函数与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示

第1讲函数及其表示

【2013年高考会这样考】

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．

2．考查分段函数的简单应用．

3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．

【复习指导】

正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．

基础梳理

1．函数的基本概念

(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；

这是判断两函数相等的依据．

2．函数的三种表示方法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

3．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

一个方法

求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：

①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范

(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素

函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)

解析 ∵3x ＋1＞1，

∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A

2．(2011·江西)若f (x )＝

1

log 1

2(2x ＋1)

，则f (x )的定义域为( )．

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析 由log 1

2(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1， 解得－1

2＜x ＜0. 答案 A

3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x

B ．f (x )＝lg x ＋1

x －1

，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)

C ．f (u )＝

1＋u

1－u ，g (v )＝ 1＋v

1－v

D ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C

4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )． A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10

B ．y ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

x ＋310 C ．y ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

x ＋410 D ．y ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

x ＋310.故选B. 答案 B

5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．

解析 任作直线x ＝a ，当a 不在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )图象没有交点；当a 在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．

任作直线y ＝b ，当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有交点，则b 在函数y ＝f (x )的值域内；当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象没有交点，则b 不在函数y ＝f (x )的值域内． 答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]

考向一 求函数的定义域

【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1

log 2(x －1)；

(2)f (x )＝

ln (x ＋1)

－x 2

－3x ＋4

. [审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．

解

(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧

|x －2|－1≥0，

x －1>0，

x －1≠1.

解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧

x ＋1>0，

－x 2－3x ＋4>0，

即⎩⎨⎧

x >－1，(x ＋4)(x －1)<0，解得：－1

求函数定义域的主要依据是

(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.

【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝

f ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫x 2－x －12的定义域； (2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域． 解 (1)令x 2－x －1

2＝t ， 知

f (t )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫

t ⎪

⎪⎪

－1

2

≤t ≤12，

∴－12≤x 2－x －12≤1

2，