第二章 用拉格朗日方程建立系统数学模型

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第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型

§2.1概述

拉格朗日方程——属于能量法,推导中使用标量,直接对整个系统建模 特点:列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范

适合于线性系统也适合于非线性系统,适合于保守系统,也适合于非保守系统。

§2.2拉格朗日方程

1. 哈密尔顿原理 系统总动能

),,,,,,,(321321N n q q q q

q q q q T T = (2-1)

系统总势能

),,,,(321t q q q q U U N =

(2-2)

非保守力的虚功

N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211

(2-3)

哈密尔顿原理的数学描述:

0)(2

1

21

=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ (2-4)

2. 拉格朗日方程: 拉格朗日方程的表达式:

),3,2,1()(N i Q q U

q T q T dt d i

i

i i ==∂∂+∂∂-∂∂ (2-5)

(推导:)

将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中(变分驻值原理),有

0)(

22112211221122112

1

=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰

dt q Q q Q q Q q q T

q q U q q U q q

T

q q T q q T q q T q q T q q T N N N N

N N N N t t δδδδδδδδδδδδ (2-6)

利用分步积分

dt q q T

dt d q q T dt q q T i t t i

t t i i i t t i δδδ⎰⎰

∂∂-∂∂=∂∂21212

1

)(][ (2-7)

并注意到端点不变分(端点变分为零)

0)()(21==t q t q i i δδ (2-8)

dt q q T dt d dt q q

T

i i t t i t t i δδ)(212

1

∂∂-=∂∂⎰⎰

(2-9)

从而有

0)])([2

1

1

=+∂∂-∂∂+∂∂-

⎰∑=dt q Q q U

q T q T dt d i i i

t t i i N

i δ ( (2-10)

由变分学原理的基本引理:

(设 n 维向量函数M(t),在区间],[0f t t 内处处连续,在],[0f t t 内具有二阶连续导

数,在f t t ,0处为零,并对任意选取的n 维向量函数)(t η,有

=f

t t T dt t M t 0

0)()(η

则在整个区间],[0f t t 内,有 0)(≡t M )

我们可以得到:

0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-

i i

i i Q q U q T q T dt d (2-11)

i i

i i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( (2-12)

对非保守系统,阻尼力是一种典型的非保守力,如果采用线性粘性阻尼模型,

则阻尼力与广义速度}{q

成正比,在这种情况下,可引入瑞利耗散(耗能)函数D ,

}]{[}{2

1

q C q D T ≡ (2-13) 阻尼力产生的广义非保守力为:

i

i q D

Q ∂∂-

= (2-14) 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统,其拉格朗日方程为:

0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂q

D q U q T q T dt d i i i (2-15) 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力,如结构受到的外激励力(对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得,仍记为i Q ),则系统的拉格朗日方程为:

i i i i Q q

D q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( (2-16) §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用

在某些结构振动问题中,取分离体、确定各分离体的受力情况,然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用,或者很不方便,这时,采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。 1. 集中参数模型中应用

【例】质量为M 的长直杆上有一个集中质量m

可在杆上滑动。杆绕固定点摆动,建立其自由振动方程。 势能θcos ]2[mgu L

Mg

U +-=( 以O 点为势能零点) 动能)(2

1)31(2122222θθ u u m ML T ++= 选广义坐标为θ,u ,且0=u Q ,0=θQ 代入拉格朗日方程得到:

⎪⎩⎪⎨⎧=++++=--0sin ]2[2)3

1(0cos 222θθθθθm gu L Mg u m u m u ML m g m u u

m 以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程,如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程,则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。

2. 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用

对一维连续系统,假设位移为:

)()().(1t q x t x u i N

i i ∑==ψ

(2-17)

则系统具有N 个自由度,N 个广义坐标为),2,1()(N i t q i =,)(x i ψ不一定是系统的真实模态,可以是假设的一种变形模态。只要)(x i ψ满足以下条件: (1) 是位移形函数,反映某种可能的位移形状 (2) 构成一组线性无关向量

(3) 连续导数阶次满足势能中所要求的阶次 (4) 满足位移边界条件(不一定满足力边界条件) 2.1 杆的纵向振动

轴向位移为),(t x u u =

dx u A T l

)(2120

⎰=

ρ (2-14) dx u EA U l

20)(21⎰'= (2-15)

将)()(),(t q x t x u i i

i ∑=ψ代得到:

}]{[}{2121q M q q q m T T

j i i j ij ==

∑∑ (2-18) }]{[}{2

121q K q q q k U T j

i i j ij ==∑∑ (2-19)

其中

dx A m j l i ij ψψρ⎰=0

dx EA k j l

i ij ψψ''=⎰0

(2-20)

分布轴力p(x ,t) 在广义坐标上的虚功

i l i

i l

i

i q p dx t q x t x p dx t x u t x p W δδψδδ⎰∑⎰∑===0

))()()(,(),(),( (2-21)

广义力

⎰=l

i i dx x t x p t p 0

)(),()(ψ (2-22)

代入拉格朗日方程得:

i j j

ij

j

j

ij

p q k q

m =+∑∑ ),2,1(N i =

(2-

23)

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