1 第1讲 函数及其表示

班别： 姓名：

课题：函数及其表示(1)

主编人：刘锋 审核人：唐舜生

一、学习目标：

1.了解构成函数的要素；了解映射的概念；

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用；

4.会求一些简单函数的定义域．

二、学习过程：

（一）知识梳理：

完成书本第10页知识梳理 （二）诊断自测

完成书本第10页诊断自测

（三）例题讲解 考点一：函数的定义域

题组一：求函数的定义域

1（1）函数f (x )＝

1

ln （x ＋1）

＋4－x 2的定义域为( )

A ．[－2，0)∪(0，2]

B ．(－1，0)∪(0，2]

C ．[－2，2]

D ．(－1，2]

（2）函数()f x =________

2. （1）已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫

x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D. ⎝⎛⎭⎫－1

2，0 （2）已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．

题组二：已知函数的定义域求参数

1、若函数y ＝

ax ＋1

ax 2－4ax ＋2

的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎦⎤0，12

B.⎝⎛⎭⎫0，12

C.⎣⎡⎦⎤0，12

D.⎣⎡⎭⎫0，12

2、若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．

考点二：求函数的解析式

1．（1）设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．

（2）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；

2.（1）已知2

(1)23f x x x +=++，求f (x )的解析式．

（2）已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1

x 2，求f (x )的解析式；

（3）已知f ⎝⎛⎭⎫

2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；

（4）已知(sin )cos 22sin 3f x x x =++，求f (x )的解析式.

3.(1)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．

(2) 已知函数f (x )满足1()2()2(0)f f x x x x +=≠ 求f (x )的解析式．

求函数解析式的4种方法

(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．

(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫

1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．

[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．

班别： 姓名：

课题：函数及其表示(2)

主编人：刘锋 审核人：唐舜生

考点三：分段函数

题组一：分段函数求值

1.(2019·益阳市、湘潭市联考)若函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧lg （1－x ），x ＜0，

－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________．

2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，

－（x －1）2，x ＞0，则使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．

题组二：已知函数值求参数

1、已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧2x －

1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则a ＝________．

2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x

－7（x ＜0），

x （x ≥0），

若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(1，＋∞)

C ．(－3，1)

D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

题组三：与分段函数有关的方程、不等式问题

1.设f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x ，0

1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8

2.设函数2,0()1,0

x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足f (x ＋1)

A ．(－∞，－1]

B ．(0，＋∞)

C ．(－1，0)

D ．(－∞，0)

3.已知函数()|||1|f x x x =+-，若()|1|f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值.

分段函数问题的求解思路

(1)根据分段函数解析式，求函数值的解题思路

先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．

(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变量取值范围的解题思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．