武昌区2020届高三元月调考理科数学及答案

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湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)试题及答案

绝密★启用前湖北省武汉市武昌区普通高中2020届高三年级上学期元月调研考试数学(理)试题2020年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ,}2|{a x a x B <<-=,若}01|{<<-=x x B A I ,则=B A YA ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(-2．已知复数z 满足i i=-z z ,则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列,11=a ,3223+=a a ,则=n aA ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n4．已知2.0log 1.0=a ,2.0log 1.1=b ,2.01.1=c ,则a ,b ,c 的大小关系为A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>5．等腰直角三角形ABC 中,2π=∠ACB ,2==BC AC ,点P 是斜边AB 上一点,且PA BP 2=,那么=⋅+⋅CB CP CA CPA ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A 学习小组的概率是A B E C D M A 1 A ．643 B. 323 C ．274 D ．278 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=,设11+=n n n a a b ,n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ,不等式39+<n T n λ恒成立,则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ,B ,||2||FB AF =,抛物线的准线l与x 轴交于点C ,l AM ⊥于点M ,则四边形AMCF 的面积为A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图,已知平行四边形ABCD 中,ο60=∠BAD ,AD AB 2=,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点,则在ADE ∆翻折过程中,给出以下命题：①线段BM 的长是定值；②存在某个位置,使C A DE 1⊥；③存在某个位置,使//MB 平面DE A 1.其中,正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,2π0<<ϕ）的部分图象如图所示,给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1,F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点,过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线。

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试理数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20,{|2}A x x x B x a x a =--<=-<<，若{|10}A B x x =-<<，则A B =（）A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．(2,1)-D ．(2,2)-2．已知复数z 满足zi z i=-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1321,23a a a ==+，则n a =（） A ．23n -B ．13n -C ．12n -D ．22n -4．已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．等腰直角三角形ABC 中，2ACB π∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=（） A ．4-B ．2-C ．2D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是（） A ．364B ．332C ．427D ．8277．已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞8．已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为（） A．4B．2C．D．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，60,2BAD AB AD ︒∠==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，给出以下命题： ①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使1DE A C ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE . 其中，正确的命题是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，给下列说法：①函数()f x 的最小正周期为π； ②直线512x π=-为函数()f x 的一条对称轴； ③点2(,0)3π-为函数()f x 的一个对称中心；④函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到2y x =的图像. 其中不正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知1F ，2F 分别为双曲线22194x y -=的左、右焦点，过2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F ∆得内切圆半径为1r ，12BF F ∆的内切圆半径为2r ，则12r r 的值等于（） A ．3B ．2CD12．已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（） A ．a b = B ．a b <C ．a b >D ．,a b 的大小关系不确定二、填空题13．62x ⎛ ⎝的展开式中，3x 项的系数是__________．14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为__________．15．过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是__________．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a满足[0,][,2]a a a M =，则a 的为__________．三、解答题17．在ABC ∆中，已知AB =7AC =，D 是BC 边上的一点，5AD =，3DC =. （1）求B ；（2）求ABC ∆的面积.18．如图，在直角三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点.（1）证明：平面11A C F ⊥平面1B DE ；（2）求二面角1B B E D --的正弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值.20．某健身馆在2021年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2021年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2021年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0,200)，[200,400)，400,[600)，…，[1000,1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2021年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2021年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．已知函数()1x f x e x e =+--.（1）若()f x ax e ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足12()()0f x f x +=，证明：122x x +<.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为22932cos ρθ=-.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求||||MA MB ⋅的值.23．（1）已知()||||f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+≥.参考答案1．D 【分析】根据集合A 和集合B 的范围，{|10}A B x x =-<<，可得a 的值，可得A B ，可得答案. 【详解】解：化简{}|-12A x x =<<，{|2}B x a x a =-<<，{|10}A B x x =-<<，可得a =0，可得{|20}B x x =-<<，可得{}|-22A B x x =<<，故选：D . 【点睛】本题考查一元二次不等式、集合的运算，考查数据处理、运算求解能力，考查数据分析、数学运算核心素养. 2．A 【分析】利用复数代数形式的运算法则化简复数，根据复数的几何意义得到结果. 【详解】解：由题意zi z i=-，可得2z iz i =-，(1)1i z -=， 11(1)11(1)(1)2i i z i i i ++===-+-，在复平面对应的点为11(,)22，故选：A. 【点睛】本题考查复数的基本运算，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养. 3．B 【分析】由{}n a 是各项均为正数的等比数列，1321,23a a a ==+，可得2123a q aq =+，可得q 的值，可得答案. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，由1321,23a a a ==+，可得2123a q aq =+，可得121,3q q =-=，由{}n a 是各项均为正数，可得3q =，可得n a =13n -，故选：B . 【点睛】本题主要考查等比数列的性质及等比数列的通项公式，相对不难. 4．D 【分析】分别判断出,,a b c 的范围，可得,,a b c 的大小关系. 【详解】0.10.10.1log 1log 0.2log 0.1a =<<，即01a <<； 1.1 1.1log 0.2log 10b ==<，0.201.1 1.11c >==，可得c a b >>，故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题. 5．D 【分析】将CP 用CA 与CB 进行表示，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：1121()3333CP CA AP CA AB CA AC CB CA CB =+=+=++=+ 22218443333CP CA CP CB CA CB ⋅+⋅=+=+=,故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及平面向量的数量积，相对不难. 6．D 【分析】设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复实验，记“申请A 学习小组”为事件A ，则1()3P A =,由独立重复实验中事件A 恰好发生K 次的概率计算公式可得答案.【详解】设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复实验，记“申请A 学习小组”为事件A ，则1()3P A =,由独立重复实验中事件A 恰好发生K 次的概率计算公式可知，恰有2人申请A 学习小组的概率是：22244128(2)()()3327P C ==,故选：D . 【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公与独立重复试验的概率计算，相对不难. 7．A 【分析】求出{}n a 、{}n b 的通项公式，代入93n T n λ<+，可得λ的取值范围. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，可得22113131(1)(1)()312222n n n S n n n n a n S ++==+-+--=+-，故32n a n =-，故111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+，故111111(1...)34473231n T n n =-+-+++--+=11(1)33131n n n -=++，不等式93n T n λ<+恒成立，即2min3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦恒成立，即min 1396n n λ⎛⎫<++⎪⎝⎭，由*n N ∈，可得1910n n+≥，(当n =1时等号成立)，所以48λ<，故选：A . 【点睛】本题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和的求法、基本不等式的应用. 8．C 【分析】过点B 作BN l ⊥与点N ，过点B 作BK AM ⊥于点K ,设||BF x =，则||2AF x =,可得4||23CF p x ===，可得x 的值，计算出||AM 、MC 的值，可得四边形AMCF 的面积. 【详解】过点B 作BN l ⊥与点N ，过点B 作BK AM ⊥于点K ,设||BF x =，则||2AF x =, 则||3AB x =,||AK x =,4||23CF p x ===，可得32x =,可得||3AM =,312A x =-=,MC ==则四边形AMCF 的面积11()(23)22S CF AM MC =+⋅=⨯+⨯=故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义，几何性质，考查推理运算能力，考查数学抽象、数学运算核心素养. 9．B 【分析】根据点、直线、平面的位置关系，取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，对①②③三个命题进行一一判断可得答案. 【详解】如图，取DC 的中点N ，连接NM 、NB ，易得1NMA D 且112NM A D ==定值，NB DE 且=NB DE =定值，易得1MNB A DE ∠=∠=定值，由余弦定理可得：2222cos MB MN NB MN NB MNB =+-⋅⋅∠，可得BM 为定值，故A 正确；②若1DE A C ⊥，设2=2AB AD =，由60BAD ︒∠=易得DE =1, CE 可得222+CE DE CD =,即CE DE ⊥，因为1AC CE C =,可得DE ⊥面1A CE ,可得1DE A E⊥与已知相矛盾，故②错误；③易得1NM A D ，NB DE ，可得面MNB 面1A DE ,所以//MB 平面1A DE ，故③正确，故选：B . 【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系，综合性大，属于中档题. 10．A 【分析】根据函数()f x 的部分图像求出()f x 的解析式，再根据三角函数的图像与性质，判断题目中的命题是否正确. 【详解】解：由图像可知：A =741234T πππ=-=,可得T π=,故①正确；由2T ππω==，可得2ω=，所以())02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，又7sin()sin()67(6)12f ππϕϕπ+=+==2,62k k z ππϕπ+=+∈，2,3k k z πϕπ=+∈，可得3πϕ=，故())3f x x π=+，令2,32x k k z πππ+=+∈，可得,212k x k z ππ=+∈，当1k =-时，对称轴为512x π=-，故②正确；令2,3x k k z ππ+=∈，可得,26k x k z ππ=-∈，当1k =-时，对称中心为2(,0)3π-，故③正确；函数()f x 的图像向右平移3π个单位后得到)]33x y ππ=-+，即)3y x π=-，故④错误.故选：A. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断及三角函数的性质与平移，属于中档题. 11．A 【分析】分别求出2AF ，2BF 得值，由121222AF F BF F S AF S BF ∆∆=，代入可得12r r 的值.【详解】由题意得：3,2,a b c ===，由过2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，设A 点在上方，可得22cos 60o b AF a c ==-⋅22cos 60ob BF ac ==+⋅,可得121222AF F BF F S AF S BF ∆∆==,262r =++⨯，1=，可得123r r =，故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质及焦半径的计算公式，考查转化思想与应用能力，属于中档题. 12．A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系. 【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==，易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x ex =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-；同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 13．240 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可. 【详解】由题意得：616(2)r rr r T C x -+=，只需3632r -=，可得2r ，代回原式可得33240T x =，故答案：240. 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难. 14．11-或3或17 【分析】求出这组数据的平均数与众数，分中位数进行讨论可得x 的取值. 【详解】由题意可得这组数据的平均数为：10542222577x x+++++++=，众数为2，若2x ≤，可得25247x++=，可得11x =-；若24x ≤≤，则中位数为x ，可得25227xx +=+，可得3x =；若4x ≥，则中位数为4，可得252427x+⨯=+，可得17x =，故答案为：11-或3或17. 【点睛】本题考查平均数、众数、中位数，考查数据处理能力和运算求解能力.15．8【解析】解答：由圆的方程可得圆心C 的坐标为(2,2)，半径等于1. 由M (a ,b ),则|MN |2=(a −2)2+(b −2)2−12=a 2+b 2−4a −4b +7， |MO |2=a 2+b 2.由|MN |=|MO |,得a 2+b 2−4a −4b +7=a 2+b 2. 整理得：4a +4b −7=0.∴a ，b 满足的关系为：4a +4b −7=0. 求|MN |的最小值，就是求|MO |的最小值．在直线4a +4b −7=0上取一点到原点距离最小，由“垂线段最短”得，直线OM 垂直直线4a +4b −7=0，由点到直线的距离公式得：MN =16．34π或98π【分析】分a 在不同的区间进行讨论，得出符合条件的a 的值即可. 【详解】由题意得：①当[0,]2a π∈，2[0,]a π∈，[0,]sin a M a =，[,2]1a a M =，可得sin a =②当[,]2a ππ∈，2[,2]a ππ∈，[0,]1a M =，[,2]sin a a M a =，可得1a =，34a π=；③当3[,]2a ππ∈，2[2,3]a ππ∈，[0,]1a M =，[,2]sin 21a a M a =或，可得2a ，98a π=;④当3[,]2a π∈+∞，[0,]1a M =，[,2]1a a M =，不满足[0,][,2]a a a M =，故答案为：34π或98π. 【点睛】本题主要考查正弦函数的性质，分类讨论是解题的关键.17．（1）45B =︒（2 【分析】（1）在ADC ∆中，利用余弦定理求ADC ∠和ADB ∠，在ABD ∆中，利用正弦定理求角B ；（2）分别求出ABD ∆和ADC ∆，进而可得ABC ∆的面积. 【详解】（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得1cos 2ADC =-∠，所以120ADC =∠︒，从而60ADB ∠=︒. 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin B 45B =︒. （2）由（1）知75BAD ∠=︒，且sin 754︒=.所以13)sin 28ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠=，1sin 24ADC S DA DC ADC ∆=⋅∠=，所以758ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+=. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查运算求解能力和化归与转化得数学思想.18．（1）证明见解析（2【分析】（1）易得DE AB ⊥，由1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC 可得1AA DE ⊥，可得DE ⊥平面11AA B B ，1DE A F ⊥，且11DB A F ⊥，可得1A F ⊥平面1B DE ，可得证明；（2）过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连接BG ，可得BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角，计算BH 、BG 的值可得答案. 【详解】（1）因为AC AB ⊥，//DE AC ，所以DE AB ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以1AA DE ⊥. 因为1ABAA A =，所以DE ⊥平面11AA B B . 因为1A F ⊂平面11AA B B ，所以1DE A F ⊥. 易证11DB A F ⊥，因为11DB D E D =，所以1A F ⊥平面1B DE ，因为1A F ⊂平面111AC F ，所以平面11A C F ⊥平面1B DE .（2）过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连接BG ，则可证BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角. 在1Rt B BD ∆中，求得BH =；在1Rt B BE ∆中，求得BG =.所以sin 5BH BGH BG ∠==. 【点睛】本题主要考查空间中线、面的位置关系，及二面角的相关计算，难度中等.19．（1）22143x y +=（2【分析】（1）由题意可得1bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，可得a 、b 得值，可得答案；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，联立直线与椭圆可得OAB ∆面积的最大值，当直线l 的斜率不存在时，可得此时OAB ∆的面积，综合可得答案. 【详解】（1）由1bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩及222a b c =+，得2,a b ==.所以，椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程，整理，得222()4384120k x kmx m +++-=. 由>0∆，得22430k m -+>. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则122843km x x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+.于是2||43AB k ==+.又，坐标原点O 到直线l的距离为d =.所以，OAB ∆的面积1||||2S AB d m =⋅⋅=22222(43)12||43432m k m m k k -+=≤=++.所以，1||2S AB d =⋅⋅≤当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x m =，同理可求得11||||22S AB d m =⋅⋅=≤所以，OAB ∆【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的计算及圆锥曲线相关的面积问题，需注意计算准确.20．（1）620元（2）列联表见解析，有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系，（3）选择方案二更划算【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列表联，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的金额，比较它们的大小即可. 【详解】（1）因为(1000.000503000.000755000.001007000.001259000.0010011000.00050)x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200620⨯=（元），所以，预估2021年7、8两月份人均健身消费为620元. （2）列联表如下：因为22100(10302040) 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系. （3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000.33311(700)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 22313(800)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(900)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 30311(1000)28P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）因为850900<，所以选择方案二更划算. 【点睛】本题主要考查独立性检验的运用及离散型随机变量的期望与方差，熟练掌握相关计算公式是解题的关键.21．（1）2a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()()(1)1x g x f x ax e e a x =--=+--，则()1xg x e a '=+-，分1a ≤和1a >进行讨论可得a 的值；（2）因为()()120f x f x +=，代入()f x 可得12122(1)x xe e x x e +++=+，因为12122122,x x x x e e ex x ++≥≠，所以121222x x x x e e e++>，令12x x t +=，则22220t e t e +--<.记2()2220t m t e t e =+--<，对()m t 求导可得证明. 【详解】（1）令()()()(1)1xg x f x ax e e a x =--=+--，则()1xg x e a '=+-，由题意，知()0g x ≥对x ∈R 恒成立，等价min ()0g x ≥.当1a ≤时，由()0g x '≥知()(1)1xg x e a x =+--在R 上单调递增.因为1(1)(1)10g a e-=---<，所以1a ≤不合题意；当1a >时，若(,ln(1))x a ∈-∞-，则()0g x '<，若(ln(1),)x a ∈-+∞，则()0g x '>，所以，()g x 在(,ln(1))a -∞-单调递减，在(ln(1),)a -+∞上单调递增.所以min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥记()2(1)ln(1)(1)h a a a a a =-+-->，则()ln(1)h a a '=--.易知()h a 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减，所以max ()(2)0h a h ==，即2(1)ln(1)0a a a -+--≤.而min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥，所以2(1)ln(1)0a a a -+--=，解得2a =.（2）因为()()120f x f x +=，所以12122(1)x x e e x x e +++=+. 因为12122122,x x x x e e e x x ++≥≠，所以121222x x x x e e e++> 令12x x t +=，则22220te t e +--<. 记2()2220t m t e t e =+--<，则2()10t m t e '=+>，所以()m t 在R 上单调递增.又(2)0m =，由22220t e t e +--<，得()(2)m t m <，所以2t <，即122x x +<.另证：不妨设12x x <，因为()10x f x e '=+>，所以()f x 为增函数.要证122x x +<，即要证212x x <-，即要证21()(2)f x f x <-.因为12()()0f x f x +=，即要证11()(2)0f x f x +->.记2()()(2)2x x h x f x f x e e e -=+-=+-，则()()()x x x e e e e h x e-+'=. 所以min ()(1)0h x h ==，从而()()(2)0h x f x f x =+->，得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值及证明，综合性大，考查了分类讨论思想，属于难题.22．（1）20x y +-=，22193x y +=（2）32 【分析】（1）将题中所给直线参数方程进行消参，得到直线的普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系，可得其直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，整理得到关于t 的一元二次方程，结合根与系数的关系及t 的几何意义可得答案.【详解】（1）方程222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可化为20x y +-=. 方程22932cos ρθ=-可化为22193x y +=.（2）将222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22193x y +=，得2230t ++=.设方程2230t ++=的两个根分别为1t ，2t ，则123||||||||2MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查的是有关参数方程与极坐标的问题，需注意直线的参数方程与普通方程的互化及曲线极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.23．（1）(2,2)-（2）证明见解析【分析】（1）利用绝对值三角不等式或将函数的零点分段，结合函数的单调性可得a 的值；（2）由题意结合基本不等式代入计算可得答案.【详解】（1）方法一：因为()||||||||f x x a x x a x a =-+≥--=，因为存在实数x ，使()2f x 成立，所以||2a <，解得22a -<<.方法二：当0a =时，符合题意.当0a >时，因为2,(),02,0x a x a f x x a x a x a x a x ->⎧⎪=-+=≤≤⎨⎪-+<⎩，所以min ()f x a =.因为存在实数x ，使()2f x 成立，所说义2a <.当0a <时，同理可得2a >-.综上，实数a 的取值范围为(2,2)-.（2）因为3m n +=，所以1414141()(5)5)3333m n n m m n m n m n ++=+=++≥=，当且仅当1,2m n ==时取等号.【点睛】本题主要考查不等式的相关知识及基本不等式，注意运算的准确性.。

【答案】武昌区2020届高三元月调考理科数学

武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13． 240 14．11-，3，17 15．8 16．3π4或9π81．答案：D 解析：{|12},{|2},{|10},0A x x B x a x a A B x x a =-<<=-<<=-<<∴=I ，(1,2),(2,0),(2,2)A B A B ∴=-=-=-U ．2．答案：A 解析：11i 11i(i)i 1,(1i)1,i 1i (1i)(1i)22z z z z z +=-=⋅+∴-====+--+，则z 在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 3．答案：B 解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由3223a a =+，可得2223,230q q q q =+--=，(1)(3)0q q +-=，1113,3n n n q a a q --∴===．4．答案：D解析：0.10,10.1log 1log 0.2log 0.1<<，即01a <<， 1.1 1.1log 0.2log 10b =<=，0.201.1 1.11c =>=，所以c a b >>．5．答案：D 解析：以C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则42(0,0),(2,0),(0,2),,33C A B P ⎛⎫⎪⎝⎭，则424284,(2,0),(0,2)4333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ．6．答案：D 解析：每位学生有3种选择，则4位学生共有4381=种选择，则恰有2人申请A 学习小组的情况有242224C ⨯⨯=种，所以所求概率为2488127P ==． 7．答案：A 解析：易求得32n a n =-，则111111(32)(31)33231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 1211111111113447323133131n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ，由93n T n λ<+，得9331nn n λ<++，所以23(31)n n λ+<恒成立，即2min3(31)n n λ⎡⎤+<⎢⎥⎣⎦，因为223(31)3(961)1396n n n n n n n +++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，记1()96(1)f x x x x =++≥，则21()90f x x '=->，所以函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)16f x f ==，所以2min3(31)31648n n ⎡⎤+=⨯=⎢⎥⎣⎦，故48λ<．8．答案：C 解析：(1,0),(1,0)F C -，设AFx θ∠=，则22,1cos 1cos AF BF θθ==-+，由2AF FB =，得241cos 1cos θθ=-+，解得1cos 3θ=，所以直线AB的斜率tan k θ==AB 的方程为：1)y x =-，将其代入24y x =，并整理得：22520x x -+=，解得1212,2x x ==，(2,A ∴，DE ，取DE 中点F ，连接1,A F CF ，1A DE Q △是正三角形，1A F DE ∴⊥，若1DE A C ⊥，则可得出DE ⊥平面1A CF ，从而DE CF ⊥，显然DE 与CF 不垂直，得出矛盾，所以②错误；1//,//MN A D BN DE Q ，,MN BN ⊄平面1A DE ，1,A D DE ⊂平面1A DE ，//MN ∴平面1A DE ，//BN 平面1A DE ，又MN BN N =I ，∴平面//BMN 平面1A DE ，//BM ∴平面1A DE ，③正确．10．答案：C 解析：72,,241234T A T T πππππω==-=∴===，当3x π=时，2,33x ππωϕϕπϕ+=+=∴=，故()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然①正确；当512x π=-时，232x ππ+=-，所以②正确；C当23x π=-时，23x ππ+=-，所以③正确；函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得22333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故④错误．所以正确说法的个数是3．11．答案：A解析：如图，设圆1O 与1221,,F F AF AF 分别相切于点,,D E G ，则1212222DF DF GF EF AF AF a -=-=-=，又12122DF DF F F c +==，12,DF c a DF c a ∴=+=-，同理可知，圆2O 与12F F 也相切于D 点，2121120,60AF F BF F ∠=︒∠=︒，，所以11223O D rr O D==．2e ()ln x g x x x x -=+-，设2e x s x -=，则0s >，ln 2ln s x x =--，ln ln 2x x s ∴-=--，所以2e ()ln ln 2(0)x g x x x s s s x-=+-=-->，所以()f x 的最小值和()g x 的最小值相等． 13．答案：240 解析：展开式的通项为36662166(2)2kk k k k k k T C x C x ---+==，令3632k -=，得2k =，所以展开式中3x 项的系数为24621516240C ⨯=⨯=．14．答案：11-，3，17解析：平均数为257x +，众数为2，中位数可能是2或x 或4，依据题意可得，25247x++=或2x 或8，解得11x =-或3或17，经检验，均符合题意，所以x 所有可能的取值为11-，3，17．15．答案：8AB CD 解析：设(,)M x y ，则22222222(2)(2)1,,,MNx y MO x y MN MO MN MO =-+--=+=∴=Q ，即2222(2)(2)1x y x y -+--=+，整理得：4470x y +-=，MN 的最小值即为MO 的最小值，即为原点O 到直线4470x y +-=的距离8d ==． 16．答案：3π4或9π8解析：当04a π<≤时，22a π≤，[0,][,2]sin ,sin 2a a a M a M a ==，且sin sin 2a a <，显然不满足条件；当42a ππ<<时，则22a ππ<<，此时[0,][,2]sin ,1a a a M a M ==，也不满足条件；在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB ADADC B =∠，sin 5sin 60sin 5AD ADC B AB ∠⨯︒===，所以45B =︒或135B =︒（舍去）． ……………（4分）（2）由（1）知75BAD ∠=︒，且sin 754︒=所以1sin 2ABDS AB AD BAD ⋅∠=△， 1sin 2ADC S DA DC ADC =⋅∠=△ABC ABD ADC S S S =+=△△△． …………（12分） 18．解析：（1）因为AC AB ⊥，//DE AC ，所以DE AB ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以1AA DE ⊥．因为1AB AA A =I ，所以DE ⊥平面11AA B B ．因为1A F ⊂平面11AA B B ，所以1DE A F ⊥．易证11DB A F ⊥，因为11DB D E D =I ，所以1A F ⊥平面1B DE ．因为1A F ⊂平面11AC F ，所以平面11A C F ⊥平面1B DE ． ……………（4分）（2）方法一：过B 作1BH B D ⊥，垂足为H ，过H 作1HG B E ⊥于G ，连结BG ，由（1）知DE ⊥平面11AA B B ，而BH ⊂平面11AA B B ，DE BH ∴⊥，又1BH B D ⊥，1DE B D D =I ，BH ∴⊥平面1B DE ，1B E ⊂Q 平面1B DE ，1B E BH ∴⊥，又1HG B E ⊥，BH HG H =I ，1B E ∴⊥平面BGH ，从而1B E BG ⊥ ，所以BGH ∠为二面角1B B E D --的平面角．在1Rt B BD △中，求得BH =；在1Rt B BE △中，求得BG =．所以sin BH BGH BG ∠==． ……………………………（12分）方法二：以A 为坐标原点，1,,AC AB AA 所在方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,2,2)B D E B ，1(1,1,0),(1,1,2),(1,0,0)EB EB ED =-=-=-u u u r u u u r u u u r，设平面1BB E 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则 111111020m EB x y m EB x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u r u u u rur u u u r ，取11x =，得(1,1,0)m =u r ．设平面1B ED 的法向量222(,,)n x y z =r，则1222220n EB x y z n ED x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取21z =-，则(0,2,1)n =-r ．则cos ,m n m n m n⋅===⋅u r ru r r u r r ． A 1C BAB 1DC 1EFGH设二面角1B B E D --的大小为θ，则sin 5θ==． 19．解析：（1）由1,bc a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩及222a b c =+，得2a =，b =所以，椭圆E 的方程为22143x y +=． ……………………………（4分）（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程，整理，得222(43)84120k x kmx m +++-=．由0∆>，得22430k m -+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -⋅=+．于是243AB k ==+．又坐标原点O 到直线l的距离为d =．所以，OAB △的面积12S AB d m =⋅⋅=因为2222(43)12432m k m m k +-+==+，所以，12S AB d =⋅⋅当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x m =，同理可求得1122S AB d m =⋅⋅=．所以，OAB △……………………………（12分）20．解析：（1）因为(1000.000503000.000755000.001007000.00125900x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.0010011000.00050)200620+⨯⨯=（元），所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分）（2）列联表如下：…因为22100(10302040) 4.762 3.84150503070K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分）（3）若选择方案一：则需付款900元；若选择方案二：设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000．33311(700)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，22313(800)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 31313(900)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，30311(1000)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以1331()70080090010008508888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）因为850900<，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分）21．解析：（1）令()()(e)e (1)1xg x f x ax a x =--=+--，则()e 1xg x a '=+-．由题意，知()0g x ≥对R x ∈恒成立，等价min ()0g x ≥．当1a ≤时，由()0g x '≥知()e (1)1xg x a x =+--在R 上单调递增．因为1(1)(1)10g a e-=---<，所以1a ≤不合题意；当1a >时，若(,ln(1))x a ∈-∞-，则()0g x '<，若(ln(1),)x a ∈-+∞，则()0g x '>，所以，()g x 在(,ln(1))a -∞-单调递减，在(ln(1),)a -+∞上单调递增．所以min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥．记()2(1)ln(1) (1)h a a a a a =-+-->，则()ln(1) h a a '=--．易知()h a 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减，所以max ()(2)0h a h ==，即2(1)ln(1)0a a a -+--≤．而min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥，所以2(1)ln(1)0a a a -+--=，解得2a =． ……………………………（6分）（2）因为12()()0f x f x +=，所以1212e e 2(e 1)xxx x +++=+．因为12122e e 2ex x x x ++≥，12x x ≠，所以12122e e2ex x x x ++>．令12x x t +=，则22e 2e 20t t +--<．记2()2e 2e 20t m t t =+--<，则2()e 10t m t '=+>，所以()m t 在R 上单调递增．又(2)0m =，由22e 2e 20t t +--<，得()(2)m t m <，所以2t <，即122x x +<．…………（12分）另证：不妨设12x x <，因为()e 10xf x '=+>，所以()f x 为增函数．要证122x x +<，即要证212x x <-，即要证21()(2)f x f x <-．因为12()()0f x f x +=，即要证11()(2)0f x f x +->．记2()()(2)e e2e xxh x f x f x -=+-=+-，则(e e)(e e)()e x x xh x -+'=．所以min ()(1)0h x h ==，从而()()(2)0h x f x f x =+->，得证．22．解析：（1）方程,222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩可化为20x y +-=．方程22.932cos ρθ=-可化为22193x y +=． ……………………（5分）（2）将,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22193x y +=，得2230t ++=．设方程2230t ++=的两根分别为1t ，2t ，则1232MA MB t t ⋅=⋅=．…………………（10分） 23．解析：（1）方法一：因为()()f x f x x a x x a x a ==-+--=≥，因为存在实数x ，使()2f x <成立，所以2a <，解得22a -<<．方法二：当0a =时，符合题意．当0a >时，因为2, ,(), 0,2, 0,x a x a f x x a x a x a x a x ->⎧⎪=-+=⎨⎪-+<⎩≤≤ 所以min ()f x a =．因为存在实数x ，使()2f x <成立，所以2a <．当0a <时，同理可得2a >-．综上，实数a 的取值范围为(2,2)-． ……………………………（5分）（2）因为3m n +=，所以1414141553333m n n m m n m n m n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫+=+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1,2m n ==时取等号． ……………………………（10分）。

2020届湖北省第五届高考测评活动高三元月调考理科数学试题(解析版)

2020年湖北省第五届高考测评活动高三元月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|A x y ==，集合2{|0}B x x x =-<，则A B =I （）A. ∅B. {|1}<x xC. {|01}x x <<D. {|0}x x <【答案】D【解析】【分析】可以求出集合A 、B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{}{}101A x x x x =-≥=≤Q ，{}{200B x x x x x =->=<或}1x >， {|0}A B x x ∴⋂=<．故选：D ．【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.复数4312i z i +=+的虚部为（） A. iB. i -C. 1D. -1 【答案】D【解析】由()()()()43124310521212125i i i i z i i i i +-+-====-++-，所以复数的虚部为1-，故选D ． 3.若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，则a 的值为（）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】A【解析】【分析】将圆的圆心代入直线方程即可.【详解】解：因为直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=，又圆的标准方程为22(1)(2)4x y -++=，所以直线经过圆心(1,2)-， 120a -+=所以1a =，故选A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置问题，是基础题．4.已知向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r ，则AC =u u u r （）A. 5B.C. 6D. 【答案】A【解析】【分析】通过向量的数量积求解x ，并求出向量AC u u u r 的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出AC u u u r ．【详解】解：向量()1,2AB =-u u u r ，(),5BC x =-u u u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r ，可得107x --=-，解得3x =-，所以()4,3AC AB BC =+=--u u u r u u u r u u u r ，则5AC ==uuu r ．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．5.图1是我国古代数学家赵爽创制一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5AD =，3BD =，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形(阴影部分)的概率为（）A. 964B. 449C. 225D. 27【答案】B【解析】【分析】求得120ADB ∠=︒，在ABD V 中，运用余弦定理，求得AB ，以及DE ，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．【详解】解：18060120ADB ∠=︒-︒=︒Q ，在ABD V 中，可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即为222153253492AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得7AB =， 2DE AD BD =-=Q ，224()749DEF ABC S S ∴==V V ．故选：B ．【点睛】本题考查三角形的余弦定理，同时也考查了利用几何概型的概率公式计算概率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则z=3x-2y 的最小值为（） A. 13 B. 13- C. 5- D. 5【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由题意，画出约束条件，所表示的平面区域，如图所示，化目标函数32z x y =-为322z y x =-，由图可知，当直线322z y x =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （-1，1），可得目标的最小值为3(1)215z =⨯--⨯=-，故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7.将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（）A 18种 B. 24种 C. 32种 D. 36种【答案】B【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A =种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A =种情况；则若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．8.已知实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过举反例得到“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；再由“224x y +≤”⇒“1xy ≤”.能求出结果．【详解】解：Q 实数0x >，0y >，∴当3x =，14y =时，13422224x y +=+>， ∴“1xy ≤”推不出“224x y +≤”；反之，实数0x >，0y >，由基本不等式可得22x y +≥由不等式的基本性质得224x y ≤+≤，整理得24x y +≤，2x y ∴+≤，由基本不等式得212x y xy +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即“224x y +≤”⇒“1xy ≤”． ∴实数0x >，0y >，则“1xy ≤”是“224x y +≤”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．9.将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π 【答案】C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值．所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+，由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=．故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．10.关于函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭有下列结论： ①图象关于y 轴对称；②图象关于原点对称；③在(),0-∞上单调递增；④()f x 恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A. ①③B. ②④C. ③④D. ①③④ 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．【详解】解：函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭， ①中，()()121211************ x x x x x x x e e e f x f x x e x e x e e x e -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；在②中，函数()1211x f x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，图象关于y 轴对称，故②错误；在③中，任取120x x >>，则()()()211212122222211111111x x x x x x x x e e e e e e e e -⎛⎫⎛⎫+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭， 120x x >>Q ，210x x e e ∴-<，110x e ->，210x e ->，12221111x x e e ∴+<+--， 111211011x x x e e e ++=>--Q ，同理22101x e +>-，即212211011x x e e +>+>--， 120x x >>Q ，21110x x ∴>>，212112121111x x x e x e ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x <，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，故③正确；在④中，当0x >时，10x >，2101x e +>-，()0f x >，当0x <时，10x <，2101x e +<-，()0f x >，()f x ∴恒大于0，故④正确．故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．11.已知抛物线C ：22x py =的焦点为F，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（） A. 78 B. 1 C. 76【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，求出AB 斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长．【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=，cos 7BNB '∴∠=-，tan BNB '∠=，又()M ，AB ∴的方程为y x =-，取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =．联立22y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 12.如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD =，则ABC V 的面积的最大值为（）A. B. 4D. 【答案】C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()421sin θϕ⎤=+-⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴V ．故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在2log 0.2，0.22，0.30.2三个数中，则最大的数为______．【答案】0.22【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：22log 0.2log 10<=Q ，2log 0.20∴<，0.20221>=Q ，0.221∴>，0.3000.20.21<<=Q ，0.300.21∴<<，0.22∴最大，故答案为：0.22．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．14.已知F 是双曲线C ：2213y x -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若OP OF =，则OPF V 的面积为______．【答案】32【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点，求出P 点坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F 为双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，21a =，23b =，则2c =，则以O 为圆心，以2为半径的圆的方程为224x y +=．联立2222413x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得32P ⎫⎪⎪⎝⎭，1332222OPF S ∴=⨯⨯=V ．故答案为：32．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.设数列{}n a 满足1a a =，()()()*1112n n n a a a n N +--=∈，若数列{}n a 的前2019项的乘积为3，则a =______．【答案】2【解析】【分析】本题先根据递推式的特点可知1n a ≠，然后将递推式可转化为11.1nn na a a ++=-再根据1a a =逐步代入前几项即可发现数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a 的值．【详解】解：由题意，根据递推式，1n a ≠，故递推式可转化为111nn na a a ++=-． 1a a =Q ，211a a a+∴=-，232111111111a a a a a a a a+++-===-+---，34311111111a a a a a a a -+-===-++， 45411111111a a a a a a a a -+++===---+． ∴数列{}n a 是以最小正周期为4的周期数列，1234111111a a a a a a a a a a +-⎛⎫∴⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅= ⎪-+⎝⎭． 201945043=⨯+Q ，122019123111311a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫∴⋅⋯=⋅⋅=⋅⋅-== ⎪--⎝⎭，解得2a =．故答案为：2．【点睛】本题主要考查周期数列的判定以及周期数列的性质应用，本题属中档题． 16.已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2xxh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1x x cosx a e+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()()1,0,2xx cosx g x x e π+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题有6小题，共60分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.已知函数()232f x sinxcos x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．()1求512f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； ()2求()f x 的最小正周期及单调增区间．【答案】（1）12- ；（2）最小正周期为π，()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解．【详解】解：(1)因为()212sin cos sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 21sin 2sin 2cos 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以5571sin sin sin sin 12636662f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 的最小正周期22T ππ==．令222232k x k πππππ-≤+≤+，解得51212k x k ππππ-≤≤+，所以()f x 的单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，考查了正弦函数的性质的应用，属于中等题.18.已知数列{}n a 满足11a =，141n n a a n ++=-，1n =，2，3⋯.()1求数列{}n a 的通项；()2设12233445212221n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，求n S ．【答案】()21,122,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数； ()2 28n S n =-.【解析】【分析】()1利用数列的递推关系式推出114n n a a +--=，通过当n 为奇数，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，分别求解通项公式；()2化简()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，然后求解数列的和即可．【详解】解：()1141n n a a n ++=-Q ，1n =，2，3⋯①，()1411n n a a n -∴+=--，2n =，3，4⋯②-①②得114n n a a +--=，2n =，3⋯当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数；()122334452122212n n n n n S a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-，()()()21343522121n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-()()()()224622424482n n n a a a a n +-=-+++⋯+=-=-．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法以及数列求和的方法，是中档题． 19.已知()2(,f x kx sin x asinx k =-+a 为实数)．()1当0k =，2a =时，求()f x 在[]0,π上的最大值； ()2当4k =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围．【答案】()1； ()2 []22-,. 【解析】【分析】()1求导后，列表得x ，()'f x ，()f x 变化情况，进而求得最大值；()2依题意，2460cos x acosx --≤恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．【详解】解：()1当0k =，2a =时，()22f x sin x sinx =-+，()()()2'2224222211f x cos x cosx cos x cosx cosx cosx =-+=-++=+-，则x ，()'f x ，()f x 的变化情况如下：2()3f x f π⎛⎫∴==⎪⎝⎭最大值； ()()2f x 在R 上单调递增，则()()2242cos sin cos 0f x x x a x '=--+≥对x R ∀∈恒成立，得2460cos x acosx --≤，设[]1,1t cosx =∈-，()246g t t at =--，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，则有()()120120g a g a ⎧-=-≤⎪⎨=--≤⎪⎩，得22a -≤≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题．20.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点(),0F c 的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，当BC x ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18．()1求椭圆Γ的方程；()2如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线x c =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ，问x 轴上是否存在点P ，使得PM PN ⊥，若存在求出点P 的坐标；若不存在说明理由．【答案】()1 2211612x y +=； ()2 存在，P ()1,0-或()5,0.【解析】【分析】()1由离心率及三角形ABC 的面积和a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；()2由()1知A 的坐标，设直线BC 的方程，及B ，C 的坐标，进而写直线AB ，AC 的方程，与直线x c =联立求出M ，N 的坐标，假设存在P 点，是PM PN ⊥，使0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，求出P 点坐标．【详解】解：()1由已知条件得()22221212182c a b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得4,a b ==；所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=：；()2设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，则直线AB 、AC 的方程分别为()1144y y x x =++和()2244yy x x =++，所以点M 、N 的坐标分别为1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、，联立()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k-+==++；于是()()()()()()22121212121212121236243622664444416M N k x x x x k x x y y y y x x x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=⋅==+++++++2222222221648163624343491648164163434k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭==--++++，假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，则2(2)0M N t y y -+=，所以1t =-或5，所以当点P 为()1,0-或()5,0时，有PM PN ⊥．【点睛】考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的综合应用，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中难题．21.黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况(单位：百元)，相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：()1求所得样本的中位数(精确到百元)；()2根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；()3若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈；(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈【答案】()145(百元)；()217.1万；()3分布列见解析，()245E X =．【解析】【分析】()1设样本的中位数为x ，可得()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得x ； ()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)22P x P x μσμσμσ--<<+≥+=，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．【详解】解：()1设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得45x =，所得样本中位数为45(百元)；()245μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)10.954420.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===，0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上；()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35，X 可能取值为3，4，5，6．()3283()5125P X ===，()12332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()33276()5125P X ===，故其分布列为：()83654272434561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>．【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证．【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='Q ， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-，则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10g a a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =，所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <，所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=．令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->，所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x=-<，故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lnaf lna aln lna lna e a lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()0120111xx x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=．因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．。

武昌区2020届高三年级理科数学调研考试试卷附答案

AB A． (1,2)
B. (0,2)
C． (2,1)
D． (2,2)
2．已知复数 z 满足 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于 zi
A．第一象限
B. 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 1 ， a3 2a2 3，则 an
A． 3n2
B. 3n 1
二、填空题： 13. 240 14. 11，3，17
15. 7 2 8
16. 3π 或 9π 48
三、解答题： 17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3. 2
（1）求 B ；（2）求 ABC 的面积.
解：（1）在 ADC 中，由余弦定理，得 cosADC 1 ， 2
k
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
K2
n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分）已知函数 f (x) ex x e 1 . （1）若 f (x) ax e 对 xR 恒成立，求实数 a 的值；（2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2) 0 ，证明： x1 x2 2 .
因为 AB AA1 A ，所以 DE 平面 AA1B1B .
C1
因为 A1F 平面 AA1B1B ，所以 DE A1F .
高三理科数学第6页（共10页）
C
A1
B1
A G
HF
D
E
B
易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ，

2020年昌区高三数学元月调研考试试题及答案

湖北省武昌区高三年级元月调研考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

非选择题用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上。

答在试题卷上无效。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kkkn n P k C p p -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}11<-=x x M ，(){}03<-=x x x N ，则（）A ．M N M =IB ．N N M =I C.φ=N M I D ．M N M =Y2．=+-→xxx 11lim0（）A ．1-B ．1C ．21 D ．21- 3．已知复数z 满足ii z 313+=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（）A.i 23 B.i 43- C. 43- D.23- 4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭5.若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-132的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（）A.3927C - B.3927C C.499C - D. 499C6．在等比数列{}n a 中,21=a ,前n 项和为n S .若数列{}1+n a 也成等比数列,则n S 等于（）A.221-+nB.n 3C. n 2D.13-n7．若随机变量ξ服从正态分布ξ~()2,3N ，23-=ξη，则随机变量η的期望是（）A ．0 B.22 C. 223 D. 2 8．把函数()x f y =的图象按向量)2,3(-=πa ρ平移后，得到函数)(x g y =的图象，若函数x y cos =的图象与)(x g y =的图象关于直线4π=x 对称，则)(x f 的解析式是（）A.2)3sin(-+=πx y B.2)3sin(--=πx y C.2)3sin(++=πx y D.2)3sin(+-=πx y9．已知函数f (x )()R x ∈的图象如图所示，()x f '是函数f (x )的导函数，且()1+=x f y 是奇函数，给出以下结论: ①()()011=++-x f x f ； ②()()01≥-'x x f ； ③()()01≥-x x f ； ④()()0lim 0f x f x =→.其中一定正确的是 ( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 10．已知函数()()x xx x f -+-=1log 233，则对于任意实数a 、b （0≠+b a ），()()ba b f a f ++的值（）A.恒大于0B.恒等于0C.恒小于0D.符号不确定二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11. 过点()1,1M 的直线l 与曲线C ：19422=+y x 相交于B A ,两点,若点M 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为______________________.12. 给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线平行;②若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条;③若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交;④一条直线至多与两条异面直线中的一条相交.其中正确命题的序号是____________ (写出所有正确命题的序号). 13．数列1173,}11{,1,2,}{a a a a a n n 则是等差数列数列中+=== . 14.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有_____种.15．已知O 是△ABC 的外心，2=AB ，1=AC ，ο120=∠BAC .设a AB =，b AC =,若b a AO 21λλ+=，则=+21λλ______________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设函数()b a x f ⋅=，其中向量()()1,sin 1,cos ,x b x m a +==，x ∈R ，且π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值．17．（本小题满分12分）某工厂规定，如果工人在一个季度里有1个月完成生产任务，可得奖金90元；如果有2个月完成生产任务，可得奖金210元；如果有3个月完成生产任务，可得奖金330元；如果工人三个月都未完成任务，则没有奖金.假设某工人每月完成任务与否是等可能的，求此工人在一个季度里所得奖金的期望.18．（本小题满分12分）已知四棱锥 ABCD P -的底面是直角梯形，AB ∥DC ，ο90=∠=∠BCD ABC ，CD PC PB BC AB 2====，侧面⊥PBC 底面ABCD .（Ⅰ）求证:BD PA ⊥；（Ⅱ）求二面角C BD P --的正切值.P AB CD19. （本小题满分12分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，－2），点C 满足 m OB n OA m OC 其中,+=、12,=-∈n m R n 且. （Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）设点C 的轨迹与双曲线),0,0(12222b a b a by a x ≠>>=-且交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，求证为定值2211ba -；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若双曲线的离心率不大于3，求双曲线实轴长的取值范围.20．（本小题满分13分）已知函数()()()R a x ax x f ∈-+=1ln 22.(Ⅰ)若()x f 在[)2,3--上是增函数,求实数a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在正实数a ,使得()x f 的导函数()x f '有最大值221-?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.21．（本小题满分14分）已知数列.)11(2,2:}{211n n n a na a a +==+满足（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n C Bn An b 2)(2⋅++=，试推断是否存在常数A ，B ，C ，使对一切*∈N n 都有n n n b b a -=+1成立？说明你的理由；（Ⅲ）求证：.2)22(2221+⋅+-≤+++n n n n a a a Λ湖北省武昌区高三年级元月调研考试数学试卷参考答案及评分标准一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADCBBCACBA二.填空题11. 01349=-+y x 12. ② 13． 21 14. 120 15． 613三.解答题16．解：（Ⅰ）()()x x m b a x f cos sin 1++=⋅=. …………………………………3分由πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． ………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 12sin 14f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. ………………8分由22ππ≤≤-x ,得4344πππ≤+≤-x . ∴当24ππ=+x ,即4π=x 时,函数()x f 有最大值12+. ……………………12分17．解：设此工人一个季度里所得奖金为ξ，则ξ是一个离散型随机变量.由于该工人每月完成任务与否是等可能的,所以他每月完成任务的概率等于21. …………………2分所以, ()812121033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ,()832121902113=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ, ()8321212101223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ,()8121213300333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ. …………8分于是75.153461581330832108390810==⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 所以此工人在一个季度里所得奖金的期望为153. 75元. ……………………12分 18．解：（Ⅰ）取BC 的中点H,连结PH, 连结AH 交BD 于E.BC PH PC PB BC ⊥∴==,Θ. ……………………………2分又面⊥PBC 面ABCD ,⊥∴PH 面ABCD .PAB CD HE21tan tan =∠=∠DBC HAB Θ,DBC HAB ∠=∠∴. οΘ90=∠+∠DBA DBC ,ο90=∠+∠∴DBA HAB .ο90=∠AEB ,即BD AH ⊥. ………………………………………………4分因为AH 为PA 在平面ABCD 上的射影,BD PA ⊥∴. ……………………………6分（Ⅱ）连结PE,则由（Ⅰ）知BD PE ⊥.PEH ∠∴为所求二面角的平面角. ……………………………………………8分在DBC ∆中,由21tan =∠DBC ,求得51sin =∠DBC . 15513sin 60tan tan ==∠==∠∴DBC BH BH HE PH PEH ο.即所求二面角的正切值为15. …………………………………………………12分另解：（Ⅰ)建系设点正确2分,求出两个法向量2分,判断正确2分; (Ⅱ)求出两个法向量3分,求出余弦值2分,求出正切值1分. 19. 解：（Ⅰ）设OB n OA m OC y x C +=因为),,(,则)2,0()0,1(),(-+=n m y x ,⎩⎨⎧-==∴.2,n y m x 1,12=+∴=-y x n m Θ.即点C 的轨迹方程为01=-+y x . …………………………………………………3分（Ⅱ）.02)(,1,122222222222=--+-⎪⎩⎪⎨⎧=-=+b a a x a x a b b y ax y x 得由由题意022≠-a b . 2222221222212211,2),,(),,(ab b a a x x a b a x x y x N y x M -+-=--=+则设. ……………5分 0,0,2121=+=⋅∴y y x x ON OM MN 即为直径的圆过原点因为以.0)(2212)(1)1)(1(2222222*********=-+--+=++-=--+∴ab b a a a b a x x x x x x x x , 为定值即211,02222222=-∴=--b a b a a b . ……………………………8分（Ⅲ）2222221,211a a b b a -=∴=-Θ.3,32222≤+=∴≤ab a e e Θ. 120,210,2121,3211122≤<≤<∴≥-≤-+∴a a a a从而即. ∴双曲线实轴长的取值范围是(]1,0. ………………………………………………12分 20．解: (Ⅰ)由已知得()x f 的定义域为()1,∞-,()xax x f --='122. ………………2分由题意得()0122≥--='xax x f 对一切[)2,3--∈x 恒成立, .41211122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-≤∴x xx a ……………………………………………5分当[)2,3--∈x 时,641212-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ,61412112-≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴x .故61-≤a . …………………………………………7分 (Ⅱ)假设存在正实数a ,使得()221max -='x f 成立.()()a a x x a a x ax x f 42212122122-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--='. …………………9分由()x x a -=-1212,得()a x 112=-,a x 11±=∴.由于111>+=ax ,故应舍去. 当ax 11-=时,().422max a a x f -=' ………………………………………11分令221422-=-a a ,解得21=a 或2229-=a . …………………………13分另解: 假设存在正实数a ,使得()221max -='x f 成立. 设()()x ax x f x g --='=122,则()()2122x a x g --='. ………………………9分由()()01222>--='x a x g ,解得ax 11-<或ax 11+>.因为()1,∞-∈x ,()x g ∴在⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-a 11,上单调递增,在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,11a 上单调递减.()a a a g x f 4211max -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='∴. … ……………………………………11分令22142-=-a a ,解得21=a 或2229-=a . …………………………13分 21．解：（Ⅰ）由已知n n a nn a ⋅+=+21)1(2，得2212)1(n a n a n n ⋅=++. 则数列}{2na n是公比为2的等比数列. ……………………………………………2分又2212,2,2n a na a n n n n⋅==∴=即. ……………………………………………4分（Ⅱ）nn n C B A n B A An b b 2]22)4([21⋅+++++=-+Θ. …………………6分n n n b b a -=+1若恒成立，则∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=.022,04,1C B A B A A 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.6,4,1C B A 故存在常数A ，B ，C ，满足条件. …………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知：n n n nn b b a n n b -=⋅+-=+12,2)64(111231221)()()(b b b b b b b b a a a n n n n -=-++-+-=+++∴++ΛΛ2212122)232(2)32(62)32(+++⋅+-=⋅+-<-⋅+-=n n n n n n n n n222222)22(2]2)1()22[(++⋅+-≤⋅--+-=n n n n n n n . …………………14分=。

2020-- 湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题

武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}2|{a x a x B <<-=，若}01|{<<-=x x B A I ，则=B A Y A ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(-2．已知复数z 满足i i=-z z，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，11=a ，3223+=a a ，则=n a A ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=b ，2.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>AB CDMA 1 5．等腰直角三角形ABC 中，2π=∠ACB ，2==BC AC ，点P 是斜边AB 上一点，且PA BP 2=，那么=⋅+⋅A ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是A ．643 B. 323 C ．274 D ．278 7．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 21232-=，设11+=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和.若对任意的*∈N n ，不等式39+<n T n λ恒成立，则实数λ的取值范围为A ．)48,(-∞ B. )36,(-∞ C ．)16,(-∞ D ．),16(+∞8．已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，||2||FB AF =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，l AM ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为A ．425 B. 225 C ．25 D ．210 9．如图，已知平行四边形ABCD 中，ο60=∠BAD ，AD AB 2=，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE翻折成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中，给出以下命题：①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使C A DE 1⊥；③存在某个位置，使//MB 平面DE A 1. 其中，正确的命题是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是A ．1B ．2C ．3D ．411．已知F 1，F 2分别为双曲线14922=-y x 的左、右焦点，过F 2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，记21F AF ∆的内切圆半径为r 1，21F BF ∆的内切圆半径为r 2，则21r r 的值等于 A ．3 B ．2 C ．3 D ．212．已知函数2ln e )(---=x x x x f x，x x xx g x -+=-ln e )(2的最小值分别为a ，b ，则A ．b a =B ．b a <C ．b a >D ．a ，b 的大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武昌区2020届高三元月调考理科数学

于点M , 则四边形AMCF的面积为( )
A. 5 2 4
B. 5 2 2
C.5 2
F (1, 0), C(1, 0), 设AFx ,
则 AF 2 , BF 2 ,
1 cos
1 cos
由 AF 2 FB , 解得 cos 1
3
直线AB的斜率k tan 2 2,
D. 10 2
M
A
6
( x ≥1), 则f ( x) 9
1 x2
0,
所以函数f ( x)在[1, )上单调递增,
所以f ( x)min f (1) 16,
所以
3(3n n
1)2
min
3 16
48,
故
48
8.已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线与抛物线交于点 A, B, AF 2 FB , 抛物线的准线l与x轴交于点C, AM l
(A)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
z i(z i) i z 1,(1 i)z 1,
z 1 1 i 1 1 i, 1 i (1 i)(1 i) 2 2
则z在复平面内对应的点为
1 2
,
1 2
,
位于第一象限
3.已知{an }是各项均为正数的等比数列, a1 1, a3 2a2 3,
关系为( D )
A. a b c
B. a c b
C.c b a
D. c a b
log0.1 1 log0,1 0.2 log0.1 0.1, 即0 a 1
b log1.1 0.2 log1.1 1 0, c 1.10.2 1.10 1, 所以c a b
5. 在等腰直角三角形ABC中, ACB π , AC BC 2, 2uuur uuur uuur uuur

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学(理)

所有可能的取值为______.
15．过动点 M 作圆 C ： (x 2)2 ( y 2)2 1 的切线， N 为切点.若 | MN || MO | ( O 为坐标原点)，则
| MN | 的最小值为______.
16．用 M I 表示函数 y sin x 在闭区间 I 上的最大值，若正数 a 满足 M[0,a] 2M[a,2a] ，则 a 的值
D． 8 27
7．已知数列 {an} 的前 n 项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列 {bn} 的前 n 项和.若对任意的
n N ，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数的取值范围为
A． (,48)
B. (,36)
C． (,16)
D． (16,)
8．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， | AF | 2 | FB | ，抛物线的准线 l 与 x
三、解答题：
17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3 . 2
（1）求 B ；（2）求 ABC 的面积.
解：（1）在 ADC 中，由余弦定理，得 cos ADC 1 ， 2
所以 ADC 120 ，从而 ADB 60 .
n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分）已知函数 f (x) ex x e 1 . （1）若 f (x) ax e 对 x R 恒成立，求实数 a 的值；（2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2 ) 0 ，证明： x1 x2 2 .

【试卷】武昌区最新高三元月调考理科数学

高中数学系列复习资料武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|2}A x x x B x a x a =--<=-<< ，若{|10}A B x x =-<<I ，则A B =U （） A ．(1,2)- B ．(0,2)C ．(2,1)-D ．(2,2)-2．已知复数z 满足i izz =-，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，11a =，3223a a =+，则n a =（） A ．23n -B ．13n -C ．12n -D ．22n -4．已知0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．等腰直角三角形ABC 中，π2ACB ∠=，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上一点，且2BP PA =，那么CP CA CP CB ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A 学习小组的概率是（） A ．364B ．332C ．427D ．8277．已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和．若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(,48)-∞B ．(,36)-∞C ．(,16)-∞D ．(16,)+∞8．已知过抛物线24y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为（） ABC．D．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE △沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE △翻折过程中，给出以下命题：ABE CDMA 1①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE A C ⊥； ③存在某个位置，使//MB 平面1A DE ．其中，正确的命题是（） A ．① B ．①③ C ．②③D ．①②③10．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数()f x 的最小正周期为π； ②直线5π12x =-为函数()f x 的一条对称轴； ③点2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心； ④函数()f x 的图象向右平移π3个单位后得到22y x =的图象．其中正确说法的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知12,F F 分别为双曲线22194x y -=的左、右焦点，过F 2且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，记12AF F △的内切圆半径为r 1，12BF F △的内切圆半径为r 2，则12r r 的值等于（） A ．3B ．2C 3D 212．已知函数()e ln 2xf x x x x =---，2e ()ln x g x x x x-=+-的最小值分别为a ，b ，则（） A ．a b = B ．a b < 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．62x x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数是______．14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则x 所有可能的取值为______．15．过动点M 作圆C ：22(2)(2)1x y -+-=的切线，N 为切点．若MN MO =(O 为坐标原点)，则MN 的最小值为______．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（本题12分）在ABC △中，已知AB =，7AC =，D 是BC 边上的一点，5AD =，3DC =．（1）求B ；（2）求ABC △的面积． 18．（本题12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，12A A AB AC ===，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．（1）证明：平面11A C F ⊥平面1B DE ；（2）求二面角1B B E D --的正弦值． 19．（本题12分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）若不过原点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，求OAB △面积的最大值． 20．（本题12分）某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：[0,200),[200,400) [400,600)，…，[1000,1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？元） ABCDA 1B 1C 1F（3 方案一：每满800元可立减100元；方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为12，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案． 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．21．（本题12分）已知函数()e e 1xf x x =+--．（1）若()e f x ax -≥对R x ∈恒成立，求实数a 的值；（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足12()()0f x f x +=，证明：122x x +<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为,222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为22.932cos ρθ=-．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与y 轴交于点M ，1C 与2C 相交于A 、B 两点，求MA MB ⋅的值． 23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）（1）已知()f x x a x =-+，若存在实数x ，使()2f x <成立，求实数a 的取值范围；（2）若0m >，0n >，且3m n +=，求证：143m n+≥．。

2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题(2021年整理精品文档)

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武昌区2020届高三年级元月调研考试理科数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}02|{2<--=x x x A ，}2|{a x a x B <<-=，若}01|{<<-=x x B A ，则=B A A ．)2,1(- B. )2,0( C ．)1,2(- D ．)2,2(- 2．已知复数z 满足i i=-z z，则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B 。

第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知}{n a 是各项均为正数的等比数列，11=a ，3223+=a a ,则=n a A ．23-n B. 13-n C ．12-n D ．22-n 4．已知2.0log 1.0=a ，2.0log 1.1=b ,2.01.1=c ，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>5．等腰直角三角形ABC 中，2π=∠ACB ,2==BC AC ,点P 是斜边AB 上一点，且PA BP 2=,那么=⋅+⋅A ．4- B. 2- C ．2 D ．46．某学校成立了A 、B 、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习。

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于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为（）
A． 5 2 4
B． 5 2 2
C． 5 2
D．10 2
9．如图，已知平行四边形 ABCD中， BAD 60 ， AB 2AD ， E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直
线 DE 翻折成△A1DE ．若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，给出以下命题：
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {x | x2 x 2 0}, B {x | a 2 x a} ，若 A B {x | 1 x 0} ，则 A B
（）
A． (1, 2)
B． (0, 2)
C． (2,1)
D． (2, 2)
2．已知复数 z 满足 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于（
）
zi
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 1， a3 2a2 3 ，则 an （
）
A． 3n2
联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“健身达人”
与性别有关？
健身达人非健身达人
总计
男
10
女
30
总计
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满 800 元可立减 100 元；
方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中 2
f (x) 在[1, ) 上单调递增，所以
f
( x)min
f
(1)
16
，所以
3(3n n
1)2
min
316 48 ，
故 48 ．
8．答案：C 解析：F(1, 0), C(1, 0) ，设 AFx ，则 AF 2 , BF 2 ，由 AF 2 FB ，
1 cos
1 cos
A (1, 2), B (2,0), A B (2, 2) ．
2．答案：A 解析： z i(z i) i z 1,(1 i)z 1, z 1 1 i 1 1 i ，则 z 在复平面 1 i (1 i)(1 i) 2 2
内对应的点为
1 2
,
1 2
，位于第一象限．
3．答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为 q ，则 q 0 ，由 a3 2a2 3 ，可得 q2 2q 3, q2 2q 3 0 ，
得 2 4 ，解得 cos 1 ，所以直线 AB 的斜率 k tan 2 2 ，直线 AB 的方程为：
1 cos 1 cos
3
y2
2(x
1)
，将其代入
y2
4x
，并整理得： 2x2
5x
2
0 ，解得
x1
2,
x2
1 2
，
A(2, 2
2)，
所以四边形 AMCF 的面积为 (2 3) 2 2 5 2 ． 2
奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折．
若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
P(K 2 ≥ k) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
k
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
K2
n(ad bc)2
频率组距 0.00125 0.00100 0.00075 0.00050
0 200 400 600 800 1000 1200 金额（单位：元）
（1）请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中
3
点值作代表）；
（2）若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列
．
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分）
已知函数 f (x) ex x e 1 ．（1）若 f (x) ≥ ax e 对 x R 恒成立，求实数 a 的值；（2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2 ) 0 ，证明： x1 x2 2 ．
4
（2）若 m 0， n 0 ，且 m n 3 ，求证： 1 4 ≥ 3 ． mn
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试理科数学参考答案
1．答案：D 解析： A {x | 1 x 2}, B {x | a 2 x a}, A B {x | 1 x 0},a 0 ，
n 3n 1
，
由 Tn
9n 3 ，得 n 3n 1
9n 3，所以
3(3n 1)2 n
恒成立，即
3(3n 1)2
n
min
，
5
因为 3(3n 1)2 n
3(9n2 6n 1) n
3
9n
1 n
6
，记
f (x) 9x 1 6 x
(x ≥1) ，则
f (x) 9
1 x2
0，
所以函数
）
x
A． a b
B． a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
6
13．
2x
1 x
的展开式中， x3 项的系数是______．
14．已知一组数据 10，5，4，2，2，2， x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则 x 所有
可能的取值为______．
15．过动点 M 作圆 C ：(x 2)2 ( y 2)2 1 的切线，N 为切点．若 MN MO ( O 为坐标原点)，则 MN
么 CP CA CP CB （）
A． 4
B． 2
C．2
D．4
6．某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中
任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是（）
A． 3 64
B． 3 32
C． 4 27
①函数 f (x) 的最小正周期为 π ；
②直线 x 5π 为函数 f (x) 的一条对称轴； 12
③点
2π 3
,0
为函数
f
(x)
的一个对称中心；
④函数 f (x) 的图象向右平移 π 个单位后得到 y 2 sin 2x 的图象． 3
其中正确说法的个数是（）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知 F1, F2 分别为双曲线
x2 9
y2 4
1 的左、右焦点，过
F2 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支交于
A,
B 两点，记△AF1F2
的内切圆半径为
r1， △BF1F2
的内切圆半径为
r2，则
r1 r2
的值等于（
）
A．3
B．2
C． 3
D． 2
12．已知函数 f (x) xex ln x x 2 ， g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a ， b ，则（
B． 3n1
C． 2n1
D． 2n2
4．已知 a log0.1 0.2 ， b log1.1 0.2 ， c 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． c a b
5．等腰直角三角形 ABC 中， ACB π ， AC BC 2，点 P 是斜边 AB 上一点，且 BP 2PA，那 2
D． 8 27
7．已知数列{an} 的前 n
项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列{bn} 的前 n
项和．若对任意的
n N ，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数的取值范围为（
）
A． (, 48)
B． (,36)
C． (,16)
D． (16, )
8．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ，B ， AF 2 FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交
(q 1)(q 3) 0 ，q 3, an a1qn1 3n1 ．
4．答案：D
解析： log0.11 log0,1 0.2 log0.1 0.1，即 0 a 1， b log1.1 0.2 log1.11 0 ， c 1.10.2 1.10 1，
所以 c a b． 5．答案：D 解析：以 C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，
C2 的极坐标方程为 2
9 3 2 cos2.
．
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 y 轴交于点 M ， C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点，求 MA MB 的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
（1）已知 f (x) x a x ，若存在实数 x ，使 f (x) 2 成立，求实数 a 的取值范围；
B1B 的中点．
A1
（1）证明：平面 A1C1F 平面 B1DE ；（2）求二面角 B B1E D 的正弦值．
C1
B1
A F
D
C
E
B
19．（本题 12 分）
已知椭圆

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