心理统计学公式

n
⑵两样本独立
Z X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
⑴相关样本的平均数差异检验
建立假设：虚无假设：u1=u2（或 uD=0）；备选假设： u1
选择检验统计量并计算 Z 分布 确定检验形式 双侧
Z
X1 X2
wenku.baidu.com
2 1
2 2
2 r 1
2
n
u2 （或 uD
0）；
单侧
进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 Z 与 Z，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。
❖ 方差分析中的方差齐性检验，常用哈特莱
（Hartley）所提出的最大 F 值检验法，其计
算公式为
Fm a x
S2 max
S2 m in
各组容量不等时，用最大的 n 计算自由度：
df n 1
方差分析的基本步骤：※
建立假设：
虚无假设： u1 =u1……=uk；
备选假设： 至少两个总体的平均数不相等；
P≤0.01
非常显著＊＊ 在 0.01 显著性水平 拒绝 H0，接受 H1
平均数差异的显著性检验
两个总体都是正态分布、两个总体方差都已知
总体标准差已知条件下，平均数之差的抽样分布
服从正态分布，以Ｚ作为检验统计量，计算公式
为：
Z
X1 X 2
SEDX
⑴两样本相关
Z
X1 X2
2 1
2 2
2 r 1
2
a.等级差数法
rR
1
6 RXi RYi 2
N N 2 1
1
6D 2 N (N 2 1)
b.等级序数法
rR
3 .[ 4RXRY N -1 N (N 1)
(N
1)]
肯德尔等级相关 Ri:代表评价对象获得的 K 个等级之和 N:代表被等 级评定的对象的数目 K:代表等级评定者的数目
rW 1
2
S n
X
Z
2
S n
④ 总体非正态，小样本可不能进行参数估计，
即不能根据样本分布对总体平均数进行估计。
标准差分布的标准差：
二、方差的区间估计 根据χ2 分布：
2
( Xi 2
X )2
(n 1)sn21 2
得出总体方差 0.95 与 0.99 置信区间
(n 1)sn21 2
/2
2
(n 1)sn21 2
b.有重复数据 b1.重复数没有位于数列中间 方法与无重复数一样 b2.重复数位于数列中间 若重复数的个数为奇数
若重复个数为偶数 先将数据从小到大(从大到小)排列 三、众数 a. 皮尔逊经验公式：分布近似正态※
Mo 3Md 2X
算术平均数、中位数、众数三者的关系※
在正态分布中： X Md MO
次数分布是否为正态分布的检验方法
皮尔逊偏态量数法
SK M Mo 或SK （3 M Mo）
s
s
T 分数
麦克尔创建 T=10Z+50
二项分布
b(x, n, p) CnX p X qnX
n!
X!n
X
!
pX
qnX
二项分布的平均数为※
np
二项分布的标准差为※
npq
t 分布※
t X ~ t(n 1) S
nj
计算自由度※ dfb =K-1 dfw =N-K 计算均方※ MSb= SSb /(K-1) MSw = SSw /(N-K) 计算 F 值：※ F= MSb / MSw
查表求理论 F 值 进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 F 与 F
，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。
y / f (x)
N
e
X 2 2
2
2
y= 概率密度，即正态分布的纵坐标 = 理论平均数 = 理论方差 = 3.1415926; e = 2.71828（自然对数） x = 随机变量的取值 (- < x < )
标准正态分布
将正态分布转化成标准正态分布的公式※
Z X ~ N (0,1)
n
f Xc X 2. 次数分布表计算公式：AD
n
三．方差和标准差的定义式：※
2
S2 X X n
2
S XX n
原始数据导出公式
S2
X
2
X
2
n n
S X 2 X 2 n n
次数分布表计算公式
S 2
f (Xci X )2
n
S
f (Xci X )2
n
导出公式
S2
f
Xc2
分布形态
F：
F
S12 S22
自由度：df1=n1-1
建立假设：
虚无假设：
2 1
2 2
备选假设：
2 1
2 2
df2=n2-1
df=n-2（相关样本，查 T 表）
F 分布
独立样本 T 分布※
相关样本
抽样分布的标准误:柯克兰-柯克斯 t 检
t
X1 X 2
S12
S
2 2
n1 1 n2 1
近似临界值的计算
在 0.05 显著性水平拒绝 H0，接受 H1
非 常 显 著 ＊在 0.01 显著性水平拒绝
＊
H0，接受 H1
显著性 不显著
检验结果 保留 H0，拒绝 H1
t(df)0.05≤∣t∣＜t(df)0.01
0.05≥P＞0.01
显著＊
在 0.05 显著性水平 拒绝 H0，接受 H1
∣t∣≥t(df)0.01
在正偏态分布中： X Md MO
在负偏态分布中： X Md MO
四、其它集中量数 1. 加权平均数(Mw)※
2. 几何平均数(Mg)※
Mg n X1 X2 Xn
3、调和平均数(MH)
M H
1(1
1
1 1
1
...
1
)
N 1
N X1 X2 X3 X4
Xn
Xi
第四章离散量数 一．全距 R （又称极差）：※ R＝Xmax－Xmin
H0 为假
正确决策 概率=1-β=统计检验力
II 类错误，概率=β
断 实际 无信号
有信号
判 有信号
虚报 击中
无信号
正确否定 漏报
双侧检验与单侧检验(假设的形式)※
假设
双侧检验
单侧检验 左侧检验
右侧检验
原假设
H0 : m = m0 H0 : m m0 H0 : m m0
备择假设
H1 : m ≠m0 H1 : m < m0 H1 : m > m0
点二列相关
rpb
X
p Xq St
•
pq
二列相关 四分相关
rb
X
p X St
q
•
pq y
rt cos
ad
bc
bc
rt
c os
1
1800 ad
bc
Φ相关系数计算公式※
r
ad bc
a bc d a cb d
列联表相关
C
2 n 2
方差分析的目的是要分析观测变量的变异是否 主要是由控制因素造成还是由随机因素造成的， 以及控制变量的各个水平是如何对观测变量造 成影响的。 当 F 值较大时，说明由控制因素造 成的变异显著大于随机因素造成的，也就是说不 同水平下的各总体均值有显著差异
(1 ) / 2
三、两总体方差之比的区间估计
根据 F 分布，可估计二总体方差之比的置信区间
1 F / 2
s2 n11
s2 n 21
2
1
2 2
F
/
2
s2 n11
s2 n 21
第八章假设检验※ 决策 拒绝 H0
H0 性质
不拒绝 H0
H0 为真
I 类错误 概率=α=显著性水平
正确决策 概率=1-α=显著性水平
f
Xc
2
n n
S f X c 2 f X c 2 n n
总标准差的合成:
ST2 ST
ni Si2 ni X T Xi 2 ni Si2nini X T X i
ni
2
四．相对差异量※
差异系数 CV
S
100%
X
标准分数(基分数或Ｚ分数)
Z XX S
或
Z X
第六章 概率分布
建立假设：
虚无假设：u1=u2（或 uD=0）；备选假设： u2u1 （或 0uD ）； 选择检验统计量并计算
T 分布
t
X1 X2
S12
S
2 2
2r
S1
S2
n 1
t
X1 X2
d 2 d 2 / n
nn 1
确定检验形式
双侧 or 单侧 进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 T’与 T，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。 方差齐性检验
随机区组设计的方差分析将变异来源分解为组间变 异、区组变异和误差变异三部分：
SST SSB SSR SSE
随机区组设计方差分析的计算公式※
分解平方和※ 总平方和
SST
X
2
X 2
nk
组间平方和
SSB
X
n
2
X
nk
2
区组平方和
SSR
R2
k
R 2
nk
误差平方和 SSE SST SSB SSR
肯德尔 U 系数
⑴ 两样本相关
Z
X1 X2
2 1
2 2
2
r
1
2
n
Z
⑵ 两样本独立
Z
X1 X2
S12
S
2 2
2r
S1
S2
n
X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
Z
X1 X2 S12 S22 n1 n2
第五章 相关量数
协方差公式 COV X X Y Y n
积差相关系数公式
r
X SX
后验概率： W A
m n
先验概率
P A
m n
概率的加法定理※
P( AB) PA PB
P( A1 A2 An ) PA1 PA2 PAn
概率的乘法定理※
P( AB) PA PB
P( A1A2 An ) P A1 P A2 P An
正态分布曲线函数（概率密度函数）
公式：
X
Y
SY
Y
n
r X X Y Y n SX SY
积差相关系数的原始数据计算公式
r
XY X Y / n
X 2 X 2 Y 2 Y 2
n
n
r
nXY X Y
nX 2 X 2 nY 2 Y 2
N 为被评价事物的数目，即等级数；
K 为评价者的数目；
rij 为对偶比较记录表中 i>j(或 i<j)格中的择优分数。
百分位数的计算方法：
Pp 为所求的第 P 个百分位数 Lb 为百分位数所在组的精确下限 f 为百分位数所在组的次数 Fb 为小于 Lb 的各组次数的和
N 为总次数 i 为组距
百分等级:
PR
100 n
Fb
f ( X Lb )
i
四分位差：a 未分组数据 Q Q3 Q1
b 分组数据
2
二．平均差 1. 原始数据计算公式：※AD X X
为：
X
Z
2
n
X
Z
2
n
② 总体正态，σ未知（不管样本容量大小），或总
体非正态，σ未知，大样本
平均数离差的抽样分布为 t 分布，平均数的置信区间 为：
X tdf
2
S n 1
X
tdf
2
S n 1
③总体正态，σ未知，大样本
平均数的抽样分布接近于正态分布，用正态分布代替
t 分布近似处理：
X Z
第三章集中量数
一、算术平均数
1.原始数据计算公式※
X X1 X2 n
X 1 X n
2.简捷公式
X n 1 n
n i1
Xi
X AM 1 x' n
二、中位数（中数）
1. 原始数据计算法※
a. 无重复数据
若n为奇数,则Md为第 n 1 个数 2
若n为偶数, 则Md
Xn
2
X n 1 2
2
t
SE 2 X1
tdf1 SE 2
SE2 X2
SE2
tdf2
X1
X2
t
S12 / n1 1 tdf1 S22 / n2 1 tdf2
S12
/n1
1
S
2 2
/n2
1
df1 n1 1
df2 n2 1
两总体非正态，n1 和 n2 大于 30（或 50）
Z X1 X 2 SEDX
分解自由度※ 总自由度可以分解为组间、区组和误差自由度
dfT dfB dfR dfE
总自由度 dfT nk 1
组间自由度 dfB k 1
区组自由度 dfR n 1
误差自由度 dfE dfT dfB dfR
计算方差 组间方差
区组方差
误差方差
MS B
SSB dfB
MS R
SSR dfR
双侧 Z 检验统计决断规则※
∣Z∣与临界值比较
P值
显著性 检验结果
∣Z∣＜1.96 1.96≤∣Z∣＜2.58
P＞0.05 0.05≥P＞0.01
∣Z∣≥2.58
P≤0.01
单侧 t 检验统计决断规则※
∣t∣与临界值比较
P值
∣t∣＜t(df)0.05
P＞0.05
不显著 保留 H0，拒绝 H1
显著＊
计算平方和※
总平方和：
k nj 2
k
SST
j1
n xi2j j1
i1
xij
i1
N
组间平方和
k
SSB
j1
nj 2
xi
k
i1 j1
nj
nj 2
xi
i1
N
组内平方和
kn
k
SSW SST - SSB
xi2j
j1 i1
j 1
nj 2
xi
i1
n
nn
2 分布
22
(xii x)22
ii11
22
ns22 22
此时 22分布的自由度df n 1
F 分布 F UU vv11 VV vv22
第七章参数估计
平均数区间估计的计算
① 总体正态，σ已知（不管样本容量大小），或总
体非正态，σ已知，大样本※
平均数离差的的抽样分布呈正态，平均数的置信区间
2）独立样本平均数差异的显著性检验
检验步骤：
建立假设：虚无假设：u1=u2（或 uD=0）；备选假设： u1u2 （或 uD 0）；
选择检验统计量并计算 Z 分布
Z
X1 X2
2 1
2 2
n1 n2
进行统计推断—查表寻找相应的临界值比较 Z’与 Z，从而确定该样本的 P 是否为小概率，即是否 P<0.05。 2．两总体正态，两总体方差未知 ⑴ 两样本相关 t 检验 检验步骤：