数学必修1—9.函数与方程

第9讲 函数与方程（2）

考点1函数的零点

考法1函数零点的概念

1.把函数()y f x =的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.也可说成是使函数值为零的自变量的值.

函数的零点是一个实数，而不是点，例如函数1y x =+的零点为1-，不是(1,0)-. 因此，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根.2()23f x x x =--的零点就是方程2230x x --=的两个实根.

2.并不是每一个函数都有零点，如函数2()1f x x =+没有零点.

3.若函数有零点，零点一定在定义域内.

考法2存在性定理

如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()f a ()0f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使 ()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．

函数在区间[,]a b 上有零点必须满足两个条件：①连续；②()()0f a f b ⋅<.

1.函数1()f x x =，易知(1)(1)0f f -⋅<，但1()f x x

=在(1,1)-内没有零点. 2.函数()y f x =在区间(2,2)-内没有零点.

1.（2011·全国课标卷·文科）在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x 的零点所在的区间为 C A.1(,0)4- B.1(0,)4 C.11(,)42 D.13(,)24

考法3唯一性定理

如果函数()y f x =在区间[,]a b 上连续且单调，如果有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有且仅有一个零点.

1.（2014·北京卷·文科）已知函数26()log f x x x

=

-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,)+∞ 考点2判断函数的零点方法

考法1解对应的方程

1.求函数)1lg()(-=x x f 的零点．

2.求函数32()89f x x x x =--的零点.

考法2图像法

1.（2013·江西卷·理科）若a b c <<，则函数()()()()()f x x a x b x b x c =--+--+ ()()x c x a --两个零点分别位于区间 A

A.(,)a b 和(,)b c 内

B.(,)a -∞和(,)a b 内

C.(,)b c 和(,)c +∞内

D.(,)a -∞和(,)c +∞内

2.（2010·天津卷·理科）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 B

A.(2,1)--

B.(1,0)-

C.(0,1)

D.(1,2)

3.（2010·浙江卷·文科）已知0x 是函数1()21f x x

=+-的一个零点，若10(1,)x x ∈ ，20(,)x x ∈+∞，则 B

A.1()0f x <，2()0f x <

B.1()0f x <，2()0f x >

C.1()0f x >，2()0f x <

D.1()0f x >，2()0f x >

4.设0x 是函数21()()log 3

x f x x =-的零点，若00a x <<,则()f a 的值满足 A.()0f a = B.()0f a < C.()0f a > D.符号不确定 考点3函数零点的应用

考法1判断函数零点的个数及所在的区间

1.（2012·天津卷·理科）函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 B

A.0

B.1

C.2

D.3

2.（2012·北京卷·文科）函数12

1()()2x f x x =-的零点个数为 B A.0 B.1 C.2 D.3

3.（2014·福建卷·文科）函数220()26ln 0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩

的零点个数是 .2 考法2利用函数零点确定方程的根

1.（2010·上海卷·理科）若0x 是方程31

)21(x x =的解，则0x 属于区间 C A.2(,1)3 B.12(,)23 C.11(,)32 D.1(0,)3 考法3求参数的取值范围

1.（2014·山东卷·理科）已知函数()21f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 B A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞

2.（2010·大纲全国卷·理科）直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a

的取值范围是 . 5(1,)4 3.（2018·全国卷Ⅰ·理科）已知函数0()ln 0

x

e x

f x x

x ⎧≤=⎨>⎩,()()g x f x x a =++.若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围为 A.[1,0)- B.[0,)+∞ C.[1,)-+∞ D.[1,)+∞

4.（2015·湖南卷·文科）若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 . (0,2)