组合体讲义的表面交线
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分析：半球的通槽由三个平面构成， 一个水平面和两个侧平面截切圆球 它们与球面的截交线都是分别平行于 投影面的圆弧。关键是确定截交圆弧 的半径；可根据截平面位置确定。 1、通槽的水平投影作图：过槽底部 作辅助水平面，水平投影为圆，并在 圆周上截取与正面投影相对应的前后 两段圆弧。
水平面截切圆柱体而成的。
(5")•
•(4") 侧平面与圆柱轴线垂直，截交
7"
6"
线为圆弧，其正面投影为直线，
侧面投影为圆弧。
•1
6•
•
4
•
8
c
•
a
•2
正垂面与圆柱轴线倾斜， 截交线为部分椭圆，正面投影 为直线，侧面投影与圆重合。
水平面与圆柱轴线平行截 交线为矩形，正面、侧面投影 均直线。
完成后的投影图
截平面为正平面， 正面投影为截交线 圆的实形。
Ph
(2)截平面为水平面
Pv
(3)截平面为正垂面
截平面为水平面，水平 投影为截交线圆的实形。
截平面为正垂面，截交线的 水平投影及侧面为椭圆。
例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投 影
b'
g'(h' ) •
c'(d') • e' (f ') •
a'
例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。
5'（6'）
• 1'（2'）
• 6"
• • 2" • • 3'（4'） 4"
2• •64
• •5 13
• 5"
• • 1" 3"
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。
完成后的投影图
2、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同 。
Pv
α Pv
截平面垂直于圆锥轴 线，倾角为θ=90ο， 截交线为圆形。
截平面与圆锥轴线 倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
百度文库Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
cd投影在辅助纬圆上。 e' f'是截交线与球的水平投
a• • b
•
e
c• g•
影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的 水平投影轮廓线上。
2、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与ab 的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水 平投影g、h投影在辅助纬圆上。
例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影
fd h • ••
作分图析：：1截、求平特面殊为点正垂截面交，线截的交最低线点的A正和面最投高影点B 是为水直平线投，影水的平最投右影点和为最椭左圆点。，也是截交线水平
投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投 影轮廓线的水平投影上。 a' b'的中点c' d'是截交线 水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影
l•d• • a• •k•c• b•
圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥 轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截 交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正 面投影为直线。
余两面投影根据投影关系 求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影 于a'b'的中点。 2、求一般点。 3、光滑连接各点的同面投 影。
•a
g ••
db
侧平面与圆柱轴线垂直， 与圆柱的截交线为圆弧，正面 投影为直线，侧面投影为圆弧 的实形。
水平面与圆柱的截交线为 开口矩形，与圆角度的截交线
为双曲线，其正面和侧面投影
均为直线 。
3、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影 可能是圆、直线或椭圆。
(1)截平面为平行面
例1：
求斜切圆柱体的投影 ，已知正面和水平面的 投影，完成侧面投影。
b• 4• •d
1• a• • 3
•2 •c
作图过程：
➢ 求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最 后点可确定出椭圆长短轴的 端点。 ➢ 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别求 出水平面和侧面投影。 ➢ 光滑地连接各点。
例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
1·'
c'
(3') • 2' a' •
6'(7 ')
4
(d')
8' '
•
• (9
(b ')
')
• • (5')
75
••
•9d
b
•
•3
1·"
分析：圆柱的轴线是侧垂线，
3" • b" • d" 9" •
• 2" • a"
截断体分别由侧平面、正垂面、
c" • 8"
完成后的三视图
例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投
影
a'
g'h'd'e'•
f '•
•
b• '
• (c')
a"
e"c"•
• •• h" f "
• g"
•
b"d"
分析：顶尖头是由相连的圆锥 体和圆柱体被两个平面截切 而成，轴线为侧垂线，截平面
分别为侧平面和水平面。
e
h • •C
•
• f•
1、平面与圆柱体相交 截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴
线的相对位置。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形
P Pv
截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆
P
Pv
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
2'
a'(b•'3) '(•4'c)'(•d')• 1' •
4"d•"• b"•
2" • • •c3"" • 1" • a"
➢ 截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。 ➢ 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转
体轴线的相对位置。
求截交线的方法和步骤： ➢ 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平
面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。 ➢ 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 ➢ 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投 影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。 作图：
c'(d ')• b' a' • k•'l•'
dl"" •• • b•" • ••kc"" a•"
1、求特殊点 最高点B 最低点A；圆锥体的前后 素线与截交线的正面投影 的交点c'd'重影为一点，其
组合体的表面交线
精品
§5.3组合体的表面交线
截交线的相关概念：
截切——用一个与立体相交的
平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切物体的平面。
截交线——截平面与物体表面的
交线。
截断面——因截平面的截切，在
物上形成 的平面。
截交线 截断面
截平面
平面与回转体相交
截交线的性质：
➢ 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。
水平面截切圆柱体而成的。
(5")•
•(4") 侧平面与圆柱轴线垂直，截交
7"
6"
线为圆弧，其正面投影为直线，
侧面投影为圆弧。
•1
6•
•
4
•
8
c
•
a
•2
正垂面与圆柱轴线倾斜， 截交线为部分椭圆，正面投影 为直线，侧面投影与圆重合。
水平面与圆柱轴线平行截 交线为矩形，正面、侧面投影 均直线。
完成后的投影图
截平面为正平面， 正面投影为截交线 圆的实形。
Ph
(2)截平面为水平面
Pv
(3)截平面为正垂面
截平面为水平面，水平 投影为截交线圆的实形。
截平面为正垂面，截交线的 水平投影及侧面为椭圆。
例1：已知圆球体被截切后的正面投影求作水平投 影
b'
g'(h' ) •
c'(d') • e' (f ') •
a'
例3、求如图所示的开槽圆柱的左视图。
5'（6'）
• 1'（2'）
• 6"
• • 2" • • 3'（4'） 4"
2• •64
• •5 13
• 5"
• • 1" 3"
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线，与上底面 的截交线为正垂线。另一个 截平面是垂直于圆柱轴线的 水平面，它与圆柱面的截交 线为两段圆弧。三个截平面 间产生了两条交线，均为正 垂线。
完成后的投影图
2、平面与圆锥体相交
截平面与锥体的截切位置和轴线倾角不同，截交线的形状不同 。
Pv
α Pv
截平面垂直于圆锥轴 线，倾角为θ=90ο， 截交线为圆形。
截平面与圆锥轴线 倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
百度文库Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
cd投影在辅助纬圆上。 e' f'是截交线与球的水平投
a• • b
•
e
c• g•
影轮廓线的正面投影的交点，其水平投影ef在球的 水平投影轮廓线上。
2、求一般点 选择适当位置作辅助水平面，与ab 的交点g、h为截交线上两个点的正面投影，其水 平投影g、h投影在辅助纬圆上。
例2、已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影
fd h • ••
作分图析：：1截、求平特面殊为点正垂截面交，线截的交最低线点的A正和面最投高影点B 是为水直平线投，影水的平最投右影点和为最椭左圆点。，也是截交线水平
投影椭圆短轴的交点，水平投影a、b在其正面投 影轮廓线的水平投影上。 a' b'的中点c' d'是截交线 水平投影椭圆长轴端点的正面投影，其水平投影
l•d• • a• •k•c• b•
圆锥体的轴线为铅垂线，截平面与圆锥 轴线的倾角大于圆锥母线与轴线的夹角，截 交线为椭圆。截平面是正垂面，截交线的正 面投影为直线。
余两面投影根据投影关系 求出；截交线的最前点K 和最后点L，正面投影重影 于a'b'的中点。 2、求一般点。 3、光滑连接各点的同面投 影。
•a
g ••
db
侧平面与圆柱轴线垂直， 与圆柱的截交线为圆弧，正面 投影为直线，侧面投影为圆弧 的实形。
水平面与圆柱的截交线为 开口矩形，与圆角度的截交线
为双曲线，其正面和侧面投影
均为直线 。
3、平面与球体相交
球被平面截切，截交线均为圆。由于截平面位置不同，截交线的投影 可能是圆、直线或椭圆。
(1)截平面为平行面
例1：
求斜切圆柱体的投影 ，已知正面和水平面的 投影，完成侧面投影。
b• 4• •d
1• a• • 3
•2 •c
作图过程：
➢ 求特殊点 即找最高、最 低、最左、最右、最前、最 后点可确定出椭圆长短轴的 端点。 ➢ 求一般点 从正面投影上 选取A、B、C、D四点分别求 出水平面和侧面投影。 ➢ 光滑地连接各点。
例2、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
1·'
c'
(3') • 2' a' •
6'(7 ')
4
(d')
8' '
•
• (9
(b ')
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• • (5')
75
••
•9d
b
•
•3
1·"
分析：圆柱的轴线是侧垂线，
3" • b" • d" 9" •
• 2" • a"
截断体分别由侧平面、正垂面、
c" • 8"
完成后的三视图
例2、已知顶尖被截切后的正面和侧面投影，求作水平投
影
a'
g'h'd'e'•
f '•
•
b• '
• (c')
a"
e"c"•
• •• h" f "
• g"
•
b"d"
分析：顶尖头是由相连的圆锥 体和圆柱体被两个平面截切 而成，轴线为侧垂线，截平面
分别为侧平面和水平面。
e
h • •C
•
• f•
1、平面与圆柱体相交 截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱轴
线的相对位置。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行截交线为矩形
P Pv
截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆
P
Pv
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
2'
a'(b•'3) '(•4'c)'(•d')• 1' •
4"d•"• b"•
2" • • •c3"" • 1" • a"
➢ 截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面组成的平面图形。 ➢ 截交线的形状，取决于回转体表面的形状及截平面对回转
体轴线的相对位置。
求截交线的方法和步骤： ➢ 分析回转体的表面性质，截平面与投影面的相对位置，截平
面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影。 ➢ 求出截交线上的点，首先找特殊点再补充中间点。 ➢ 补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线的投影。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
例1、已知圆锥体的正面投影和部分水平面投 影，求斜切圆锥体的水平投影和侧面投影。 作图：
c'(d ')• b' a' • k•'l•'
dl"" •• • b•" • ••kc"" a•"
1、求特殊点 最高点B 最低点A；圆锥体的前后 素线与截交线的正面投影 的交点c'd'重影为一点，其
组合体的表面交线
精品
§5.3组合体的表面交线
截交线的相关概念：
截切——用一个与立体相交的
平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切物体的平面。
截交线——截平面与物体表面的
交线。
截断面——因截平面的截切，在
物上形成 的平面。
截交线 截断面
截平面
平面与回转体相交
截交线的性质：
➢ 截交线是截平面和回转体表面的共有线，截交线上任意点 都是它们的共有点。