姐姐年龄为“3”,年龄和为“5”,即35岁,则“1”为7岁,所以姐姐现在21岁. 11. 作业1答案:2019年简答:两人年龄差为45936-=岁.张伯伯年龄是小聪的3倍时,小聪的年龄为()363118÷-=岁,这是在1899-=年后,为2019年. 12. 作业2答案:48岁简答:设年龄差是“3”.今年父亲的年龄是“4”,今年儿子的年龄是“1”,24年后儿子的年龄弟 哥弟 弟 哥哥过现 将 “2”“2”“2”“1”是“3”,父亲年龄是“6”.“1”份是12年,今年父亲的年龄是12448⨯=岁. 13. 作业3答案:12岁简答:当老二像老三那么大时,假设老三的年龄为“1”,则老二的年龄为“3”,老大的年龄为“4”,如下图所示.老三、老二的年龄差为“2”,则现在老三年龄为“3”,老二年龄为“5”,老大年龄为“6”,“1”为()283562÷++=岁.因此现在老大12岁,老二10岁,老三6岁. 14. 作业4答案:4岁简答:先根据父母年龄差2岁画出线段图,如下所示.从图中看出,由于爸爸比妈妈大2岁,所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁,比哥哥与妈妈年龄差大224+=岁,所以哥哥和弟弟年龄差为4岁.15. 作业5答案:19年后简答:设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”,则5年前兄弟年龄和为“1”,明年兄弟年龄和为“3”,相差的“2”相当于()51212+⨯=年,即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁,父母年龄和为61060⨯=岁,今年兄弟年龄和为65216+⨯=岁,父母年龄和为605270+⨯=岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为701654-=岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时,兄弟年龄和为()542154÷-=岁,是在()5416219-÷=年后.老三老二“1”“3”“2”“2”现在现在28岁老大“4”“2”现在爸爸 妈妈哥哥弟弟弟弟与妈妈年龄差弟弟与妈妈年龄差哥哥与爸爸年龄差 哥哥与爸爸年龄差70岁。

四年级上学期数学新思维-高斯求和

四年级上学期数学新思维-高斯求和

四年级上学期数学新思维(3)----高斯求和(一)情景导入:德国著名数学家高斯,被誉为”数学王子”。

在他童年时代,他就显露出聪明的才智。

有一天老师出了一道题让同学们计算:1+2+3+…+100=?当全班同学都在埋头计算时,10岁的小高斯已经计算出了答案。

你知道高斯是怎样计算出来的吗?高斯是这样计算的:1 +2+3+…+98+99+100100+99+98+…+3 + 2+ 1把上下两个数对应相加,结果上下两个对应的数的和相等,就转化为求100个101的和了。

因为求的是一个:1 +2+3+…+98+99+100的和,所以再除以2.具有什么特点的数,可以用这种办法求它们的和呢?不妨自己举几个数来研究一下。

当相邻两个数的差相等的时候,才能保证上下两个数的和相等,才可以转化为乘法来进行计算。

我们把相邻两个数的差相等的数排成一列,就叫做等差数列。

求1+2+3+…+98+99+100也就是求等差数列:1,2,3,……99,100的和。

下面我们就来研究等差数列的特点:(1)2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.(2)1,3,5,7,9,11,13.(3)2,4,6,8,10.12,14.(4)1,4,7,10,13,16,19.(5)2,6,10,14,18,22,26.末项:第2项=第1项+公差第3项=第1项+2个公差第4项=第1项+3个公差………末项=首项+(项数-1)×公差项数:(末项-首项)÷公差+1【例1】计算:1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20解:1﹢2﹢3﹢4﹢…﹢19﹢20=(1+20)×20÷2=210【例2】计算:4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31解:4﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31项数:(31-4)÷3+1=104﹢7﹢10﹢13﹢…﹢28﹢31=(4+31)×10÷2=175【例3】计算:1456-1-3-5-7-…-37-39 计算:1+3+5+7+…+37+39的时候,项数是多少?解:1456-1-3-5-7-…-37-39=1456-(1+3+5+7+…+37+39)=1456-(1+39)×20÷2=1456-4001056【例4】计算:3﹢7﹢11﹢15﹢…(共有20项)末项=3+19×4 3+(20-1)×4=79 =3+19×4=79解:3﹢7﹢11﹢15﹢…(共有20项)=(3﹢79)×20÷2=820【例5】计算:200-199﹢198-197﹢196-195﹢…-3﹢2-1解:200-199﹢198-197﹢196-195﹢…-3﹢2-1=(200-199)﹢(198-197)﹢(196-195)﹢…+(4-3)﹢(2-1)=1×100=100。

高斯收敛问题

高斯收敛问题

高斯收敛问题首先,我们必须理解收敛是什么意思。

在自洽场(SCF)计算中,自洽循环中,首先产生一个轨道占据的初始猜测,1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。

2)对角化哈密顿量,得到新的轨道能级和占据。

3)产生新的电荷分布和哈密顿量,重复步骤2)经过一定次数的循环后,某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准,我们称之为收敛。

如果以上过程不能收敛,则gaussian给出convergence failure的警告。

如果SCF计算收敛失败,你首先会采取哪些技巧呢?这里是我们强烈推荐的首选方法。

1 考虑使用更小的基组由于一定的基组对应于一定精度和速度,所以更换基组并不在所有的情况下都适用。

方法是首先用小基组进行计算,由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。

2 增加最大循环步数Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512),如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。

在一定的情况下,不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。

可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。

更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N),其中N是迭代数)。

这很少有帮助,但值得一试。

3 放宽收敛标准如果接近SCF但未达到,收敛标准就会放松或者忽略收敛标准。

这通常用于不是在初始猜测而是在平衡结构收敛的几何优化。

SCF=Sleazy放松收敛标准,Conver选项给出更多的控制。

在Gaussian中设置收敛标准的命令行是Conv=8 表示10-8,你可以将这个标准降低,比如改为10-5等等。

微调结构是比较有效的方法,能量收敛标准不宜太低,最好不低于10-7. 4尝试改变初始构型首先略微减小键长,接下来略微增加键长,接下来再对结构作一点改变。

5 尝试能级移动Level shifting (SCF=Vshift)如果不收敛的原因是波函数的震荡行为,通常是因为在相近的能量上的泰的混合。

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

高斯小学奥数四年级上册含答案第14讲_年龄问题

第十四讲年龄问题在与年龄有关的应用题中,年龄一般只与年份有关,比如某人在2012年是30岁,那么他在2013年一定是31岁,不用具体考虑他今年是否已经过完生日.这类应用题中,给出的条件一般是两个人或者多个人的具体年龄或者他们年龄之间的和差倍关系.所以年龄问题其实就是一类特殊的和差倍问题.与其他和差倍问题相同,年龄问题也可以通过画线段图来分析,但和其他和差倍相比,年龄问题中时常包含着一些隐藏条件,需要大家格外关注.我们先来看一下只与两个人的年龄有关的几类问题.例题1今年小高12岁,他父亲42岁,请问:多少年后,父亲年龄是小高的2倍?多少年前,父亲年龄是小高的4倍?「分析」小高和父亲的年龄差是不变的,怎么把年龄差与年龄的倍数关系联系起来呢?练习1今年小高10岁,他父亲30岁,请问:多少年前,父亲年龄是小高的5倍?多少年前,父亲年龄是小高的6倍?对于两个人来说,每过一年,两个人的年龄都会增长一岁,但是他们的年龄差不变.抓住这一不变量,很多问题就可以迎刃而解了.例题2今年爸爸的年龄是儿子的4倍,4年以后,爸爸年龄就只有儿子的3倍,请问今年爸爸、儿子各几岁?「分析」父子年龄的倍数关系发生了变化,是一个典型的变倍问题,其中的不变量是什么呢?把不变量设为几份呢?练习2今年,母亲年龄是儿子年龄的3倍;10年后,母亲年龄是儿子年龄的2倍.请问:今年母亲的年龄是多少岁?年龄问题中,我们有时需要比较两个人在不同时间的年龄.对这类问题,我们仍然像解决基本和差倍问题一样,画出线段图来.例题3小高问师傅多少岁,师傅说:“当我像你这么大时,你刚3岁;当你像我这么大时,我已经39岁了.”请问:师傅和小高现在分别多少岁?「分析」本题中过去、现在、将来的时间都出现了,你能在一个图里把这些时间都表示出来吗?练习3叔叔对亮亮说:“当你像我这么大的时候,我已经60岁了;当我像你这么大的时候,你才24岁.”请问:亮亮和叔叔今年各多少岁?例题4兄弟现在两个年龄之和是32岁,当哥哥像弟弟现在这么大时,哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍.请问:哥哥现在多少岁了?「分析」这个题目中只有现在和过去,应该先画哪个时间点呢?和差倍问题,有倍数我们就要优先画出倍数关系.练习4小姐妹两个现在年龄之和是35岁.当姐姐是妹妹现在这么大时,姐姐当时的年龄是当时妹妹年龄的2倍.请问:姐姐现在的年龄是多少?例题51年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍.已知爸爸和妈妈同岁,妈妈今年多少岁?「分析」这是关于父母年龄和与兄弟年龄和的变倍问题,我们是不是应该把父母二人分成一组,兄弟二人分成另一组来计算呢?例题6哥哥对弟弟说:“你长到我这么大的时候,我恰好获得博士学位;我在你这么大的时候,你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32岁,哥哥获得博士学位时的年龄是弟弟上幼儿园时年龄的7倍,请问:哥哥获得博士学位时的年龄是多少岁?「分析」和差倍问题,有倍数时要优先画倍数.你可以根据兄弟年龄的倍数关系以及“两个人年龄差不变”画出线段图吗?课堂内外年龄“外号”知多少总角:指童年.语出《诗经》,如《诗·卫风·氓》“总角之宴”.垂髫(chuí tiáo):指童年.古时童子未冠,头发下垂,因而以“垂髫”代指童年.束发:指青少年.一般指15岁左右,这时应该学会各种技艺.及笄(jí jī):指女子15岁.语出《礼记·内则》“女子……十有五年而笄”.待年:指女子成年待嫁,又称“待字”.弱冠:指男子20岁.语出《礼记·曲礼上》“二十曰弱,冠”.古代男子20岁行冠礼,表示已经成年.而立:指30岁.语出《论语·为政》“三十而立”.以后称三十岁为“而立”之年.不惑:指40岁.语出《论语·为政》“四十而不惑”.以后用“不惑”作40岁的代称.艾:指50岁.语出《礼记·曲礼上》“五十曰艾”.老年头发苍白如艾.花甲:指60岁.以天干地支名号错综参互而得名.古稀:指70岁.语出杜甫《曲江》诗:“酒债寻常行处有,人生七十古来稀.”皓首:指老年,又称“白首”.黄发:指长寿老人.语出《诗经》,如《诗·鲁颂·宫》“黄发台背”.老人头发由白转黄.鲐背:指长寿老人.语出《诗经》,如《诗·大雅·行苇》“黄台背”,“台”与“鲐”通用.耄:古称大约七十至九十岁的年纪.老夫耄矣,无能为也.――《左传·隐公四年》养.作业1.2010年张伯伯45岁,小聪9岁,那么在哪一年张伯伯的年龄是小聪的3倍?2.今年,父亲年龄是儿子年龄的4倍;24年后,父亲年龄是儿子年龄的2倍.今年父亲多少岁?3.李家有三兄弟,老大、老二、老三.当老二像老三那么大时,老二的年龄是老三的3倍,老大的年龄是老二、老三的年龄之和.已知现在三兄弟年龄之和为28岁,现在老大多少岁?4.哥哥对弟弟说:“当我到爸爸现在的年龄时,爸爸就70岁了.”弟弟又对哥哥说:“当我到妈妈现在的年龄时,妈妈也70岁了.”已知爸爸比妈妈大2岁,那么哥哥比弟弟大多少岁?5.5年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的10倍,明年父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍,那么从今年起多少年后父母的年龄和是兄弟二人年龄和的2倍?第十四讲 年龄问题1.例题1答案:18年后;2年前详解:小高和父亲年龄差30岁,根据年龄差不变的性质,当父亲年龄是小高2倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“2”,差值为“1”,即30岁,则当小高30岁,父亲60岁时,父亲年龄是小高的2倍,这是在18年后;同理,当父亲年龄是小高4倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“4”,差值为“3”,即30岁,则“1”为10岁,小高为10岁,那是在2年前. 2.例题2答案:儿子8岁;爸爸32岁详解:设年龄差为“6”,则儿子今年年龄为“2”,爸爸今年年龄为“8”,4年后,儿子年龄为“3”,爸爸年龄为“9”,则“1”为4年,那么儿子今年8岁,爸爸今年32岁. 3.例题3答案:小高15岁;师傅27岁详解:画“过去、现在、将来”图,如右图所示.设年龄差为“1”,发现“3”恰好是3岁到39岁,即36岁,则“1”为12岁,所以现在小高和师傅分别是15岁和27岁. 4.例题4 答案:20岁详解:画出“过去、现在”图,如右图所示.设哥哥像弟弟现在这么大时,弟弟年龄为“1”,哥哥年龄为“3”,年龄差为“2”,则现在弟弟年龄“3”,哥哥年龄为“5”,年龄和为“8”,即是32岁,则“1”为4岁,所以哥哥现在20岁. 5.例题5 答案:36岁详解:将父母年龄和看成一组,将兄弟二人年龄和看成一组,根据7倍和4倍,把两组年龄和之差统一为“6”.则1年前父母年龄和为“7”,兄弟年龄和为“1”,则4年后的父母年龄和为“8”,兄弟年龄和为“2”,则10岁为“1”,所以爸爸妈妈今年年龄和为72,所以妈妈今年36岁. 6.例题6 答案:28岁详解:如右图所示,根据7倍可得年龄差是弟弟上幼儿园时年龄的2倍,设弟弟上幼儿园时年高 师高 高 师师过现将“1” “1”“1”339弟 哥弟 哥过 现“1”“2”“3” “2”龄为“1”,则哥哥获博士学位年龄为“7”,则现在弟弟年龄为“3”,哥哥年龄为“5”,两个人的年龄和为“8”,32岁,则“1”为4岁;那么哥哥获得博士学位的年龄为28岁. 7.练习1答案:5年前;6年前详解:小高和父亲年龄差20岁,根据年龄差不变的性质,当父亲年龄是小高5倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“5”,差值为“4”,即20岁,则当小高5岁,父亲25岁时,父亲年龄是小高的5倍,这是在5年前;同理,当父亲年龄是小高6倍时,设小高年龄为“1”,父亲年龄为“6”,差值为“5”,即20岁,则“1”为4岁,小高为4岁,那是在6年前. 8.练习2 答案:30岁详解:设年龄差为“2”,则儿子今年年龄为“1”,母亲今年年龄为“3”,10年后,儿子年龄为“2”,母亲年龄为“4”,则“1”为10年,那么儿子今年10岁,母亲今年30岁. 9.练习3答案:亮亮36岁;叔叔48岁简答:方法同例3,画出线段图,设年龄差为“1”,发现“3”恰好是24岁到60岁,即36岁,则“1”为12岁,所以现在亮亮和叔叔分别是36岁和48岁. 10. 练习4答案:21岁简答:方法同例4,画出线段图,设姐姐像妹妹现在这么大时,妹妹年龄为“1”,姐姐年龄为“2”,年龄差为“1”,则现在妹妹年龄“2”,姐姐年龄为“3”,年龄和为“5”,即35岁,则“1”为7岁,所以姐姐现在21岁. 11. 作业1答案:2019年简答:两人年龄差为45936-=岁.张伯伯年龄是小聪的3倍时,小聪的年龄为()363118÷-=岁,这是在1899-=年后,为2019年. 12. 作业2答案:48岁简答:设年龄差是“3”.今年父亲的年龄是“4”,今年儿子的年龄是“1”,24年后儿子的年龄弟 哥弟 弟 哥哥过现 将 “2”“2”“2”“1”是“3”,父亲年龄是“6”.“1”份是12年,今年父亲的年龄是12448⨯=岁. 13. 作业3答案:12岁简答:当老二像老三那么大时,假设老三的年龄为“1”,则老二的年龄为“3”,老大的年龄为“4”,如下图所示.老三、老二的年龄差为“2”,则现在老三年龄为“3”,老二年龄为“5”,老大年龄为“6”,“1”为()283562÷++=岁.因此现在老大12岁,老二10岁,老三6岁. 14. 作业4答案:4岁简答:先根据父母年龄差2岁画出线段图,如下所示.从图中看出,由于爸爸比妈妈大2岁,所以弟弟与妈妈年龄差比哥哥与爸爸年龄差大2岁,比哥哥与妈妈年龄差大224+=岁,所以哥哥和弟弟年龄差为4岁.15. 作业5答案:19年后简答:设父母年龄和与兄弟年龄和之差为“9”,则5年前兄弟年龄和为“1”,明年兄弟年龄和为“3”,相差的“2”相当于()51212+⨯=年,即“1”相当于6年.5年前兄弟年龄和为6岁,父母年龄和为61060⨯=岁,今年兄弟年龄和为65216+⨯=岁,父母年龄和为605270+⨯=岁,父母年龄和与兄弟年龄和之差为701654-=岁.当父母年龄和是兄弟年龄和的2倍时,兄弟年龄和为()542154÷-=岁,是在()5416219-÷=年后.老三老二“1”“3”“2”“2”现在现在28岁老大“4”“2”现在爸爸 妈妈哥哥弟弟弟弟与妈妈年龄差弟弟与妈妈年龄差哥哥与爸爸年龄差 哥哥与爸爸年龄差70岁。

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句型学习
语言知识强化训练模块(一课时)
学生3:我最害怕的是站起来回答问题。
语言知识强化训练模块(一课时)
(2)句型“谁……,谁……”: 前半句是一个假设,后半句说明它的结 果。第一个“谁”表示任指,即某一个人; 后一个“谁”是指代“他”的意思。两个 “谁”之间表示照应。
(2)高斯小时候生活在乡村。 (3)高斯上小学的时候喜欢做游戏。
(4)4.穷乡村里的孩子很笨。
课文一(第一课时)
根据课文内容判断正误
(5)数学老师上课时都会带上教鞭。 (6 )老师上课时会让学生在讲台罚站。 (7) 大家只有做完老师的题,才能吃饭。
课文一(第一课时)
朗读课文
1.听录音,跟读课文 第1-6自然段。 2.自读课文。 3.抽读课文。
课文一(第一课时)
课后作业
1.带有情感地、流利地朗读课文第1-6 自然段。
作业布置
2.用自己的话分别写出你了解到的高斯 和数学老师。
课文一(第二课时)
按小组朗读课文1-3段,集体或小 组代表朗读学生自己评价,哪个小组 读得最好。
抽查朗读
课文一(第二课时)
深入学习课文
小组中带着问题阅读理解课文,讨论交流。 1.老师为什么在课堂上看小说? 2.当学生走上讲台时,老师为什么举起 了教鞭? 3.高斯是怎样算出正确答案的? 4.老师喜欢高斯后,有了什么变化?对 他有什么影响? 5.文章最后为什么说“高斯就像放到水 里的鱼儿一样”?
课后作业
1用所学的词语造句。
作业布置
2.用所学的句型造句。
《汉语》 五年级上册
话题交际(一课时)
话题交际(一课时)

高斯不收敛问题

高斯不收敛问题

首先,我们必须理解收敛是什么意思。

在自洽场(SCF)计算中,自洽循环中,首先产生一个轨道占据的初始猜测,1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。

2)对角化哈密顿量,得到新的轨道能级和占据。

3)产生新的电荷分布和哈密顿量,重复步骤2)经过一定次数的循环后,某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准,我们称之为收敛。

如果以上过程不能收敛,则gaussian给出convergence failure的警告。

如果SCF计算收敛失败,你首先会采取哪些技巧呢?这里是我们强烈推荐的首选方法。

1 考虑使用更小的基组由于一定的基组对应于一定精度和速度,所以更换基组并不在所有的情况下都适用。

方法是首先用小基组进行计算,由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。

2 增加最大循环步数Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512),如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。

在一定的情况下,不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。

可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。

更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N),其中N是迭代数)。

这很少有帮助,但值得一试。

3放宽收敛标准如果接近SCF但未达到,收敛标准就会放松或者忽略收敛标准。

这通常用于不是在初始猜测而是在平衡结构收敛的几何优化。

SCF=Sleazy放松收敛标准,Conver选项给出更多的控制。

在Gaussian中设置收敛标准的命令行是Conv=8 表示10-8,你可以将这个标准降低,比如改为10-5等等。

微调结构是比较有效的方法,能量收敛标准不宜太低,最好不低于10-7. 4尝试改变初始构型首先略微减小键长,接下来略微增加键长,接下来再对结构作一点改变。

5尝试能级移动Level shifting (SCF=Vshift)如果不收敛的原因是波函数的震荡行为,通常是因为在相近的能量上的泰的混合。

四年级高思奥数之最值问题一含答案

四年级高思奥数之最值问题一含答案

第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量,有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形.和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.典型问题兴趣篇1.3个连续奇数相乘,所得乘积的个位数字最小可能是多少?2. 用1、2、4可以组成6个没有重复数字的三位数,这些三位数中相差最小的两个数之差是多少?3. 用24根长l厘米的火柴棒围成一个矩形,这个矩形的面积最大是多少?如果用22根火柴棒呢?4.三个自然数的和是19,它们的乘积最大可能是多少?5.(1)请将l、2、3、4填人算式“口口×口口”的方格中.要使得算式结果最大,应该怎么填?(2)请将1、2、3、4、5、6填人算式“口口口×口口口”的方格中.要求5、6分别填在百位,4、3分别填在十位,1、2分别填在个位,并使得算式结果最大.应该怎么填?6. 在图23-1的中间圆圈内填一个数,计算每一条线段两端的数之差(大减小),然后把这3个差数相加,所得的和最小是多少?7. 在所有包含3个相同数码的四位数中,与1389之差(大减小)最小的一个是多少?8. 把1、2、3、4、5、6填人算式“□□□-□□□”的空格中,要求前一个三位数比后一个三位数大.这个减法算式的结果最大可能是多少?最小可能是多少?9. 一个自然数是由数字8、9组成的,它的任意相邻两位都可以看成一个两位数,并且这些相邻数字组成的两位数都不相等.请问:满足条件的自然数最大是多少?10. 有7个盘子排成一排,依次编号为1,2,3,…,7.每个盘子中都放有若干玻璃球,一共放了80个.其中1号盘里放了18个玻璃球,并且任意编号相邻的3个盘子里放的玻璃球数之和都相等.请问:第6个盘子中最多可能放了多少个玻璃球?拓展篇1.3个连续自然数相乘,所得乘积的个位数字最大可能是多少?2. (1)在五位数12435的某一位数字后面再插入一个同样的数字(例如:可以在2的后面插入2得到122435),这样得到的六位数最大可能是多少?(2)在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字,这样得到的八位数最小是多少?3.有9个同学要进行象棋比赛.他们准备分成两组,不同组的人相互之间只比赛一场,同组的人之间不比赛.他们一共最多能比赛多少场?4.3个互不相同的自然数之和是17,它们的乘积最大可能是多少?5.请将2、3、4、5、6、8填人算式“口口口×口口口”的方格中.要使得算式结果最大,应该怎么填?6.请将6、7、8、9填人算式“口×口+口口”的方格中.要使得算式结果最大,应该怎么填?7.在图23-2的中间圆圈内填一个数,计算每一条线段两端的数之差(大减小),然后把这5个差数相加,所得的和最小是多少?8.如果7个互不相同的自然数之和为100,那么其中最小的数最大可能是多少?最大的数最小可能是多少?9.一个多位数的各位数字互不相同,而且各位数字之和为23.这样的多位数最小可能是多少?最大可能是多少?10.黑板上写着l,2,3,4,…,10各一个.小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再写上它们的平均数.最后当黑板上只剩下一个自然数时,这个数最大可能是多少?11.如图23-3,这是一个正方体的展开图.将它折成一个正方体后,相交于同一顶点的3个面上的数之和最大是多少?12.如图23-4,在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁,它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点,去搬运一块食物.为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短,它应该怎么爬行?它可以选择的最短路线一共有几条?超越篇1.一个两位数除以它的各位数字之和,余数最大是多少?2.4个小朋友,每人的体重都是整数千克,而且其中任意3人体重之和都大于99千克.这4个小朋友体重之和最小是多少千克?3.将1至30依次写成一排:123…2930,形成一个多位数.从这个多位数中划掉45个数字,剩下的数最大是多少?如果要求剩下的数首位不为0,这个数最小是多少?4.用1、2、3、4、6、7、8、9这8个数字组成2个四位数,使这2个数的差最小(大减小),这个差最小是多少?5.将2至8这7个自然数填入算式“口口×口口一口口÷口”的方格中.如果算式的计算结果为整数,那么这个结果最大是多少,最小是多少?6.如图23-5,一只木箱的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、4厘米.有一只甲虫从A点出发,沿棱爬行,每条棱只允许爬一次.甲虫最多能爬行多少厘米?如果要求甲虫最后回到A点,那么它最多能爬行多少厘米?7.如图23-6,黑板上写有一个三位数减三位数的算式,其中首位已经确定.接下来,甲每次报一个数字,乙就把它放入四个方框中的一个,甲要使得差尽量大,乙要使得差尽量小,如果两人都使用最佳的策略,那么最后的差是多少?8.一栋大楼共33层,电梯停在第1层,现在有32个人分别要去第2层、第3层……第33层,他们可以选择坐电梯或者走楼梯.有一天电梯坏了,电梯只能在某一层停,每个人可以选择走楼梯上楼或乘电梯到这一层再走楼梯.每个人上一层楼梯会有3份不满意,下一层楼梯会有1份不满意.请问:电梯停在哪一层,才能使得所有人不满意的总份数最小?第23讲最值问题一内容概述求最大值与最小值的问题,解题时宜首先考虑起主要作用的量,有时还需要局部调整或者枚举各种可能情形.和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小.典型问题兴趣篇1.3个连续奇数相乘,所得乘积的个位数字最小可能是多少?答案:3分析:乘积的个位数字是由这三个奇数的个位数字决定的。

奥数教案 第一章 高斯算法

奥数教案 第一章 高斯算法

第一章 高斯算法内容精要德国有一位世界著名的数学家叫高斯(1777-1855),他上学时,老师出了一道数学题:1+2+3+…+100=?小高斯看了看题目,想了一下,很快说出了结果是5050。

他的同学无不为之惊奇,甚至还有的同学以为他在瞎说。

但小高斯得出的结果被确定是正确的。

同学们,你们知道他是怎么算出来的吗?原来小高斯在认真审题的基础上,根据题的特点,发现了这样的有趣现象:1+100=101,2+99=101,3+98=101,…,50+51=101一共有多少个101呢?100个数,每两个数是一对,共有50对,即共有50个101,所以1+2+3+…+100=1015051509839921001个共)()()()(++⋯++++++ =101⨯50也就是:(1+100)⨯(100÷2)=101⨯50=5050由此,归纳出一个公式,是总和=(首项+末项)⨯项数÷2注:在数学上,人们把1~100这些数中的每一个数都叫做一个项,并把这样的一串数称作等差数列。

这就是“高斯算法”的公式。

有了它,好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。

例1计算:6000-1-2-3-…-99-100分析可先利用减法的性质,把原题变为6000-(1+2+3+…+99+100),然后再利用高斯求和公式计算。

解:6000-1-2-3-…-99-100=6000-(1+2+3+…+99+100)=6000-(1+100)⨯100÷2=6000-5050=950例21+2+3-4+5+6+7-8+9+…+25+26+27-28=分析:仔细观察这个算式,发现他很有规律地出现着一些“减数”。

因此,计算时应特别细心。

再此介绍三种解法。

解法一可这样想:开始我们把减数当成加数来算了,所以后来应减去这些减数的2倍。

解法二可这样想:四个数为1组,28个数即可分成7组。

所以项数是7。

<解法一>变减为加,整体推算。

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五年級(繁體)下冊《高斯求和》
姓名:班別:日期:得分:
高斯求和
德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人,上學時,有一天老師出了一道題讓同學們計算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老師出完題後,全班同學都在埋頭計算,小高斯卻很快算出答案等於5050。

高斯為什麼算得又快又准呢?原來小高斯通過細心觀察發現:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

1~100正好可以分成這樣的50對數,每對數的和都相等。

於是,小高斯把這道題巧算為
(1+100)×100÷2=5050。

小高斯使用的這種求和方法,真是聰明極了,簡單快捷,並且廣泛地適用於“等差數列”的求和問題。

若干個數排成一列稱為數列,數列中的每一個數稱為一項,其中第一項稱為首項,最後一項稱為末項。

後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列,後項與前項之差稱為公差。

例如:
(1)1,2,3,4,5, (100)
(2)1,3,5,7,9, (99)
(3)8,15,22,29,36, (71)
其中(1)是首項為1,末項為100,公差為1的等差數列;(2)是首項為1,末項為99,公差為2的等差數列;(3)是首項為8,末項為71,公差為7
的等差數列。

由高斯的巧算方法,得到等差數列的求和公式:
和=(首項+末項)×項數÷2。

例1 1+2+3+…+1999=?
分析與解:這串加數1,2,3,…,1999是等差數列,首項是1,末項是1999,共有1999個數。

由等差數列求和公式可得
原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

注意:利用等差數列求和公式之前,一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列。

例2 11+12+13+…+31=?
分析與解:這串加數11,12,13,…,31是等差數列,首項是11,末項是31,共有31-11+1=21(項)。

原式=(11+31)×21÷2=441。

在利用等差數列求和公式時,有時項數並不是一目了然的,這時就需要先求出項數。

根據首項、末項、公差的關係,可以得到
項數=(末項-首項)÷公差+1,
末項=首項+公差×(項數-1)。

例3 3+7+11+…+99=?
分析與解:3,7,11,…,99是公差為4的等差數列,
項數=(99-3)÷4+1=25,
原式=(3+99)×25÷2=1275。

例4 求首項是25,公差是3的等差數列的前40項的和。

解:末項=25+3×(40-1)=142,
和=(25+142)×40÷2=3340。

利用等差數列求和公式及求項數和末項的公式,可以解決各種與等差數列求和有關的問題。

例5 在下圖中,每個最小的等邊三角形的面積是12釐米2,邊長是1根火柴棍。

問:(1)最大三角形的面積是多少平方釐米?(2)整個圖形由多少根火柴棍擺成?
分析:最大三角形共有8層,從上往下擺時,每層的小三角形數目及所用火柴數目如下表:
由上表看出,各層的小三角形數成等差數列,各層的火柴數也成等差數列。

解:(1)最大三角形面積為
(1+3+5+…+15)×12
=[(1+15)×8÷2]×12
=768(釐米2)。

(2)火柴棍的數目為
3+6+9+…+24
=(3+24)×8÷2=108(根)。

答:最大三角形的面積是768釐米2,整個圖形由108根火柴擺成。

例6 盒子裏放有三隻乒乓球,一位魔術師第一次從盒子裏拿出一隻球,將它變成3只球後放回盒子裏;第二次又從盒子裏拿出二隻球,將每只球各變成3只球後放回盒子裏……第十次從盒子裏拿出十隻球,將每只球各變成3只球後放回到盒子裏。

這時盒子裏共有多少只乒乓球?
分析與解:一隻球變成3只球,實際上多了2只球。

第一次多了2只球,第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。

因此拿了十次後,多了
2×1+2×2+…+2×10
=2×(1+2+ (10)
=2×55=110(只)。

加上原有的3只球,盒子裏共有球110+3=113(只)。

綜合列式為:
(3-1)×(1+2+…+10)+3
=2×[(1+10)×10÷2]+3=113(只)。

練習3
1.計算下列各題:
(1)2+4+6+ (200)
(2)17+19+21+ (39)
(3)5+8+11+14+ (50)
(4)3+10+17+24+ (101)
2.求首項是5,末項是93,公差是4的等差數列的和。

3.求首項是13,公差是5的等差數列的前30項的和。

4.時鐘在每個整點敲打,敲打的次數等於該鐘點數,每半點鐘也敲一下。

問:時鐘一晝夜敲打多少次?
5.求100以內除以3餘2的所有數的和。

6.在所有的兩位數中,十位數比個位數大的數共有多少個?
答案與提示練習
1.(1)10100;(2)336;(3)440;(4)780。

2.1127。

提示:項數=(93-5)÷4+1=23。

3.2565。

提示:末項=13+5×(30-1)=158。

4.180次。

解:(1+2+…+12)×2+24=180(次)。

5.1650。

解:2+5+8+…+98=1650。

6.45個。

提示:十位數為1,2,…,9的分別有1,2,…,9個。

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