初三数学教案-3.2圆的对称性一精品

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北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教学设计

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是北师大版数学九年级下册第3.2节的内容，本节课的主要内容是让学生理解圆的对称性，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线。

教材通过生活中的实例引入圆的对称性，让学生感受圆的对称性在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但是，对于圆的对称性的理解还需要通过具体的实例来引导和深化。

此外，学生可能对圆的对称性在实际生活中的应用还不够了解，需要通过实例演示和练习来提高。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义和性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义和性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生观察和操作实例，进行小组讨论和推理，从而理解和掌握圆的对称性。

六. 教学准备1.教学实例：准备一些生活中的实例，如圆形桌面、圆形餐具等，用于展示圆的对称性。

2.教学工具：准备多媒体教学设备，用于展示实例和引导学生进行操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“你们在生活中见到过哪些圆形的物体？它们有什么特点？”引导学生思考圆的对称性。

2.呈现（10分钟）呈现教学实例，如圆形桌面、圆形餐具等，引导学生观察和描述它们的对称性。

通过实例展示，让学生初步感受圆的对称性。

3.操练（10分钟）让学生分组进行操作，每组选择一个圆形物体，尝试找出它的所有对称轴，并记录下来。

通过操作活动，让学生更深入地理解圆的对称性。

4.巩固（5分钟）让学生汇报各自的操作结果，全班交流，总结圆的对称轴的性质。

3.2 圆的对称性(教案)-北师大版数学九年级下册

第2节圆的对称性1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.2.圆规和自制圆形纸片.导入一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.课件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机,我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?[设计意图]从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.导入二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.[设计意图]通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.[过渡语]我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?课件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.[过渡语]通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.[设计意图]问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.【做一做】在等圆☉O和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.【活动方式】分小组进行实验操作,小组之间交流.【师生活动】教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.思路一旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.思路二由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合,所以=,AB=A'B'(叠合法).【学生小结】在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【问题】你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?【学生活动】学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',∴半径OB与O'B'重合.∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.∴=,AB=A'B'.【议一议】上面的结论,在同圆中成立吗?【学生活动】学生思考、猜想后得出肯定的结论.【教师点评】圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相【想一想】(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?【学生活动】学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.【教师活动】要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)【师生总结】在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【教师强调】注意事项:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.[设计意图]“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的如图所示,AB,DE是☉O的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?〔解析〕通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.解:BE=CE.理由是:∵∠AOD=∠BOE,∴=.又∵=,∴=.∴BE=CE.【议一议】在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.【学生活动】学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.[设计意图]本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45°B.90°C.135°D.270°解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于()A.40°B.60°C.80°D.120°解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.(第4题图)4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=.解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.2圆的对称性1.圆的对称性.(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.一、教材作业【必做题】1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.2.教材第72页习题3.2第1,2题.【选做题】教材第73页习题3.2第3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB的度数为()A.106°B.126°C.74°D.53°2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于()A.150°B.75°C.60°D.15°3.如图所示,=,若AB=3,则CD=.4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=.【能力提升】5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4cm,则☉O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为.7.如图所示,=,D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?【拓展探究】8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.【答案与解析】1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)3.3(解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)5.D(解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.随堂练习(教材第72页)1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.2.解:如图所示.答案不唯一.3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.习题3.2(教材第72页)1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.(2)AB=CD,=,∠AOB=∠COD.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴=,∠AOB=∠COD.3.解:=.理由如下:连接OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性的结论.3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.。

初三九年级数学北师版第3章圆3.2 圆的对称性【教案】

圆的对称性教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性．(二)能力训练要求1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．[师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]很好．教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB 是⊙O 的一条弦，弧CD 是⊙O 的一条直径．注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A 、D 为端点的弧有两条：优弧ACD (记作¼ACD )，劣弧ABD (记作»AD )．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．2．直径是弦，但弦不一定是直径．下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1A)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM ＝BM ，»»AC BC =，»»AD BD =． [师]为什么呢？[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如下图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM ＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．Ⅲ．课时小结1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．Ⅳ．课后作业(一)课本(二)1．预习内容：2．预习提纲：(1)圆是中心对称图形．(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理．Ⅴ．活动与探究1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．[结果]如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE＝12AB＝30cm．令⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝OF－EF＝R－10．在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，即R2＝302＋(R－10)2．解得R＝50cm．修理人员应准备内径为100cm 的管道．板书设计圆的对称性一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径．二、与圆有关的概念：1．圆弧2．弦3．直径注意：弧包括优弧、劣弧、半圆．三、课堂练习四、课时小结五、课后作业。

【北师大版】九年级数学下册优秀教案：3.2 圆的对称性1

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵＝MB ︵，MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，求证：MD＝ME .解析：连接MO ，根据等弧对等圆心角，则∠MOD ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .证明：连接MO ，∵ MA ︵＝MB ︵，∴∠MOD ＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，∴MD ＝ME .方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，CE ∥AB 且交圆于E ，求证：BD ︵＝BE ︵.解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.证明：连接OE ，∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵. 方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E .求AD ︵、DE ︵的度数．解析：连接CD ，由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数．解：连接CD ，∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵，DE ︵所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，直线CP 与⊙O 相交于点Q .是否存在点P ，使得QP ＝QO ？若存在，求出相应的∠OCP 的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段OA 有三种位置关系：点P 在线段OA 上，点P 在OA 的延长线上，点P 在OA 的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P 在线段OA 上(如图①)，在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCP .在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠AOC ＝30°.∴∠QPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°.在△OPQ 中，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，即(∠OCP ＋30°)＋(∠OCP ＋30°)＋∠OCP ＝180°，整理得3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°；当P 在线段OA 的延长线上(如图②)，∵OC ＝OQ ，∴∠OQP ＝(180°－∠QOC )×12＝90°－12∠QOC .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝(180°－∠OQP )×12＝45°＋14∠QOC .在△OQP 中，30°＋∠QOC ＋∠OQP ＋∠OPQ ＝180°，∴30°＋∠QOC ＋90°－12∠QOC ＋45°＋14∠QOC ＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。

九年级数学下册第3章圆32圆的对称性教案新版北师大版

3.2圆的对称性一、教学目标1.掌握圆的轴对称性和中心对称性2.掌握圆心角的概念.3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用.二、课时安排1课时三、教学重点掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用.四、教学难点掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用.五、教学过程（一）导入新课1、举例说明什么是弧、弦及圆心角。

2、圆是轴对称图形吗？你是怎么验证的？（二）讲授新课活动内容1：探究1：圆的对称性（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆心.（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转过后的图形能与原图形重合吗？圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合.____________________.（圆具有旋转不变性）探究2:圆心角、弧、弦之间的关系（1）相关概念:_______：顶点在圆心的角.( 圆心角 )（2）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系活动2：探究归纳【定理】________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.【推论】_____ __，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（在同圆或者等圆中）（三）重难点精讲【例1】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点 A ，B 和C ，D ，求证：AB=CD.证明：作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M ，N 为垂足..MPO NPO OM AB OM ON ON CD AB CD ∠=∠⎫⎪⊥⇒=⎬⎪⊥⎭⇒=【例2】A,B 分别为CD 和EF 的中点，AB 分别交CD,EF 于点M,N ，且AM=BN.求证：CD=EF. 证明：连接OA ，OB ，设分别与CD ，EF 交于点F ，G∵A 为中点，B 为中点∴OA ⊥CD ，OB ⊥EF.故∠AFC=∠BGE=90°又由OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，且AM=BN ，∴△AFM ≌△BGN ，∴AF=BG ，∴OF=OG ，∴DC=EF.（四）归纳小结总结本课的内容：1.掌握圆的轴对称性和中心对称性2.掌握圆心角的概念.3.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在解题中的应用.（五）随堂检测1.如图，在⊙O 中， AB AC = ,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.2.如图，AB 是⊙O 的直径， BC CD DE ==， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．3.如图：⊙1O 和⊙2O 是两个等圆，直线12A B 平行于12O O . 分别交⊙ 1O 于点1A ，1B ，交⊙2O 于点2A ，2B .求证：111222.AO B A O B ∠=∠参考答案预习检测：1. ∠AOB=∠COD OE=OF AB CD =，2. ∠AOB=∠COD AB CD =，AB=CD 3. ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF4. OE=OF AB=CD AB CD =，随堂检测1. 证明：∵AB AC =∴ AB=AC ，△ABC 是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形， AB=BC=CA.∴ ∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC.2. 证明：∵BC CD DE ==BOC=COD=DOE=35∴∠∠∠180335AOE ∴∠=-⨯75.=3. 证明:分别作O 1C 1⊥A 1B 1,O 2C 2 ⊥ A 2B 2,垂足分别为C 1 ，C 2，∵A 1B 2∥O 102，∴ O 1C 1= O 2C 2.111222A O B A O B .∴∠=∠六．板书设计3.2圆的对称性【定理】________________，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.【推论】_____ __，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.例题1：例题2：七、作业布置课本P72随堂练习练习册相关练习八、教学反思。

九年级数学下册 3.2 圆的对称性教案 (新版)北师大版

圆的对称性【教学内容】圆的对称性（一）【教学目标】知识与技能理解圆是轴对称图形和中心对称图形，从圆具有旋转不变性，深入领会同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系。

过程与方法经历圆是轴对称图形和中心对称图形的探索，学会运用同圆或等圆中，相等的圆心角、弧、弦之间的对应关系来解决数学问题。

情感、态度与价值观引导学生对圆的对称性观察认识，激发学生的探究兴趣，并在运用数学知识解答问题活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

【教学重难点】重点：圆心角、弧、弦之间关系定理的证明和应用．难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．【导学过程】【知识回顾】什么叫做圆？圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？【情景导入】对折一张圆形的纸片，可以看到圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

【新知探究】探究一、圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条。

任意一条过圆心的直线都是它的对称轴。

探究二、圆也是中心对称图形，圆绕着它的圆心旋转180°能够与它自身重合，对称中心是圆心。

实际上，圆绕它的圆心旋转任意一个角度都能与它自身重合。

圆心角：顶点在圆心的角。

学生作出几个圆心角，体会它的特征。

探究三、在等圆⊙O和⊙Oˊ中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠AˊOBˊ固定圆心，将其中一个圆旋转任一角度，使得OA与OˊAˊ重合，你能发现哪些等量关系？归纳你发现的结论：【知识梳理】本节课我们学习圆是轴对称图形和中心对称图形，并学习同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系定理。

【随堂练习】1、已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.2、如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？3、如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．4、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）5、填空题⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．6、选择题如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．A、6 cmB、8 cmC、7 cmD、7.5 cm7、选择填空题如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，求证：OP平分∠BPD．证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．A OM⊥PB B OM⊥ABC ON⊥CD D ON⊥PD。

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案

北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.2《圆的对称性》是本册教材中的重要内容，主要让学生了解圆的对称性质，掌握圆的对称性的应用。

本节课的内容对于学生来说比较抽象，但与生活实际息息相关，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，并了解了一些基本的平面几何知识。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，要注重启发学生思考，引导学生发现圆的对称性，并学会运用圆的对称性解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解圆的对称性质，学会运用圆的对称性解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点：圆的对称性质的理解和应用。

2.难点：圆的对称性质在实际问题中的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、案例教学法等，充分调动学生的积极性，引导学生主动探究，合作交流，提高学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备等。

2.学具：学生每人一本教材，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆对称现象，如圆形的挂钟、圆形的脸谱等，引导学生发现圆的对称性质，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍圆的对称性质，如圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆的任何一点关于圆心都有对称点等。

同时，引导学生发现圆的对称性质与生活的密切关系。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组设计一个具有圆对称性质的图案，并利用圆规和直尺进行绘制。

通过实践活动，加深学生对圆的对称性质的理解。

初中数学九年级下册圆的对称性教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.[师]：同学们，这位同学回答的对吗？[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习合作探究：探究活动一：圆的基本概念（让学生注意观察动画课件）学案(问题3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫C做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理（问题4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.优弧AB半圆CD劣弧AB C学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论. [生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM , 因为圆沿直线CD 对折后，点A 与B 重合. [生2]：若只证明AM =BM ，还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴ 教师活动:引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧．如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤① CD 是直径③AM =BM ，④② CD ⊥AB 于M ⑤ 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论议一议：(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]：成立.= ,== ,=AD=BDAC=BC∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴ [生2]：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.[师]：同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.（问题7）例题分析例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. [生]：解：连接OC ，设弯路的半径是R ，则OF =(R -90))m ∵OE ⊥CD= ,=∴CF =CD /2=300m （垂径定理）由勾股定理得 OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+(R -90)2 解得R =545所以，弯路的半径是545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R 、弦CD 的长、弦心距OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.[生]：老师，如图，OC ⊥AB ，可不可以使用垂径定理.[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，∴OD =52-32=4∴DC =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为12.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =4，CD =2，圆心到AB 的距离为l ，则大圆的与小圆的半径之比为____________.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题. 答案提示：解：51222=+=OA21122=+=OC 则大圆的与小圆的半径之比为21025=3. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答. 答案提示：由垂径定理知，mm oc 12530032522=-=油最大深度=325-125=200（mm ）4．已知：如图，⊙O 中， AB 为弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA .考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合.答案提示：解：设⊙O 的半径为r 在直角三角形AOD 中，222OA OD AD =+所以，222)1(3r r =-+ ∴r =5cm ∴OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：教学反思：《圆的对称性》是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是北师大版九年级数学下册第三章第二节的内容。

本节课主要让学生了解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，以及圆有无数条对称轴等特点。

通过学习，使学生能够运用圆的对称性解决一些实际问题，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初级代数、几何等知识，对图形的对称性有一定的了解。

但针对圆这一特殊图形的对称性，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生从具体实例中发现圆的对称性，并通过讲解和练习使学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。

2.能够运用圆的对称性解决一些实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称性在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等教学方法。

通过具体实例引入圆的对称性，引导学生发现和总结圆的对称性特点，并通过练习和实际问题使学生理解和掌握圆的对称性。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备练习题和实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例引入圆的对称性，例如：展示一个圆形图案，让学生观察并说出这个图案的特点。

引导学生发现圆的对称性，并提出问题：为什么圆有无数条对称轴？2.呈现（15分钟）教师通过讲解和动画演示，详细讲解圆的对称性。

讲解圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，以及圆的对称轴是如何确定的。

同时，展示一些实际问题，让学生理解和掌握圆的对称性。

3.操练（15分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导。

练习题包括判断题、选择题和填空题等，主要考察学生对圆的对称性的理解和掌握。

4.巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用圆的对称性进行解决。

例如：一个圆形桌面，要如何摆放才能使桌子上的物体在桌面的任何位置都能看到？5.拓展（10分钟）引导学生思考圆的对称性在其他领域的应用，例如：在艺术设计、建筑、工程等领域中的应用。

九年级数学下册3.2圆的对称性教案(新版)北师大版【精品教案】

圆的对称性一、教学目标1.圆的旋转不变性；2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 二、教学重点和难点重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．三、教学过程（一）情境引入： 1.想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？2.圆是中心对称图形吗？你怎么验证？结论：1.圆是轴对称图形，其对称轴是_____________________ ； 2.圆是中心对称图形，其对称中心为______．圆具有_________性。

（二）活动探究：【探究一】1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图)，将两圆重叠，圆心固定．3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．教师叙述步骤，同学们一起动手操作．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?说一说你的理由．结论有：______________ ；______________ ；______________ ；…… 4.如何证明AB=B A ''，AB=B A ''证明:∵半径OA 与A O ''重合，∠AOB=∠B O A ''' ∴半径OB 与B O ''_____∵点A 和点A ′重合,点B 和点B ′重合 ∴AB 和_____重合，弦AB 和_____重合 ∴AB=B A ''， AB=B A ''刚才证明AB=B A ''理由是一种新的证明相等的方法——________法．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_______相等，所对的_______相等【探究二】如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．推论：在同圆或等圆中，如果__________、__________、__________、__________ 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：（1）不能忽略“____________________”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．A A'（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．（三）典例讲解：如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD=CE ，与的大小有什么关系？为什么？（四）巩固训练：1、如图点A 、B 和点C 、D 分别在两个同心圆上,且∠AOB=∠COD. ∠C 与∠D 相等吗? 为什么?（五）课下作业 1.判断：（1）直径是弦，弦是直径。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

九年级数学下册 3.2 圆的对称性教案1 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级下册数学教案

课题：3.2圆的对称性教学目标：1．圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理．教学重点和难点：重点：圆心角、弧、弦之间关系定理．难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的应用．教学准备：教师准备：多媒体课件学生准备：制作两X 大小相同的圆形纸片教学过程：一、创设情境，引入新课前面，我们认识了圆以及它的有关概念，对于圆，他还有哪些特殊的性质？让我们从圆的对称性开始一起探究.【教师板书课题：】处理方式：回顾上节课学习的圆的有关概念，进而引入到圆的性质的探究，教师直接出示本课课题．设计意图：因为学生在七、八年级已经学习了图形的对称性，所以直接揭示本课要研究的主题，让学生尽快进入学习状态.二、探究学习，获取新知活动内容1：圆的对称性（多媒体出示）1.在七、八年级我们认识了图形的哪几种对称性？2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？处理方式：让学生根据轴对称图形的定义，利用自己手中的圆形纸片进行折叠，找一名学生展示并回答问题．教师特别要指出“直径是圆的对称轴”的错误说法，并让学生说明错误的原因.. O设计意图：让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力.教师强调：想一想：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？所以，圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？处理方式：让学生利用自己手中的圆形纸片将圆绕着圆心旋转，找一名学生展示并回答问题．特别要体会圆的中心对称性是圆的旋转对称性的特例.设计意图：让学生在动手操作中体会研究问题的过程，创设良好的探究氛围. 活动内容2：圆心角、弧、弦之间的关系教师强调：在等圆⊙O 和⊙O ′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA 和O ′A ′重合.你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.处理方式：让学生在自己手中的两X 圆形纸片上分别画出两个相等的圆心角，然后按照要求将两圆重合，并旋转，观察并总结结论.同位间交流并达成共识.对于理由的阐述，学生还可以利用三角形全等说明弦相等.教师多媒体展示旋转的说理过程：解：，AB ＝A ＇B ＇．理由：∵半径OA 与O ＇A ＇重合∠AOB ＝∠A ＇O ＇B ＇， ∴半径OB 与O ＇B ＇重合．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心是圆心..O ′B ′A ′.OBAO (O ′)BA B ′A ′∵点A 和点A ＇重合，点B 和点B ＇重合， ∴和重合，弦AB 与弦A ＇B ＇重合. ∴，AB ＝A ＇B ＇．设计意图：让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流.在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力.教师多媒体展示并规X 学生说理过程.教师强调：想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？处理方式：让学生在自己手中的两X 圆形纸片上操作、观察，总结结论，并能仿照以上推理过程进行说理.设计意图：让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流，明确“等对等”的条件和结论，体会圆的旋转对称性在推理中的作用.教师强调：三、训练反馈，应用提升活动内容1：定理的初步应用 1.判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教学设计

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆的对称性》的内容包括圆的对称性质、圆的对称变换以及圆的对称图案。

这部分内容是学生在学习了圆的基本概念和性质之后，进一步深入研究圆的性质的重要内容。

通过这部分的学习，学生可以更好地理解圆的对称性，提高他们的空间想象能力和审美能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，对于新的知识有一定的接受能力。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，他们可能还比较困难。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握圆的对称性。

三. 教学目标1.理解圆的对称性质，掌握圆的对称变换。

2.能够运用圆的对称性来解决实际问题。

3.提高学生空间想象能力和审美能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和应用。

2.圆的对称变换的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握圆的对称性。

同时，运用多媒体教学，直观地展示圆的对称变换，帮助学生更好地理解和掌握知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.圆的模型或者图片。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如圆、圆环、圆盘等，引导学生观察和思考这些图形的对称性。

提问：你们认为这些图形有什么共同的特点？学生回答后，教师总结：这些图形都具有对称性，今天我们就来学习圆的对称性。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆的对称性质，如圆的对称轴、对称中心等。

同时，引导学生通过实际操作，如折叠圆纸片，来验证圆的对称性质。

在这个过程中，教师讲解圆的对称性质，并强调圆的对称变换。

3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用圆的对称性质来解决实际问题。

例如，每组设计一个具有对称性的图案，并解释其对称性。

在这个过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师通过一些例题，让学生进一步理解和掌握圆的对称性。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案2

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案2一. 教材分析《圆的对称性》是北师大版九年级数学下册第三章第二节的内容。

本节课主要介绍了圆的对称性，包括圆是轴对称图形和中心对称图形，以及圆的对称性质。

通过本节课的学习，学生能够理解圆的对称性，并能够运用圆的对称性质解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了轴对称和中心对称的基本概念，对对称性有一定的理解。

但是，对于圆的对称性的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，让学生深入理解圆的对称性质，并能够灵活运用。

三. 教学目标1.理解圆是轴对称图形和中心对称图形。

2.掌握圆的对称性质，并能够运用解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和运用。

2.圆的对称性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实例和练习，引导学生深入理解圆的对称性质，并能够灵活运用。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。

2.准备PPT和黑板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的例子，如剪刀、扇子等，引导学生回顾轴对称和中心对称的概念。

然后，提出问题：“圆有哪些对称性质？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，呈现圆的对称性质，包括圆是轴对称图形和中心对称图形，以及圆的对称性质。

引导学生观察和理解圆的对称性质。

3.操练（10分钟）给出一些练习题，让学生运用圆的对称性质进行解答。

通过练习，加深学生对圆的对称性质的理解。

4.巩固（10分钟）通过一些实例，让学生运用圆的对称性质解决实际问题。

如，设计一些图案，利用圆的对称性质进行设计和绘制。

5.拓展（10分钟）引导学生思考圆的对称性质在实际生活中的应用，如艺术设计、建筑等。

让学生发挥想象，运用所学知识解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调圆的对称性质的重要性和运用。

(整理)初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备：制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示：[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.[师]：同学们，这位同学回答的对吗？[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习合作探究：探究活动一：圆的基本概念（让学生注意观察动画课件）学案(问题3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设：可能出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]：(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫C做半圆.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.探究活动二：垂径定理（问题4）（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.优弧AB半圆CD劣弧AB C学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论. [生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM , 因为圆沿直线CD 对折后，点A 与B 重合. [生2]：若只证明AM =BM ，还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴ 教师活动:引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧．如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤① CD 是直径③AM =BM ，④② CD ⊥AB 于M ⑤ 设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三：垂径定理的推论议一议：(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]：成立. = ,== ,=AD=BDAC=BC∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴ [生2]：不一定成立，如图，当AB 是直径时，CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.[师]：同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.（问题7）例题分析例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. [生]：解：连接OC ，设弯路的半径是R ，则OF =(R -90))m ∵OE ⊥CD = ,=∴CF =CD /2=300m （垂径定理）由勾股定理得 OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+(R -90)2 解得R =545所以，弯路的半径是545m.设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R 、弦CD 的长、弦心距OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.[生]：老师，如图，OC ⊥AB ，可不可以使用垂径定理.[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，∴OD =52-32=4∴DC =5-4=1所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为12.两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，若AB =4，CD =2，圆心到AB 的距离为l ，则大圆的与小圆的半径之比为____________.考察知识点：理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题. 答案提示：解：51222=+=OA21122=+=OC则大圆的与小圆的半径之比为21025=3. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．考察知识点：主要是检测垂径定理在生活中的应用，解决此类问题的关键是画出示意图，转化为数学问题解答. 答案提示：由垂径定理知，mm oc 12530032522=-=油最大深度=325-125=200（mm ）4．已知：如图，⊙O 中， AB 为弦，C 为 AB 的中点，OC 交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA .考察知识点：数学方法的综合应用，主要是方程知识与图形解答的结合.答案提示：解：设⊙O 的半径为r在直角三角形AOD 中，222OA OD AD =+所以，222)1(3r r =-+∴r =5cm ∴OA =5cm学情预设：部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动：通过检查，关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.设计意图：通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题;进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理，需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯.板书设计：教学反思：《圆的对称性》是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维. 让学生真正体验了探索获取新知的成绩感和成功感，同时也达到了培养学生学习主动性和创造性的目的；最后，通过提供有层次的达标检测题让学生应用所学解决实际问题.孩子们在解决问题的同时享受到了成功的喜悦，个性得到了彰显，解决问题的能力也得到了充分的提升，更感受到数学的价值，从而更加热爱数学学习.感到课堂不足的地方是，本节课学生操作和自主学习的时间多，每个环节的衔接要流畅，才能在课堂上完成，所以本节课要提前发放导学案，才能顺利完成课堂教学任务.。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教学设计1

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性》是北师大版九年级数学下册第3.2节的内容，主要介绍圆的对称性质。

本节课的内容是学生在学习了圆的基本概念和性质之后进行的，是进一步深入研究圆的性质的重要环节。

教材通过实例介绍圆的对称性质，引导学生探究圆的对称性，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生的观察能力、思考能力和动手能力也亟待提高。

三. 教学目标1.理解圆的对称性的概念和性质；2.能够运用圆的对称性解决实际问题；3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的概念和性质的理解；2.圆的对称性的运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过问题驱动，引导学生思考和探索圆的对称性；通过案例教学，让学生直观地理解圆的对称性；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和图片；2.准备教学课件；3.准备练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的对称图形，如圆形的操场、硬币等，引导学生观察和思考这些图形的对称性。

让学生举例说明生活中遇到的圆形对称现象，从而引出圆的对称性的概念。

2.呈现（10分钟）利用课件呈现圆的对称性的性质，如圆的任何一条直径都是圆的对称轴，圆的任何一点关于圆心都有对称点等。

同时，引导学生进行实际的操作，如在纸上画一个圆，通过折叠、旋转等方式来验证圆的对称性。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选取一个实例，运用圆的对称性来解决实际问题。

如选取一个圆形桌面，讨论如何通过旋转使得每个人坐在桌边的位置距离相等。

4.巩固（5分钟）通过一些练习题来巩固学生对圆的对称性的理解和运用。

如给出一个圆形的图案，要求学生找出所有的对称轴和对称点。

北师大版九年级数学下册教案：3.2圆的对称性

此外，我还发现部分学生在解决与圆的对称性相关的问题时，仍存在一定的困难。针对这一问题，我计划在下一节课中进行针对性的训练，通过设置不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆的对称性在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-理解圆的对称轴不仅包括直径，还包括通过圆心的任意直线。
-掌握圆的旋转对称性质，尤其是旋转角度的确定。
-将圆的对称性质灵活应用于解决复杂问题。
具体细节：
a.对称轴的拓展：解释除了直径外，还有通过圆心的任意直线都是圆的对称轴，可通过实例演示帮助学生理解。
b.旋转对称的难点：说明旋转角度为180°时，圆上的点仍保持不变，可通过动画或实物演示，帮助学生形象理解。
北师大版九年级数学下册教案：3.2圆的对称性
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学下册第三章第二节：3.2圆的对称性。教学内容主要包括以下三个方面：
1.圆的轴对称性：通过实例引导学生发现圆的轴对称性质，掌握圆的对称轴是折痕所在的直线，圆的对称轴经过圆心，圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2.圆的旋转对称性：介绍圆的旋转对称性质，让学生理解圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆上的任何一点绕圆心旋转180°后，仍然落在圆上。突破求解难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆的对称性》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否观察过圆形物体，比如硬币、圆桌等，它们有什么特别之处？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆的对称性的奥秘。

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案1

北师大版九年级数学下册：3.2《圆的对称性》教案1一. 教材分析北师大版九年级数学下册3.2《圆的对称性》这一节主要让学生理解圆的对称性，掌握圆是轴对称图形，理解圆的对称轴的定义，以及掌握圆的对称性质。

教材通过具体的例子引导学生探究圆的对称性，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学中关于轴对称图形的相关知识，对对称性有一定的理解。

但是，对于圆的对称性的理解和应用，还需要通过实例和操作来进一步深化。

此外，学生的抽象思维能力有待提高，需要通过具体的例子和问题，引导学生逐步抽象出圆的对称性质。

三. 教学目标1.让学生理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形。

2.让学生理解圆的对称轴的定义，并能找出圆的对称轴。

3.让学生掌握圆的对称性质，并能应用于实际问题中。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义和寻找。

3.圆的对称性质的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的例子引导学生探究圆的对称性，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

同时，采用分组合作学习的方式，让学生在小组内共同探讨问题，提高学生的合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备一些圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，用于引导学生观察和操作。

2.准备一些关于圆的对称性的问题，用于引导学生思考和探究。

七. 教学过程1.导入（5分钟）a.引导学生观察圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，让学生感受到圆的对称性。

b.提出问题：圆有什么特殊的性质？圆是轴对称图形吗？引导学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）a.给出圆的对称性的定义和性质，让学生理解圆的对称性。

b.给出圆的对称轴的定义，让学生理解圆的对称轴。

3.操练（10分钟）a.让学生分组，每组找出一件圆形的物品，如圆规、圆形的卡片等，尝试找出该物品的对称轴，并记录下来。

b.让学生汇报他们的发现，并解释为什么这是对称的。

4.巩固（10分钟）a.让学生独立完成教材上的练习题，巩固圆的对称性的理解和应用。

九年级数学下册 3.2 圆的对称性教案1 北师大版-北师大版初中九年级下册数学教案

圆的对称性（一）教学目标：知识与技能：1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

情感态度与价值观：1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。

教学过程第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）1.每人制作两X圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容第二环节创设问题情境，引入新课活动内容：教师提出问题：轴对称图形的定义是什么？我们是用什么方法研究了轴对称图形？学生回忆并回答。

第三环节讲授新课活动内容：（一）想一想圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？（二）认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念。

（三）探索垂径定理。

做一做1．在一X纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（四）讲解例题及完成随堂练习。

[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．练习：完成课本P92随堂练习：1课堂练习如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

北师版初中数学九年级下册精品教案第3章圆 2 圆的对称性

2 圆的对称性教师备课素材示例●情景导入圆与我们的生活有着密切的联系．请欣赏下面一些生活中美丽的图案．想一想：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪儿？你能找到多少条对称轴？2．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？【教学与建议】教学：展示生活中美丽的圆形建筑图片，让学生感受圆形的对称美，渗透数学源于生活的思想．建议：先展示有关圆运动视频，再提出“想一想”．●归纳导入拿出准备的圆形图形，边操作边回答问题．问题1：你知道圆有哪些基本性质吗？问题2：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？问题3：圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？问题4：绕着这个圆的对称中心旋转，你发现了什么？【归纳】圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．【教学与建议】教学：让学生自己探索，利用纸片直观地感受圆的基本性质．建议：通过动手操作认识圆的对称性，进而得到圆是轴对称图形和中心对称图形的结论．根据圆的对称性确定圆上的点在弦的垂直平分线上的时候到弦的距离最远，进而会得到相应图形的最大面积．【例1】如图，⊙O 的半径是1，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，M ，N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若AB ＝2，则四边形MANB的面积的最大值是两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，∠BOD ＝120°，点C 为BD ︵的中点，连接OD 交AC 于点E ，若DE ＝1，则AE 的长为( A )A ．3B ． 5C ．23D ．2 5【例3】如图，AB 为⊙O 的直径，△PAB 的边PA ，PB 与⊙O 的交点分别为C ，D.若AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，则∠P 的大小为__60__度．高效课堂教学设计1．理解并掌握：(1)圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性；(2)圆心角、弧、弦之间关系定理． 2．经历探索同圆或等圆中圆心角、弦、弧的关系的过程，掌握这三者之间的关系，并能够应用这些性质解决实际问题．▲重点圆心角、弧、弦之间关系定理．▲难点“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用．◆活动1 创设情境导入新课(课件)同学们，通过上节课的学习，我们对圆已经有了初步的认识，圆与我们的生活有着密切的联系．请欣赏下面一些生活中美丽的图案(如图)，让我们一起走进圆的美丽世界．问题：(1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？(2)你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．学生交流后，形成结论，教师根据学生回答整理如下：用纸裁出一个圆，利用折叠的方法，得到上述问题的答案；圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆的对称轴有无数条．◆活动2 实践探究交流新知【探究1】问题：一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？让学生利用自己手中的圆形纸片将圆绕着圆心旋转．【归纳】圆是中心对称图形，对称中心是圆心，特别地，一个圆绕着圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，也就是说圆具有旋转不变性．【探究2】圆心角、弧、弦之间的关系(教材P 70“做一做”)在等圆⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′(如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA 和O ′A ′重合．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．教师多媒体展示旋转的说理过程：解：AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.理由：∵半径OA 与O′A′重合，∠AOB ＝∠A′O′B′，∴半径OB 与O′B′重合．∵点A 和点A′重合，点B 和点B′重合，∴AB ︵和A′B′︵重合，弦AB 与弦A′B′重合．∴AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【探究3】在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？【归纳】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．◆活动3 开放训练应用举例【例1】(教材P 71例题)如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？【方法指导】同圆中由∠BOE＝∠DOA，得BE ︵＝AD ︵是解题的关键．解：∵∠BOE＝∠AOD，∴AD ︵＝BE ︵.又∵AD ︵＝CE ︵，∴BE ︵＝CE ︵，∴BE ＝CE.【例2】如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 等于(B)A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°【方法指导】由BC ＝CD ＝DA ，知弦BC ，CD ，DA 三等分半圆，∴弦BC ，CD和DA所对的圆心角均为60°.又∵OC＝OB＝OD＝OA，∴△OCB，△OCD，△ODA均为等边三角形，∴∠BCD＝∠BCO＋∠OCD＝60°＋60°＝120°.◆活动4 随堂练习课本P72随堂练习◆活动5 课堂小结与作业【作业】课本P72习题3.2中的T1、T2、T3.在知识的探究过程中，让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流．在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力．教师多媒体展示并规范学生说理过程．。

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