第4讲 点、线和双曲线的位置关系

4.
过双曲线
x2 9
Baidu Nhomakorabea
− y2 16
= 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45°的直线 l
，它们的交点为 A、B，则线段 AB 的长
度为___________.
5. 已知双曲线 x 2 − y 2 = 1 ，它的弦 PQ 的长是实轴长的 2 倍，如果弦 PQ 所在的直线 l 过点 A（ 3,0 ）， 2
求直线方程。
6. 设 A、B 是双曲线 x2 − y2 = 1上的两点，点 N (1, 2) 是线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程； 2
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例 3：已知双曲线 C：2x2－ y2 = 2 与点 P(1，2)，求过 P(1，2)点的直线 l 的斜率取值范围，使 l 与 C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.
例 4：直线 l : y = kx +1 与双曲线 C : 2x2 − y2 = 1 的右支交于不同的两点 A、B. 求实数 k 的取值范围；
（三角函数表示） （纵坐标表示）
2. 点差法
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【经典例题】
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例 6：已知双曲线 x2 − y2 = 1与点 P(1, 2) ，过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点，若 P 为 AB 的 2
中点。 ⑴求直线 AB 的方程；
⑵若 Q(1,1) ，是否存在以 Q 为中点的弦？
拓展：直线 圆经过坐标原点.
与双曲线
相交于 、 两点. 当 为何值时，以 为直径的
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【课堂练习】参考答案 1、A 2、C 3、 k = 5 或k = ±2或k不存在
2 4、12
5、 y = ± 2 (x − 3)或x = 3 2
6、x– y + 1 = 0
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例 5：已知直线 y = x + 1 与双曲线 C : x 2 − y 2 = 1 交于 A、B 两点，求|AB| 4
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（A）只有1个； （B）只有 2 个； （C）没有交点； （D）交点个数与 b 的大小有关；
2. 过点(3,0)的直线 l 与双曲线 4x2－ 9y2 = 36 只有一个公共点, 则直线 l 共有
（A）1 条
（B）2 条
（C）3 条
（D）4 条
3. 已知双曲线 x 2 − y 2 = 1 ，过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，求直线 l 的斜率值 4
点在双曲线上 ⇔
点在椭圆外 ⇔
点在双曲线外 ⇔
直线和曲线的位置关系
相交 ⇔
相交 ⇔
相切 ⇔
相切 ⇔
相离 ⇔
相离 ⇔
二、公式总结
1. 直线方程：点斜式
2. 斜率公式： k = 3. 距离公式：点点距
4. 弦长公式：| AB |=
三、方法总结
1. 韦达定理法
；斜截式 （坐标表示）=
；点线距 （横坐标表示）=
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【课堂练习】
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1. 直线 y = x + b (b ≠ 0) 与双曲线 x2 − y 2 = 1 的交点（ ）
网络课程 内部讲义
点、线和双曲线的位置关系
教 师：司马红丽
爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义
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点、线和双曲线的位置关系
【知识要点归纳】 一、位置关系总结
点和曲线的位置关系
判断方法
点在椭圆内 ⇔
判断方法
点在双曲线内 ⇔
点在椭圆上 ⇔
例 1：已知双曲线方程为 x 2 − y 2 = 1 ，试判断下列点和双曲线的位置关系 39
（1）（1,2）；（2） (3,3 2) ；（3）（4,1）
例 2：已知椭圆方程为 x 2 − y 2 = 1 ，试判断下列直线和双曲线的位置关系 39
（1）y = 3 x；（2）y = x + 8；（3） y = 2x + 3