1.4-1.6线型函数

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高等数学教材同济 目录

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高等数学教材同济目录第一章函数与极限1.1 实数与数集1.2 函数的概念与性质1.3 极限的概念与性质1.4 极限的运算法则1.5 无穷小量与无穷大量1.6 函数的连续性第二章导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的基本性质2.3 已知导函数求原函数2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分中值定理与导数的应用第三章微分中值定理与极值问题3.1 罗尔中值定理与介值定理3.2 拉格朗日中值定理与柯西中值定理3.3 函数的单调性与曲线的凹凸性3.4 函数的极值与最值3.5 函数图形的描绘与计算第四章不定积分与定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本不定积分公式与换元积分法4.3 分部积分法与三角代换法4.4 定积分的概念与性质4.5 定积分的计算方法与应用第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念与解的存在唯一性5.2 一阶线性微分方程与可分离变量方程5.3 高阶线性微分方程的解法5.4 非齐次线性微分方程的解法5.5 变量可分离的非线性微分方程解法第六章无穷级数6.1 数项级数与基本概念6.2 收敛级数与发散级数6.3 正项级数收敛的判别法6.4 幂级数与泰勒级数6.5 函数展开成幂级数的应用第七章多元函数的微分学7.1 多元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.3 多元复合函数的求导法则7.4 隐函数的求导与导数的几何应用7.5 微分中值定理与泰勒公式第八章重积分与曲线积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 二重积分的应用8.4 曲线积分的概念与性质8.5 曲线积分的计算方法与应用第九章曲面积分与空间曲线积分9.1 曲面积分的概念与性质9.2 曲面积分的计算方法9.3 曲面积分的应用9.4 空间曲线积分的概念与性质9.5 空间曲线积分的计算方法与应用第十章多元函数的积分学10.1 多元函数的积分概念与性质10.2 重积分的计算方法与应用10.3 曲线积分与曲面积分的关系10.4 曲面积分的计算方法与应用10.5 重积分与曲线积分的应用以上是《高等数学教材同济》的目录,涵盖了高等数学的各个主要知识点。

2023届浙江高一数学教材目录

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2023届浙江高一数学教材目录必修 1:第一章集合与函数概念:1.1集合。

1.2函数及其表示。

1.3函数的基本性质。

第二章基本初等函数I 2.1指数函数:2.2对数函数。

2.3幂函数。

第三章函数的应用:3.1函数与方程。

3.2函数模型及其应用。

必修 2:第一章空间几何体:1.1空间几何体的结构。

1.2空间几何体的三视图和直观图。

1.3空间几何体的表面积与体积。

第二章点、直线、平面之间的位置关系:2.1空间点、直线、平面的位置关系。

2.2直线、平面平行的判定及其性质。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质。

第三章直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率:3.2 直线的方程。

3.3直线的交点坐标与距离公式。

第四章圆与方程 4.1 圆的方程42直线与圆的位置关系。

4.3空间直角坐标系。

必修 3:第一章算法初步:1.1算法与程序框图。

1.2基本算法语句。

1.3算法案例。

第二章统计:2.1随机抽样。

2.2 用样本估计总体。

2.3变量间的相关关系。

第三章概率:3.1随机事件的概率。

3.2 古典概型。

3.3几何概型。

必修4:第一章三角函数:1.1任意角和弧度制。

12任意角的三角函数。

1.3三角函数的诱导公式。

1.4三角函数的图象与性质。

1.5函数的图像。

1.6三角函数模型的简单应用。

第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念:2.2平面向量的线性运算。

2.3平面向量的基本定理及坐标表示。

高等数学第一章.

高等数学第一章.
并集(Union) :设A和B是两个集合, 由属于集合A或属 于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的并集,
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素,则称集合A和集合B
集合的表示方法:列举法和描述法。
1.列举法:就是把所有元素都列出来,用大括号括
起来。
s 例如:如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合,
用列举法将其写成:s ={2,3,4}
2. 描述法:用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成:
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合,即N{1,2,3,L }, 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合, 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地,可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集,
若s是X的一个上界,且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y,则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地,可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界,下确界是最大下界 若X是R的一个有上界(下界)的子集,则X有上确界

最优化方法-线性规划的基本定理

最优化方法-线性规划的基本定理
其次证明充分性。设X的正分量为x1,x2,…,xk,其对 应的列向量P1,P2,…,Pk线性无关。显然k≤m。
若k=m,则P1,P2,…,Pk可用来构成一个基,所以X是基 本解。而已知X是可行解,故X又是基可行解。
若k<m,由于A的秩为m,比可从A中再挑出m-k个列向 量,与P1,P2,…,Pk ,一起构成一个线性无关极大组,即 为一个基,由此可知X是基可行解。
定义1.7:设集合S是n维欧式空间En中的闭凸 集,d是En中的非零向量。如果对于S的每 个点X,以及一切非负的数λ,都有
X+λd∈S,λ≥0
则称向量d是凸集S的一个方向。如果d1, d2是S的方向,且d1≠αd2, ∀ α>0,则d1, d2是两个不同的方向。
进一步,如果d是凸集S的一个方向,且 不能表示为S的另外两个不同的方向的正组 合,则称d是S的一个极方向。
约定A是行满秩的m行n列矩阵。
2、基、基向量、基变量、基本解、基本可 行解、可行基、最优解、最优基
基:矩阵A中一个m阶非奇异子矩阵 基向量:基的列向量 基变量:基向量对应的变量 基本解:非基变量全为零的解
基本可行解:非基变量为零,基变量都大 于等于零的解
可行基:基可行解对应的基 最优解:基本解中使目标函数最大的解 最优基:最优解对应的基
X=λX(1)+(1-λ)X(2)
上式的分量表达形式为 显然,当j>m时,有
x
j
xj
xj1 xj1x j2
1 0

xj2
,
j

1,
2,
,n
m
再由于X(1),X(2)均是可行点,故可推知 xjiPj b,i 1, 2
两式相减,得

第一章_线性规划

第一章_线性规划

第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题: 1、任务确定后,如何统筹安排,做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务; 2、在一定量的人力、物力资源的条件下,如何安排、 使用他们,使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中,经常会遇到线性规划问 题,如何利用线性规划的方法来进行分析,下面举例 来加以说明。
表1-2
成分
产品来源
分析:很明显,该厂可以有多种不同的方案从A,B 两处采购原油,但最优方案应是使购买成本最小的一 个,即在满足供应合同单位的前提下,使成本最小的 一个采购方案。
解:设分别表示从A,B两处采购的原油量(单位:万 吨),建立的数学模型为:
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求,可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中: xjˊ、 xj〞 0 ,由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞,故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点: (1)目标函数求最大值; (2)所求的变量都要求是非负的; (3)所有的约束条件都是等式; (4)常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1-1:(计划安排问题)某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示:

高等数学讲义樊映川

高等数学讲义樊映川

绪论第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组§1.1 二阶行列式和二元线性方程组§1.2 三阶行列式§1.3 三阶行列式的主要性质§1.4 行列式的按行按列展开§1.5 三元线性方程组§1.6 齐次线性方程组§1.7 高阶行列式概念:第二章平面上的直角坐标、曲线及其方程§2.1 轴和轴上的线段:§2.2 直线上点的坐标·数轴:§2.3 平面上的点的笛卡儿直角坐标:§2.4 坐标变换问题:§2.5 两点间的距离:§2.6 线段的定比分点:§2.7 平面上曲线方程的概念:§2.8 两曲线的交点第三章直线与二元一次方程§3.1 过定点有定斜率的直线方程§3.2 直线的斜截式方程§3.3 直线的两点式方程§3.4 直线的截距式方程§3.5 直线的一般方程§3.6 两直线的交角§3.7 两直线平行及两直线垂直的条件§3.8 点到直线的距离§3.9 直线柬第四章圆锥曲线与二元二次方程§4.1 圆的一般方程§4.2 椭圆及其标准方程§4.3 椭圆形状的讨论§4.4 双曲线及其标准方程§4.5 双曲线形状的讨论§4.6 抛物线及其标准方程§4.7 抛物线形状的讨论§4.8 椭圆及双曲线的准线§4.9 利用轴的平移简化二次方程§4.1 0利用轴的旋转简化二次方程§4.1 1一般二元二次方程的简化第五章极坐标§5.1 极坐标的概念§5.2 极坐标与直角坐标的关系§5.3 曲线的极坐标方程§5.4 圆锥曲线的极坐标方程第六章参数方程§6.1 参数方程的概念§6.2 曲线的参数方程§6.3 参数方程的作图法第七章空间直角坐标与矢量代数§7.1 空间点的直角坐标§7.2 基本问题§7.3 矢量的概念·矢径§7.4 矢量的加减法§7.5 矢量与数量的乘法§7.6 矢量在轴上的投影·投影定理§7.7 矢量的分解与矢量的坐标§7.8 矢量的模·矢量的方向余弦与方向数§7.9 两矢量的数量积:§7.1 0两矢量间的夹角§7.1 1两矢量的矢量积§7.1 2矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程§8.1 曲面方程的概念§8.2 球面方程§8.3 母线平行于坐标轴的柱面方程·二次柱面§8.4 空间曲线作为两曲面的交线§8.5 空间曲线的参数方程§8.6 空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面与直线§9.1 过一点并已知一法线矢量的平面方程§9.2 平面的一般方程的研究§9.3 平面的截距式方程§9.4 点到平面的距离§9.5 两平面的夹角§9.6 直线作为两平面的交线§9.7 直线的方程§9.8 两直线的夹角§9.9 直线与平面的夹角§9.10 直线与平面的交点§9.11 杂例§9.12 平面束的方程第十章二次曲面§10.1 旋转曲面§10.2 椭球面§10.3 单叶双曲面§10.4 双叶双曲面§10.5 椭圆抛物面§10.6 双曲抛物面§10.7 二次锥面第二篇数学分析第一章函数及其图形§1.1 实数与数轴§1.2 区间§1.3 实数的绝对值·邻域§1.4 常量与变量§1.5 函数概念§1.6 函数的表示法§1.7 函数的几种特性§1.8 反函数概念§1.9 基本初等函数的图形§1.10 复合函数·初等函数第二章数列的极限及函数的极限§2.1 数列及其简单性质§2.2 数列的极限§2.3 函数的极限§2.4 无穷大·无穷小§2.5 关于无穷小的定理§2.6 极限的四则运算§2.7 极限存在的准则·两个重要极限§2.8 双曲函数§2.9 无穷小的比较第三章函数的连续性§3.1 函数连续性的定义§3.2 函数的间断点§3.3 闭区间上连续函数的基本性质§3.4 连续函数的和、积及商的连续性§3.5 反函数与复合函数的连续性§3.6 初等函数的连续性第四章导数及微分§4.1 几个物理学上的概念§4.2 导数概念§4.3 导数的几何意义§4.4 求导数的例题·导数基本公式表§4.5 函数的和、积、商的导数§4.6 反函数的导数§4.7 复合函数的导数§4.8 高阶导数§4.9 参数方程所确定的函数的导数§4.10 微分概念§4.11 微分的求法·微分形式不变性§4.12 微分应用于近似计算及误差的估计第五章中值定理§5.1 中值定理§5.2 罗必塔法则§5.3 泰勒公式第六章导数的应用§6.1 函数的单调增减性的判定§6.2 函数的极值及其求法§6.3 最大值及最小值的求法§6.4 曲线的凹性及其判定法§6.5 曲线的拐点及其求法§6.6 曲线的渐近线§6.7 函数图形的描绘方法§6.8 弧微分·曲率§6.9 曲率半径·曲率中心§6.10 方程的近似解第七章不定积分§7.1 原函数与不定积分的概念§7.2 不定积分的性质§7.3 基本积分表§7.4 换元积分法§7.5 分部积分法§7.6 有理函数的分解§7.7 有理函数的积分§7.8 三角函数的有理式的积分§7.9 简单无理函数的积分§7.10 二项微分式的积分§7.11 关于积分问题的一些补充说明第八章定积分§8.1 曲边梯形的面积·变力所作的功§8.2 定积分的概念§8.3 定积分的简单性质·中值定理§8.4 牛顿一莱布尼兹公式§8.5 用换元法计算定积分§8.6 用分部积分法计算定积分§8.7 定积分的近似公式§8.8 广义积分第九章定积分的应用§9.1 平面图形的面积§9.2 体积§9.3 曲线的弧长§9.4 定积分在物理、力学上的应用第二篇数学分析(续)第十章级数Ⅰ常数项级数10.1 无穷级数概念10.2 无穷级数的基本性质收敛的必要条件10.3 正项级数收敛性的充分判定法10.4 任意项级数绝对收敛10.5 广义积分的收敛性Ⅱ函数项级数10.7 函数项级数的一般概念10.8 一致收敛及一致收敛级数的基本性质Ⅲ幂级数10.9 幂级数的收敛半径10.10 幂级数的运算10.11 泰勒级数10.12 初等函数的展开式10.13 泰勒级数在近似计算上的应用10.14 复变量的指数函数尤拉公式第十一章富里哀级数11.1 三角级数三角函数系的正交性11.2 尤拉-富里哀公式11.3 富里哀级数11.4 偶函数及奇函数的富里哀级数11.5 函数展开成正弦或余弦级数11.6 任意区间上的富里哀级数第十二章多元函数的微分法及其应用12.1 一般概念12.2 二元函数的极限及连续性12.3 偏导数12.4 全增量及全微分12.5 方向导数12.6 复合函数的微分法12.7 隐函数及其微分法12.8 空间曲线的切线及法平面12.9 曲面的切平面及法线12.10 高阶偏导数12.11 二元函数的泰勒公式12.12 多元函数的极值12.13 条件极值—拉格朗日乘数法则第十三章重积分13.1 体积问题二重积分13.2 二重积分的简单性质中值定理13.3 二重积分计算法13.4 利用极坐标计算二重积分13.5 三重积分及其计算法13.6 柱面坐标和球面坐标13.7 曲面的面积13.8 重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分14.1 对坐标的曲线积分14.2 对弧长的曲线积分14.3 格林(Green)公式14.4 曲线积分与路线无关的条件14.5 曲面积分14.6 奥斯特罗格拉特斯基公式第十五章微分方程15.1 一般概念15.2 变量可分离的微分方程15.3 齐次微分方程15.4 一阶线性方程15.5 全微分方程15.6 高阶微分方程的几个特殊类型15.7 线性微分方程解的结构15.8 常系数齐次线性方程15.9 常系数非齐次线性方程15.10 尤拉方程15.11 幂级数解法举例15.12 常系数线性微分方程组。

人教A版高中数学教材目录(全)

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人教A 版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1 1..1 1 集合集合 1 1..2 2 函数及其表示函数及其表示 1 1..3 3 函数的基本性质函数的基本性质第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 1 指数函数指数函数 2 2..2 2 对数函数对数函数 2 2..3 3 幂函数幂函数第三章函数的应用3.1 1 函数与方程函数与方程 3 3..2 2 函数模型及其应用函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1 1..1 1 空间几何体的结构空间几何体的结构 1 1..2 2 空间几何体的三视图和空间几何体的三视图和直观图1 1..3 3 空间几何体的表面积与空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 2..1 1 空间点、直线、平面之空间点、直线、平面之间的位置关系2 2..2 2 直线、平面平行的判定直线、平面平行的判定及其性质 2 2..3 3 直线、平面垂直的判定直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3 3..2 2 直线的方程直线的方程3 3..3 3 直线的交点坐标与距离直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1 1..1 1 算法与程序框图算法与程序框图 1 1..2 2 基本算法语句基本算法语句 1 1..3 3 算法案例算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 2..1 1 随机抽样随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应 2 2..2 2 用样本估计总体用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2 2..3 3 变量间的相关关系变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 3..1 1 随机事件的概率随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3 3..2 2 古典概型古典概型 3 3..3 3 几何概型几何概型必修4第一章三角函数1 1..1 1 任意角和弧度制任意角和弧度制 1 1..2 2 任意角的三角函数任意角的三角函数1 1..3 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 1 1..4 4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 1..5 5 函数函数y=Asin y=Asin((ωx+ψ) 1 1..6 6 三角函数模型的简单应三角函数模型的简单应用第二章平面向量 2 2..1 1 平面向量的实际背景及平面向量的实际背景及基本概念 2 2..2 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 2 2..3 3 平面向量的基本定理及平面向量的基本定理及坐标表示 2 2..4 4 平面向量的数量积平面向量的数量积 2 2..5 5 平面向量应用举例平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 3..1 1 两角和与差的正弦、余两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3 3..2 2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n 项和2.4等比数列2.5等比数列的前n 项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用的应用3.4生活中的优化问题举例举例选修1-2第一章第一章 统计案例统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用思想及其初步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用本思想及其初步应用第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明证明2.2 直接证明与间接证明证明第三章第三章 数系的扩充与复数的引入与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念的概念3.2复数代数形式的四则运算则运算第四章第四章 框图框图 4.1流程图流程图 4.2结构图结构图选修2-1第一章第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词量词第二章第二章 圆锥曲线与方程方程2.1 曲线与方程曲线与方程2.2 椭圆椭圆 2.3 双曲线双曲线 2.4 抛物线抛物线第三章第三章 空间向量与立体几何立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法量方法选修2-2第一章第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数变化率与导数1.2 导数的计算导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用中的应用1.4 生活中的优化问题举例题举例1.5 定积分的概念定积分的概念 1.6 微积分基本定理微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理推理2.2 直接证明与间接证明证明2.3 数学归纳法数学归纳法第三章 数系的扩充与复数的引入与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念数的概念3.2 复数代数形式的四则运算四则运算选修2-3第一章第一章 计数原理计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合排列与组合 1.3 二项式定理二项式定理第二章第二章 随机变量及其分布其分布2.1 离散型随机变量及其分布列及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差的均值与方差2.4 正态分布正态分布 第三章第三章 统计案例统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用本思想及其初步应用选修3-1第一讲第一讲 早期的算术与几何与几何第二讲第二讲 古希腊数学古希腊数学 第三讲第三讲 中国古代数学瑰宝学瑰宝第四讲第四讲 平面解析几何的产生何的产生第五讲第五讲微积分的诞生 第六讲第六讲 近代数学两巨星巨星第七讲第七讲 千古谜题千古谜题第八讲第八讲 对无穷的深入思考入思考第九讲第九讲 中国现代数学的开拓与发展学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲第一讲 从欧氏几何看球面看球面第二讲第二讲 球面上的距离和角离和角第三讲第三讲 球面上的基本图形本图形第四讲第四讲 球面三角形球面三角形 第五讲第五讲 球面三角形的全等的全等第六讲第六讲 球面多边形与欧拉公式与欧拉公式第七讲第七讲 球面三角形的边角关系边角关系第八讲第八讲 欧氏几何与非欧几何非欧几何选修3-4第一讲第一讲 平面图形的对称群对称群第二讲第二讲 代数学中的对称与抽象群的概念对称与抽象群的概念 第三讲第三讲 对称与群的故事故事选修4-1第一讲第一讲 相似三角形的判定及有关性质的判定及有关性质第二讲 直线与圆的位置关系位置关系第三讲 圆锥曲线性质的探讨质的探讨选修4-2第一讲 线性变换与二阶矩阵二阶矩阵第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法与二阶矩阵的乘法 第三讲 逆变换与逆矩阵矩阵第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量量与矩阵的特征向量选修4-3 选修4-4第一讲第一讲 坐标系坐标系 第二讲第二讲 参数方程参数方程选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式对值不等式第二讲 证明不等式的基本方法的基本方法第三讲 柯西不等式与排序不等式与排序不等式第四讲 数学归纳法证明不等式证明不等式选修4-6第一讲第一讲 整数的整除整数的整除 第二讲第二讲 同余与同余方程方程第三讲第三讲 一次不定方程第四讲第四讲 数伦在密码中的应用中的应用选修4-7第一讲第一讲 优选法优选法 第二讲第二讲 试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲第一讲 风险与决策的基本概念的基本概念第二讲第二讲 决策树方法决策树方法 第三讲第三讲 风险型决策的敏感性分析的敏感性分析第四讲第四讲 马尔可夫型决策简介决策简介高中人教版(高中人教版(B B )教材目录介绍必修一第一章第一章 集合集合1.1 1 集合与集合的表示方法集合与集合的表示方法集合与集合的表示方法 1 1..2 2 集合之间的关系与运算集合之间的关系与运算集合之间的关系与运算 第二章第二章 函数函数2 2..1 1 函数函数函数 2 2..2 2 一次函数和二次函数一次函数和二次函数一次函数和二次函数 2 2..3 3 函数的应用(Ⅰ)函数的应用(Ⅰ)函数的应用(Ⅰ) 2 2..4 4 函数与方程函数与方程函数与方程第三章第三章 基本初等函数(Ⅰ)3 3..1 1 指数与指数函数指数与指数函数指数与指数函数 3 3..2 2 对数与对数函数对数与对数函数对数与对数函数3 3..3 3 幂函数幂函数幂函数 3 3..4 4 函数的应用(Ⅱ)函数的应用(Ⅱ)函数的应用(Ⅱ)必修二第一章第一章 立体几何初步立体几何初步1.1 1 空间几何体空间几何体空间几何体 1 1..2 2 点、线、面之间的位置点、线、面之间的位置关系关系第二章第二章 平面解析几何初步平面解析几何初步 2 2..1 1 平面真角坐标系中的基平面真角坐标系中的基本公式本公式2 2..2 2 直线方程直线方程直线方程 2 2..3 3 圆的方程圆的方程圆的方程 2 2..4 4 空间直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系必修三第一章第一章 算法初步算法初步1.1 1 算法与程序框图算法与程序框图算法与程序框图 1 1..2 2 基本算法语句基本算法语句基本算法语句 1 1..3 3 中国古代数学中的算法中国古代数学中的算法案例案例第二章第二章 统计统计2.1 1 随机抽样随机抽样随机抽样 2 2..2 2 用样本估计总体用样本估计总体用样本估计总体 2 2..3 3 变量的相关性变量的相关性变量的相关性第三章第三章 概率概率3.1 1 随机现象随机现象随机现象 3 3..2 2 古典概型古典概型古典概型 3 3..3 3 随机数的含义与应用随机数的含义与应用随机数的含义与应用 3 3..4 4 概率的应用概率的应用概率的应用必修四第一章第一章 基本初等函基本初等函((Ⅱ) 1 1..1 1 任意角的概念与弧度制任意角的概念与弧度制任意角的概念与弧度制 1 1..2 2 任意角的三角函数任意角的三角函数任意角的三角函数 1 1..3 3 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质第二章第二章 平面向量平面向量 2 2..1 1 向量的线性运算向量的线性运算向量的线性运算 2 2..2 2 向量的分解与向量的坐向量的分解与向量的坐标运算标运算 2 2..3 3 平面向量的数量积平面向量的数量积平面向量的数量积2 2..4 4 向量的应用向量的应用向量的应用第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换3.1 1 和角公式和角公式和角公式 3 3..2 2 倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式 3 3..3 3 三角函数的积化和差与三角函数的积化和差与和差化积和差化积必修五第一章第一章 解直角三角形解直角三角形1.1 1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 1 1..2 2 应用举例应用举例应用举例第二章第二章 数列数列2 2..1 1 数列数列数列 2 2..2 2 等差数列等差数列等差数列 2 2..3 3 等比数列等比数列等比数列第三章第三章 不等式不等式3 3..1 1 不等关系与不等式不等关系与不等式不等关系与不等式 3 3..2 2 均值不等式均值不等式均值不等式3 3..3 3 一元二次不等式及其解一元二次不等式及其解法 3 3..4 4 不等式的实际应用不等式的实际应用不等式的实际应用 3 3..5 5 二元一次不等式(组)二元一次不等式(组)与简单线性规划问题与简单线性规划问题选修1-1第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语1.1 1 命题与量词命题与量词命题与量词 1 1..2 2 基本逻辑联结词基本逻辑联结词基本逻辑联结词 1 1..3 3 充分条件、必要条件与充分条件、必要条件与命题的四种形式命题的四种形式第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.1 1 椭圆椭圆椭圆 2 2..2 2 双曲线双曲线双曲线 2 2..3 3 抛物线抛物线抛物线第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3 3..1 1 导数导数导数 3 3..2 2 导数的运算导数的运算导数的运算 3 3..3 3 导数的应用导数的应用导数的应用选修1-2第一章第一章 统计案例统计案例 第二章第二章 推理与证明推理与证明 第三章第三章 数系的扩充与复数的引入的引入 第四章第四章 框图框图选修4-5第一章第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法和证明的基本方法1 1..1 1 不等式的基本性质和一不等式的基本性质和一元二次不等式的解法元二次不等式的解法 1 1..2 2 基本不等式基本不等式基本不等式1 1..3 3 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 1..4 4 绝对值的三角不等式绝对值的三角不等式绝对值的三角不等式 1 1..5 5 不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法第二章第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用不等式及其应用2.1 1 柯西不等式柯西不等式柯西不等式 2 2..2 2 排序不等式排序不等式排序不等式 2 2..3 3 平均值不等式平均值不等式平均值不等式((选学选学) ) 2 2..4 4 最大值与最小值问题,最大值与最小值问题,优化的数学模型优化的数学模型第三章第三章 数学归纳法与贝努利不等式利不等式3.1 1 数学归纳法原理数学归纳法原理数学归纳法原理 3 3..2 2 用数学归纳法证明不等用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式式,贝努利不等式。

高等数学教材大一下册目录

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高等数学教材大一下册目录1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 一元函数的极限1.3 无穷小量与无穷大量1.4 极限的运算法则1.5 两个重要极限1.6 函数连续性与间断点1.7 切线与切线方程2. 导数与微分2.1 导数的定义与几何意义2.2 基本初等函数的导数2.3 导数的四则运算法则2.4 反函数的导数与相关公式2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 隐函数与参数方程的导数2.7 微分与线性近似3. 微分中值定理与应用3.1 极值与最值3.2 最值的求解与应用3.3 区间奇点与驻点3.4 微分中值定理3.5 洛必达法则与泰勒公式3.6 弧长与曲率3.7 曲线的凹凸性与拐点4. 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本初等函数与常用积分公式 4.3 分部积分法与换元积分法4.4 特殊函数与特殊积分方法4.5 定积分与几何应用4.6 微积分基本定理与定积分计算4.7 反常积分及其应用5. 定积分与曲线积分5.1 定积分的定义与性质5.2 定积分的计算方法5.3 积分中值定理与均值定理5.4 牛顿-莱布尼茨公式与广义中值定理 5.5 参数方程的弧长与曲线积分5.6 平面与空间曲线的曲线积分5.7 曲线积分与路径无关性6. 多元函数微分学引论6.1 二元函数与二元函数的极限6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与隐函数微分法6.4 多元函数的极值与条件极值6.5 二重积分的概念与性质6.6 二重积分的计算方法6.7 三重积分的概念与性质7. 多元函数的微分学7.1 多元函数的连续性与偏导数7.2 高阶偏导数与求导法则7.3 多元复合函数与隐函数的导数 7.4 方向导数与梯度7.5 多元函数的极值与条件极值 7.6 二重积分的几何应用7.7 三重积分的计算方法8. 多元函数的积分学8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的概念与性质8.4 三重积分的计算方法8.5 曲面积分的概念与计算方法 8.6 曲线积分的概念与计算方法8.7 多元积分的应用9. 微分方程基础9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 可分离变量的微分方程9.4 齐次方程与一阶线性齐次方程 9.5 一阶线性非齐次方程9.6 高阶线性常系数齐次方程9.7 高阶线性常系数非齐次方程10. 向量代数与空间解析几何10.1 向量的基本概念与运算10.2 空间直线与平面的方程10.3 空间几何与向量的应用10.4 空间曲线与曲面的方程10.5 空间直线与平面的位置关系 10.6 点、直线与平面之间的距离 10.7 点、直线与平面的投影。

高等数学第七版教材目录

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高等数学第七版教材目录第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 极限存在准则1.6 函数的连续性第二章:导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 隐函数与参数方程的求导第三章:微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与曲线的凸凹性3.3 泰勒公式与函数的近似计算3.4 误差估计与导数的应用3.5 函数的图形与曲线的切线与法线第四章:积分与微分方程4.1 不定积分与定积分4.2 定积分的应用4.3 定积分的计算4.4 定积分中值定理与变限积分4.5 微积分基本定理4.6 微分方程的基本概念第五章:多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.3 多元复合函数的求导法则5.4 隐函数与参数方程的求导5.5 多元函数的极值问题5.6 条件极值与拉格朗日乘数法第六章:重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算6.6 三重积分的应用第七章:曲线与曲面积分7.1 曲线积分的概念与性质7.2 曲线积分的计算7.3 曲线积分的应用7.4 曲面积分的概念与性质7.5 曲面积分的计算7.6 曲面积分的应用第八章:无穷级数8.1 数项级数的收敛性与敛散性8.2 正项级数的审敛法8.3 一般级数的审敛法8.4 幂级数与幂函数8.5 傅里叶级数的概念与性质8.6 傅里叶级数的计算第九章:常微分方程9.1 微分方程的基本概念9.2 一阶微分方程的解法9.3 高阶微分方程的解法9.4 变量可分离方程与齐次方程9.5 常系数线性微分方程9.6 非齐次线性微分方程的特解第十章:数值计算方法10.1 插值多项式与拉格朗日插值10.2 牛顿插值与分段插值10.3 数值积分与复化公式10.4 数值微分与数值解微分方程10.5 常微分方程的数值解法10.6 线性方程组的数值解法通过以上目录,我们可以清楚地了解到高等数学第七版教材涵盖的知识内容。

同济高等数学第七版下册教材

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同济高等数学第七版下册教材简介同济高等数学第七版下册教材是同济大学数学系编写的一本高等数学教材,是同济大学数学系本科生的必修课教材之一。

该教材是根据《国家教育部高等学校数学教学研究会》组织的高等数学教材编写研制工作的要求,经过多次修订和改进而编写而成。

该教材分为上、下两册,下册主要涵盖了微分方程、多元函数微分学、多重积分、曲线与曲面积分、数列与数学归纳法等内容。

下册教材着重介绍了高等数学的进一步深化和扩展的内容,为学生提供了更加广阔的数学知识和实践应用的基础。

作为一本高等数学教材,该教材具有以下特点: - 系统性强:教材内容安排精心,层次分明,逻辑清晰,涵盖了高等数学的各个方面。

- 理论与实践结合:教材注重理论与实践相结合,通过大量的例题和习题,帮助学生加深对数学理论的理解和应用。

- 扩展性强:教材中涵盖的内容较为全面,为学生提供了扩展学习和深入研究的基础。

主要内容下册教材主要包括以下内容:第一章微分方程• 1.1 常微分方程的基本概念• 1.2 一阶常微分方程的解法• 1.3 可降阶的高阶常微分方程• 1.4 线性常微分方程• 1.5 可降次的线性常微分方程• 1.6 高阶线性常微分方程的解法第二章多元函数微分学• 2.1 多元函数的概念• 2.2 多元函数的极限• 2.3 偏导数• 2.4 多元函数的微分• 2.5 隐函数与多元函数的全微分• 2.6 多元函数的积分第三章多重积分• 3.1 二重积分的概念与性质• 3.2 二重积分的计算方法• 3.3 三重积分的概念与性质• 3.4 三重积分的计算方法• 3.5 重积分的应用第四章曲线与曲面积分• 4.1 曲线积分• 4.2 曲面积分• 4.3 广义积分• 4.4 场论初步第五章数列与数学归纳法• 5.1 数列的定义与性质• 5.2 数列极限• 5.3 无穷级数与数项级数• 5.4 收敛级数的性质• 5.5 函数项级数优点与不足优点•教材内容系统全面,层次分明,逻辑性强,适合学生系统学习高等数学。

人教版高中数学A版目录

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人教版高中数学A版必修必修1 第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数及其表示1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.2 函数模型及其应用必修2 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程4.1 圆的方程4.2 直线、圆的位置关系4.3 空间直角坐标系必修3 第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.2 基本算法语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.2 用样本估计总体2.3 变量间的相关关系第三章概率3.1 随机事件的概率3.2 古典概型3.3 几何概型必修4 第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.2 任意角的三角函数1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图象与性质1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.4 平面向量的数量积2.5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2 简单的三角恒等变换必修5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.4 基本不等式人教版高中数学A版选修选修1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修1-2 第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎证明2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图选修2-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线选修2-2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定2.相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。

大一高等数学教材课本目录

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大一高等数学教材课本目录第一章函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数概念和图像1.3 函数的极限1.4 极限的性质1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限存在准则1.7 常用极限1.8 函数连续概念1.9 连续函数性质第二章导数与微分2.1 导数的定义2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 微分中值定理2.5 泰勒公式与展开2.6 隐函数导数2.7 弧微分与相对误差2.8 函数的单调性与凹凸性第三章微分中值定理与导数应用 3.1 高阶导数的应用3.2 导数在近似计算中的应用3.3 中值定理的证明3.4 罗尔中值定理与其应用3.5 拉格朗日中值定理与其应用 3.6 卡内尔中值定理与其应用3.7 泰勒中值定理及其应用第四章不定积分4.1 不定积分的定义与符号4.2 基本积分表4.3 定积分与微元法4.4 牛顿-莱布尼兹公式4.5 分部积分法4.6 有理分式的积分4.7 函数积分法4.8 徒手计算的积分第五章定积分5.1 定积分定义与性质5.2 定积分的几何意义5.3 定积分的计算方法5.4 定积分在几何学中的应用5.5 牛顿-莱布尼兹公式的积分形式 5.6 广义积分的定义与判敛5.7 瑕积分的计算方法第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次微分方程6.4 一阶线性微分方程6.5 高阶线性微分方程6.6 化简与降阶第七章多元函数及其偏导数7.1 二元函数的概念与图像7.2 二元函数的极限与连续性 7.3 偏导数的定义与几何意义 7.4 偏导数的计算方法7.5 高阶偏导数与混合偏导数 7.6 隐函数偏导数7.7 多元函数的微分学基本定理 7.8 方向导数与梯度第八章多重积分8.1 二重积分概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 二重积分在几何学中的应用 8.4 三重积分概念与性质8.5 三重积分的计算方法8.6 三重积分在几何学中的应用第九章曲线与曲面积分9.1 曲线积分的概念与性质9.2 第一类曲线积分的计算方法9.3 第二类曲线积分的计算方法9.4 曲面积分的概念与性质9.5 曲面积分的计算方法9.6 格林公式与高斯公式第十章空间曲线与格林公式10.1 空间曲线的参数方程10.2 第一类曲线积分10.3 第二类曲线积分10.4 空间曲面的参数方程10.5 曲面的面积与曲面元10.6 曲面积分10.7 格林公式和高斯公式的空间推广第十一章广义积分11.1 广义积分的概念与性质11.2 广义积分判敛方法11.3 正项级数的判敛11.4 参数积分的连续性条件11.5 瑕积分的计算方法第十二章泰勒展开与无穷级数12.1 函数的泰勒展开12.2 常用函数的泰勒展开式12.3 泰勒展开的应用12.4 函数项级数与定理12.5 幂级数的求和与收敛域12.6 函数项级数的运算与应用以上为大一高等数学教材的目录,各章节主要包括基础概念的介绍,公式的推导及性质的阐述,相关定理的证明,以及典型例题和习题的讲解。

高中数学各章节内容

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【必修一】第一章集合与函数概念ﻫ1.1集合1.2 函数及其表示ﻫ1.3函数的基本性质ﻫ第二章基本初等函数(Ⅰ)ﻫ2.1指数函数2.2对数函数2.3 幂函数ﻫ第三章函数的应用ﻫ3.2函数模型及其应用ﻫ3.1函数与方程ﻫ【必修二】ﻫ第一章空间几何体ﻫ1.1空间几何体的结构ﻫ1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系ﻫ2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质ﻫ第三章直线与方程2.3直线、平面垂直的判定及其性质ﻫ3.1 直线的倾斜角与斜率3.2 直线的方程3.3 直线的交点坐标与距离公式ﻫ第四章圆与方程ﻫ4.1 圆的方程4.2直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系ﻫﻫ【必修三】ﻫ第一章算法初步ﻫ1.1算法与程序框图ﻫ1.2 基本算法语句1.3算法案例第二章统计ﻫ2.1 随机抽样ﻫ2.2用样本估计总体ﻫ2.3 变量间的相关关系ﻫ第三章概率ﻫ3.1随机事件的概率ﻫ3.2古典概型3.3几何概型ﻫ【必修四】ﻫ第一章三角函数ﻫ1.4 1.1任意角和弧度制ﻫ1.2 任意角的三角函数ﻫ1.3三角函数的诱导公式ﻫ三角函数的图象和性质ﻫ1.5 函数的图象ﻫ第二章平面向量1.6三角函数模型的简单应用ﻫ2.1平面向量的实际背景及基本概念ﻫ2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.5平面向量应用举例ﻫ2.4平面向量的数量积ﻫ3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式ﻫ3.2简单的第三章三角恒等变换ﻫ三角恒等变换ﻫﻫ【必修五】第一章解三角形ﻫ1.1正弦定理和余弦定理1.2 应用举例ﻫ第二章数列2.2等差数列ﻫ2.3 等差数列的前n项和2.1数列的概念与简单表示法ﻫ2.5等比数列的前n项和ﻫﻫ第三章不等式2.4等比数列ﻫﻫ3.1不等关系与不等式ﻫ3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题ﻫ3.4基本不等式选修2-1ﻫﻫ第一章常用逻辑用语1-2充分条件与必要条件ﻫ1-1命题及其关系ﻫﻫﻫ1-3简单的逻辑联结词1-4全称量词与存在量词ﻫ小结复习参考题2-1曲线与方程ﻫ第二章圆锥曲线与方程ﻫﻫ2-2椭圆ﻫﻫ探究与发现为什么截口曲线是椭圆ﻫ信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹:椭圆2-3双曲线ﻫﻫ探究与发现2-4抛物线ﻫ探究与发现ﻫ阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用ﻫ小结复习参考题ﻫ第三章空间向量与立体几何ﻫ3-1空间向量及其运算ﻫ阅读与思考向量概念的推广与应用3-2立体几何中的向量方法1-1小结ﻫﻫ复习参考题ﻫﻫ选修2-2 ﻫﻫ第一章导数及其应用ﻫﻫ变化率与导数ﻫ1-2导数的计算ﻫﻫ1-3导数在研究函数中的应用1-6微积分基本定理1-4生活中的优化问题举例ﻫﻫ1-5定积分的概念ﻫﻫ1-7定积分的简单应用小结复习参考题ﻫ第二章推理与证明ﻫ2-1合情推理与演绎推理ﻫ2-2直接证明与间接证明2-3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入ﻫ3-1数系的扩充和复数的概念ﻫ3-2复数代数形式的四则运算ﻫ小结ﻫ复习参考题选修2-3ﻫ第一章计数原理1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理ﻫ探究与发现子集的个数有多少ﻫ1-2排列与组合1-3二项式定理探究与发现组合数的两个性质ﻫﻫ探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结ﻫ复习参考题ﻫ第二章随机变量及其分布2-1离散型随机变量及其分布列ﻫ2-2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2-3离散型随机变量的均值与方差ﻫ2-4正态分布ﻫ信息技术应用μ,σ对正态分布的影响ﻫﻫ小结复习参考题ﻫﻫ第三章统计案例ﻫ3-1回归分析的基本思想及其初步应用ﻫﻫ3-2独立性检验的基本思想及其初步应用ﻫ实习作业ﻫﻫ小结ﻫ复习参考题。

高中数学各版本课本目录

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必修 1 第一章 集合
1.1 集合与集合的表示方法 1.2 集合之间的关系与运算 本章小结 阅读与欣赏 聪明在于学习,天才由于积累—— 自学成才的华罗庚 第二章 函数 2.1 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.3 函数的应用(Ⅰ) 2.4 函数与方程
本章小结(1) 阅读与欣赏 函数概念的形成与发展 第三章 基本初等函数(Ⅰ) 3.1 指数与指数函数 3.2 对数与对数函数 3.3 幂函数 3.4 函数的应用(Ⅱ) 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 对数的发明 对数的功绩
选修 1-2 第一章 统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其 初步应用 1.2 独立性检验的基本思想及 其初步应用 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎证明 2.2 直接证明与间接证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 第四章 框图
必修 2 第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 实习作业 1.2 点、线、面之间的位置关系 本章小结 阅读与欣赏 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面真角坐标系中的基本公 式 2.2 直线方程 2.3 圆的方程 2.4 空间直角坐标系 本章小结 阅读与欣赏
必修 3 第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图 1.2 基本算法语句 1.3 中国古代数学中的算法案例 本章小结 阅读与欣赏 附录 参考程序 第二章 统计 2.1 随机抽样 2.2 用样本估计总体 2.3 变量的相关性 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 附录 随机数表 第三章 概率 3.1 随机现象 3.2 古典概型 3.3 随机数的含义与应用 3.4 概率的应用 本章小结 阅读与欣赏
4.1 流程图 4.2 结构图
选修 2-1 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线

【数学】甘肃省张掖市2022-2023学年高一下学期期末考试试卷(理科) (解析版)

【数学】甘肃省张掖市2022-2023学年高一下学期期末考试试卷(理科) (解析版)

甘肃省张掖市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题(理科)一,单选题(共12小题,每小题5分,共60分).1.已知α是锐角,=(﹣1,1),=(cos α,sin α),且⊥,则α为( )A .30°B .45°C .60°D .30°或60°2.现要完成下面3项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查。

②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查。

③从某社区100户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为正确地抽样方式是( )A .①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样B .①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C .①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样D .①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样3.如图记录了某校高一年级6月第一周星期一至星期五参加乒乓球训练地学生人数.通过图中地数据计算这五天参加乒乓球训练地学生地平均数和中位数后,教练发现图中星期五地数据有误,实际有21人参加训练.则实际地平均数和中位数与由图中数据星期得到地平均数和中位数相比,下面描述正确地是( )A .平均数增加1,中位数没有变化B .平均数增加1,中位数有变化C .平均数增加5,中位数没有变化D .平均数增加5,中位数有变化4.已知,且,那么sinα=( )A.B.C.D.5.将标有数字3,4,5地三张扑克牌随机分给甲,乙,丙三人,每人一张,事件A:“甲得到地扑克牌数字小于乙得到地扑克牌数字”与事件B:“乙得到地扑克牌数字为3”是( )A.互斥但不对立事件B.对立事件C.既不互斥又不对立事件D.以上都不对6.已知向量=(2,3),=(4,2),那么向量﹣与地位置关系是( )A.平行B.垂直C.夹角是锐角D.夹角是钝角7.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,终边分别是射线OA和射线OB,且射线OA和射线OB有关x轴对称,射线OA与单位圆地交点为A(﹣,),则cos(β﹣α)地值是( )A.﹣B.C.D.﹣8.如图是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内地图象,则其思路式是( )A.f(x)=3sin(x+)B.f(x)=3sin(2x+)C.f(x)=3sin(2x﹣)D.f(x)=3sin(2x+)9.函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)地部分图象如图所示,则下面叙述正确地是( )A.函数f(x)地图象可由y=A sinωx地图象向左平移个单位得到B.函数f(x)地图象有关直线x=对称C.函数f(x)图象地对称中心为(﹣,0)(k∈Z)D.函数f(x)在区间[﹣,]上单调递增10.如图是用模拟方式估计圆周率π地程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A.B.C.D.11.有下面命题:①若向量与同向,且,则。

线性空间和线性变换概况PPT课件

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3 5
A
4
2
在基F11,F12,F21,F22下的坐标。
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1.3 线性子空间
(a) 线性子空间 设V1是数域F上的线性空间V上一个非空子集合, 且对已有的线性运算满足以下条件:
1. 如果x,y∈V1,则x+y∈V1; 2. 如果x∈V1,k∈F,则kx∈V1; 则称V1是V的线性子空间(linear subspace)或子空间。
则称x1,…,xm是线性相关(linearly dependent)的。否 则称x1,…,xm是线性无关(linearly independent)的。
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例5 在Rn中,分别讨论下面两个向量组的线性相关 性:
例6 讨论下面2阶矩阵的线性相关性:
a 1
1 a
1 1
1 1
A1 1
1 , A2 1
• 范数、序列、级数:定义了范数,我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限, 并讨论其收敛和发散性。
第4页/共85页
• 矩阵函数:以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。Jordan标准形在此起了很重要的 作用。
• 函数矩阵与矩阵微分方程:将矩阵的概念推广,元素为任意函数的矩阵称为函数 矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分,并求解相应的微分方程。
一、线性空间概念 (a) 数域
数域(field):关于四则运算封闭的数的集合。 ✓任何数域都含有元素0和元素1;
✓典型数域:复数域C,实数域R,有理数域Q; ✓任意数域F都包括有理数域Q。
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阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质,则<V,F>构
(b) 线性空间 成一个线性空间。
给定非空集合V ,数域F,如果满足:

高等数学大一新生教材目录

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高等数学大一新生教材目录引言欢迎大家作为新一届高等数学学生加入我们的课程!本教材将为大家提供全面、系统的高等数学学习内容,旨在帮助大家建立坚实的数学基础。

以下是我们教材的详细目录:第一章:函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 函数的表示与变换1.3 极限的概念与性质1.4 极限的运算法则1.5 无穷小与无穷大1.6 数列极限与函数极限的关系第二章:导数与微分2.1 导数的概念与求法2.2 导数的基本性质2.3 微分中值定理与导数的应用2.4 高阶导数与隐函数求导2.5 常用的初等函数的导数2.6 泰勒公式与函数的局部性质第三章:微分学应用3.1 函数的单调性与曲线的凸凹性3.2 最值与最值问题3.3 函数的图形与曲线的绘制3.4 线性逼近与微分近似3.5 隐函数与参数方程的微分第四章:积分与分析4.1 不定积分的概念与性质4.2 定积分的概念与性质4.3 常用积分法与积分公式4.4 定积分的应用4.5 曲线长度、曲面面积与物理应用 4.6 微积分基本定理与不定积分的应用第五章:多元函数微分学5.1 二元函数与二元函数的极限5.2 偏导数与全微分5.3 多元函数的局部性质5.4 隐函数与参数方程的导数5.5 多元函数的极值与条件极值5.6 多元函数的泰勒展开与极值判定第六章:多元函数积分学6.1 二重积分与累次积分6.2 二重积分的计算6.3 曲线与曲面的面积6.4 三重积分与累次积分6.5 三重积分的计算6.6 曲线与曲面的质量和重心结语感谢大家使用本教材,希望这本教材能够为大家学习高等数学提供有益的帮助。

请大家按照目录的要求学习相应的章节,切记做好充分的练习和习题,并随时向老师们寻求帮助和解答疑惑。

祝愿大家在高等数学学习中取得优异的成绩!。

微分方程及其解定义

微分方程及其解定义

微分方程什么是微分方程?它是怎样产生的?这是首先要回答的问题.300多年前,由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学,是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生和发展,又与求解微分方程问题密切相关.这是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然.下面的例子,将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 物体下落问题设质量为m的物体,在时间t=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落,求此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力,当速度不太大时,空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F = ma (力=质量×加速度)可以列出方程(·= )(1.1) 其中k >0为阻尼系数,g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程,这里t是自变量,x是未知函数,是未知函数对t导数.现在,我们还不会求解方程(1.1),但是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程(1.1)可化为(1.2)将上式对t积分两次得(1.3)其中和是两个独立的任意常数,它是方程(1.2)的解.一般说来,微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程;如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程,有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(1.4)(1.5)(·=)(1.6)(′=)(1.7)在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,称为方程的阶.这样,一阶常微分方程的一般形式可表为(1.8)如果在(1.8)中能将y′解出,则得到方程(1.9)或(1.10)(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程,(1.10)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为(1.11)n 阶显式方程的一般形式为(1.12)在方程(1.11)中,如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的,则称为线性常微分方程,否则称它为非线性常微分方程.这样,一个以y 为未知函数,以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式:(1.13)显然,方程(1.4)是一阶线性方程;方程(1.5)是一阶非线性方程;方程(1.6)是二阶线性方程;方程(1.7)是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数,可定义如下.定义1.1设函数在区间I上连续,且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11),得到在区间I上关于x的恒等式,则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样,从定义1.1可以直接验证:1. 函数y = x2+C是方程(1.4)在区间(-∞,+∞)上的解,其中C是任意的常数.2. 函数是方程(1.5)在区间(-1,+1)上的解,其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±1,这两个解不包含在上述解中.3. 函数是方程(1.6)在区间(-∞,+∞)上的解,其中和是独立的任意常数.4. 函数是方程(1.7)在区间(-∞,+∞)上的解,其中和是独立的任意常数.这里,我们仅验证3,其余留给读者完成.事实上,在(-∞,+∞)上有所以在(-∞,+∞)上有从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中,可以看到一个重要事实,那就是微分方程的解中可以包含任意常数,其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1,C2,…,Cn的解,称为该方程的通解,如果方程(1.11)的解不包含任意常数,则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分,而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义,不难看出,函数和分别是方程(1.4),(1.5)和(1.6)的通解,函数是方程(1.7)的通积分,而函数y =±1是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定,这种确定过程,需要下面介绍的初始值条件,或简称初值条件.初值问题例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解,由于和是两个任意常数,这表明方程(1.2)有无数个解,解的图像见下面的图a和图b所示.图a(C1>固定,C2>0)图b(C1=0,C2>0)而实际经验表明,一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体,在任意瞬时t所满足的关系式,并未考虑运动的初始状态,因此,通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然,在同一初始时刻,从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体,应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解,我们可以把例1中给出的两个初始值条件,即初始位置x(0)= H 初始速度代入到通解中,推得于是,得到满足上述初值条件的特解为(1.14)它描述了初始高度为H,初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题的解.对于一个n 阶方程,初值条件的一般提法是(1.15)其中是自变量的某个取定值,而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16)初值问题也常称为柯希(Cauchy)问题.对于一阶方程,若已求出通解,只要把初值条件代入通解中,得到方程从中解出C,设为,代入通解,即得满足初值条件的解.对于n 阶方程,若已求出通解后,代入初值条件(1.15),得到n个方程式(1.17)如果能从(1.17)式中确定出,代回通解,即得所求初值问题的.例2 求方程的满足初值条件的解.解方程通解为求导数后得将初值条件代入,得到方程组解出和得故所求特解为积分曲线为了便于研究方程解的性质,我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线,称为方程(1.9)的积分曲线,而通解的图象是平面上的一族曲线,称为积分曲线族.例如,方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0,0)的一条积分曲线.以后,为了叙述简便,我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程,也有积分曲线和积分曲线族的概念,只不过此时积分曲线所在的空间维数不同,我们将在第4章详细讨论.最后,我们要指出,本书中按习惯用分别代表,而分别代表本节要点:1.常微分程的定义,方程的阶,隐式方程,显式方程,线性方程,非线性方程.2.常微分方程解的定义,通解,特解,通积分,特积分.3.初值问题及初值问题解的求法.4.解的几何意义,积分曲线.。

三维线性代数公式

三维线性代数公式

1.向量 1.1 零向量 : v(0,0,0) 1.2 负向量 : -v; 1.3 向量的模 : ||v|| = sqrt(x*x+y*y+z*z); 1.4 向量乘标量 : scalar * vector = (vector.x*scalar,vector.y*scalar,vector.z*scalar); 1.5 向量加法 : v1 + v2 : 得到从v1起点指向v2终点的向量,算法:各分量相加. 1.6 向量减法 : v1 - v2 : 得到从v2指向v1的向量.算法:各分量相减. 1.7 2点的距离公式 : 2点相减得到向量的模. 1.8 点乘 : v1.v2 = ||v1|| * ||v2|| *cos(a) > 0 : v1,v2大约同方向. = 0 : v1,v2垂直. < 0 : v1,v2大约反方向. 结果表示2向量的相似度.n.l(法线.光线)常用作光强系数. 算法: v1.v2 = v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z; 1.9 叉乘 : axb = ||a|| * ||b|| * sin(t). 结果得到与v1,v2彼此垂直的向量.用于求表面的法线. *不满足交换律和结合率. ||axb||:是以ab 为2边的并行四边形的面积. 判断叉乘向量的方向: 左手坐标系,axb: 让a 的终点连b 的起点,左手4手指与ab 方向一致,大拇指则是叉乘向量的方向. 右手坐标系用右手. 1.10 向量标准化 : v norm = v / ||v||; 1.11 计算v 在n 上的投影:12nn v nv ⋅=n 乘v 点乘n 除n 模方.2 ⊥+=v v v ||: v = v 平行 + v 垂直.1.12公式,abc 为向量,stk 为标量.a b b a +=+ ()b a b a -+=-()()c b a c b a ++=++()()a a st t s =()b a b a k k k +=+aa k k =0≥a222ba b a +=+ba b a +≥+a b b a ⋅=⋅ a a a ⋅=())()(b a b a b a k k k ⋅=⋅=⋅ ()c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 0a a =⨯)()(b a b a -⨯-=⨯ )(a b b a ⨯-=⨯)()()(b a b a b a k k k ⨯=⨯=⨯ c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)( 0b a a =⨯⋅)(2. 矩阵2.1方阵 :行列数相同的矩阵.2.2对角矩阵 :对角线元素不为0,别的元素都是0.2.3单位矩阵:I 3 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001 2.4转置矩阵: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i h g f e d c b a 的转置 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡i fch e b g da2.5 标量乘矩阵 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211333231232221131211M km km km km km km km km km m m m m m m m m m k k 2.6矩阵乘矩阵A xB = AB,规则cr c n n r ⨯=⨯*⨯若A 的列数不同于B 的行数,则矩阵无法相乘.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4544434241353433323125242322211514131211252423222115141121142413231222112113c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c b b b b b b b b b b a a a a a a a a 2422142124b a b a c += : A 第2行与B 第4列的点乘.AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++22221221212211212212121121121111b a b a ba b a b a b a b a b a性质:1任意矩阵M 乘以方阵S,不管从哪边乘都将得到与原矩阵相同的矩阵. 2 矩阵乘法不满足交换律,即BA AB ≠ 3 矩阵乘法满足结合率,即:()()BC A C AB = 4 矩阵标量乘满足结合率,即())()(B A AB B A k k k ==5 矩阵积的转置等于先转置再相反顺序乘:()T T T A B AB =2.7 矩阵用途,可以描述线性变换.1 2d 旋转⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θθθθθcos sin sin cos '')R(q p2 3d 旋转 2.1绕x 轴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθθθθcos sin -0sin cos 0001''')(R x r q p2.2绕y 轴旋转⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθθθθcos 0sin 010sin -0cos ''')(R r q p y2.3绕z 轴旋转⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100cos sin -0sin cos ''')(R θθθθθr q p z 2.4绕任意轴旋转⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---+-+-+-----+-+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(cos )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(sin )cos 1(cos )cos 1('''),R(222x z z z y y z x x x y y x y x y y x x y x θn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n r q p n3 缩放:3.1 沿x,y 轴的2d 缩放矩阵.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y xy x k k k k 00''),(q p S3.2 沿x,y,z 轴的3d 缩放矩阵.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z yxz y x k k k k k k 00000,,S 3.3 沿任意轴的2d 缩放()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+---+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22)1(1)1()1()1(1'',y y x y x x k k k k k n n n n n n q p n S3.4 沿任意轴的3d 缩放()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+----+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=222)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1''',z y z z x z y y y x z x y x x k k k k k k k k k k n n n n n n n n n n n n n n n r q p n S 4 正交(平行)投影2d 投影4.1 向x 轴投影的2d 矩阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0001)0,10(S P x4.2 向y 轴投影的2d 矩阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1000)0,01(S P y4.3 向任意直线投影的2d 矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---+==2211)0,()(y yx y x xn n n n n n n S n P3d 投影4.4 向xy 平面投影的3d 矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==000010001)0,100(S P xy4.5 向xz 平面投影的3d 矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==100000001)0,010(S P xz4.6 向yz 平面投影的3d 矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==100010000)0,001(S P yz4.7 向任意平面投影的3d 矩阵()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------==2221110,z yz z x z y y yx z x y x xn n n n n n n n n n n n n n n n S n P 5 镜像缩放因子为-1的缩放矩阵可以方便的实现镜像. 5.1 沿任意轴镜像的2d 矩阵()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=-=22212221)1,(y yx y x xn n n n n n n S n P5.2 沿任意轴镜像的3d 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------=-=222212222122221)1,()(z yz z x z y y yx z x y x xn n n n n n n n n n n n n n n n S n P6 切变(扭曲)矩阵1 2d 切变6.1 x 坐标根据坐标y 被切变,参数s 控制着切变的方向和量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101)(s s x H6.2 y 坐标根据x 坐标被切变.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101)(s s y H2 3d 切变6.3 xy 面,根据z 被切变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010001),(t s t s xy H6.4 xz 面,根据y 被切变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001001),(t s t s xz H6.5 yz 面根据x 被切变⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000101),(t s t s yz H线性变换如果函数F 保持基本运算:加法和数量乘,就可以称该函数是线性的. 满足下式:)()()()()(a F a F b F a F b a F k k =+=+仿射变换是线性变换接着平移.7 方阵M 的行列式.记作M 或det M.7.1 2x2矩阵的行列式1221221122211211m m m m m m m m -==M7.2 3x3矩阵的行列式)()()(312232321333213123123223332211332112322311312213322113312312332211333231232221131211m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m -+-+-=---++=行列式等于以基向量为2边的并行四边形有符号的面积.。

高一数学必修1

高一数学必修1

高一数学必修1高一数学必修1导论数学是一门学科,涉及数理逻辑、代数、几何、数论、集合论等许多分支学科。

数学是一种思维工具,它用抽象的符号表示客观事物和数学关系,用严格的推理推演出一般性结论。

高一数学必修1主要包括代数、平面几何和立体几何三个部分,在这三个部分中,代数是基础,平面几何是拓展,立体几何是独立的。

因此,代数是首先需要掌握的基础,在此基础上再学习平面几何和立体几何。

第一章代数专题1.1初中代数回忆初中代数的学习主要涉及到方程和不等式,而高中代数除了方程和不等式之外,还会涉及到函数、数列和三角函数等内容。

1.2线性方程组在本节中,将详细介绍线性方程组的概念、解法和特殊情况。

1.3一元二次方程在本节中,将详细介绍二次函数、二次方程的定义、性质以及解法。

1.4复数及其运算在本节中,将详细介绍复数的定义、性质及其运算,以及如何用复数形式表示方程的解。

1.5函数及其基本性质在本节中,将详细介绍函数与自变量、函数的符号性、奇偶性、单调性、周期性等基本性质以及反函数的相关知识。

1.6函数的图像在本节中,将详细介绍函数的图像、对称性和平移变换,以便更好地理解和掌握函数的性质。

1.7函数的运算在本节中,将详细介绍函数的四则运算、复合函数、反比例函数及其性质,以及求函数的反函数和复合函数的复合性质。

1.8三角函数在本节中,将详细介绍三角函数的定义、性质、三角函数的值域和范围以及其他相关知识。

第二章平面几何专题2.1平面向量在本节中,将详细介绍平面向量的定义、平面向量的数量积、向量的投影及其他相关知识。

2.2平面直角坐标系中的图形在本节中,将详细介绍平面直角坐标系中的图形的表示、性质和判定方法。

2.3圆在本节中,将详细介绍圆的定义、性质及相关定理,以及圆与直线、圆与圆的位置关系。

2.4圆锥曲线在本节中,将详细介绍抛物线、双曲线、椭圆的定义、性质、公式及其他相关知识。

第三章立体几何专题3.1空间几何初步在本节中,将从空间几何的基本定义、空间向量及空间直角坐标系入手,详细介绍空间几何的相关知识。

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(1.4-13)
式 中 p为 气 体 总 气 压 (Pa) , 为 实 验 测 得 的 比 例 系 数
(MHz/Pa) 。 例 如 , 对 CO2 气 体 测 得 ≈ 49kHz/Pa , 对 He3:Ne20混合气体(7:1),测得Ne20的 ≈720kHz/Pa。
把两者的线型函数式合并起来,称为均匀加宽线型函数
实现粒子数的反转的条件是:工作物质要有丰 富的泵浦吸收带;寿命较长的激光上能态;泵 浦源足够强。
1.5.2 小信号增益系数
处于粒子数反转状态的物质称为激活物质。一 段激活物质就是一个光放大器。
光放大作用通常用增益(放大)系数G来描述。
设在光传播方向上z处的光强为I(z),则增益系
数定义为
G(z) dI(z) I (z)dz
2

(1.4-21)
在实际的光谱线 中,往往同时存 在多种加宽因素。 综合加宽线型, 在数学上是两个 线型函数的卷积。
1.5 光的受激辐射放大
1.5.1 实现光放大的条件
物质处于热平衡状态时,各能级上粒子数的分
布服从玻尔兹曼分布
n2
E2 E1
e kBT
n1
(1.5-1)
7)可得阈值反转粒子数 nt 为
nt

8 2 2
c2 A21g , 0
(1.6-8)
要产生激光,除了要实现粒子数反转,还应该有
一个提供光学正反馈光学谐振腔,这是激光产生的充
分条件。
0
(4
ln
2)
1 0 D
2
D0
(1.5-12)
饱和增益系数
GD (1, I )
GD0 ( 0 )
1 I1
e
4
ln
2
1 0 D
2
Is
(1.5-13)
式中, D 为增益曲线的宽度, GD0 ( 0 )
为中心频率处的小信号增益系数
8
2
2 0
(1.5-7)
由此可见,在粒子数反转分布时,光强在激光工作
物质中按指数增加。随着光强的增加,受激辐射愈来
愈强。在激励系统泵浦速率一定的情况下,I , n2 , Δn , G(z) 这种增益系数随光强增加而减小的现象 叫做增益饱和。
1.5.3 增益饱和
增益系数随频率的变化曲线称为增益曲线,因激
1.4 光谱线的宽度 线型函数
实际的辐射并不是单色的而是分布在谱线的中
心叫谱频线率加 0宽 E。2 h E1 附近一个很小的频率范围内,
谱线的线型函数定义为
g( , 0 )
P( )

P(
)d
(1.4-1)

P( )辐射功率。线型函数 g( , 0 ) 在 0 时有最大
值,并在 0 / 2 下降至最大值的一半,即
g( 0


2
, 0 )

g 0, 0
2
按上面的定义 称为谱线宽度。
1.4.1 均匀加宽线型函数
均匀加宽:引起的加宽的物理因素对每个原子都是 相同的。自然加宽、碰撞加宽及晶格振动加宽。
一、自然加宽
受激原子在激发态上具有有限的寿命。 自然加宽。
1.6 光的自激振荡
假若有微弱光Iν(0)进入一无限长放大器。工作物质的 增益超过损耗,则激光强度 I (z) I (0)e[G0( )]z 将按增 加,导致增益饱和使G(z)下降。因而Iν(z)的增长将逐渐减 缓。最后,当 G( , I ) ,达到一个稳定的极限值
Im可,,见对,均I1匀mG只I加0Ims与宽放工大作得器物本质身,由的Im参 (数G0有关) Is,而与初(1始.6光-4强) Iν(0)无关。不管初始Iν(0)多么微弱,只要放大器足 够长,就总是形成确定大小的光强Im,这实际上就是自
,由此得 或
r1r2 expG , I i 2L 1
G
,
I


i

1 2L
ln(
r1r2
)
(1.6-6)
这就是激光振荡的阈值条件。



i

1 2L
ln(r1r2 )
称为总损耗系数,那么增益阈值 Gt ( )
(1.6-7) 。
由于增益系数与反转粒子数成正比,所以由式(1.5-
为简单起见,令f1 = f2。因E2 >E1,所以n2 < n1, 当 n2W频2率1。为因此 ,E处2 h于E1 热的平光衡通状过态物的质物时质,只n1能W吸12恒收光> 子。
要实现光的放大,显然应使n2 > n1,称为粒子 数反转分布。一般说来处于热平衡状态,粒子 数的反转分布是不可能的。只有当外界向物质 提供能量(激励或称泵浦),从而使物质处于 非平衡状态时,粒子数的反转才可能实现。激 励过程是光放大的必要条件。
况下,就等于单位长度上光强的增加,即
dI ( z) dz
(n2

f2 f1
n1)
A21c2 g
8 2
,
2 0
0

I
(1.5-6)
由(1.5-1)式和(1.5-6)式得增益系数G(z)为
G(z)
(n2

f2 f1
n1)
A21c2 g , 0
8
2
2 0

nc2 A21g , 0
2
H
2

2
1

I1 Is

(1.5-11)
GH0 (0) 为中心频率处的小信号增益系数
GH0 0

n0
4
c 2 A21
2
2
2 0

H
对于非均匀加宽物质,当频率为1,光强为I
的准单色光入射时

1
小信号增益系数
G ( ) G ( )e 0 D1
激振荡的概念。
1.6.2 激光振荡条件
设光学谐振腔两个反射镜的反射率分别是r1和r2,光 学谐振腔的长度为L,那么光束在光腔内一个来回后的
光强是
I r1r2I (0) expG , I i 2L (1.6-5)
i 是腔内的损耗系数。为了维持振荡,必须 I I (0)
其多普勒线宽 D 是
D

2
0

2kBT mc2
ln
2
1

2

7.16
107
0

T M
1
2
(1.4-22)
式中M为原子(分子)量。多普勒加宽线型函数为
gD ( , 0 )

2
D

ln
2
1

2
( 4 ln
e
2
)

0 D
考虑到谱线加宽引起的线型函数 g( , 0),则由
式 B12 f1 B21 f2 有
B21
f1 f2
B12
A21c3 g , 0
8h
3
3 0
(1.5-4)
P
(n2

f2 f1
n1)
A21c2 g
8 2
,
2 0
0

I
I

c
该辐射功率相干地和入射光迭加,在没有损耗的情
GD0 0


n0
c 2 A21
4
2
2 0

D

ln 2

1

2
图 1.5-1 均匀加宽工作物质增益曲线
图 1.5-2 非均匀加宽工作物质的增益曲线
孔的宽度为

1
I1 Is
H
(1.5-14)
图 1.5-3 非均匀加宽气体激光器的增益曲线及反 转粒子数的速度分布曲线
L
gL ( , 0 ) (
L

1
L
2 0)2

L
2
2
(1.4-11) (1.4-12)
在气体工作物质中,平均碰撞时间 L 与气体的压强
、原子(分子)间的碰撞截面、温度等有关。
在气压不太高时,实验证明 L与气压 p 成正比:
L p
自然加宽谱线宽度 N 为
N

1
2 s

1
2

自然加宽线型函数表示为
(1.4-9)
N
gN
( , 0 )

(
2
0 )2


N
2
2

自然加宽具有洛仑兹线型
(1.4-10)
二、碰撞加宽
大量粒子之间无规则“碰撞” ——导致激发态原 子只有一定的寿命引起谱线加宽,而且可以预计它的 线型函数和自然加宽一样,并可表示为
活物质的加宽性质不同,增益曲线的线型不同。对于
均匀加宽物质,当频率为 1 ,光强为 I1 的准单色光
入射时小信号增益系数
( H )2
GH0
( 1 )

GH0
( 0 )
( 1
2

0
)2


H
2
2
(1.5-10)
和饱和增益系数
( H )2
GH (1, I1 ) GH0 ( 0 ) (1 0 )2
(1.5-2)
所以,G(z)表示光通过单位长度激活物质后光 强增长的百分数。
现在考察频率为 、强度为Iν的单色光在由激励装置
实现粒子数反转分布的激光工作物质中的传播情况。
单位体积内产生的光功率为
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