§1.4 命题的四种形式及等价关系
1.4(2)命题的形式及等价关系
当证明某个命题比较困难时，可以证明它 的逆否命题来代替证明原命题．
例、已知BD、CE分别是ABC的B、C的角 平分线，BD CE，求证：AB AC．
“正难则反”
1、写出所要证明命题的逆否命题； 2、证明所写的逆否命题； 3、结论：“由于逆否命题正确，所以原命题正确”．
课堂小结：
原命题
否命题： 若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数。 真 逆否命题： 若a、b不都是偶数，则a+b不是偶数。 假
原命题：能被4整除的数，一定能被2整除 真 逆命题： 如果一个数能被2整除，那么一定能被4整除 假
否命题：不能被4整除的数，一定不能被2整除 假
逆否命题： 如果一个数不能被2整除，那么一定不能被4整除 真
x 1
x 1
x 1
x、y都为零. x、y都不为零.
x、y至多有一个为零. x、y至少有一个为零.
任意的实数的绝对值非负. 存在一个实数，它绝对值是负数
原命题: 若x=1, 则（x-1)(x-2)=0
真
逆命题： 若（x-1)(x-2)=0, 则x=1
否命题： 若x
假
1, 则（x-1)(x-2)
“一定是”否定“一定不是”
“Hale Waihona Puke ”“是”“都是”“或”
“不是”
“不都是”
“至少有一个是”
“都不是” “至少有一个”
“一个也没有”
等价命题
一般地,原命题和它的逆否命题同真同假； 逆命题和否命题同真同假．
互为逆否的两个命题同真同假． 1、若Ａ、Ｂ两个命题， B A， A B，
例如：甲：“ A B B” 即：甲 乙 乙：“A B”
若X Y 或Y Z或X Z , 则( X Y )2 (Y Z )2 ( X Z )2 0 真
1.4 命题的形式及等价关系
真
真 真
真
问题思考
• 原命题：若a=0,
则ab=0.
真
• 逆命题：若ab=0, 则a=0. • 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0. • 逆否命题：若ab≠0,则a≠0.
假
假
真
问题思考
• 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2 . • 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b. • 否命题：若a≤b, 则ac2≤bc2 . • 逆否命题：若ac2≤bc2, 则a≤b .
原命题：如果 ，那么 逆命题：如果 ，那么 否命题：如果 ，那么 逆否命题：如果，那么
知识讲解
例2 试写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其 真假.
命题A：如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
命题B：如果一个三角形两边相等，那么两边所对的角 也相等.
知识讲解
注意：
1、要写出一个命题的另外三个命题,关键是分清命题
与 (x-a)(x-b)≠0矛盾,
x=b 时,_________________, (x-a)(x-b)=0 又_________
与(x-a)(x-b)≠0矛盾,所以假设不成立,
x ≠a且x ≠b 。 从而_________________
知识总结
1. 命题与推出关系 真命题： α=>β
原 命题
互逆
如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不互相平分 条件α 原命题的否命题 结论β
知识讲解
二、四种命题形式
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分. 条件α 结论β
原命题
如果一个四边形的对角线不互相平分，那么它不是平行四边形 条件β 原命题的逆否命题 结论α
命题的形式及等价关系
根据命题正确与否，我们将命题分为真命题和假命题
一. 命题的概念 1. 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B；
通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在
句中 2.
命题可以由条件和结论两部分组成
可以表示成：如果……，那么…… 若…… ，则……
反证法的证明思路： 证明命题p是真命题 要证明命题p成立，即证明非p不成立 理论依据
反证法的证明过程： 先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
反证法的证明过程：
先假设非p成立，依据已经学过的公理、定理进行推理，推 出与已知或公理矛盾，这样就说明假设不成立，即p成立
判断下列命题的真假并说明理由：
1.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0满足 ac 0 ，
那么这个方程有实数根。
由ac 0 ac 0 4ac 0 b2 4ac 0 这个方程有实数根 所以该命题是真命题
2.如果一元二次方程 ax2 bx c 0a 0有实根，
§1.4 命题的形式及等价关系
一. 命题的概念 命题是表示判断的语句.
基本形式：A是B，或A不是B； 通常用陈述句表示.
注意：“是”和“不是”不一定出现在 句中
判断下列语句哪些是命题，哪些不是命题
（1）个位数为5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）你是高一学生吗？ （6）奇数和奇数相加是偶数
1. 命题是表示判断的语句.
2. 命题可以由条件和结论两部分组成 3. 命题的分类 4. 推出关系
1.4(2)命题的形式及等价关系
4.等价关系
若 且 ，则
5.推出关系满足传递性
若 1 , 1 2 , 2 3 , 则
, n ，
四种命题之间的相互的关系
1.互为逆命题:如果一个命题的条件和结论 是另一个命题的结论和条件. 其中一个命题为原命题另一个命题为逆命题 原命题：“两个全等三角形的面积相等” 原命题：如果两个三角形是全等三角形，那么 这两个三角形的面积相等。 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这 两个三角形是全等三角形。
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
结 论 1
原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 否命题：若a ≤ b，则a+c ≤ b+c 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
原命题：如果 ，那么 否命题：如果 ，那么
四种命题之间的相互的关系
3.互为逆否命题:如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论否定和条件否定. 其中一个命题为原命题另一个命题为逆否命题 原命题：如果两个三角形是全等三角形，那么 这两个三角形的面积相等。
逆否命题：如果两个三角形的面积不相等，那么 这两个三角形不是全等三角形。
原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a ≤ b，则ac2≤bc2
假 真
原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
假
1.4 命题的形式及等价关系 2：四种命题形式
命题的否定形式是对命题的结论加以否定，即命题的“非P” 形式，而否命题是对一个命题的条件和结论都加以否定。能 否正确写一个命题的否命题的关键，是能否将命题中的关键 词语写成它的否定词语。
例1.试写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断其真假。
1.命题：如果两个三角形全等，那么它们 的面积相等。
2.命题：对顶角相等。
• 例3. 已知命题“两个有理数的和是有理数”。 • 写出上述命题的逆命题、否命题、逆否命题； • 判断上述四种命题的真假，并说明理由。
原命题：如果两个数都是有理数， 那么这两个数的和是有理数。 逆命题：如果两个数的和是有理数，
真 假 假 真
那么这两个数是有理数。
否命题：如果两个数不都是有理数， 那么这两个数的和不是有理数。 逆否命题：如果两个数的和不是有理数， 那么这两个数不都是有理数。
1.4命题的形式 及等价关系
2.四种命题形式
一、引入：
• 命题1）：如果四边形内接与圆，那么 四边形的对角互补。 • 命题2）：如果四边形的对角互补，那 么四边形内接与圆。 • 命题3）：如果四边形不内接与圆，那 么四边形的对角不互补。 • 命题4）：如果四边形的对角不互补， 那么四边形不内接与圆。
二、四种命题的形式
原命题 :如果，那么 . 逆命题 :如果，那么 否命题：如果 ，那么 逆否命题：如果 ，那么
**:
表示p的否定形式：不是p；非p。
命题的否定形式与否命题是不同的
1、命题写成如果 ，那么 。 表示命题 的否定形式。 2、否命题：如果
，那么
例2.设命题为“若m>0，则关于x的方程
x x m 0 有实数根 。”试写出它
2
1.4 命题的形式及等价关系
1.4 命题的形式及等价关系考点诠释1.命题：可以判断真假的语句叫做命题。
2.四种命题（1）四种命题：原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ； 否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p 。
（2）四种命题之间的相互关系若 则否命题原命题若 则若 则逆否命题互 逆互 逆互 为互为逆 否逆否互 否互 否q p 若 则逆命题q p q p q p这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题。
3.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。
例题精析例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若1≤q ，则方程022=++q x x 有实根； （2）若y x ,都是奇数，则y x +是偶数； （3）若0=xy ，则00==y x 或思维引领本题考查四种命题及其真假判断。
.精辟分析（1）原命题是真命题；逆命题：若方程022=++q x x 有实根，则1≤q 是真命题； 否命题：若1>q ，则方程022=++q x x 无实根，是真命题； 逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则1>q 是真命题； （2）原命题是真命题；逆命题：若y x +是偶数，则y x ,都是奇数，是假命题； 否命题：若y x ,不都是奇数，则y x +不是偶数，是假命题； 逆否命题：若y x +不是偶数，则y x ,不都是奇数，是真命题； （3）原命题为真命题；逆命题：若00==y x 或，则0=xy ，是真命题； 否命题：若0≠xy ，则00≠≠y x 且，是真命题； 逆否命题：若00≠≠y x 且，则0≠xy ，是真命题；方法规律总结（1）“原命题”与“逆否命题”同真同假．．．．，“逆命题”与“否命题”同真同假．．．．，但“互逆”或“互否”的命题真假性未必相同。
高考数学四种命题及其相互关系知识点汇总
高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总数学课本中毁灭的四种命题的内容经常在高考选择题中考察，下面是学习啦我给大家带来的高考数学四种命题及其相互关系学问点汇总，期望对你有关怀。
高考数学四种命题及其相互关系学问点(一)1、四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用或分别表示p和q的否认，四种命题的形式是：(1)原命题：若p则q;(2)逆命题：若q则p;(3)否命题：若则;(4)逆否命题：若则。
2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的;3、四种命题的相互关系：留意：1、区分"否命题'与"命题的否认'，若原命题是"若p则q'，则这个命题的否认是"若p则非q'，而它的否命题是"若非p则非q'。
2、互为逆否命题同真假，即"等价'高考数学四种命题及其相互关系学问点(二)【若则命题】命题的常见形式为"若p则q'，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.【逆命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题(originalproposition)，另一个称为原命题的逆命题(inverseproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆命题为"若q，则p'.【否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否认和结论的否认，那么这两个命题称为互否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题(negativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的否命题为"若，则'.【逆否命题】对于两个命题，假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，那么这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题(inverseandnegativeproposition).也就是说，假如原命题为"若p，则q'，那么它的逆否命题为"若，则'.。
§1.4.1 命题的形式及等价关系(1) 命题与推出关系、四种命题形式
二、四种命题的形式§1.4.1命题的形式及等价关系（1） —命题与推出关系、四种命题形式1．了解命题、推出关系及命题证明的意义；2．知道常见数学命题的结构，掌握证明一些简单命题的真假的方法； 3．理解四种命题的形式及互相关系；4．能写出一些简单命题的逆命题、否命题及逆否命题.问1 什么是命题？如何判断命题的真假？[练习]（P14例1）下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等； （6）你是高一学生吗？ （7）210x x ++>； （8）210x +>.问2 通常一个命题由哪两个部分组成？[例如]（1）对顶角相等. .（2）等腰梯形的两条对角线相等. 如果一个梯形的两腰相等，那么它的两条对角线相等.[练习] 将下列命题改写为“如果p ，那么q ”的形式.（1）个位是5的整数能被5整除；_________________________________________________.（2）空集是任何集合的真子集； _________________________________________________. （3）凡直角三角形都相似. _________________________________________________.问3 什么是推出关系（αβ⇒）？ 什么是等价关系？什么是推出关系的传递性？问4 写出四种命题形式，指出四种命题的真假关系？ 1、四种命题的构成形式[例][练习] 写出下列命题的逆命题、否命题、和逆否命题，并判断其真假.（1）如果0a =，那么0ab =；（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.2、四种命题的相互关系图及真假性问5 写出下列常用词语的否定词语：例1 判断下列命题的真假，并给出证明（1）对顶角相等；（2）两个无理数的和一定是无理数；（3）如果集合A 、B 、C 满足A B A C =，那么B C =；（4）如果一元二次方程20ax bx c ++=满足0ac <，那么这个方程有两个不相等的实数根.例2 写出下列语句的否定形式（1）a 、b 都是正数；（2）a 、b 、c 中至少有两个是负数； （3）a 、b 、c 中至多有两个是负数； （4）0a >或0b <；（5）对任意实数x ，都有2220x x -+>.[举一反三] 写出“存在实数x ，使得210x x -+=”的否定形式.例3 （1）写出命题“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a b =，c d =，则ac bd =”的逆命题、否命题、逆否命题；（2）判断上述四个命题的真假并说明理由.例4 在下列命题中，用符号“⇒”、“⇐”，或“⇔”把α、β这两件事联系起来（1）α：实数x 满足92=x ，__________β：3=x 或3-=x ；（2）α：A B =∅，__________β：A =∅或B =∅； （3）α：B A ⊆，__________β：A B A = ； （4）α：0=ab ，__________β：0=a ； （5）α：a b +是偶数，β：33a b +是偶数.1. 用推出符号“⇒”、“⇐”，或“⇔”把α、β这两件事联系起来： （1）α：x N ∈__________β：2x N ∈； （2）α：0ab =__________β：0a =或0b =；（3）α：四边形ABCD 是平行四边形__________β：四边形ABCD 是矩形； （4）α：4a <-__________β：方程240x ax ++=有实数解. 2. 判断下列命题的真假：（1）互为子集的两个集合相等；（ ） （2）曲线231y kx x =+-与x 轴至少有一个交点； （ ） （3）若0a b +>且0ab >，则0a >或0b >；（ ） （4）无理数不都是无限小数.（ ）3. 写出下列语句的否定：（1）a b >____________________；（2）a 、b 、c 不都是无理数_____________________.4. 命题：如果0c =，那么抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像过原点的逆否命题是_________________________________________________________________________________. 5. 命题：“两个有理数的和是有理数”的否命题是_________________________________________. 6. 命题“设a 、b 、c ∈*N ，如果ab 是c 的倍数，那么a 、b 中至少有一个是c 的倍数”是___________ 命题（填“真”或“假”），理由是_____________________________________________________. 7. 与命题“x 、y 、z 不全是负数”等价的命题（ ） A ．x 、y 、z 中至少有一个是正数； B ．x 、y 、z 全不是负数；C ．x 、y 、z 中只有一个负数；D ．x 、y 、z 中至少有一个是非负数. 8. 有下列命题：① 210x +=不是方程；② 若a R ∈，则01a =，；③ 若2xa a =，则2x =； ④ 关于x 的不等式20ax a ->的解集是2()x a R >∈，其中假命题的个数是 （ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.9. 命题：“如果1x ≥，那么1x >”的逆否命题是 （ ） A ．如果1x >，那么1x ≥； B ．如果1x ≤，那么1x <； C ．如果1x <，那么1x ≤；D ．如果1x ≤，那么1x <.10. 命题:()M ax b cx d a b c d R +=+∈、、、，命题:d bN x a c-=-，则命题M 与N 的推出关系是（ ）A ．M N ⇐；B ．M N ⇒；C ．M N ⇔；D ．以上都不对. 11. 判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明.12. 写出命题“非空集合A 、B 是全集U 的子集，若A B Ü，则U AB =∅ð”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出是真命题还是假命题.13. 写出命题：“如果一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根，那么0ca<”的逆命题，判断真假并给出证明.。
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学
要
求
知识＆技能
重点
难点
目 标 达 成 度
识记
理解
应用
分析
综合
命题的概念
√推出关系√√来自四种命题形式√
√
√
等价命题
√
教学场景设计
无
教学资源
教材以及教材参考书、教案、黑板、粉笔
教学步骤与内容
教学组织形式
教学方法
达成目标
时间
组织教学
点名、了解学生的出勤情况以及课堂用品准备情况。
复习回顾
1、交集、并集、补集的意义，准确使用集合的运算符号。
注：1°交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
2°四种命题的相互关系：
例题1已知 是实数，给出命题“若 ，则 ”，
写出上述命题的逆命题，否命题，逆否命题。
例题2写出下列语句的否定形式：（1）a、b都是0；（2）对任意实数x，都有x2-2x+2>0；（3）存在实数x，使得x2-x-1=0。
计划学时
2
教
学
目
标
1、理解命题、真命题和假命题的概念，掌握推出关系。
2、掌握四种命题形式。
3、掌握等价命题。
知 识
技 能
态 度
通过具体实例了解命题的概念，并掌握推出关系；掌握四种命题形式、等价命题。
进一步领会分类、判断、推理的思想方法。
简析目标设定依据
根据学生的基础以及学生的认知情况还有教学大纲来设定教学目标。
一个命题的条件和结论分别是另一个命题条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命
班级教学
班级教学
讲授
讲授与提问相结合
掌握推出关系。
教学步骤与内容
教学组织形式
教学方法
达成目标
时间
题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做否命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
2、集合的运算方法。
3、用文氏图表示集合的运算。
讲授新课
一、命题与推出关系
1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？
我们知道，可以判断真假的语句叫做命题（proposition）.命题通常用陈述句表述.正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.
2、下列语句哪些是命题，哪些不是命题？如果是命题，那么，哪些命题是真命题和假命题？为什么？
选作题写出命题：“两个数都是偶数的和是偶数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假。
课堂小结：
1、已知原命题，写出它的逆命题，否命题，逆否命题，关键是分清条件和结论。如果原命题是简化形式，如命题是“对顶角相等”，则还需还原成“如果……，那么……”的形式，以便于发现原命题的条件和结论。
2、常见结论的否定形式：
（1）个位数是5的正整数能被5整除；
（2）凡是直角三角形都相似；
（3）上课请不要讲话；
（4）互为补角的两个角不相等；
（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等？
（6）你是高一学生吗？
3、通过上述例子，请你回答：怎样说明一个命题为真命题？怎样说明一个命题为假命题？
二、推出关系
1、一般地说，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么我们说由α可以推出β，并用记号α
原结论词
反设词
原结论词
反设词
是
不是
至少有一个
没有一个
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有n-1个
小于
大于或等于
至多有n个
至少有n-1个
对所有x成立
存在某x不成立
或
且
对任x不成立
存在某x成立
且
或
班级教学
讲授与提问相结合
理解命题的四种形式
综合
训练
融合于课堂教学当中
课外
作业
练习册1.4
教案
专业名称：材料成型与控制工程（中本贯通）
课程名称：数学
课题：§1.4命题的四种形式及等价关系
主讲教师：肖金秀
学校：上海市高级技工学校
日期：
教 案
教学对象
专业：材料成型与控制工程（中本贯通）
班级：17CKZB1,3
授课日期
使用教材
数学（高中一年级第一学期）
出版单位
上海教育出版社
课题
1.4命题的四种形式及等价关系
例题3试写出下列命题的逆命题和否命题，并判断其真假。
（1）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；
（2）如果一个三角形的两条边，那么这两条边所对的角也相等。
练习：课本第18页，练习1.4（2）。
班级教学
讲授与提问相结合
掌握四种命题的形式
教学步骤与内容
教学组织形式
教学方法
达成目标
时间
练习：课本第18页，练习1.4（2）。
教学
后记
班级教学
班级教学
班级教学
班级教学
提问与讲授相结合
讲授
讲授
讲授
帮助学生复习初中的知识并为开展新课做准备
理解命题的概念
理解推出关系。
2
3
85
教学活动流程
教学步骤与内容
教学组织形式
教学方法
达成目标
时间
β表示，读作“α推出β”。换句话说，α β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。
如果α成立，而β不成立，即α成立不能推出β成立，可记作α β，即α β表示以α为条件，β为结论的命题是假命题。
三、请同学们观察下列命题：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）两直线平行，同位角相等；
（3）同位角不相等，两直线不行；
（4）两直线不平行，同位角不相等。引导学生得出：
命题（1）与命题（2）、命题（1）与命题（3）中，命题（1）与命题（4）中的条件和结论有何关系？
四、四种命题的形式
一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做逆命题。
2、如果α β，而且β α，那么记作α β，称α与β等价。
3、推出关系“ ”是一种关系符号它满足传递性：若α β，β γ，则α γ，请你再找出一个具有传递性的关系符号。
4、请你证明命题“个位数是5的正整数能被5整除”，你发现证明过程和推出关系是否有着密切的联系呢？
5、练习：课本第16页，练习1.4（1）1、2。