3.2第三章-2谱线加宽和线型函数

P = ∫ P(ν )dν
−∞
+∞
P(ν)的量纲？
~ 量纲为[s]，ν0表 • 引入谱线的线型函数 g (ν ,ν 0 ) 示线型函数的 ~ (ν , ν ) = P (ν ) g 0 中心频率，即 P +∞ ~ g (ν , ν 0 ) d ν = 1 • 满足归一化条件 ∫
• 线型函数在ν=ν0时有最大值，并在
2、晶格缺陷加宽 、
• 固体工作物质中，不存在多普勒加宽，但有一 系列引起非均匀加宽的其他物理因素。 • 在晶格缺陷部位的晶格场和无缺陷部位的理想 晶格场不同，处于缺陷部位的激活离子的能级 将发生位移，导致处于晶体不同部位的激活离 子的发光中心频率不同，即产生非均匀加宽。 • 在玻璃基质中，由于玻璃结构的无序性，各个 激活离子处于不等价的配位场中，导致了与晶 格缺陷类似的非均匀加宽。
% g N (ν ,ν 0 ) = ∆ν N 2 (ν −ν 0 ) + ( ) 2
2
2π
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N
• 原子谱线的宽度以及辐射持续时间都反映了 原子能级的性质。
2
碰撞加宽（ 碰撞加宽（collision broadening)
• 大量原子（分子）之间的无规“碰撞”是引 起谱线加宽的另一重要原因。由于粒子之间 的碰撞（相互作用）引起的谱线加宽称为碰 撞加宽。 • 在气体工作物质中：大量原子（分子）处于 无规则热运动状态，当两个原子相遇而处于 足够接近的位置时（或原子与器壁相碰时）， 原子间的相互作用足以改变原子原来的运动 状态。认为两原子发生了碰撞
homogeneous broadening • 如果引起加宽的物理因素对每个原子都是等 同的，则这种加宽称作均匀加宽 • 每个原子都以整个线型发射，不能把线型函 数上的某一特定频率和某些特定原子联系起 来，即每一发光原子对光谱线内任一频率都 有贡献。 • 自然加宽、碰撞加宽和晶格振动加宽属于均 匀加宽
该积分与辐射场ρν的带宽∆ν′有关。
∆ A: 原子和连续光辐射场的相互作用， ν ′ >> ∆ν
∆ B: 原子和准单色光辐射场相互作用， ν ′ << ∆ν
3 原子和准单色光相互作用
• 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场ρν′的中心频率为ν ，带宽为∆ν′，且 ∆ν′<<∆ν 。被积函数只在中心频率ν附近的一个极 ~ 窄范围内才有非零值。在此频率范围内，g (ν ′,ν 0 ) 可 以近似看成不变。 • 引入δ函数ρν′=ρδ(ν′-ν) ρ表示频率为ν的准
1
自然加宽（ 自然加宽（natural broadening） ）
•在不受外界影响时，受激原子并非永远处于 激发态，会自发地向低能级跃迁，因而受激 原子在激发态上具有有限的寿命。这一因素 造成原子跃迁谱线的自然加宽。
• 在经典模型中，原子中作简谐运动的电子由 于自发辐射而不断消耗能量，因而电子振动 的振幅服从阻尼振动规律
3 3
8πhν ~ W21 (ν ) = B21 (ν ) ρν = B21 g (ν ,ν 0 ) ρν
3
B21 (ν ) = B21 g (ν ,ν 0 ) =
A21 (ν )
对表达式进行修正
+∞ dn 21 ( ) sp = ∫ n 2 A21 (ν ) d ν = n 2 A21 −∞ dt +∞ +∞ dn 21 ~ ( ) st = ∫ n 2W 21 (ν ) d ν = n 2 B 21 ∫ g (ν ,ν 0 ) ρ ν d ν −∞ −∞ dt
自然加宽 碰撞加宽 晶格振动加宽
• 非均匀加宽
多普勒加宽 晶格缺陷加宽
谱线加宽与线型函数基本概念
• 由于各种因素的影响，自发辐射并不是单 色的，即光谱不是单一频率的光波，而包 含有一个频率范围，称为谱线加宽。 • P(ν)是描述自发辐射功率按频率分布的函数。 P(ν) 在总功率P中，分布在ν~ν+dν范围内的光功 率为P(ν)dν ，数学表示为
2 考虑线型函数后必要的修正
线型函数可以理解为几率按频率的分布函数
~ ~ P(ν ) = Pg (ν ,ν 0 ) = n2 hν 0 A21 g (ν ,ν 0 ) = n2 hν 0 A21 (ν )
~ A21 (ν ) = A21 g (ν ,ν 0 )
∫
+∞
−∞
~ A21 (ν )dν = ∫ A21 g (ν ,ν 0 )dν = A21
x (ν )
2 2
∫
+∞
−∞
x (ν ) dν
~ g N (ν ,ν 0 ) =
1
+∞ 1 γ 2 2 2 dν ( ) + 4π (ν − ν 0 ) ∫ 2 −∞ γ 2 ( ) + 4π 2 (ν − ν )2 0 2
=
( ) 2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
ν
= ν
0
−∞
ν 0 = ( E2 − E1 ) h
±
∆ ν 2
时下降到最大值的一半，即 ~ ∆ν ∆ν g (ν 0 ,ν 0 ) ~ ~ g (ν 0 + ,ν 0 ) = g (ν 0 − ,ν 0 ) =
2 2 2
• 按上式定义的∆ν称为谱线宽度。
加宽机制之一——均匀加宽 加宽机制之一 均匀加宽
小结
自然加宽 孤立原子在静止 状态下所发射的 谱线所具有的宽 度 压强加宽 多普勒加宽 原子不是孤立的， 发光原子是不断 原子之间存在相 运动（热运动） 互作用，由这些 着的，发出的光 干扰引起的加宽 波将产生多普勒 效应统称为压强 频移。不同原子 加宽。碰撞加宽 具有不同的热运 是其中一种 动速度，因此发 出的光波的频移 大小也不同
2
dt
=−
21
dt
= − A21n2 = −
τs
2
n2 (t ) = n20 e
t t
τs
• 求得自发辐射功率为
dn21 dn2 (t ) P (t ) = hν = − hν = n20 hνA21e dt dt
−
τs
= P0 e
−
τs
• 比较两式可得
γ=
1
τs
• 洛仑兹线型（Lorentzian lineshape） % • 当ν=ν0时，g N (ν 0 ,ν 0 ) = 4τ s • 自然线宽∆νN=1/(2πτs)，唯一地由原子在能级 E2的自发辐射寿命τs决定。 • 自然加宽线型函数表示为 ∆ν
∫
+∞
−∞
ρν′ dν ′ = ∫ ρδ (ν ′ −ν )dν ′ =ρ
−∞
+∞
单色光辐射场的总 能量密度，Jm-3
+∞ dn21 ~ ~ ( ) st = n2 B21 ∫ g (ν ′,ν 0 ) ρδ (ν ′ − ν )dν ′ = n2 B21 g (ν ,ν 0 ) ρ −∞ dt
• 在频率为ν的单色辐射场的作用下，受激跃迁几率为
授课计划
1. 知识回顾：用经典理论描述发光光谱中的谱 知识回顾： 线增宽现象 2. 光谱增宽的物理原因及其分类 3. 考虑了频率增宽之后的自发辐射、受激辐射 考虑了频率增宽之后的自发辐射、 、吸收方程修正 4.三能级单模速率方程组 三能级单模速率方程组
3.3 谱线加宽和线型函数 • 基本概念 • 均匀加宽
x ( t ) = x 0 exp( − γ t 2 ) exp( i 2πν 0 t )
其中，ν0是原子作无阻尼简谐振动的频率， 即原子发光的中心频率，γ为阻尼系数。这种 阻尼运动不再是频率为ν0的单一频率（简谐） 振动，而是包含有许多频率的光波，即谱线 加宽了，此即形成自然加宽的原因。
• 对x(t)作傅立叶变换，可求得它的频谱
−∞
+∞
A21(ν)表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率ν处单 位频率内的自发跃迁几率； W21(ν)表示在辐射场ρν作用 下的总受激跃迁几率W21中，分配在频率ν处单位频率内 的受激跃迁几率 c3 ~
c c A21 (ν ) B21 = A21 = ~ 8πhν 3 8πhν 3 g (ν ,ν 0 )
γ
γ
γ=?
设在初始时刻t=0时能级E2上有n20个原子，则 自发辐射功率随时间的变化规律可写为
P (t ) ∝ n20 x(t ) = n20 x(t ) x* (t )
2
2 P (t ) ∝ n20 x0 e −γt
P (t ) = P0 e −γt
• 另一方面， E2能级上原子数随时间的变化规 律为 dn t dn n −
% W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ
% W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
• 非弹性碰撞： 激发态原子和其它原子或器壁碰撞而将自己 的内能变为其它原子的动能或给予器壁，而 自己回到基态 称作无辐射跃迁，同自发辐射过程一样，也 会引起激发态寿命的缩短。 在晶体中，无辐射跃迁起因于原子和晶格振 动相互作用，原子释放的内能转化为声子能 量。
• 原子在能级上的有限寿命所引起的均匀加宽 也是量子力学测不准原理的直接结果。 • 设原子在能级上的寿命为τ，可理解为原子的 时间测不准，原子的能量测不准量∆E为 h
1、多普勒加宽 、
• 多普勒加宽是由于作热运动的发光原子（分子） 所发出的多普勒频移引起的。 • 光学多普勒效应：当光源与光接收器作相对运 动时，光接收器接收到的光波频率将随光源与 接收器相对运动速度的不同而改变。 • 原子相对于接收器静止时，接收器收到的光波 频率为ν0 。当原子相对于接收器以υZ的速度运 动，接收器收到的光频率为
x(ν ) = ∫
+∞ 0
x(t )e
− i 2πνt
dt = x0 ∫ e e
2 0
+∞
−
γt
i 2π (ν 0 −ν ) t
dt =
γ
2
x0 − i (ν 0 −ν )2π
• 辐射功率正比于电子振动振幅的平方，频率 在ν~ν+dν区间内的自发辐射功率为
P(ν )dν ∝ x (ν ) dν
2
~(ν ,ν ) = P(ν ) = g 0 P
∆E ≈
τ
• 若跃迁上、下能级的寿命分别为τ2与τ1，则 原子发光具有频率不确定量或谱线宽度
∆ν = 1 2πτ 1 + 1 2πτ 2
1 2πτ 2
• 当下能级为基态时，τ1为无穷大，有 ∆ν =
3 晶格振动加宽
• 对于固体激光物质，均匀加宽主要是由晶格热振 动引起的，自发辐射和无辐射跃迁造成的谱线加 宽是很小的。 • 固体工作物质中，激活离子镶嵌在晶体中，周围 的晶格场将影响其能级的位置。由于晶格振动使 激活离子处于随时间变化的晶格场中，激活离子 的能级所对应的能量在某一范围内变化，因而引 起谱线加宽。温度越高，振动越剧烈，谱线越宽。 由于晶格振动对于所有激活离子的影响基本相同， 所以这种加宽属于均匀加宽。
• 在晶体中：虽然原子基本是不动的，但每个原子也 受到相邻原子的偶极相互作用，因而一个原子也可 能在无规的时刻由于这种相互作用而改变自己的运 动状态，也称为“碰撞” • 碰撞过程：分为弹性碰撞和非弹性碰撞 • 弹性碰撞： A*+A→A+A*, → A*+B 属于横向弛豫过程，虽不会使激发态原子减少，却 无规的相位突变， 会使原子发出的自发辐射波列发生无规的相位突变 无规的相位突变 相位突变引起的波列时间的缩短等效于原子寿命的 缩短。
气体工作物质 固体工作物质 自然加宽 碰撞加宽
∆νN τs
∆νL（包括弹性 τnr（非弹性碰撞） 与非弹性碰撞） 有
晶格振动加宽 无 均匀加宽
主要由碰撞加宽 主要是晶格振动 决定 加宽
加宽机制之二 加宽机制之二——非均匀加宽 非均匀加宽
• 特点：原子体系中不同原子向谱线的不同 频率发射，或者说，每个原子只对谱线内 与它的表观中心频率相应的部分有贡献， 因而可以区分谱线上的某一频率范围是由 哪一部分原子发射的。
1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质 相互作用的关系式
dn21 ( ) sp = A21n2 dt dn21 ( ) st = W21n2 ,W21 = B21 ρν dt dn12 ( ) st = W12 n1 , W12 = B12 ρν dt 3 A21 8π hν = = nν hν , B12 f1 = B21 f 2 3 B21 c
end
3.4 典型激光器速率方程
• 表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。 • 归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。 • 激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。