第1讲 函数及其表示

第二章函数与基本初等函数I

第1讲函数及其表示

一、选择题

1．下列函数中，与函数y＝

1

3

x

定义域相同的函数为( )．

A．y＝

1

sin x B．y＝

ln x

x

C．y＝x e x D．y＝sin x x

解析函数y＝

1

3

x

的定义域为{x|x≠0，x∈R}与函数y＝

sin x

x的定义域相同，

故选D.

答案D

2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个

解析由x2＋1＝1，得x＝0.由x2＋1＝3，得x＝±2，所以函数的定义域能够是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．

答案C

3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )．

解析根据函数的定义，观察得出选项B.

答案 B

4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

|lg x |，0

2x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是

( )．

A ．(1,10)

B ．(5,6)

C ．(10,12)

D ．(20,24)

解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a

∴lg a ＝－lg b ，即lg a ＝lg 1b ⇒a ＝1

b ， ∴ab ＝1,10

c ＝c <12.故应选C. 答案 C

5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨

⎧

a ，a －

b ≤1，

b ，a －b ＞1.

设函数f (x )＝(x 2

－

2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )． A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，32

B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－34

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

14，＋∞

D.⎝

⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫14，＋∞ 解析 当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤3

2时，f (x )＝x 2－2；

当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞3

2

时，f (x )＝x －x 2，

∴f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

－2

⎝

⎛

⎭⎪⎫－1≤x ≤32，

x －x 2

⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，

f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－3

4

.

答案 B

6.设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数的图象为（ ）

解析 注意本题中选择项的横坐标为小王从出发到返回原地所用的时间，纵坐标是经过的路程，故选D. 答案 D 二、填空题

7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，

x 1 2 3 f (x )

1 3 1

x 1 2 3 g (x )

3

2

1

则f [g (1)]的值为的值是________． 解析 ∵g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1，由表格能够发现g (2)＝2，f (2)＝3，∴f (g (2))＝3，g (f (2))＝1. 答案 1 2

8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围

是________．

解析 由题意有⎩⎨⎧ 1－x 2>0，

2x <0或⎩⎨⎧

1－x 2>2x ，2x ≥0解得－1

所求x 的取值范围为(－1，2－1)． 答案 (－1，2－1)

9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)= 2log f(x)的定义域是______.

解析 要使函数有意义，须f(x)＞0，由f(x)的图象可知, 当x ∈(2,8］时，f(x)＞0. 答案 (2,8］

10．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称

f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；

②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；