电磁学习题案1-3章

第一章 习题一1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。

2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。

3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。

解法一：22020214141aR qπεr q πεE E +=== 21E E E ϖϖϖ+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=2222042a R R a R q πε++=()2/32202a R R πεq +=E 有极值的条件是：()0222/522220=+-=a R R a πεq dR dE 即 0222=-R a ，解得极值点的位置为：a R 22=∵ ()2/722220223223a R a R πεqR dR E d +-=，而 0398402/222<-==aπεqdR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 22= 且 ()202/3220max 332/2/2aπεq a a a πεq E =+=解法二：θaq πεr q πεE E 2202021sin 4141===，21E E E ϖϖϖ+=ϖ+qθE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθaq πεcos sin 21220=)cos (cos 21320θθaq πε-=E 有极值的条件是：0)sin 3sin 2(2320=-=θθaπεq θd dE E 有极值时的θ满足：31cos 32sin 1cos 0sin 2211====θ，θ；θ，θ )cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(232022022θθaπεq θθθa πεq θd E d -=-= 0)cos 7cos 9(22011320221>=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 032)cos 7cos 9(22022320222<-=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 可见 θ = θ2时，E 有极大值。

由 θθa R θsin cos cot ==得a θθR sin cos =∴ E 有极大值时a a θθR 22sin cos 22==而2023220max 33)cos (cos 21aπεq θθa q πεE =-=5、内半径为R 1，外半径为R 2的环形薄板均匀带电，电荷面密度为σ，求：中垂线上任一P 点的场强及环心处O 点的场强。

解：利用圆环在其轴线上任一点产生场强的结果2/3220)(4R x Qx E +=πε 任取半径为r ，宽为dr 的圆环，其电量为 dq = σds = 2r σdr圆环在P 点产生的场强为：2/32202/3220)(2)(4r x εxrdr σr x πεxdq dE +=+=· R 1OPXR 2 r●环形薄板在P 点产生的总场强为：)11(2222212021R x R x εx σdE E R R+-+==⎰ 若σ > 0，则E ϖ背离环面；若σ < 0，则E ϖ指向环面。

在环心处x = 0，该处的场强为 E 0=06、一无限大平面，开有一个半径为R 的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。

解：在上题中，令R 1=R ，R 2→∞，x = r 则得结果2202R r εr σE +=第一章 习题二1、均匀电场的场强E ϖ与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量Φ= πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q 不改变E ϖ分布，则通过半球面的电场强度通量Φ= πR 2E ±q /20。

2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰⎰=⋅0/εq s d E i S ρρ；其物理意义是 静电场是有源场 。

3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E ϖ的通量是q /60；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E ϖ的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E ϖ的通量是q /80。

4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A) (B) (C) (D) 5、应用高斯定理求场强E ϖ时，要求E ϖ的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A) 均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子(D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零； (B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零； (C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零； (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。

()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-8、一球体半径为R ，均匀带正电量为Q ，求球体内外的场强分布。

解：3/43R πQ ρ=，电场分布具有球对称性。

在球体内外作以O 为心的高斯球面S ，其半径 为r ，则有：∑⎰⎰⎰⎰===⋅Si S S εq E r πds E s d E 02/4ρρ∴ ∑=Siq r πεE 2041(1) r < R ， Q R r R πQ r πρr πq S i 333333/434341===∑， ∴ r e R πεrQ E ϖϖ3014= (2) r > R ， Q q S i =∑2， ∴ re rπεQ E ϖϖ2024=∴9.无限长均匀带电圆柱面,电荷面密度为σ，半径为R ，求圆柱面内外的场强分布。

r ，高为h 的同轴圆柱面为高斯面,根据⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底S d E S d E S d E S d E S ϖϖϖϖϖϖϖϖrhE πdS E EdS 2===⎰⎰⎰⎰侧面侧面(1) r < R 时,∑=0i q由高斯定理 0/20===∑εq rhE πΦi得 0=Eσi ，由高斯定理 00/2/2εσRh πεq rhE πΦi ===∑得r εσR E 0/=)( 420R r ，e rπεQ r>ϖ)( 430R r ，e RπεrQ r<ϖ=E ϖ)( 0R r ，rεσR >)( 0R r ，<=E ∴第一章 习题三1、三个相同的点电荷q ，分别放在边长为L 的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势)4/(330L q U πε=，电场强度大小0=E ，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功)4/(330L q A πε=。

2、半径为R 的均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则环心处的电势02/ελ=U ，场强大小0=E 。

3、静电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该处的电势能，或把单位正电荷从该点移到电势零点过程中电场力所作的功。

4、下列各种说法中正确的是( B )(A)电场强度相等的地方电势一定相等；(B)电势梯度较大的地方场强较大； (C)带正电的导体电势一定为正； (D)电势为零的导体一定不带电。

5、在静电场中下面叙述正确的是( B )(A)电场强度沿电场线方向逐点减弱； (B)电势沿电场线方向逐点降低。

(C)电荷在电场力作用下定沿电场线运动；(D)电势能定沿电场线方向逐点降低。

6、真空中产生电场的电荷分布确定以后，则( B )(A)电场中各点的电势具有确定值; (B)电场中任意两点的电势差具有确定值； (C)电荷在电场中各点的电势能具有确定值。

8、球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，壳体内均匀带电，电荷体密度为ρ，A 、B 两点分别与球心0相距r 1和r 2，(r 1＞R 2，r 2＜R 1 ，求A 、B 两点的电势。

解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理计算作一半径为r ， 厚度为dr 的球壳，其电量为dr r dq ρπ24=(1) A 点处，r 1>R 2时，)4/(101r dq dU πε=()1031322101132121r εR R ρdr r r ερdU U R R R R -===⎰⎰ (2) B 点处，r 2<R 1时，)4/(02r dq dU πε=()0212202222121εR R ρrdr ερdU U R R R R -===⎰⎰9、一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ=Ar(r ＜R)，式中A 为常数，试求：(1)圆柱体内，外各点场强大小分布；(2)选距离轴线的距离为R 0(R 0＞R)处为电势零点，计算圆柱体内，外各点的电势分布。

解：作一半径为r ，高为h 的同轴圆柱面为高斯面⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅=侧面下底上底S d E S d E S d E S d E ΦS ϖϖϖϖϖϖϖϖrhE πdS E EdS 200==++=⎰⎰⎰⎰侧面侧面由高斯定理：∑⎰⎰=⋅=Si S q εS d E Φ01ϖϖ(1) r < R ，r d r Ah πr hd r πAr τd ρdq ''=''==22)2)((302322Ahr πr d r Ah πdq q rSi =''==⎰⎰∑ 3322Ahr πεrhE πΦ==， ∴ )( ，302R r εAr E <= r > R ，302322AhR πr d r Ah πdq q RSi =''==⎰⎰∑ 3322AhR πεrhE πΦ==， ∴ )( ，303R r r εAR E >=(2) r < R ，⎰⎰⎰⎰⎰+=+=⋅=00032033R RR rR R R r R rrdr εAR dr r εAEdr Edr l d E U ϖϖ RR εAR r R εA 003330ln3)(9+-= r > R ，rR εAR r dr εAR Edr l d E U R rR r R r0303ln33000===⋅=⎰⎰⎰ϖϖS第一章 习题四1、真空中半径为R的球体均匀带电，总电量为q ，则球面上一点的电势U =R πεq 04/；球心处的电势U 0=R πεq 08/3。