空间向量与平行、垂直关系

A1FD1.
z
略解：如图建立空间直角坐标系
设棱长为2 则 E(2, 2, 1), A( 2, 0, 0 )
uuur
uuur
DE (2, 2, 1), AE (0, 2, 1)
uur 平面AED的法向量为unur1 (0, 1, 2)
y
平uur面uAur1FD1的法向量为nu2ur (0u,ur2, 1)x
空间向量与平行、垂直关系
一、平面α的法向量的定义
设直线l为平面r的一条垂线，则直线 l 的任 意一条方向向量 a 都叫做平面 的法向量.
r
平面 的法向量 a 由平面上任意两个不共线
向量
uuur PA,
uuur PB
来确定，即由
uuur PA
r a,
uuur r PB a
也即
uuur PA
r a
5.面面平行：
两个平面的法向量共线，且其中一个平 面中存在另一个平面之外的点.
6.面面垂直: 两个平面的法向量垂直，即法向量的内积为0
应用举例：
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N分别是
C1C, B1C1 的中点, 求证:MN∥平面zA1BD.
解题思路：如图建立空间直
D1
C1
角坐标系r ，求出平面A1BD的 A1
法向量 n (1,1,1) ，只需
证明
uuuur r MN n
，即证
uuuur r MN gn
0
B1
y
M(0, 2, 1 ), N(1, 2, 2 )
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uuuur MN (1, 0, 1)
uuuur r
x
MN n 1 0 1 0
例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面
y
z
0
r
x y
z
y
n AC 0
令 y = 1 得平面ABC
的一个法向量为 n (1, 1, 1)
变式训练
已知ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥
平面ABCD, SA=AB=BC=1，AD= 1 ，试建
2
立适当的坐标系.
z
求平面SCD的一个法向量.
y
答案：(2, -1, 1)
n1 n2 0 2 2 0 n1 n2 平面AED平面A1FD1
y
x x
二、利用向量判断直线、平面位置关系的方法
1.线线平行： 两直线的方向向量共线，且一条直线上存
在另一条直线之外的点
2.线线垂直： 两直线的方向向量垂直，即内积为零.
3.线面平行： 直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直 线上存在平面外的点.
4.线面垂直
直线的方向向量与平面内的两条相交直线的 方向向量都垂直（即与平面内的两个不共线 向量都垂直）
0
,
uuur PB
r a
0
求得.
平面法向量的具体求法：
首先设平面
的法向量为
r n
( x,
y,
z)
，在
平面内任取两个相交直线的方向向量
r
r
a (a1,a2,a3 ), b (b1,b2,b3 )
由
rr na 0
和
rr nb 0
得两个三元一次方
程，再令 x, y, z 中的一个为某一特殊的值
即得平面 的一个法向量
例如已知A(1, 0, 1), B(0, 1, 1), C(1, 1, 0)，
求平面 ABC 的一个法向量
r
略解：设平面ABC的法向量为 n ( x,ry,uzu)ur ，则由
uuur AB (1, 1, 0) ,
uuur AC
(0,
1,
1) 及
n AB 0 r uuur
x y 0