1 第1讲 函数及其表示

知识点

最新考纲

函数及其表示

了解函数、映射的概念．

了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)． 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.

函数的基本性

质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性． 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值. 指数函数

了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算．

理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用. 对数函数

理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式． 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 幂函数

了解幂函数的概念．

掌握幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x

，y ＝x 1

2的图象和性质.

函数与方程 了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其

应用

了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．

能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.

1．函数与映射的概念

函数

映射

两集合 A 、B

设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系 f ：A →B

如果按照某种确定的对应关系f ，

使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应

如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应

名称 称f ：A →B

为从集合A 到集合B 的一个函数

称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射

记法

y ＝f (x )(x ∈A )

对应f ：A →B 是一个映射

(1)函数的定义域、值域

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )

(4)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )

(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3

x 3＋1 C ．y ＝x 2

x

＋1

D ．y ＝x 2＋1

解析：选B.对于A ，函数y ＝(

x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义

域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y

＝x 2

x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.

2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．

答案：[－3，0]∪[2，3] [1，5] [1，2)∪(4，5]

3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．

解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋2≥0，

⇒x ≥2.

答案：[2，＋∞) [易错纠偏]

(1)对函数概念理解不透彻； (2)换元法求解析式，反解忽视范围．

1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)

①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝2

3x ；④f ：x →y ＝x .

解析：对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝8

3∉Q ，所以③不是函数．

答案：③

2．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________．

解析：令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案：x 2－1(x ≥0)

函数的定义域

(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f (x )＝x ＋2x 2

lg （|x |－x ）

的定义域为________．