武昌区2020届高三元月调考 理科数学及答案

(q 1)(q 3) 0 ，q 3, an a1qn1 3n1 ．
4．答案：D
解析： log0.11 log0,1 0.2 log0.1 0.1，即 0 a 1， b log1.1 0.2 log1.11 0 ， c 1.10.2 1.10 1，
所以 c a b． 5．答案：D 解析：以 C 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．已知集合 A {x | x2 x 2 0}, B {x | a 2 x a} ，若 A B {x | 1 x 0} ，则 A B
的情况有 C42
2
2
24
种，所以所求概率为
P
24 81
8 27
．
7．答案：A
解析：易求得 an
3n 2
，则 bn
1 an an 1
1 (3n 2)(3n 1)
1 3
1 3n 2
1 3n 1
，
Tn b1 b2
bn
1 3
1
1 4
1 4
1 7
1 3n
2
1 3n 1
1 3
1
1 3n 1
M
A
A1 M
D
N
C
CO F B
F
A
E
B
9．答案：B
解析：取 CD 中点
N
，连接
MN ,
BN
，则
MN
//
A1D
，且
MN
1 2
A1D
，
BN
//
DE
，且
BN
DE
，
BNM A1DE 60 ，根据余弦定理可知线段 BM 的长是定值，所以①正确；
的最小值为______．
16．用 M I 表示函数 y sin x 在闭区间 I 上的最大值，若正数 a 满足 M[0,a] 2M[a,2a] ，则 a 的值为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考
2
生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本题 12 分）
在△ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5， DC 3 ． 2
（1）求 B ； （2）求△ABC 的面积．
18．（本题 12 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC AB ， A1A AB AC 2 ， D ， E ， F 分别为 AB ， BC ，
奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折．
若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
P(K 2 ≥ k) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
k
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
K2
n(ad bc)2
于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为（ ）
A． 5 2 4
B． 5 2 2
C． 5 2
D．10 2
9．如图，已知平行四边形 ABCD中， BAD 60 ， AB 2AD ， E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿直
线 DE 翻折成△A1DE ．若 M 为线段 A1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，给出以下命题：
C2 的极坐标方程为 2
9 3 2 cos2.
．
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 y 轴交于点 M ， C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点，求 MA MB 的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）
（1）已知 f (x) x a x ，若存在实数 x ，使 f (x) 2 成立，求实数 a 的取值范围；
B1B 的中点．
A1
（1）证明：平面 A1C1F 平面 B1DE ； （2）求二面角 B B1E D 的正弦值．
C1
B1
A F
D
C
E
B
19．（本题 12 分）
已知椭圆
E
：x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆
上的点的最短距离为 1．
（1）求椭圆 E 的方程； （2）若不过原点的直线 l 与椭圆交于 A ， B 两点，求△OAB 面积的最大值．
）
x
A． a b
B． a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
6
13．
2x
1 x
的展开式中， x3 项的系数是______．
14．已知一组数据 10，5，4，2，2，2， x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则 x 所有
可能的取值为______．
15．过动点 M 作圆 C ：(x 2)2 ( y 2)2 1 的切线，N 为切点．若 MN MO ( O 为坐标原点)，则 MN
么 CP CA CP CB （ ）
A． 4
B． 2
C．2
D．4
6．某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中
任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是（ ）
A． 3 64
B． 3 32
C． 4 27
①函数 f (x) 的最小正周期为 π ；
②直线 x 5π 为函数 f (x) 的一条对称轴； 12
③点
2π 3
,0
为函数
f
(x)
的一个对称中心；
④函数 f (x) 的图象向右平移 π 个单位后得到 y 2 sin 2x 的图象． 3
其中正确说法的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知 F1, F2 分别为双曲线
x2 9
y2 4
1 的左、右焦点，过
F2 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支交于
A,
B 两点，记△AF1F2
的内切圆半径为
r1， △BF1F2
的内切圆半径为
r2，则
r1 r2
的值等于（
）
A．3
B．2
C． 3
D． 2
12．已知函数 f (x) xex ln x x 2 ， g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a ， b ，则（
y B
则 C(0, 0),
A(2, 0),
B(0, 2),
P
4 3
,
2 3
，
P
则 CP
CA
CP
CB
4 3
,
2 3
(2, 0)
4 3
,
2 3
(0,
2)
8 3
4 3
4
．
C
Ax
6．答案：D 解析：每位学生有 3 种选择，则 4 位学生共有 34 81 种选择，则恰有 2 人申请 A 学习小组
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
2
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1 的参数方程为
x
2
t,
（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
y
2
2t 2
轴为极轴的极坐标系中，曲线
联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“健身达人”
与性别有关？
健身达人 非健身达人
总计
男
10
女
30
总计
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满 800 元可立减 100 元；
方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中 2
n 3n 1
，
由 Tn
9n 3 ，得 n 3n 1
9n 3，所以
3(3n 1)2 n
恒成立，即
3(3n 1)2
n
min
，
5
因为 3(3n 1)2 n
3(9n2 6n 1) n
3
9n
1 n
6
，记
f (x) 9x 1 6 x
(x ≥1) ，则
f (x) 9
Leabharlann Baidu
1 x2
0，
所以函数
1
①线段 BM 的长是定值； ②存在某个位置，使 DE A1C ；
A1 M
③存在某个位置，使 MB / / 平面 A1DE ．
D
C
其中，正确的命题是（ ）
A．① C．②③
B．①③ D．①②③
A
E
B
10．函数 f (x) Asin(x ) （ A 0 ， 0 ， 0 π ）的部分图象如图所示，给出下列说法： 2
D． 8 27
7．已知数列{an} 的前 n
项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
， Tn
为数列{bn} 的前 n
项和．若对任意的
n N ，不等式 Tn 9n 3 恒成立，则实数 的取值范围为（
）
A． (, 48)
B． (,36)
C． (,16)
D． (16, )
8．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ，B ， AF 2 FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交
频率 组距 0.00125 0.00100 0.00075 0.00050
0 200 400 600 800 1000 1200 金额（单位：元）
（1）请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中
3
点值作代表）；
（2）若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列
A (1, 2), B (2,0), A B (2, 2) ．
2．答案：A 解析： z i(z i) i z 1,(1 i)z 1, z 1 1 i 1 1 i ，则 z 在复平面 1 i (1 i)(1 i) 2 2
内对应的点为
1 2
,
1 2
，位于第一象限．
3．答案：B 解析：设等比数列{an}的公比为 q ，则 q 0 ，由 a3 2a2 3 ，可得 q2 2q 3, q2 2q 3 0 ，
f (x) 在[1, ) 上单调递增，所以
f
( x)min
f
(1)
16
，所以
3(3n n
1)2
min
316 48 ，
故 48 ．
8．答案：C 解析：F(1, 0), C(1, 0) ，设 AFx ，则 AF 2 , BF 2 ，由 AF 2 FB ，
1 cos
1 cos
4
（2）若 m 0， n 0 ，且 m n 3 ，求证： 1 4 ≥ 3 ． mn
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试理科数学参考答案
1．答案：D 解析： A {x | 1 x 2}, B {x | a 2 x a}, A B {x | 1 x 0},a 0 ，
B． 3n1
C． 2n1
D． 2n2
4．已知 a log0.1 0.2 ， b log1.1 0.2 ， c 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． c a b
5．等腰直角三角形 ABC 中， ACB π ， AC BC 2，点 P 是斜边 AB 上一点，且 BP 2PA，那 2
．
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分）
已知函数 f (x) ex x e 1 ． （1）若 f (x) ≥ ax e 对 x R 恒成立，求实数 a 的值； （2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2 ) 0 ，证明： x1 x2 2 ．
20．（本题 12 分） 某健身馆在 2019 年 7、8 两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估 2020 年 7、8 两月客户投入的健身消
费金额，健身馆随机抽样统计了 2019 年 7、8 两月 100 名客户的消费金额，分组如下：[0, 200), [200, 400)
[400, 600) ，…，[1000,1200]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
得 2 4 ，解得 cos 1 ，所以直线 AB 的斜率 k tan 2 2 ，直线 AB 的方程为：
1 cos 1 cos
3
y2
2(x
1)
，将其代入
y2
4x
，并整理得： 2x2
5x
2
0 ，解得
x1
2,
x2
1 2
，
A(2, 2
2)，
所以四边形 AMCF 的面积为 (2 3) 2 2 5 2 ． 2
（）
A． (1, 2)
B． (0, 2)
C． (2,1)
D． (2, 2)
2．已知复数 z 满足 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于（
）
zi
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 1， a3 2a2 3 ，则 an （
）
A． 3n2