后继函数与极限环的稳定性

后继函数与极限环的稳定性后继函数与极限环的稳定性1 Poineare 映射与后继函数设平面系统()(),,,k dxP x y dtP Q C dy Q x y dt⎧=⎪⎪∈⎨⎪=⎪⎩（1）k 为足够大的正数，并设Γ是系统(1)的一条闭轨线，其方程为()(),x x t y y t ==()x t 与()y t 是周期为T 的函数.在Γ上任意一点0P 作Γ的外法向量，在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内的法线短设为AB ，选取AB 上任意一点0Q ,B 并设从0P 到0Q 的有限距离为0n ，由解对初值的连续依赖性可知，从0Q 出发的轨线环绕闭轨一周后，必将再次与法线短AB 相交于1Q 点。

记0P 与1Q 的有向距离为n ，于是n 将是0n 的函数，并记为()0n n n =，如图(1)所示。

A图1定义1 称1Q 为0Q 的后继点; ()0n n 为后继函数，有时也称()()00N n n n n =-为后继函数。

当后继函数()00N n =时，即()0n n n =表示过0Q 点的轨线是一条闭轨线。

通过对后继函数的几何理解，很容易得出下列有关极限环稳定性的重要结论若对法线段AB 上任意一点均有()000n N n >或()'00N >，则Γ为不稳定的极限环；若()000n N n <或()'00N <，则Γ为稳定的极限环；若()()0000N n n <≠，则Γ为外稳定而内不稳定的半稳定极限环； 若()()0000N n n >≠，则Γ为外不稳定而内稳定的半稳定极限环； 若()00N n ≡，则Γ为周期环。

根据后继函数()0N n 的零点个数，可以定义极限环的重数 定义2 若()()()()'k-1000=0,00k N N N N ===≠L则称Γ为k 重极限环。

特别地，1k =称Γ为单重极限环或简单极限环。

显然这里的k 重极限环对应于后继函数的k 重根。

通过后继函数()0N n 在零点泰勒展开很容易的到这个结论。

2 曲线坐标与极限环的稳定性设有系统(1)的闭轨线Γ，逆时针方向，其房程为()(),x f t y g t ==f 与g 均为周期为T 的周期函数. 在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内，建立曲线坐标如下图2，(),Q δ∀∈ΓU ，过Q 点作Γ的法线与Γ相交于P 点。

取法线方向向外为正。

在Γ任意固定一点0P 作为度量弧长的起点，顺时针方向为正，并记弧长»0PP s =，法线上的有向距离PQ n =。

于是()U ,δΓ内的点Q 与数组(),s n 构成一一对应的关系，称(),s n 为Q 点的曲线坐标。

图2设Q 点的直角坐标为(),x y ，曲线坐标为(),s n ，Γ以弧长s 为参数的参数方程为()(),0x s y s s l ϕψ==≤≤，其中l 为Γ的弧长，从而P 点的直角坐标为()()(),s s ϕψ. Γ 在P 点的单位法向量为()()()0'',n s s ψϕ=-，于是()()()'',PQ n s s ψϕ=-u u u r又由于OQ OP PQ =+u u u r u u u r u u u r所以可以得到直角坐标与曲线坐标的关系()()()()''0x s n s s l y s n s ϕψψϕ⎧=-⎪≤≤⎨=+⎪⎩ （2）从而可以利用公式(2)把给定的直角坐标下的坐标(),x y 转化为曲线坐标下的坐标(),s n ，得到()()'''''''',Q P n P Q dn F s n ds P Q ϕψϕψϕψ--+==+ (3)显然极限环Γ对应于它的零解0n =，并将上式分离出线性项得()()',0dnF s n o n ds=+其中()()()()2'''2200000000'32220,0y y x xn P Q P Q P Q Q P F s H x PQ--+=+@(4)所以方程(3)的一次近似方程为()dnH s n ds= （5）方程(5)满足初始条件()00n n =的解为()()00exps n n H u du =⎰从而对极限环的稳定性，有如下定理定理1 当()00sH s ds <⎰时极限环Γ是稳定的；当()00s H s ds >⎰时，极限环Γ是不稳定的，其中l 是极限环Γ的弧长.证 对Γ足够小邻域内的任意一点0n ，考虑后继函数()()()()()()00000exp1l N n n n n n H s ds o n =-=-+⎰显然，当()()000l H s ds <>⎰时，有()()0000n N n <>，从而Γ是稳定（不稳定）极限环。

对于定理1，里面表达式是在曲线坐标下的，用起来不方便，现在把它转化为直角坐标下的表达式，有如下定理定理2 若沿着系统(1)的极限环Γ有()000TP Q dt x y∂∂+<>∂∂⎰则Γ的极限环是稳定（不稳定），其中T 是极限环Γ的周期证明过程利用曲线坐标与直角坐标的关系就可以直接得到定理中的两式子是相等.定义3 沿系统（1）闭轨线Γ的下述表达式001T P Qh dt T x y∂∂+∂∂⎰@称为Γ的特征值数，其中T 是极限环Γ的周期显然，当()000h <>时，极限环Γ的稳定（不稳定）。

由以上讨论容易看出，Γ是单重极限环的充要条件是其特征值数00h ≠，事实上，由单重极限环的定义可知()'00,N ≠其中()()000N n n n n =-从而()()()()()()()'0000000000limlim 1lim exp 1exp 1x x l x N n N n n N n n o n H s ds n Th →∞→∞→∞⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-⎰由此可知，上式充要条件成立。

通过上述定理2和定义3，都可以来用判断极限环的稳定性，但是由于极限环的方程一般来说很难求得，因此用上述定理判断极限环稳定性或求解极限环的特征值数，是很困难的。

当然，有些时候，可以利用给定的微分方程组通过估计的方法来确定极限环特征值数的符号，由此便可以判断极限环的稳定性。

不及如此有时还能用来确定极限环的唯一性和不存在性。

例如，如果求得一个系统仅有一个奇点，而且还能估计出系统若存在一个Γ极限环，则极限环的特征值数00h <，即极限环必稳定。

同时，也说明了此系统仅含有一个极限环，若还存在其他的极限环，不妨设为Γ，则Γ靠近Γ的一侧必不稳定，从而与特征值数00h <矛盾。

如果还能证明这个唯一的奇点是稳定的，离它最近的极限环必然是不稳定的，也与特征值数00h <矛盾，这就说明了极限环的不存在性。

下面的例题也可以说明这一情况。

例1 证明如下系统在全平面存在唯一的闭轨线Γ，并且它是双曲的稳定极限环，单位圆周位于Γ所围区域。

()()333,23,2dx x y x P x y dt dy x y y Q x y dt⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩@@（6）证 显然此系统有唯一的奇点()0,0，并且是不稳定的焦点. 取Liapunov 函数()()221,2V x y x y =+ ，则其全导数为 ()()()()224422222233=222dV x y x y x y x y x y dt ⎡⎤+-+=+-++⎢⎥⎣⎦（6） 当221x y +≤时，()60dVdt>，因此由Poincare 切性曲线法定理知系统在221x y +≤内无闭轨线，并且任何闭轨与单位圆周不相交。

若不然，假设存在一个闭轨°Γ与单位圆周C 相交，如图（3）所示由于选取的V 函数的全导数在单位圆周上的全导数大于零，所以系统轨线通过圆周的方向都应该是指向圆周外侧的，所以从上图可以看出，其闭轨Γ的轨线方向与圆周上轨线的方向矛盾，所以轨线与园周边不想交. 另一方面，引入极坐标cos ,sin x r y r θθ== ，则()()222442=32cos sin 322dV r r r r dt θθ⎡⎤-+≤-⎣⎦（6） 这里是因为()2442211cos sin 12sin cos 1sin 222θθθθθ+=-=-≥。

所以当223x y ε+≥+时，()60dVdt<，其中0ε>。

由环域定理知，系统在环域2213x y ε<+<+至少存在一个闭轨线Γ，显然它是环绕单位圆周的。

下面来说明它也是系统唯一的闭轨，并且是双曲稳定的极限环。

事实上，由()22310P Q x y x y ΓΓ∂∂⎡⎤+=-+<⎣⎦∂∂这里是因为在Γ上，有221x y+>。

有上述的定义（3）可知特征值数00h<，显然闭轨线Γ是双曲的稳定极限环. 有注意到系统有唯一的不稳定奇点，如果系统还存在另外的闭轨线，这条闭轨也围绕单位圆周，又由于其特征值数小于零，可知这条闭轨线也是稳定的，从而与我们上述分析的矛盾，所以此系统仅存在唯一的闭轨线Γ.所以说，虽然求解一个闭轨的特征指数需要知道其闭轨的方程，但有些时候，我们仅仅利用原系统的性质就可判断出特征值数在某一区域的符号，这对我们来判断极限环的唯一性，存在性，稳定性带来了很大的便捷。

而且有些时候，还可以判断奇点的全局稳定性. 就像例1，我们首先判断出了系统仅有唯一的一个奇点，而且是不稳定的，所以才有下述的结论，倘若我们计算出来的是系统仅有唯一的一个奇点，而且这个奇点是稳定的，还可以证明其特征值数是小于零的，也就是如果系统存在极限环，则一定是稳定的，从而与奇点稳定产生矛盾，进而说明系统不存在极限环，所以这个奇点是全局稳定的.。