电磁学习题案1-3章

第一章 习题一

1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。

2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。

3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )

(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小

4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上

场强具有极大值的点与O 点的距离R 。 解法一：2

2020214141a

R q

πεr q πεE E +==

= 21E E E ϖ

ϖϖ+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=

2

22

2042a R R a R q πε++=

()

2

/32

202a R R πεq +=

E 有极值的条件是：()

0222/52

22

20=+-=a R R a πεq dR dE 即 0222=-R a ，解得极值点的位置为：a R 2

2=

∵ ()

2

/7222

20223223a R a R πεqR dR E d +-=

，而 03984

02

/222<-

==a

πεq

dR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 2

2= 且 ()

2

02

/32

20max 332/2/2a

πεq a a a πεq E =

+=

解法二：θa

q πεr q πεE E 2

2

02021sin 4141===，21E E E ϖϖϖ+=

ϖ+q

θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθa

q πεcos sin 212

2

0=

)cos (cos 213

2

0θθa

q πε-=

E 有极值的条件是：

0)sin 3sin 2(23

20=-=θθa

πεq θd dE E 有极值时的θ满足：3

1

cos 32sin 1cos 0sin 2211=

=

==θ，θ；θ，θ )cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(23

2

022022θθa

πεq θθθa πεq θd E d -=-= 0)cos 7cos 9(22

0113

20221

>=-==a

πεq θθa πεq θd E d θθ 032)cos 7cos 9(22

0223

20222

<-=-==a

πεq θθa πεq θd E d θθ 可见 θ = θ2时，E 有极大值。由 θ

θa R θsin cos cot ==

得a θθ

R sin cos =

∴ E 有极大值时a a θθR 2

2

sin cos 22==

而2

023

220max 33)cos (cos 21a

πεq θθa q πεE =-=

5、内半径为R 1，外半径为R 2的环形薄板均匀带电，电荷面密度为σ，求：中垂线上任一P 点的场强及环心处O 点的场强。

解：利用圆环在其轴线上任一点产生场强的结果

2

/3220)

(4R x Qx E +=

πε 任取半径为r ，宽为dr 的圆环，其电量为 dq = σds = 2

r σdr

圆环在P 点产生的场强为：2

/32202/3220)

(2)(4r x εxrdr σr x πεxdq dE +=+=

· R 1

O

P

X

R 2 r

●

环形薄板在P 点产生的总场强为：)1

1(22

2

221

202

1

R x R x εx σdE E R R

+-+=

=

⎰ 若σ > 0，则E ϖ背离环面；若σ < 0，则E ϖ

指向环面。

在环心处x = 0，该处的场强为 E 0=0

6、一无限大平面，开有一个半径为R 的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。 解：在上题中，令R 1=R ，R 2→∞，x = r 则得结果

2

202R r εr σE +=

第一章 习题二

1、均匀电场的场强E ϖ

与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强

度通量Φ= πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q 不改变E ϖ分布，则通

过半球面的电场强度通量Φ= πR 2E ±q /2

0。

2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰⎰=⋅0/εq s d E i S ρ

ρ；

其物理意义是 静电场是有源场 。

3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面

的E ϖ

的通量是q /60；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所

在顶角的三个面E ϖ

的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E ϖ的通量是q /80。

4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )

(A) (B) (C) (D) 5、应用高斯定理求场强E ϖ时，要求E ϖ

的分布具有对称性，对于没有对称性的电

场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )

(A)正确 (B)错误 (C)无法判断

6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )

(A) 均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子

(D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )

(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零； (B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零； (C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零； (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。

()0212/εσσ+()0

21/εσσ+()0212/εσσ-()0

21/εσσ-