中小柔度杆的临界应力·经验公式

于是有：
Fcr
n2 2EI
l2
失稳时的临界压力应
为上述表达中的最小非零
解，即：
(n 0,1, 2,3, )
Fcr
2EI
l2
二、其他杆端约束情况下的临界压力
两端绞支
l
2EI
Fcr l 2
Fcr
1、一端固定,另一端铰支
拐点
C 为拐点
Fcr
2EI
(0.7l )2
Fcr
Fcr
Fcr
0.7l
2、两端固定
案例2： 1995年6月29日下午，韩国首尔三丰百货大楼，由于盲目扩建,加 层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
案例3 ：2000年10月25日上午10时南京电视 台演播中心由于脚手架失稳，造成屋顶模板 倒塌，死6人，伤34人。
研究压杆稳定性问题非常重要！
杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表
约束情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆形状
l l l l
长度系数
2
1 0.7 0.5
【例1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆， 哪个临界力最大。
l 1.3l 1.7l
2l
（a） （b） （c） （d）
临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；
临界载荷Fcr：描述压杆的稳定能力，压杆临界状态所受到 的轴向压力。
二、工程中的受压杆件 建筑物的立柱
广场灯的立柱
桁架结构
“神六”发射架
桁架屋顶
火车卧铺的撑杆
自卸车的液压顶杆 液压顶杆
三、失稳破坏案例
案例1：上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在 圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳 定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。
第三节 中、小柔度杆的临界应力·经验公式
一. 欧拉公式应用范围
1、欧拉公式临界应力
cr
Fcr A
π2 EI
l2 A
π2 E
l / i2
π2 E
2
(a)
式中：i称为惯性半径 i I
A
cr称为临界应力； l /i 称为压杆的长细比或柔度，记作，即
l
i
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的
铰支的细长压杆，试求其临界压力 Fcr，若钢尺的屈服极 限为σs=390MPa，试计算钢尺的屈服压力Fs,并比较屈服
压力与临界压力的大小。 解： 钢尺如果发生失稳，必将沿着惯性矩较小的方向失稳，
较小的惯性主矩等于
I bh3 0.02 m 0.0005 m3 2.0831013 m4
12
12
Fcr
第二节 细长压杆的临界压力
一、中心受压，两端球铰的细长压杆的临界压力 x
M (x) Fcrw(x)
Fcr
w Fcrw EI
移项可得： w k 2w 0
式中 k 2 Fcr EI
l
w
x w
Fcr
x
Fcr
M(x)
w
x w
Fcr
通解可以写成为：
w Asin kx Bcoskx x
Fcr
答疑课程：工程力学《一》 2017-9-17
目录
受压杆件的稳定性概念 细长压杆的临界压力 中、小柔度杆的临界应力·经验公式 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施
第一节 受压杆件的稳定性概念
一、稳定的概念
工程中有些承受轴向压力的杆件在满足强度条件时，却不一定能保 证安全可靠地工作，而可能突然发生明显的弯曲变形，丧失了承载能力, 这种问题称为稳定失效。
1.平衡的稳定性
不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来 的平衡位置
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡位 置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置
2.中心受压直杆的稳定性
压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的的能力；
压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。
压杆失稳原因： ① 杆轴线本身不直(初曲率)； ② 加载偏心； ③ 压杆材质不均匀； ④ 外界干扰力。
长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力
的影响。
cr
2E 2
Fcr A cr
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压
杆的临界应力 cr 。
二、 欧拉公式的应用范围
欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料
Fcr
2EI
(0.5l )2
拐点
拐点
Fcr
l4
l2
l4
Fcr
Fcr
l2
3、一端固定 一端自由
l
F
F
F
l
F
l
2EI
Fcr (2l )2
三、细长压杆临界压力的一般公式 相当长度
Fcr
2EI (l )2
——长度系数，约束方式对临界载荷的影响
l——相当长度，相当两端铰支压杆的长度
结论： 杆端约束刚度越强， 越小，临界载荷越大。
解： (a) la 2l,
(b) lb 1.3l,
(c) lc 0.7 1.7l 1.19l, (d ) ld 0.5 2l l,
所以：（d）杆临界力最大。
例2 取一根长为150mm的钢尺，其横截面尺寸为
20mm×0.5mm，钢尺的弹性模量E=210GPa，若取钢尺竖放
在桌面上，用手向下施加轴向压力。若此尺可视为两端
式中的Ａ和Ｂ是待定常数，需要
用边界条件来确定。
当 x 0 时，w(0) 0
由此可知： B 0
l
M(x)
w
当 x l 时，w(l) 0
即：
Asin kl 0
x
x
w
w
Fcr
由于Ａ和Ｂ不能同时等于零所以：
sin kl 0
也就是要求满足： kl n (n 0,1, 2,3, )
因为：k 2 Fcr EI
的比例极限p的情况。
cr
2E 2
P
或
2E
P
令p
E
P
三. 常用的经验公式
直线公式
cr a b s
或 a s
b
令
s
a
s b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出。
s 是对应 直线公式 的最低线。
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式 还有其他形式的经验公式,读者可参阅相关书籍。
2EI (l)2
3.142 210109 Pa 2.0831013 (1 0.15 m)2
Байду номын сангаас
m4
19.19
N
钢尺屈服时的屈服压力：
Fs s A 390106 Pa 0.0005 m 0.02 m 3.9 kN
屈服压力是临界压力的203倍，这就是说，屈服压 力远大于临界压力，因此对于细长压杆，只考虑强度破 坏是远远不够的。