沪教版八年级 一次函数与四边形综合,带答案

1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；

2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．

（此环节设计时间在10-15分钟）

教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。

1． 已知点A 、B 、C 、D 可以构成平行四边形，且点A （－1，0），点B （0，3），点C （3，0），则第四个顶

点D 的坐标为_________________________；

参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；

2．已知一次函数3

34

y x =-

+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，如果点C 在y 轴上，存在点D 使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．

x

y B

C

A O

x

y

D 2

D 3

D 1

B

C

A O

y

参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；

（此环节设计时间在50-60分钟）

例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．

参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+， ∴1221,2k k =+=

；∴直线AC 的表达式为1

12

y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +），

∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．

∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴222

(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．

∴2

1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）．

∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）．

例题2：已知：直线3

64

y x =-

+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。点C 的坐标为（0，—2）

，线段AB 上有一动点P ，过点C 、P 作直线l 。

（1）如图，当PB ＝PC 时，求点P 的坐标；

（2）在（1）的条件下，平面直角坐标系内是否存在这样的点Q ，使以P 、B 、C 、Q 四个点为顶点的四边形

x

y B

A

O

E A O

x y

B

C

D

此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

1．如图，一次函数24y x =+的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；

（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标．

参考答案：（1）过点D 作x 轴的垂线，垂足为点E ．

由函数24y x =+，当y = 0时，得x = -2， 即得点A 的坐标为A （-2，0）． 当x = 0时，得y = 4，即得点B 的坐标为B （0，4）． 由正方形ABCD ，可证得△ADE ≌△BAO ．

∴DE = OA = 2，AD = BO = 4，即得OE = 2． ∴点D 的坐标为D （2，-2）．

（2）由A （-2，0），B （0，4），得22

2425AB =+=．

当△ABM 为等腰三角形时，得AB = AM 或AB = BM 或AM = BM ．

当AB = AM 时，得25AM =，

所以点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）． 当AB = BM 时，由OB ⊥AM ，得OM = OA = 2． 所以点M 的坐标为M 3（2，0）． 当AM = BM 时，即得 AM 2 = BM 2． 设点M 的坐标为（x ，0）．

利用两点间的距离公式，得 2

2

2

(2)4x x +=+． 解得 x = 3．得点M 的坐标为M 4（3，0）．

所以，所求点M 的坐标为M 1（252-，0）、M 2（252--，0）、 M 3（2，0）、M 4（3，0）．

x

y

C

D

B

A

O

2．如图，一次函数3

3

y x b =

+的图像与x 轴相交于点A （53，0）

、与y 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标及∠ABO 的度数；

（2）如果点C 的坐标为（0，3），四边形ABCD 是直角梯形，求点D 的坐标．

参考答案：（1）∵点A （53，0）在一次函数3

3

y x b =

+的图像上， ∴3

053,53

b b =

⨯+=-； ∴点B 的坐标为(0,5)-． ∵∠AOB =90º，OB =5，OA =53， ∴AB =22752510AO OB +=+=，

∴∠OAB =30º，∠ABO =60º．

（2）当AD //BC 时，∠BCD =∠ADC =90º，点D （53,3）．

当CD //AB 时，∠BAD =∠ADC =90º，

过点D 作DH ⊥OA ，DH 与OA 、AB 分别交于点HE ，∴DE //BC ，∴DE =BC =8． ∴∠AED =∠ABC =60º，∠ADE =30º，∴AE =4，AD =43， ∴AH =23，OH =33，DH =6，∴点D （33,6）． ∴点D 的坐标为（53,3）或（33,6）．

（此环节设计时间在5-10分钟内）

让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾

x

y A

C B

O