【新教材】数学人教B版必修第二册教学案：4.1.1 实数指数幂及其运算
人教B版高中数学必修第二册4-1-1实数指数幂及其运算课件
称 an 没有意义.
对于一般的正分数
m
,也可作类似规定,即
m
an
=(
n
a
)m=
n
am
n
m,n∈N+,且
m n
为既约分数
.
2.负分数指数幂:负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似,即a>0时,规定
a
m n
=
1
m
(n,m∈N+).
an
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
知识点 3 有理数指数幂的运算法则
分数指数幂
a
m n
只是根式的一种写法.
1
5. 4 a2 = a 2 . ( ✕ )
1
提示
4
a2=
a 2 (a 1
0),
(a)2 (a 0).
疑难 情境破
疑难 1 根式与分数指数幂的化简、求值
讲解分析
1.利用根式的性质进行化简、求值的注意点 (1)分清根式为奇数次根式还是偶数次根式. (2)注意正确区分 n an 与( n a )n两式. 2.分数指数幂运算的原则与技巧 (1)将负分数指数幂化为正分数指数幂的倒数. (2)底数是小数时,先将其化成分数;底数是带分数时,先将其化成假分数,然后要尽可能用幂的 形式表示,便于利用指数幂的运算法则进行运算.
1.asat=as+t(a>0,s,t∈Q). 2.(as)t=ast(a>0,s,t∈Q). 3.(ab)s=asbs(a>0,b>0,s∈Q).
知识点 4 实数指数幂 一般地,当a>0且t是无理数时,at都是一个确定的实数.因此,当a>0,t为任意实数时,可以认为实 数指数幂at都有意义.有理数指数幂的运算法则同样适用于实数指数幂.
新教材人教B版高中数学必修2精品教学课件：第四章 4.1.1 实数指数幂及其运算
常考题型
一 根式的化简与求值 例1
解：
根式的化简与求值的两个注意点 （1）首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行 化简. （2）正确区分������ ������������ 与（������ ������ ）n. ① ������ ������ ������ ＝������.
三 利用乘法公式化简含指数幂的代数式
例3
-23
9 4
四 含附加条件的求值问题
例4
条件求值解题技巧 条件求值是代数式求值中的常见题型，解决条件求值问题的一般方法是整体 代入法.一般先化简代数式，再将字母取值代入求值，但有时字母的取值不知 道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的 结构或联系，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
根式的性质：（1） ������ ������ ������ ＝������. （2）当������为奇数时，������ ������������ ＝������；当������为偶数时，������ ������������ ＝|������|＝ቊ−���������,������,���������≥<00, .
1.
2.
3.
指数幂运算的一般原则 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数， 先化成假分数. （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的 运算性质来解答.
分数指数幂
1
一般地，如果n是正整数，那么：当������ ������ 有意义时，规定������������＝������ ������ ；当������ ������没有意
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
人教B版高中数学必修第二册 4.1 4.11 实数指数幂及其运算【课件】
1
1
1
1
8．若 x2 －x-2 ＝2，则 x2 ＋x-2 的值为________．
答案 2 2
1
1
1
1
解析 (x2 ＋x-2 )2＝(x2 －x-2 )2＋4＝4＋4＝8.
1
1
1
1
∵x2 ≥0，x-2 >0，∴x2 ＋x-2 ＝2 2.
三、解答题 解
解
10．已知 a＝2 7，b＝5 2，求 a6b－a66－b－66－a3b9－b14＋9b4×a3＋b53b5的值．
A． 10
B．10
C．20
) D．100
1
1
解析 ∵2a＝m，5b＝m，∴2＝ma ，5＝mb .
1
1
∵2×5＝ma ×mb ＝
，又1a＋1b＝2，
∴m2＝10，∴m＝ 10或 m＝－ 10(舍去)．
二、填空题 6．计算： 21－1－350＋94－0.5＋ 4 ( 2－e)4＝________．(e 为自然 对数的底数)
答案 e＋23 解析 原式＝ 2＋1－1＋232×0.5＋e－ 2＝e＋23.
7．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α×2β＝________，
(2α)β＝________．
答案
1 4
1
25
解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得 α＋β＝－2，αβ＝15.
则 2α×2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215
第四章 指数函数、对数函 数与幂函数
4 ． 1 指数与指数函数 4．1．1 实数指数幂及其运算
1
PART ONE
15分钟对点练
知识点一 整数指数幂的运算 1．设 m，n 是整数，a，b 是实数(ab≠0)，则下列各式中正确的有 () ①a×a×a＝a3；②a0＝1；③a－1＝1a；④a4×a－3＝a；⑤(am)n＝amn； ⑥(ab)n＝an×bn. A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个 解析 由整数指数幂的性质，可知这6个式子都正确．故选A.
人教B版高中数学必修第二册精品课件 第四章 4.1.1 实数指数幂及其运算
都有意义.
3.对任意m∈R,是否有1m=1恒成立?
提示:是.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“ ”,错误的画“×”.
(1)当 n∈N+时,( -4 022)n 都有意义.( × )
(2)任意实数都有两个偶次方根,且互为相反数.( × )
3.a0=1对于任意a∈R成立吗?
提示:不都成立,当a=0时,a0无意义.
4.下列各式错误的是(
A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8
B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3
C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6
D.[-(a3)2·(-b2)3]3=a18b18
答案:C
)
二、根式
第四章
4.1.1 实数指数幂及其运算
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有关计算.
2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.
3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,可利用计算器或计
算机实际操作,感受“逼近”的过程.
-2 3
-2 3
-2 3
-2 3
2
2
2
2
-2 +-2
-2 --2
( 3 ) +( 3 )
( 3 ) -( 3 )
- 2 - 2
(2) 2 2 − 2 2 =
−
=[( 3 ) - 3 · 3 +( 3 ) ]2
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 实数指数幂及其运算
=
1
9 1
( 5 )3
=
1
3
5
2
x·(x 5 )2
3
5
-
1
5
=
1
52
1
(3)
=
= .
2 1
3 4
- ×
=
5
.
5
1
6
-
= .
1
3
3
5
-
4
x·x 5
=
1
3
9
x5
规律方法 根式与分数指数幂的互化技巧
(1)在分数指数幂中,若幂指数为负数,可先将其化为正数,再化为根式;
(2)含有多重根号时,要理清被开方数,由里向外逐次用分数指数幂表示,最
-4
4
a3 ,故
重难探究•能力素养全提升
探究点一 简单的指数幂运算
【例 1】计算:
2
(1)
125 -3
27
2
3
81
;(2)0.008 ;(3)
0
5
(4)(2a+1) ;(5) 6 -
2 401
-1
-1
3
5
.
3
4
-
;
2
2
解 (1)
125 -3
27
(2)0.008
(3)
2
3
-
81
2 401
=
(5)
1.若( -2)n=-2(n>1,且 n∈N*)有意义,则 n 为
(2)若 m<n,则 (-)2 =
答案 (1)奇 (2)n-m
.
数.(填“奇”或“偶”)
【新教材】高中数学 新人教B版必修第二册 4.1.1实数指数幂及其运算 课件
随堂基础巩固
课后课时精练
1．若n an＋(n＋1 a)n＋1＝0，a≠0，且 n∈N*，则(
)
A．a>0，且 n 为偶数 B．a<0，且 n 为偶数
C．a>0，且 n 为奇数 D．a<0，且 n 为奇数
答案 B
解析 由(n＋1 a)n＋1＝a，得n an＝－a，故 n 为偶数且 a<0.
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点一
n 次方根的概念
一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，
则____□_0_1_x_______称为_____□0_2_a_______的 n 次方根．
随堂水平达标
课后课时精练
答案
解决根式与分数指数幂的互化问题的关键 若题中对幂的底数不作要求，则隐含着“底数的取值使原式有意义”的 条件．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
答案 C
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
解析
核心概念掌握
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
1．(n a)n 与n an的含义 (1)当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R 都有意义，它表示 a 在实数 范围内唯一的一个 n 次方根，(n a)n＝a，n an＝a. (2)当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有意义，当 a<0 时无意义.n a (a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根，另一个是－n a，(±n a)n＝a；n an 对任意 a∈R 都有意义，n an＝|a|.
人教B版必修第二册4.1.1实数指数幂及其运算(第1课时有理数指数幂)课件
(3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而 且正数的奇数次方根是一个正数,负数的奇数次方根是一 个负数.
例如, 而 没有意义,因为
没有意义.
新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则
对于一般的正分数 ,也可作类似规定,即
但值得注意的是,这个式子在 不是既约分数(即 有大于 1 的公因数)
时可能会有歧义.例如,
是有意义的,而
是没有意义的.因此,以后如果没有特别说明,一般总认为分数指数幂中的
所以实数
a
的取值范围是
－∞，1 3
.
课堂总结
a 的 n 次方根的概念： 一般地，给定大于 1 的正整数 n 和实数 a，如果存在实数 x，使得 xn＝a，则 x 称为 a 的 n 次方根.
根式的概念：
当n a有意义的时候，n a称为根式，n 称为根指数，a 称为 被开方数.
课堂总结 根式的性质： ①(n a)n＝a(n>1 且 n∈N*). ②当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|.
.
(2)当 为奇数时,
;当 为偶数时,
.
例如,
新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则
尝试与发现：
你能想出一个新的二次根式符号的表示方法,
成为
的特例,
，
的特例吗?
新知探索 知识点二：分数指数幂与有理数指数幂的运算法则
现在来将整数指数幂运算推广到分数指数幕运算,也就是给出 等的定义. 同以前一样,我们希望推广后,有关的运算性质仍然能保持,比如
人教B版高中数学必修第二册4.1.1 实数指数幂及其运算【课件】
4
2
A． −3 ＝－3
B． 4 ＝a
3
3
3
C．( −2) ＝－2
D． −2 3 ＝2
答案：ABD
解析：由于
4
−3 2 ＝3， a4 ＝|a|,
3
−2 3 ＝－2，故选项A、B、D错误．
4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(
1
2
A．－ ＝ − (x≥0)
3
−4
C． ＝
1 3
(x>0)
答案：C
解析：(1)
x·
3
x2
6
·
1 2
x2 ·x3
1
x·x6
＝
1
2
＝x
6
1 2
1
+
−1−
2 3
6
＝x0＝1.
1
6
1
3
(2)－ x＝－x (x>0)； 2 ＝ y 2 ＝－y (y<0)；
3
−
4
x ＝ x −3
1
4
=
4
)
1
1
3 1
1 3
1 3
−3
(x>0)；x ＝
＝ (x≠0)．
x
x
x
题型3 分数指数幂的运算与化简
则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表
示．
跟踪训练3 计算：
1
(1)
1 −2
4
·
4 −1
3
1
0.1−2 · 3 −3 2
1
1
−
2
2
(a>0，b>0)；
4.1.1 实数指数幂及其运算 高一数学精品教学课件(人教B版2019必修第二册)
a
1 n
说一说
b2 4
b3 17
x5 25
b叫做4的1 次幂
2
b叫做17的1 次幂
3
x叫做25的
1 5
次幂
1
b 42
1
b 173
1
x 255
8
分数指数
• 规定：
分数指数幂只是根式的一
1、正数的正分数指数幂的意义为：
种新的写法
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
1
1
1
1
⑤（a 2 b 2）（a 2 b 2）
1
1
⑥（a 2 b 2）2
例 2.计算
1
3
（1） 273 ； （2） 42 ．
1
解：（１）因为 33 27 ，所以 273 3 ；
3
（２）因为 82 43 ，所以 42 8 ．
变式练习
1
3
计算 （1） 83 ； （2） 92 ．
1
解：（１）因为 23 8 ，所以 83 2 ；
x2 9, x ? 只有唯一的正数 3, 使得32 9
1
1
把3记作92 ,即3 92.
x5 32, x ? 只有唯一的正数2, 使得25 32
1
1
把2记作32 5 ,即2 32 5
7
一般地，给定正实数a,对于任意给定的正
整数n,存在唯一的正实数b,使得bn=a,我们
把b叫作a的次幂，记作b=
说一说
b3 52
x5 254
43 82
b叫做5的 2次幂 3
x叫做25的 4次幂 5
4叫做8的 2次幂 3
2
新教材人教B版必修第二册 实数指数幂及其运算 学案
4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根. ①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n 有意义的时候,√n n称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(√n n )n=a.②√n n n ={n ,当n 为奇数时,|n |,当n 为偶数时. (4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√n n有意义时,规定n 1n= ;当√a n没有意义时,称n 1n没有意义. 对于一般的正分数n n ,也可作类似规定,即n nn = = .但值得注意的是,这个式子在nn不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s 有意义且a ≠0时,规定a -s= .(5)有理数指数幂的运算法则:a s a t = ,(a s )t = ,(ab )s= . 点拨(1)在(√a n )n 中,当n 为奇数时,a ∈R;当n 为偶数时,a ≥0.但在√n n n中,a ∈R . (2)分数指数幂n nn 不可以理解为nn 个a 相乘.2.实数指数幂一般地,当a>0且t 是 时,a t是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为 时,可以认为实数指数幂a t都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)n 25;(2)n -53.要点归纳 在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示n -12n 23(x>0,y>0). 例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√n 65; (2)√3; (3)√n 3n24; (4)√(-n )6.要点归纳 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,n n n有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在nn 取任何有理数时,n nn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式:(1)5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);(2)n +n -1+2n 12+n -12.变式训练3 化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= . 2.已知3a =2,3b =15,则32a-b= .3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√n 72√n -33÷√√n -83√n 153÷√√n -3√n -13.参考答案自主预习底数 指数(2)x n=a ①0 √0n =0②相反数 n 次算数根 √n n -√n n没有意义 ③√n n 正数 负数(3)根式 根指数 被开方数(4)√n n (√n n)n √n n n 1nn (5)a s+ta sta sb s2.无理数 任意实数 课堂探究例1 (1)√n 25 (2)√3变式训练1√23√n例2 (1)3 (2)25变式训练2 (1)n 65(2)n -23(3)n 34n 12(4)a 3例3 (1)24n 16(2)n 12+n -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√n2.203.-64.(1)2 (2)325.n 16第1课时学习目标 通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂n nn (a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n= .如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况.如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= . 课堂探究任务一 类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义 思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的 次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根. 当√a n 有意义的时候,√n n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数.方程x n=a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= . 当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= . 思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题? 要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. -n (n <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√n n 对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√n n只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-n )33;√(-7)44;√(3-π)66;√(n -n )2(a<b ).任务二 阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√n )2=a 1=(n 12)2能成为(a m )n =a mn的特例吗?√n √n =√nn 能成为a m b m =(ab )m的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗? 观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根.一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定n 1n =√a n; 当√n n没有意义时,称n 1n 没有意义.规定n n n =√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -nn =n n n =√n n n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√n n n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√n 23= ;√n3= . (2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R . ① ② ③ 任务三 分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√n = ,a 3·√a 23= ,√a √a = (式中a>0). 例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32.变式训练化简:①√n 2√n (a>0);②√n (√n 2)23(x ≠0);③(n 23n 14)3;④(n 12+n 12)2.课堂练习1.√a 3·√-n 6的值为( )A.-√-nB.-√nC.√-nD.√n 2.625的4次方根是( ) A.5 B.-5 C.±5 D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( ) ①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√n n n=|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n )n 与√n n n相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8n3125n 3)46. 作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.812.化简(√-n )2是( )A.-bB.bC.±bD.1n 3.化简√(n -n )66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 .5.化简a+√(1-n )44的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( ) A.√n 33+√n 2=a+bB.(√|n |+√n )2=a 2+b 2+2√nnC.√(n 2+n 2)44=a 2+b 2D.√n 2+2nn +n 2=a+b7.当8<x<10时,√(n -8)2-√(n -10)2= .8.若√n 2-2n +1+√n 2+6n +9=0,则y x= .9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ . 10.化简:(1)(3649)32;(2)√n 2n √n 3n √nn 3. 11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√n 2-2n +1=a-1,求a 的取值范围. 13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√n +2√n -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习分数指数幂的意义n n =√n n (a>0,m ,n ∈N ,n>1);n -n =n n n=√n n n(a>0,m ,n ∈N ,n>1). 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=aC.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-√n =(-x )12(x>0) B.√y 26=n 13(y<0)C.n -34=√(1x )34(x>0)D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一 典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n .推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s. 利用例1的结论可以证明(课后练习)(1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1;(2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二 例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);②4n 23n -13÷(-23n -13n -13).(2)已知n 12+n -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③n 32-n -32n 12-n -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-n 12n -3)6;(2)n +n -1+2n 12+n -12.任务三 情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若n 12+n -12=√6,求n +n -1-1n 2+n -2-2的值.2.若3x=a ,5x=b ,则45x=( ) A.a 2b B.ab 2 C.a 2+b D.a 2+b 2 3.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习):(1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1;(2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( )A.√6B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( ) A.2 B.-2 C.±2 D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√n 24 B.√n 3 C.√n 6 D.√-n 54.下列各式化简错误的是( ) A.n -25n 13n 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6C.(n 14n -13)(n 14n 23)(n -12n 23)=y D.-15n 12n 13n-3425n -12n 13n 54=-35ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√n =(-x )12(x ≠0) B.n -13=-√x 3C.(x y )-34=√(yx)34(x ,y ≠0) D.√n 26=n 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.7.已知x=a -3+b -2,求√x 2-2a -3x +a -64的值.8.已知x+x -1=3,求下列各式的值:(1)x 12+n -12,(2)n 32+n -32.9.探究:当√n n n +(√n n)n =2a 时,实数a 和整数n 所应满足的条件.参考答案第1课时自主预习 课堂探究课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√33(2)425a 2b -2核心素养专练第2课时自主预习自我检测2.C3.3 课堂探究求证:如果是a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n . 证明:假设n 1n ≤n 1n ,即n 1n<n 1n或n 1n=n 1n.根据不等式的性质与根式的性质,得a<b 或a=b.这都与a>b 矛盾,因此假设不成立,从而n 1n >n 1n .推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s.证明:设s=nn(m ,n 为正整数).因为a>b>0,所以n 1n >n 1n >0.根据不等式的性质,得(n 1n )n>(n 1n )n>0. 所以n n n >n nn ,即a s >b s. 应用:比较大小①< ②< ③> ④< 例2 (1)3 (2)25 跟踪练习1.-16792.2716 例3 (1)①24n 16 ②-6a (2)①7 ②47 ③8 跟踪练习(1)210m 17n 12(2)n 12+n -12课堂练习1.14 2.A 3.-2 核心素养专练。
高中人教B第二册案：4.1.1 实指幂及其运算含解析
【新教材】2020-2021学年高中数学人教B版必修第二册学案：4.1.1实数指数幂及其运算含解析第四章指数函数、对数函数与幂函数4。
1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂,了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1。
通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想,提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用,提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根（1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x，使得__x n＝a__,则x称为a的n次方根．（2)表示:n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__错误!__x＝__±错误!__0不存在思考:对于式子错误!中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示:不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时,a ∈R；当n为偶数时,a≥0．知识点根式（1)当错误!有意义时，错误!称为根式，n称为__根指数__,a称为被开方数．（2)性质：①（na)n＝__a__;②na n＝错误!思考：(错误!)n与错误!中的字母a的取值范围是否一样？提示:取值范围不同．式子(错误!）n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子错误!中,a∈R．分数指数幂的意义知识点正分数指数幂n为正整数，错误!有意义，且a≠0时，规定a错误!＝__n，a__正分数错误!，a错误!＝__（错误!)m__＝错误!负分数指数幂s是正分数，a s有意义且a≠0时，规定a－s＝__错误!__思考：分数指数幂中的错误!有什么规定？提示:mn为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a＞0且t是无理数时,a t是一个确定的__实数__．思考：当a＞0时,式子a x中的x的范围是什么？提示：x∈R．知识点实数指数幂的运算法则(a＞0,b＞0，r，s∈R)（1）a r a s＝__a r＋s__．(2）(a r)s＝__a rs__．(3）(ab）r＝__a r b r__．关键能力·攻重难题型探究题型n次方根的概念及相关问题┃┃典例剖析__■典例1(1)求使等式a－3a2－9＝(3－a）错误!成立的实数a的取值范围；(2)设－3＜x＜3，求错误!－错误!的值．［分析］(1)利用错误!＝｜a｜进行讨论化简．(2)利用限制条件去绝对值号．［解析］(1)错误!＝错误!＝|a－3|错误!，要使|a－3｜错误!＝（3－a）错误!成立,需错误!解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围为[－3,3］．(2)原式＝错误!－错误!＝|x－1|－｜x＋3|，∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时,原式＝－（x－1)－（x＋3)＝－2x－2；当1≤x＜3时,原式＝(x－1)－（x＋3）＝－4．∴原式＝错误!规律方法：1。
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4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n 中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根.①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n有意义的时候,√a n称为 ,n 称为 ,a 称为 .一般地,根式具有以下性质:①(√a n )n =a. ②√a n n ={a,当n 为奇数时,|a|,当n 为偶数时.(4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定a 1n = ;当√a n没有意义时,称a 1n 没有意义.对于一般的正分数mn,也可作类似规定,即a mn = = .但值得注意的是,这个式子在m n不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s 有意义且a ≠0时,规定a -s = . (5)有理数指数幂的运算法则:a s a t = ,(a s )t = ,(ab )s = . 点拨(1)在(√a n)n 中,当n 为奇数时,a ∈R ;当n 为偶数时,a ≥0.但在√a n n中,a ∈R .(2)分数指数幂a mn 不可以理解为m n个a 相乘. 2.实数指数幂 一般地,当a>0且t 是 时,a t 是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为 时,可以认为实数指数幂a t 都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0). (1)x 25;(2)x -53.要点归纳 在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示x -12y 23(x>0,y>0).例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√a 65; (2)1√23;(3)√b 3a24; (4)√(-a)6.要点归纳 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,a m n 有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在mn取任何有理数时,a mn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式: (1)5x -23y 12(-14x -1y 12)(-56x 13y -16);(2)m+m -1+2m 12+m -12.变式训练3化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= .2.已知3a =2,3b =15,则32a-b = . 3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√a 72√a -33÷√√a -83√a 153÷√√a -3√a -13.参考答案自主预习. 指数 (2)x n =a ①0 √0n=0②相反数 n 次算数根 √a n -√a n没有意义③√a n 正数 负数 (3)根式 根指数 被开方数 (4)√a n(√a n)m √a m n1a s(5)a s+t a st a s b s 2.无理数 任意实数 课堂探究(1)√x 25(2)x 53变式训练1√y 23√x例2 (1)3 (2)25 变式训练2 (1)a 65(2)a -23(3)b 34a 12(4)a 3例3(1)24y 16(2)m 12+m -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√a2.203.-64.(1)2 (2)325.a 16第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂a mn (a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R )含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n = . 如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况. 如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= .课堂探究任务一 类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义 思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的 次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根. 当√a n 有意义的时候,√a n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. 方程x n =a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= .当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= .思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题?要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. -a(a <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√a n对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√a n 只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-a)33;√(-7)44;√(3-π)66;√(a -b)2(a<b ).任务二 阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√a )2=a 1=(a 12)2能成为(a m )n =a mn 的特例吗?√a √b =√ab 能成为a m b m =(ab )m 的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗? 观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根. 一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定a 1n =√a n;当√a n没有意义时,称a 1n 没有意义.规定a m n =√a m n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);a -mn =1a m n=1√a m n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式. √a m n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√x 23= ;√a3= .(2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③ 任务三 分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√a = ,a 3·√a 23= ,√a a = (式中a>0).例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32.变式训练化简:①√a 2√a (a>0);②√x(√x 25)3(x ≠0);③(a 23b 14)3;④(a 12+b 12)2.课堂练习1.√a 3·√-a 6的值为( )A.-√-aB.-√aC.√-aD.√a 2.625的4次方根是( )A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( )①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√a n n =|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n)n 与√a n n 相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8a 3125b3)46.作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.812.化简(√-b )2是( ) A.-bB.bC.±bD.1b3.化简√(a -b)66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 . 5.化简a+√(1-a)44的结果是( ) A.1 B.2a-1 C.1或2a-1 D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( )A.√a 33+√b 2=a+bB.(√|a|+√b)2=a 2+b 2+2√ab C.√(a 2+b 2)44=a 2+b 2 D.√a 2+2ab +b 2=a+b7.当8<x<10时,√(x -8)2-√(x -10)2= . 8.若√x 2-2x +1+√y 2+6y +9=0,则y x = . 9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ .10.化简:(1)(3649)32;(2)√a 2b √b3a√ab3.11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√a 2-2a +1=a-1,求a 的取值范围.13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√x +2√x -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习分数指数幂的意义a m n =√a m (0,,∈N *,1);a -mn =a m n=√a m n (0,,∈N *,1) 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .①② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=a C.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12(x>0) B.√y 26=y 13(y<0)C.x -34=√(1x)34(x>0) D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一 典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么a 1n >b 1n . 推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s . 利用例1的结论可以证明(课后练习)(1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s <1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t . 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二 例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5x -23y 12(-14x -1y 12)(-56x 13y -16); ②4a 23b -13÷(-23a -13b -13).(2)已知a 12+a -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③a 32-a -32a 12-a -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-m 12n -3)6;(2)m+m -1+2m 12+m -12.任务三 情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若x 12+x -12=√6,求x+x -1-1x 2+x -2-2的值. 2.若3x =a ,5x =b ,则45x =( ) A.a 2bB.ab 2C.a 2+bD.a 2+b 23.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习):(1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s <1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t . 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( ) A.√6 B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( )A.2B.-2C.±2D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√m 24B.√m 3C.√m 6D.√-m 54.下列各式化简错误的是( ) A.a -25a 13a 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6 C.(x 14y -13)(x 14y 23)(x -12y 23)=y D.-15a 12b 13c -3425a -12b 13c 54=-35ac 5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√x =(-x)12(x ≠0)B.x -13=-√x 3C.(x y )-34=√(y x)34(x ,y ≠0) D.√y 26=y 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.4的值.7.已知x=a-3+b-2,求√x2-2a-3x+a-68.已知x+x-1=3,求下列各式的值:(1)x12+x-12,(2)x32+x-32.n+(√a n)n=2a时,实数a和整数n所应满足的条件.9.探究:当√a n参考答案第1课时自主预习课堂探究课堂练习a2b-22.C3.A4.(1)3√33(2)425核心素养专练第2课时自主预习略自我检测.2.C3.3课堂探究求证:如果是a>b>0,n是大于1的自然数,那么a1n>b1n.证明:假设a1n≤b1n,即a1n<b1n或a1n=b1n.根据不等式的性质与根式的性质,得a<b或a=b.这都与a>b矛盾,因此假设不成立,从而a1n>b1n.推论:如果a>b>0,s是正有理数,那么a s>b s.证明:设s=m(m,n为正整数).n因为a>b>0,所以a1n>b1n>0.根据不等式的性质,得(a 1n )m>(b 1n )m >0.所以a m n >b mn ,即a s >b s . 应用:比较大小①< ②< ③> ④< 例2 (1)3 (2)25 跟踪练习.-16792.2716例3 (1)①24y 16 ②-6a (2)①7 ②47 ③8 跟踪练习(1)210m 17n 12 (2)m 12+m -12 课堂练习.142.A3.-2 核心素养专练。