例谈求一元二次方程字母系数的值(含答案)-

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(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，，，求a 、b 的值．例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

九年级数学上册专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

专题21.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】【人教版】【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】 (1)【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】 (2)【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】 (2)【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 (2)【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】 (3)【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 (4)【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (5)【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则αβ+βα的值是．【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足√a−2+|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则1x1+1x2的值是（）A．−23B．23C．2D．16【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（）A ．﹣9B ．9C ．﹣9或9D ．﹣5或5【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】【例2】（2022•乳山市模拟）若x 1，x 2是方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根，则3x 12﹣3x 1+x 22＝（） A ．14B ．54C ．94D ．34【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x 2﹣2022x +1＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12−2022x 2+1的值为（） A ．﹣1B ．0C ．﹣2022D ．﹣2021【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两个实数根，则m 2﹣6m ﹣n +2022的值是（） A ．2016B ．2018C ．2020D ．2022【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m ，n 是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个实数根，则2m 2+4n 2﹣4n +2022的值为．【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】【例3】（2022•呼和浩特）已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x 13﹣2022x 1+x 22的值是（） A ．4045B ．4044C ．2022D ．1【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两根，则代数式﹣a 3+5a −5b 的值是（） A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣1【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则m 3﹣4n 2+17的值为（） A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．4【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m ，n 是方程x 2﹣4x +2＝0的两根，则代数式2m 3+5n 2−16n +4的值是（） A ．57B ．58C ．59D ．60【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1x 1+1x 2=1，则m 的值为（）A ．﹣3或1B ．﹣1或3C ．﹣1D ．3【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．且x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，则a 的值为（） A ．﹣6B ．﹣1C ．1或﹣6D ．6或﹣1【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4kx +3k 2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x 1，x 2，满足x 1﹣x 2＝3，求k 的值．【变式4-3】（2022•内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且x 2x 1+x 1x 2=x 12+2x 2﹣1，则k 的值为．【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a ≠b ，且满足（a +1）2＝3﹣3（a +1），3（b +1）＝3﹣（b +1）2，则b √ba +a√ab 的值为（） A ．23B ．﹣23C ．﹣2D ．﹣13【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且1β2+αβ−52α的值为（）A ．254B ．−254C ．−174D ．334【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且（a +m ）（a +n ）＝2，（b +m ）（b +n ）＝2，则ab ﹣mn 的值为（） A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy +x ≠1，且5x 2+300x +9＝0，9y 2+318y +314＝0，则xy+1的值是．【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x 的一元二次方程（p +1）x 2+2qx +（p +1）＝0（其中p ，q 为常数）有两个相等的实数根，则下列结论： ①1和一1都是方程x 2+qx +p ＝0的根 ②0可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ③﹣1可能是方程x 2+qx +p ＝0的根 ④1一定不是方程x 2+qx +p ＝0的根其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0与cx 2+bx +a ＝0，且ac ≠0，a ≠c ．下列说法正确的是（）A ．若方程ax 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，则方程cx 2+bx +a ＝0没有实数根B ．若方程ax 2+bx +c ＝0的两根符号相同，则方程cx 2+bx +a ＝0的两根符号也相同C ．若5是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则5也是方程cx 2+bx +a ＝0的一个根D ．若方程ax 2+bx +c ＝0和方程cx 2+bx +a ＝0有一个相同的根，则这个根必是x ＝1【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x 的一元二次方程M ：ax 2+bx +c ＝0，N ：cx 2+bx +a ＝0，其中ac ≠0，a ≠c ．下列结论错误的是（）A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是x ＝1【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y 2+qy +p ＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（） A ．p 是正数，q 是负数 B ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＜8 C ．q 是正数，p 是负数D ．（p ﹣2）2+（q ﹣2）2＞8【题型7 根与系数关系中的新定义问题】【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x+34=0是关于2的等距方程．【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k 均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝4，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是．（直接写出结果）【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2√3x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．（1）试判断方程根的情况．（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0（1）有两个负根？（2）两根异号，且负根绝对值较大？（3）一根大于5，一根小于5？【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．。

一元二次方程知识总结及习题

一元二次方程的定义与解法知识点一一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=；（2）()()832=+-x x ；（3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

一元二次方程题目和答案

一元二次方程题目和答案题目一:求解下列一元二次方程：2x2+5x−3=0解析:对于一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用求根公式来求解。

求根公式是：$$x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$将题目中的系数代入该公式：a=2,b=5,c=−3代入求根公式：$$x = \\frac{-5 \\pm \\sqrt{5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot -3}}{2 \\cdot 2}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{-5 + \\sqrt{49}}{4}$$$$x_2 = \\frac{-5 - \\sqrt{49}}{4}$$化简得：$$x_1 = \\frac{-5 + 7}{4} = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$$$$x_2 = \\frac{-5 - 7}{4} = \\frac{-12}{4} = -3$$所以，原方程的解为：$$x_1 = \\frac{1}{2}$$x2=−3题目二:解下列一元二次方程：3x2−4x+1=0解析:同样使用求根公式来求解。

将题目中的系数代入求根公式：a=3,b=−4,c=1代入求根公式：$$x = \\frac{-(-4) \\pm \\sqrt{(-4)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 1}}{2 \\cdot 3}$$ 计算得出：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{16 - 12}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{16 - 12}}{6}$$化简得：$$x_1 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{6}$$$$x_2 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{6}$$进一步化简得：$$x_1 = \\frac{4 + 2}{6} = \\frac{6}{6} = 1$$$$x_2 = \\frac{4 - 2}{6} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$$所以，原方程的解为：x1=1$$x_2 = \\frac{1}{3}$$题目三:解下列一元二次方程：x2+6x+9=0解析:仍然使用求根公式求解。

专题12公式法解一元二次方程-重难点题型(学生版)

专题2.4 公式法解一元二次方程-重难点题型【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x 2﹣5x ﹣1＝0．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x 2﹣x ﹣1＝0．【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）．【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝﹣1D ．ca =−1【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根，（1）求a 2﹣4a +2013的值；（2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca ．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0，知b ＝﹣（a +c ），∵x=−b±√b2−4ac2a=(a+c)±√(a+c)2−4ac2a=(a+c)±(a−c)2a∴x1＝1，x2=c a．（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2 b =1a+1c．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【变式4-1】（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝．【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0 （1）求证：无论k 取何值，方程都有实根；（2）若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝5，另两边b ，c 的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝a 2+b 2﹣2ab ﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x *k ＝xk （k 为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt △ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．。

一元二次不等式的经典例题及详解

典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．分析：进行分类讨论求解．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2a x ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，，，求a 、b 的值．分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．当1=a 时，11=a，此时②的解为11<<x a．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ．解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ，所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。

一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程根与系数关系的应用安陆市王义贞镇初级中学徐金菊周永爱【摘要】一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法.【关键词】根与系数关系、两根对称式、常见应用. 一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法.知识回顾，设一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，当方程有解时，则x 1+ x 2=-a b ，x 1 x 2=ac，其常见应用有：一、求方程中字母系数的值例1、已知方程2x 2+4x+m=0的两根的平方和为34，求m 的值.解：设方程的两根为x 1、x 2，根据题意有 x 12+ x 22=34 ①根据根与系数的关系得x 1+ x 2= -2 ② x 1 x 2 =2m③ 联立①②③可解得 m=-30③ 检验：当m=-30时，△=256＞0 ∴ m=-30注意：当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0。

具体运用时，可先求出字母的值，再来检验△，如例1；也可先由△≥0，求出字母的范围，再来取值.例1中由△=42-8m ≥0得m ≤2.练习1、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+k+2=0的两根的平方和是13，求k 的值. 【±4】2、已知方程2x 2+bx-2b+1=0的两根的平方和是429，则b 的值是（）. 【 A 】 A 、3 B 、-3或11 C 、-11 D 、 3或-11二、求方程两根对称式的值若α、β为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，运用根与系数的关系，可求①α2+β2=（α+β）2-2αβ②（α-β）2=（α+β）2-4αβ③ ∣α-β∣=()2βα-=()αββα42-+④αββαβα+=+11⑤()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+ ⑥()αβαββααββαβααβ2222-+=+=+等对称式的值. 例1、已知α、β为一元二次方程2x 2-6x+3=0的两根，求下列各式的值 ①（α-β）2② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11 ③2211βα+ 解：根据根与系数的关系得3=+βα 23=αβ ① （α-β）2=（α+β）2-4αβ=3 ② ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+αββα11=αβαβ111+++=23+1+1+32=625 ③ ()()22222222211αβαββαβαβαβα-+=+=+=38只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含βα+、αβ的代数式，代入求值即可.练习：1、若α、β是方程2x 2-4x-3=0的两根，则223βαβα+-=【223】 2、已知方程0422=--mx x 的两根为α、β，且211=+βα，则m=【 -8 】三、利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值例2、已知m 、n 是一元二次方程0132=+-x x 的两根，求下列代数式的值 ①964222--+n n m ②1142323++n m解：由根与系数的关系得 m+n=3、mn=1由根的定义得 0132=+-n n 0132=+-m m ①964222--+n n m=96222222--++n n n m =()()9324222--+-+n n mn n m=3②由0132=+-m m 得m m m -=233则1142323++n m =()11432322++-n m m=114232922++-n m m=11442321222+++-n m m m=()()118432122+-++-mn n m m m=385此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的.常常需要结合根的定义,将式中的高次降低,直至出现对称式,再利用根与系数的关系求值.如果例3中要求3n m +的值，我们只需要利用根的定义降次即可求出.由根的定义可得132-=m m 132-=n n即 m m m -=233 n n n -=233 则33n m +=n n m m -+-2233 =()()n m nm +-+223 再运用根与系数的关系即可.练习1、已知α、β为方程0722=-+x x 的两个实数根，求ββα4322++的值.【 32 】2、已知x1、x2是方程2x09=--x 的两个实数根，求代数式663722231-++x x x 的值. 【 16 】四、判断两根的特殊关系在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当方程有根时，若两根互为相反数，有x 1+ x 2=-a b =0，即b=0；若两根互为倒数，有x 1 x 2 =ac=1，即a=c. 例4、关于x 的方程()042222=-++-m x m x 的两根互为倒数，则m 的值是（）A 、5B 、5±C 、-5D 、-2 解：设方程两根为x 1、x 2，根据题意得， x 1 x 2=442=-m ① △=()()442422--+m m ≥0 ②由①得m=5± 由②得m ≥-2 ∴m=5练习1、方程()01212=-++-m x m x ，当m= 时，方程两根互为相反数；当m= 时，方程两根互为倒数. 【 -1， 1 】2、当k 为何值时，方程()0152222=+--+k x k k x 的两根互为相反数.【 -2 】五、判断方程两根的符号一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）当△≥0且x 1 x 2＞0时，两根同号；当△≥0且x 1 x 2＜0时，两根异号.若x 1+ x 2＞0 x 1 x 2＞0，则x 1＞0、x 2＞0；若x 1+ x 2＜0 x 1 x 2＞0，则x 1＜0、x 2＜0. 反之，也成立。

2024年中考数学一轮复习考点07 一元二次方程(精讲)(解析版)31

考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。

预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。

【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。

2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。

2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。

3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。

4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-±=即可。

5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。

6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。

专题08一元二次方程及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解；配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

专题求一元二次方程中字母系数的值或范围

运用根与系数的关系求字母系数的值或范围
5．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2＋kx＋7＝0 的两
个根，且这个直角三角形的斜边长是 3，则 k 的值是 8或－8 .
6．(烟台中考)若 x1、x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－1＝0 的两个根，且 x1＋
x2＝1－x1x2，则 m 的值为( D )
数 m 的取值范围是( D ) A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
2．(宁夏中考)若关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0 有实数根，则 a
的取值范围是( D )
A．a＞81
B．a≥－81
C．a＞81且 a≠1
D．a≥－18且 a≠1
3．已知关于 x 的一元二次方程 kx2－4kx＋k－5＝0 有两个相等的实数根，
A．－1 或 2
B．1 或－2
C．－2

D．1
7．已知关于 x 的一元二次方程 x2－(k＋1)x－6＝0.
(1)求证：对任意实数 k，方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是 2，求 k 的值及另一个根．
(1)证明：∵Δ＝[－(k＋1)]2－4×1×(－6)＝(k＋1)2＋24＞0，∴方程总有两
求 k 的值．
解：Δ＝(－4k)2－4k(k－5)＝12k2＋20k＝0，∴k1＝0(舍去)，k2＝－53.
4．已知关于 x 的一元二次方程(1－k)x2－2x－1＝0 有两个不相等的实数根，求 k 的最大整数值．
解：Δ＝(－2)2＋4(1－k)＝8－4k＞0 且 k≠1，即 k＜2 且 k≠1，∴k 的最大整数值为 0.
个不相等的实数根； (2)解：设方程的另一根为 x1，由一元二次方程的根与系数的关系，得

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练(含答案)

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。

下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。

解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。

因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。

专题01一元二次方程(3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法)(原卷版)

专题01一元二次方程（3个知识点5大题型2个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）知识点2一元二次方程的一般形式（重点）知识点3一元二次方程的解（重点）【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值题型三：一元二次方程新定义问题题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论题型五：一元二次方程与完全平方公式综合【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件易错点2在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值考法2根据实际问题列一元二次方程【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1一元二次方程的定义（重点）（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．x2+2x+3＝x（x+1）C．2x+3y＝6D．x2﹣2x+3＝0知识点2一元二次方程的一般形式（重点）（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2﹣x＝2B．x2+x+2＝0C．x2﹣x+2＝0D．x2﹣x﹣2＝0例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为．例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是．例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等于．例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值．知识点3一元二次方程的解（重点）（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．【方法二】实例探索法题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．m≠0B．m≠3C．m＝0D．m＝32．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥0题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023B．2022C．2021D．20204．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2B．﹣2C．3D．﹣35．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为．6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式÷（x+3﹣）的值．题型三：一元二次方程新定义问题9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值．11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．题型五：一元二次方程与完全平方公式综合14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【方法三】差异对比法易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为．易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【方法四】仿真实战法考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是．18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝．19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022B．0C．2022D．404421．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．考法2根据实际问题列一元二次方程22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：（不必化简）．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x -=的二次项系数、一次项系数、常2100px q +=，可列表如下：则方程A ． 1.073-B ． 1.089-C ． 1.117-D ． 1.123-二、填空题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +-=≠有一根为三、解答题。

用配方法求解一元二次方程(3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法)(解析版)-初中数学9年级上册

专题05用配方法求解一元二次方程（3个知识点7种题型2个易错点4种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程题型2：用配方法解一元二次方程题型3：用配方法求字母的值题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值题型5：直接开平方法在实际生活中的应用题型6：用配方法判断三角形的形状题型7：利用配方法解决有关新定义问题【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方易错点2配方时，没有进行恒等式变形而导致错误【方法四】仿真实战法考法1：解一元二次方程-直接开平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：换元法解一元二次方程考法4：配方法的应用【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：用直接配平方法求解一元二次方程（重点）形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．【例1】（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．知识点2：用配方法求解一元二次方程（重点）（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．【例2】用配方法解一元二次方程0422=-+x x .解：422=+x x 移常数项222)1(4)1(2+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方5)1(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式5151-=+=+x x 或转化为n m x =+2)(的形式解得1515--=-=x x 或求解所以原方程的根是151521--=-=x x 或．【例3】如何用配方法解方程04222=-+x x 解：4222=+x x 移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数22221(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方25)21(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2102121021-=+=+x x 或开平方解得2121021210--=-=x x 或求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .知识点3：利用一元二次方程求解简单的实际问题（难点）一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型，有些通过列一元二次方程来解决的实际问题都可以利用配方法或直接开平方法来解决。

人教版数学九年级上册第21章一元二次方程求一元二次方程中字母系数的值或范围专题练习含

第21章一元二次方程求一元二次方程中字母系数的值或范围专题练习1. 若方程(m－1)x|m|＋1－2x＝3是关于x的一元二次方程，则有( )A．m＝1 B．m＝－1 C．m＝±1 D．m≠±12．已知(m－3)x2＋m＋2x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A．m≠3 B．m≥3 C．m≥－2 D．m≥－2且m≠33. 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．24. 若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是( )A．0 B．－1 C．2 D．－35. 若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥16. 关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．27. 于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A．－8 B．8 C．16 D．－168. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x21＋x22＝7，则(x1－x2)2的值是.9. 已知关于x的方程x m－3－2x＋1＝0是一元二次方程，则m＝.10. 一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后，一次项的系数为－1，求m的值．11. 已知关于x 的一元二次方程(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0的一个根为0，求k 的值及另一个根．12. 已知关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋4(k －12)＝0.(1)求证：这个方程总有两个实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长a ＝4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根时，求△ABC 的周长．13. 已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0.(1)求证：无论k为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根x1、x2，且|x1－x2|＝2，求k的值．参考答案： 1---7 BDADB BC 8. 13 9. 510. 解：2x 2－(m ＋1)x ＋1＝x(x －1)，2x 2－(m ＋1)x －x 2＋x ＋1＝0，x 2－mx ＋1＝0，即一般形式为x 2－mx ＋1＝0.则题意得，－m ＝－1，则m ＝1.11. 解：把x ＝0代入(k ＋4)x 2＋3x ＋k 2＋3k －4＝0，得k 2＋3k －4＝0，解之，得k 1＝1，k 2＝－4，∵k ＋4≠0，∴k≠－4，∴k ＝1，∴这个一元二次方程为5x 2＋3x ＝0，∴另一个根为－ 35.12. (1)证明： Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×4(k－12)＝4k 2－12k ＋9＝(2k －3)2≥0，∴这个方程总有两个实数根；(2)解：若底边长为a ，则b ＝c ，Δ＝(2k －3)2＝0，∴k ＝32，易得x 1＝x 2＝2，有b ＋c ＝a ，不能构成三角形；若腰长为a ，显然4是该方程的一个根，代入求得k ＝52，从而解得x 1＝2，x 2＝4，∴三边长为4,4,2.故△ABC 的周长为10.13. (1)证明：①当k ＝0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵Δ＝[－(3k －1)]2－4k×2(k－1)＝(k ＋1)2≥0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)解：∵此方程有两个实数根x 1、x 2，∴x 1＋x 2＝3k －1k ，x 1x 2＝2k －1k.∵|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝4，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即9k 2－6k ＋1k 2 －4×2k －1k＝4.解得： k ＝1或k ＝－13.经检验符合题意．∴k 的值是1或－13.。

一元二次方程-2023年新九年级数学 (苏科版)(解析版)

一元二次方程理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.类型一、关于一元二次方程的判定例1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)；(2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程．(2)整理原方程，得，所以．其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 例2.判定下列方程是否关于x 的一元二次方程：(1)a 2(x 2-1)+x(2x+a)=3x+a ； (2)m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1．【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式(a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0，其中，由于对任何实数a 都有a2≥0，于是都有a2+2＞0，由此可知a2+2≠0，所以可以判定：对任何实数a ，它都是一个一元二次方程． (2)经整理，得它的一般形式 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0，其中，当m ≠1且m ≠-1时，有m2-1≠0，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在，当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程．【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行研究讨论时，必须确定对参数的限制条件．如在第(2)题，对参数的限定条件是m ≠±1．例如，一个关于x 的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-4≠0，即m ≠4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一元一次方程4x-3=0)．又如，当我们说：“关于x 的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0……”时，实际上就给出了条件“a-1≠0”，也就是存在一个条件“a ≠1”．由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”．【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①21x x ++；②2960x x −=；③2102y =；④215402x x −+=；⑤ 2230x xy y +−=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +−=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x −+=不是整式方程；⑤2230x xy y +−=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +−=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定例3.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程 3x2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2． (2)两边同乘-12，得到整数系数方程 6x2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．例4. 已知关于y 的一元二次方程m 2(y 2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件 m2-8≠0，即 m ≠±．可知它的各项系数分别是 a=m2-8(m ≠±)，b=-(3m-1)，c=m3-1．参数m 的取值范围是不等于±的一切实数．【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题．【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =−；（2）(1)(1)2a x x x +−=−．【答案】（1）235+2=0x x −，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +−=−化为220,ax x a +−−=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.【变式2】关于x 的方程的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）例5.若0是关于x 的方程()2223280m x x m m −+++−=的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．【思路点拨】根据一元二次方程解的性质，直接求出m 的值，根据若是一元二次方程时，注意二次项系数不为0，再利用根的判别式求出即可．【答案与解析】解：∵0是关于x 的方程()2223280m x x m m −+++−=的解，∴2280m m +−=∴24m m ==−或 ①当20m −≠ ∴4m =−∴原方程为：2630x x −+=2490b ac =−=>∴此方程有两个不相等的根．2630x x −+=()3210x x −−=解得：00.5x =或 ②当2m = ∴30x = ∴0x =【总结升华】此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练记忆根的判别式公式是解决问题的关键．例6.已知关于x 的方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m 的值；（2）求方程的解．【答案与解析】解：（1）∵关于x 的方程（m ﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0， ∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2， ∴m 的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m ﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出： x2+5x=0 x （x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．【总结升华】此题是一元一次方程与一元二次方程的解法的小综合，注意本题中说的是“方程”，而不是“一元二次方程”．【变式】（1）x=1是的根，则a= .（2）已知关于x 的一元二次方程 22(1)210m x x m −++−=有一个根是0，求m 的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（2）由题意得一、单选题【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A 、当0a =时，该方程不是关于x 的一元二次方程，故A 不符合题意；B 、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x 的一元二次方程，故B 不符合题意；C 、该方程属于分式方程，不是关于x 的一元二次方程，故C 不符合题意；D 、符合一元二次方程的定义，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是()200ax bx c a ++=≠．特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【答案】B【分析】通过观察表格可得20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，即可求解．【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 3．（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()22110a x x a −++−=的一个根是0，则a 的值是（） A ．1− B ．1C ．1或1−D ．1−或0【答案】A【分析】根据方程是一元二次方程，可得10a −≠，将0x =代入解析式，求出a 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22110a x x a −++−=的一个根是0，∴10a −≠，210a −=，∴1a =−；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．二、填空题4．（2023·江苏扬州·统考一模）若关于x 的方程220x mx =－－的一个根为3，则m 的值为_______．【答案】73【分析】根据题意把3代入方程，得到关于m 的方程，解方程即可得．【详解】解：依题意得23320m =－－，解得：73m =，故答案为：73．5．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）若m 是方程210x x +−=的一个根，则代数式22023m m −−的值为________．【答案】2022【分析】根据m 是方程210x x +−=的一个根，得到210m m +−=，进而得到21m m +=，代入代数式计算即可得解．【详解】解：∵m 是方程210x x +−=的一个根，∴210m m +−=，∴21m m +=，∴()2220232023202312022m m m m −−=−+=−=；故答案为：2022．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．【答案】4−【分析】根据一元二次方程的定义得出40a −≠且22a −=，再求出a 即可．【详解】解：∵关于x 的方程()24 320a a x x −−+−=是一元二次方程，∴40a −≠且22a −=，解得：4a =−．故答案为：4−．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出40a −≠且22a −=是解此题的关键．三、解答题【答案】212a a +，9．【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果，再把2290a a +−=化为229a a −=，再整体代入计算即可．【详解】解：22441(2)44a a a a ⎛⎫+⋅−÷− ⎪−⎝⎭()()244412242a a a a a a +−=+−−()()()22412242a a a aa −=+−−()12a a =+212a a =+，∵2290a a +−=，∴229a a +=，∴原式19=．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，一元二次方程的解的含义，掌握“分式的混合运算以及整体代入法求值”是解本题的关键．【答案】(1)②③ (2)74(3)5522⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）设两个不同的点P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ），Q （－n ，－m ）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点；（2）设(),3P a a −，则()3,Q a a −−，其中3a >，由题意得()()()22233362OPQa Sa a a −=−−−⨯−=，求出a的值，进而得到P 点坐标，然后代入ky x =中计算求解即可；（3）假设24y x x =−−图象上存在“反换点”P Q 、，则有2244n m m m n n ⎧=−−⎨=−⎩①②，①+②式得()()50m n m n ++−=，有50m n +−=即5n m =+，将5n m =+代入①中求解m 的值，n 的值，进而得到P Q 、的点坐标，计算两点的中点坐标即可．（1）解：设两个不同的点P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）是一对 “反换点”，且m n ≠−即0m n +≠①假设2y x =−+图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入2y x =−+，则有2n m =−+即2n m +=将Q （－n ，－m ）代入2y x =−+，则有()2m n −=−−+即2n m +=−2n m +=与2n m +=−矛盾 ∴P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）不能同时在2y x =−+图象上∴2y x =−+图象上不存在“反换点”故①不符合题意；②假设2y x =−图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入2y x =−，则有2n m =− 即mn 2=− 将Q （－n ，－m ）代入2y x =−，则有2m n −=−−即mn 2=− mn 2=−与mn 2=−相同 ∴P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）均在2y x =−图象上 ∴2y x =−图象上存在“反换点” 故②符合题意； ③假设22y x =−图象上存在“反换点”P Q 、，将P （m ，n ）代入22y x =−，则有22n m =−① 将Q （－n ，－m ）代入22y x =−，则有()22m n −=−−即22m n =② 将①代入②中得()2222m m =⨯−即48m m = 解得12m =或0m =（舍去）∴存在,m n 使P （m ，n ）和Q （－n ，－m ）均在22y x =−图象上∴22y x =−图象上存在“反换点”故③符合题意；故答案为：②③．（2）解：设(),3P a a −，则()3,Q a a −−，其中3a >∴()()()22233362OPQ a S a a a −=−−−⨯−= 解得72a = 132a −= ∴71,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 将71,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入k y x =得1722k = 解得74k = ∴k 的值为74．（3）解：假设24y x x =−−图象上存在“反换点”P Q 、则有2244n m m m n n ⎧=−−⎨=−⎩①② ①+②式得2244n m m m n n +=−−+−()()50m n m n ++−=∴50m n +−=或0m n +=（舍去）5n m =+将5n m =+代入①中得2550m m ++=解得m =或m =当52m −=时，52n =，此时P ⎝⎭，Q ⎛ ⎝⎭，两点的中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；当m =时，n =，此时P ⎝⎭，Q ⎝⎭，两点的中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；∴存在“反换点”，线段中点坐标为55,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，反比例函数与几何综合，解一元二次方程等知识．解题的关键在于理解题意并用适当的方法解方程．一、单选题 1．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）一元二次方程2323x x −=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A ．3、2、3−B ．3、2、3C ．3、2−、3D ．3、2−、3−【答案】D【分析】将一元二次方程2323x x −=化为一般形式即可求得结果．【详解】解：将一元二次方程2323x x −=化为一般形式，得23230x x −−=，二次项系数为3，一次项系数为2−，常数项为3−．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式． 2．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m −++−+=的常数项为0，则m ＝（）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【答案】B【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．【详解】若关于x 的一元二次方程()2215320m x x m m −++−+=的常数项为0，则232010m m m ⎧−+=⎨−≠⎩，解得2m =，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．A ． 1.073−B ． 1.089−C ． 1.117−D ． 1.123− 【答案】C 【分析】根据表格中的数据，可判断代数式23x x −的值为4.61和4.56时，对应x 的值为−1.12和−1.11，观察原方程可理解为求代数式23x x −的值为4.6时，对应的x 的值，由此判断即可．【详解】解：∵x=−1.12时，23 4.61x x −=；x=−1.11时，23 4.56x x −=； ∴23 4.6x x −=时，对应x 应满足，∴原方程的近似解为：−1.117．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的近似解，理解表格中的数据，掌握求近似解的方法是解题关键．二、填空题4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2100ax bx a +−=≠有一根为1x =，则一元二次方程()()21110a x b x −+−−=必有一根为______．【答案】2【分析】利用整体思想设1x t −=，得到方程210at bt +−=，再根据210(0)ax bx a +−=≠即可得到t 的值，最后得出结论．【详解】解：∵在2(1)(1)10−+−−=a x b x 中，设1x t −=∴210at bt +−=∵210(0)ax bx a +−=≠有一个根1x =∴在210at bt +−=中1t =∴即在2(1)(1)10−+−−=a x b x 中，11x −=∴2x =故答案为：2【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键． 5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知m 是方程2210x x +−=的一个根，则代数式2242021m m ++的值为_________【答案】2023【分析】由方程根的定义得到221m m +=，整体代入2242021m m ++即可得到答案．【详解】解：∵m 是方程2210x x +−=的一个根，∴2210m m +−=，∴221m m +=，∴()222420212220212120212023m m m m ++=++=⨯+=．故答案为：2023【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 6．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）已知方程20x bx c ++=的两个根分别是2、1，则b c +=______．【答案】1−【分析】把1x =代入20x bx c ++=得出10b c ++=，整理即可得出答案．【详解】解：把1x =代入20x bx c ++=得：10b c ++=，∴1b c +=−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握方程解的定义，得出10b c ++=．三、解答题【答案】(1)m＝1±(2)m=【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：(1) 未知数的最高次数是2；(2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，解得m＝当m＝m0，解得m当mm2﹣1＝0，解得m＝±1，m＝±1时，该方程是一元一次方程，综上，当m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m，解得m当m x的一元二次方程．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．8．（2022秋·九年级课时练习）已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】(1)m ＝1；x ＝﹣1(2)m≠1；二次项系数为m ﹣1，一次项系数为m ﹣2，常数项为﹣2m+1【分析】（1）当二次项系数为0，一次项系数不为0时，方程为一元一次方程，然后解方程即可；（2）当二次项系数不为0时，方程是一元二次方程．（1）解：若关于x 的方程（m ﹣1）x2+（m ﹣2）x ﹣2m+1＝0是一元一次方程，则m ﹣1＝0且m ﹣2≠0，解得m ＝1．∴原方程变形为﹣x ﹣2+1＝0解得x ＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x 的方程（m ﹣1）x2+（m ﹣2）x ﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m ﹣1，一次项系数为m ﹣2，常数项为﹣2m+1．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义及解一元一次方程，难度不大．掌握一元一次方程及一元二次方程的相关定义是解决本题的关键．【答案】（1）0m ≥且1m ≠；（2）9【分析】（1）根据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把1x =代入230ax bx ++=中得到3a b +=−，再由22()4()a b ab a b −+=+进行求解即可．【详解】解：（1）∵方程2(1)1m x −+=是关于x 的一元二次方程，∴100m m −≠⎧⎨≥⎩，∴0m ≥且1m ≠；（2）∵1x =是方程230ax bx ++=的一个根，∴30++=a b ，即3a b +=−∴222222()4242()9a b ab a ab b ab a ab b a b −+=−++=++=+=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识．10．（2022秋·江苏·九年级阶段练习）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m ﹣3）的值．【答案】1【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．【答案】(1)±3(2)见解析【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可；（2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算．（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2）∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3，故答案为：±3．（2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0，∴﹣3x2+6x ﹣5＜﹣x2+2x+3，（﹣3x2+6x ﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x ﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x ﹣5+3x2﹣6x ﹣9＝﹣14， ∵化简后的结果与x 取值无关，∴不论x 取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40，∴小华说小明计算错误．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．（2022秋·九年级课时练习）已知方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程．（1）求a 的取值范围；（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．【答案】（1）a 1≠；（2）1x 4=−，2x 4=【分析】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a 的值，再代入原方程，解出方程即可.【详解】解：()1化简，得()2a 1x 3ax 8a 160−+−+=．方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程，得a 10−≠，解得a 1≠，当a 1≠时，方程()22(a x)a x x a 8a 16−=++−+是关于x 的一元二次方程；()2由一次项系数为零，得a 0=．则原方程是2x 160−+=，即2x 160−=．因式分解得()()x 4x 40+−=，解得1x 4=−，2x 4=．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.13．（2022秋·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5．(1)为一元二次方程；(2)为一元一次方程．【答案】(1)m ＝3(2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧−=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m+1＝0或11130m m m ⎧−=⎨++−≠⎩，解得m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m+1）x|m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。

一元二次方程(含答案)

第十六期：一元二次方程一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。

题型多样，一般分值在6－9分左右。

知识点1：一元二次方程及其解法例1：方程0232=+-x x 的解是（）A ．11=x ，22=xB ．11-=x ，22-=xC ．11=x ，22-=xD ．11-=x ，22=x思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ．例2：若220x x --=的值等于（）A ．3B ．3C D 3思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3323123222=+-+，选A. 练习：1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2+1=0的一个根为2，则a 的值是（）A ．1BC ．D ．2.如果1-是一元二次方程230x bx +-=的一个根，求它的另一根．3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0．答案：1.D. 2.解：1-是230x bx +-=的一个根，2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-． ∴原方程为2230x x --=分解因式，得(1)(3)0x x +-=11x ∴=-，23x =.3.移项，得x 2－2x=2．配方x 2－2x+12=2+12，（x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．2.（2009年XX 省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．3.（2009XX 省XX 市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x += B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=答案：1.1； 2.答案不唯一，如21x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系例1：如果21,x x 是方程0122=--x x 的两个根，那么21x x +的值为：（A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02=++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是ab-，两根之积是a c ，易求出两根之和是2。

二次函数和一元二次方程关系解题技巧

一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9 【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1=0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x=．【答案】x=【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一A． B．C． D．【解析】由表格中的数据发现：当x=6.18时，代数式的值为－0.01；当x=6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x ，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x ，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400， ∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍” “增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c 的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根 B．有两个异号实根 C．有两个相等实根 D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－ C．－2＜x＜ D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0；（2）a的取值范围是 .【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。

【实用资料】韦达定理应用举例.doc

求一元二次方程字母系数的值江苏省太仓市明德初中政觉清 215431求解一元二次方程字母系数取值的问题，是根与系数的关系的一个重要应用之一，也是近年中考中经常出现的，下面就此我们看几个例子：例1、（苏州市2001中考试题）已知关于x 的一元二次方程0221222=-+-k kx x ．（l ）求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设1x 、2x 是方程的两根，且52221121=+-x x kx x ，求k 的值分析：（2）中给出的条件是一个方程两根的非对称式，要求k 的值，要设法建立起关于k 的方程，直接利用根与系数的关系，比较困难，而此时利用方程根的定义，就可找到突破口。

解：（1）略（2）∵1x 是方程0221222=-+-k kx x 的一个根，∴022122121=-+-k kx x ∴21212122k kx x -=-，又∵21,x x 是0221222=-+-k kx x 的两个根，由根与系数的关系得：221221-=⋅k x x ，∴5)221(221222=-+-k k ∴142=k ∴14±=k 例2、（2002太仓市中考模拟题）已知1x 、2x 是关于x 的方程04222=-+-m mx x 的两个实数根，（1）求证不论m 取何值时，方程总有实数根，（2）若834222121+=++m mx mx x ，求m 的值。

分析：（2）中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式，仍需建立起关于k 的方程，我们可以这样来解：解法一：类似上例的解法，可以解得：1±=m 。

解法二：利用一元二次方程的求根公式或十字相乘的方法，可以求出两个根为：m+2和m--2 ,把它们分别代人04222=-+-m mx x 中，可以得到一个关于m 的的方程：012=-m ， ∴1±=m例３、（2002苏州市中考试题）已知关于x 的方程04)2(22=---m x m x ，（1）求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根。