第二章 用拉格朗日方程建立系统数学模型
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第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型
§2.1概述
拉格朗日方程——属于能量法,推导中使用标量,直接对整个系统建模 特点:列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范
适合于线性系统也适合于非线性系统,适合于保守系统,也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程
1. 哈密尔顿原理 系统总动能
),,,,,,,(321321N n q q q q
q q q q T T = (2-1)
系统总势能
),,,,(321t q q q q U U N =
(2-2)
非保守力的虚功
N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211
(2-3)
哈密尔顿原理的数学描述:
0)(2
1
21
=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ (2-4)
2. 拉格朗日方程: 拉格朗日方程的表达式:
),3,2,1()(N i Q q U
q T q T dt d i
i
i i ==∂∂+∂∂-∂∂ (2-5)
(推导:)
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中(变分驻值原理),有
0)(
22112211221122112
1
=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰
dt q Q q Q q Q q q T
q q U q q U q q
T
q q T q q T q q T q q T q q T N N N N
N N N N t t δδδδδδδδδδδδ (2-6)
利用分步积分
dt q q T
dt d q q T dt q q T i t t i
t t i i i t t i δδδ⎰⎰
∂∂-∂∂=∂∂21212
1
)(][ (2-7)
并注意到端点不变分(端点变分为零)
0)()(21==t q t q i i δδ (2-8)
故
dt q q T dt d dt q q
T
i i t t i t t i δδ)(212
1
∂∂-=∂∂⎰⎰
(2-9)
从而有
0)])([2
1
1
=+∂∂-∂∂+∂∂-
⎰∑=dt q Q q U
q T q T dt d i i i
t t i i N
i δ ( (2-10)
由变分学原理的基本引理:
(设 n 维向量函数M(t),在区间],[0f t t 内处处连续,在],[0f t t 内具有二阶连续导
数,在f t t ,0处为零,并对任意选取的n 维向量函数)(t η,有
⎰
=f
t t T dt t M t 0
0)()(η
则在整个区间],[0f t t 内,有 0)(≡t M )
我们可以得到:
0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-
i i
i i Q q U q T q T dt d (2-11)
即
i i
i i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( (2-12)
对非保守系统,阻尼力是一种典型的非保守力,如果采用线性粘性阻尼模型,
则阻尼力与广义速度}{q
成正比,在这种情况下,可引入瑞利耗散(耗能)函数D ,
}]{[}{2
1
q C q D T ≡ (2-13) 阻尼力产生的广义非保守力为:
i
i q D
Q ∂∂-
= (2-14) 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统,其拉格朗日方程为:
0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂q
D q U q T q T dt d i i i (2-15) 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力,如结构受到的外激励力(对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得,仍记为i Q ),则系统的拉格朗日方程为:
i i i i Q q
D q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( (2-16) §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用
在某些结构振动问题中,取分离体、确定各分离体的受力情况,然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用,或者很不方便,这时,采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。 1. 集中参数模型中应用
【例】质量为M 的长直杆上有一个集中质量m
可在杆上滑动。杆绕固定点摆动,建立其自由振动方程。 势能θcos ]2[mgu L
Mg
U +-=( 以O 点为势能零点) 动能)(2
1)31(2122222θθ u u m ML T ++= 选广义坐标为θ,u ,且0=u Q ,0=θQ 代入拉格朗日方程得到:
⎪⎩⎪⎨⎧=++++=--0sin ]2[2)3
1(0cos 222θθθθθm gu L Mg u m u m u ML m g m u u
m 以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程,如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程,则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。
2. 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
对一维连续系统,假设位移为:
)()().(1t q x t x u i N
i i ∑==ψ
(2-17)
则系统具有N 个自由度,N 个广义坐标为),2,1()(N i t q i =,)(x i ψ不一定是系统的真实模态,可以是假设的一种变形模态。只要)(x i ψ满足以下条件: (1) 是位移形函数,反映某种可能的位移形状 (2) 构成一组线性无关向量
(3) 连续导数阶次满足势能中所要求的阶次 (4) 满足位移边界条件(不一定满足力边界条件) 2.1 杆的纵向振动
轴向位移为),(t x u u =
dx u A T l
)(2120
⎰=
ρ (2-14) dx u EA U l
20)(21⎰'= (2-15)
将)()(),(t q x t x u i i
i ∑=ψ代得到:
}]{[}{2121q M q q q m T T
j i i j ij ==
∑∑ (2-18) }]{[}{2
121q K q q q k U T j
i i j ij ==∑∑ (2-19)
其中
dx A m j l i ij ψψρ⎰=0
dx EA k j l
i ij ψψ''=⎰0
(2-20)
分布轴力p(x ,t) 在广义坐标上的虚功
i l i
i l
i
i q p dx t q x t x p dx t x u t x p W δδψδδ⎰∑⎰∑===0
))()()(,(),(),( (2-21)
广义力
⎰=l
i i dx x t x p t p 0
)(),()(ψ (2-22)
代入拉格朗日方程得:
i j j
ij
j
j
ij
p q k q
m =+∑∑ ),2,1(N i =
(2-
23)