第4讲 二元一次方程及应用
第4讲 方程及应用
第4讲 方程及其应用限时计算能力训练：（1）4213301120912765211-+-+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++947511311673198（3）1999199819981998÷ （4）21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯一、解一元一次方程例1：503045x x+=； 练习1：115514464030x x --+=例2：)843(1385314-=+x x ）（ 100)1540(101191=-+x x练习2：）（231-x =）（2052-x 2870)1018(521853=-⨯+⨯x x例3：11810365741=⨯-÷÷）（x 31121487431=⨯-÷÷）（x练习3：5261651=+÷）（x 833243531=⨯-÷÷）（x例4：52221+-=--y y y 261312=+-+x x练习4：432128-12-+=+x x 31819615xx x --+=+ 例5：51174205x x +=-； 练习5：3115312=--x x例6：2%)20(2x x x =-+）（ 练习6：(3)( 1.2)(2)x x x x -⋅+=-巩固练习：（1）10(47)3(1212)216x x x ---=-； （2）38115923x x =⨯+；（3）21(300)54x x =+⨯； （4）31(2010)(10)5103x x +-⨯=-⨯+；（5）11(770)501910x x +-=； （6）1601160235x x+=； （7）4696-3154=++x x （8）2144312=-÷）（x（9）31821125322-=-÷）（x x （10）801132127--+=x x x（11）319521⨯-=）（x x （12）x x -=⨯-1313821）（（13）2100280051)2800(x 41-=⨯-+x （14） 9519-21-=⨯x x ）（（15）)104(5107-=+x x ）（ （16）x 1036x 152x 152=++（16）)10(431030-x 54-=+x （18）7-1269261）（x x -=二、解二元一次方程组例1、⎩⎨⎧=+=+1341632y x x x练习：用代入法解下面各方程组①3102x y x y -=⎧⎨=⎩ ②44323x y x y -=⎧⎨+=⎩③613.543 3.5x y x y +=⎧⎨-=⎩ ④21237x y x y +=⎧⎨-=⎩例2、⎩⎨⎧=+=-13272y x y x例3、⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x1. 用消元法解下列方程组①32135217x y x y +=⎧⎨+=⎩ ②3428211x y x y +=⎧⎨+=⎩③37334222x y x y +=⎧⎨+=⎩ ④35399266x y x y +=⎧⎨-=⎩三、方程的应用例1 某中学高中生人数是初中生人数的65，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的1712。
二元一次方程组的应用优秀课件PPT
代入法
利用已知方程的解，代入 另一方程求得另一未知数 的值。
消元法
通过加减乘除等运算将未 知数的系数降为1，从而 求得未知数的值。
二元一次方程组的应用
求两个数的和与积
通过已知两个数的和与积，求出两个数的值。
求两个数的差与商
通过已知两个数的差与商，求出两个数的 值。
租房的问题
道谢并结束PPT呈现
谢谢大家的聆听，祝您学习愉快，加油！
二元一次方程组的应用优 秀课件PPT
本课件旨在介绍二元一次方程组的基本概念、解法和应用。通过图解、代入 和消元法等多种方法，深入浅出地让学生掌握方程组的解法和应用优势。
什么是二元一次方程组
定义
由两个未知数和两个方程组成的方程组。
基本概念
包括系数、未知数、等式、解等概念。
二元一次方程组的解法
பைடு நூலகம்
图解法
通过已知房租总额和房间数量，求解每个房间 的租金。
买苹果的问题
已知苹果数量和总价格，求单价以及苹果 的购买数量。
二元一次方程组与几何图形的关系
直线方程
一元一次方程的解可表示在二 维坐标系上的一条直线。
两条直线的交点
同时满足两条直线方程的点为 两线的交点。
两条直线是否平行
两条直线的斜率相等，则这两 条直线平行。
课后练习及答案解析
练习题覆盖了各种类型的二元一次方程组求解题目，让学生可以巩固所学知 识。
引导学生进一步学习的推荐资源
推荐一些网站、教材和书籍，供学生进一步学习和深入了解二元一次方程组。课程结束后，老师可以继 续与学生交流讨论。
Q&A交流时段
在此时段，学生可以提出问题并与老师和同学进行交流讨论。附上老师的联 系方式和课程网址。
二元一次方程的解法及应用
二元一次方程的解法及应用一、二元一次方程的定义与性质二元一次方程又被称为两个变量的一次方程，形如 ax + by = c，其中 a、b、c 为已知实数，且 a 和 b 不同时为零。
方程中的 x 和 y 分别表示变量，a、b、c 为方程中的系数。
解决二元一次方程的问题，主要是要找到使方程成立的 x 和 y 的值。
二、二元一次方程的解法解二元一次方程可以利用以下几种方法：1. 消元法消元法是解二元一次方程最常用的方法之一。
步骤如下：a. 通过适当的方法将方程组化简为两个只含有一个变量的方程；b. 将得到的只含有一个变量的方程通过解一元一次方程的方法求解；c. 将所求得的变量的值代入其中一个方程，求解出另一个变量的值；d. 将所求得的 x 和 y 的值代入原方程组中，验证其是否满足。
2. 替换法替换法是另一种常用的解二元一次方程的方法。
步骤如下：a. 在方程组中选取一个方程，通过其中一个变量消去另一个变量；b. 将所消去的变量代入另一个方程，得到一个只含有一个变量的方程；c. 解这个只含有一个变量的方程；d. 将所求得的变量的值代入原方程组中，验证其是否满足。
三、二元一次方程的应用二元一次方程在实际问题中有广泛的应用，主要涉及到以下几个方面：1. 几何问题二元一次方程可以用于解决几何问题，如平面几何中的线段相交、角平分线等问题。
通过将问题转化为方程，可以求解出满足条件的点，从而解决几何问题。
2. 代数问题二元一次方程可以用于解决代数问题，如求解两个数之和为某个值，两个数之差为某个值等。
将问题转化为方程组，可以求解出使方程成立的变量的值，从而解决代数问题。
3. 经济问题二元一次方程可以用于解决经济问题，如销售利润、成本收入等问题。
通过建立方程组，可以求解出满足条件的变量的值，从而解决经济问题。
4. 物理问题二元一次方程可以用于解决物理问题，如速度、加速度等问题。
将问题转化为方程组，可以求解出满足条件的变量的值，从而解决物理问题。
二元一次方程教案
二元一次方程教案二元一次方程教案引言：二元一次方程是初中数学中的重要内容之一，也是学生学习代数的基础。
通过学习二元一次方程，学生可以培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
本教案将介绍二元一次方程的基本概念、解法和应用，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、基本概念1. 什么是二元一次方程？二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，其一般形式为：ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
2. 二元一次方程的解集二元一次方程的解集是满足方程的有序数对(x, y)的集合。
解集可以是无穷多个解，也可以是空集。
二、解法1. 消元法消元法是解二元一次方程的一种常用方法。
通过消去其中一个未知数，将方程化简为一元一次方程，然后求解得到另一个未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种解二元一次方程的方法。
通过将一个未知数的值代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一元一次方程，然后求解得到该未知数的值，再代入到另一个方程中求解另一个未知数的值。
三、应用1. 几何问题二元一次方程可以用来解决几何问题，如求两条直线的交点坐标、求两个平面的交线等。
通过建立方程，可以将几何问题转化为代数问题，从而求解。
2. 实际问题二元一次方程也可以用来解决实际问题，如物品的价格与数量之间的关系、两个人同时从不同地点出发相向而行的问题等。
通过建立方程，可以求解未知数的值，得到实际问题的解。
结论：通过学习本教案，学生可以掌握二元一次方程的基本概念、解法和应用。
同时，通过解决几何问题和实际问题，学生可以提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
二元一次方程是数学中的重要内容，对学生的数学学习和应用能力的培养具有重要意义。
希望学生能够认真学习，并能够灵活运用二元一次方程解决实际问题。
《二元一次方程和它的解》 讲义
《二元一次方程和它的解》讲义在数学的世界里，方程就像是一把神奇的钥匙，帮助我们解开各种各样的谜题。
今天，咱们就来聊聊二元一次方程以及它的解。
首先，什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。
一般形式可以写成：ax ＋ by ＝ c，其中 a、b、c 是常数，而且 a 和 b 都不能等于 0。
比如说，2x ＋ 3y ＝ 8 就是一个二元一次方程。
这里的 x 和 y 就是两个未知数，2 和 3 分别是 x 和 y 的系数。
那二元一次方程的解又是什么呢？二元一次方程的解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值。
咱们还是以 2x ＋ 3y ＝ 8 为例。
如果 x ＝ 1，y ＝ 2，把它们代入方程中，左边＝ 2×1 ＋ 3×2 ＝ 2 ＋ 6 ＝ 8，右边也是 8，左边等于右边，所以 x ＝ 1，y ＝ 2 就是这个方程的一组解。
但是要注意哦，二元一次方程往往有无数组解。
为什么呢？因为我们可以通过变形来找到不同的解。
比如从 2x ＋ 3y ＝ 8 中解出 y，得到：y ＝（8 2x) ／ 3 。
然后我们可以给 x 取不同的值，计算出对应的 y 值，这样就能得到一组一组的解。
比如当 x ＝ 2 时，y ＝（8 2×2) ／ 3 ＝（8 4) ／ 3 ＝ 4 ／ 3 。
当 x ＝－1 时，y ＝（8 2×（－1)）／ 3 ＝（8 ＋ 2) ／ 3 ＝ 10 ／3 。
所以，只要给定一个 x 的值，按照方程就能算出一个对应的 y 值，从而得到一组解。
那怎么求二元一次方程的解呢？通常有两种方法，一种是代入消元法，另一种是加减消元法。
咱们先来说说代入消元法。
还是以这个方程为例：2x ＋ 3y ＝ 8 ①，x y ＝ 1 ②。
从方程②可以得到 x ＝ y ＋ 1 ，然后把 x ＝ y ＋ 1 代入方程①中，得到：2(y ＋ 1) ＋ 3y ＝ 8 ，展开括号：2y ＋ 2 ＋ 3y ＝ 8 ，合并同类项：5y ＋ 2 ＝ 8 ，移项：5y ＝ 6 ，解得：y ＝ 6 ／ 5 。
二元一次方程及应用
初中二元一次方程知识点大全知识点1二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
注：1。
①方程中有且只有一个未知数。
②方程中含有未知数的项的次数为1。
③方程为整式方程。
（三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.①含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若ax m+by n=c 是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1例1：下列方程中是二元一次方程的是（）A．3x-y2=0 B．2x+1y=1 C．3x-52y=6 D．4xy=3例2 ：已知关于x,y的二元一次方程（2m-4)x -3 +(n+3)y|n|-2 =6,求m,n的值知识点2二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组（不必记）注：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
例1下列方程组中，是二元一次方程的是（）①228 423119 (23754624)x yx y a b xB C Dx y b c y x x y+= +=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩知识点3方程的解的定义：使方程左右两边的值相等的未知数的值。
方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。
例1已知12xy=⎧⎨=-⎩是关于x,y的二元一次方程组2635ax yx by-=⎧⎨-=-⎩的解，求２a+b的值．m2例２已知方程组44ax y -=⎧⎨⎩，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为26x y =-⎧⎨=⎩，， 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44.x y =-⎧⎨=-⎩，若按正确的a 、b计算，求原方程组的解．知识点４求二元一次方程的特殊解例２：求二元一次方程2x+5y=30的①正整数解．②非负整数解方法：１、从系数最大（绝对值最大）的未知数从小到大开始取值，并求出相应的另一未知数的值，直至另一未知数不再有符合条件的对应值为止。
二元一次方程组的应用--4课时
5. 工程问题 一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1 的工程问题。 工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作 时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。 6. 行程问题 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间、 顺水速度=船速+水速、逆水速度=船速-水速。 （2）基本类型有 ① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行 船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走 的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画 草图来分析，理解行程问题。
例5.为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为 获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决 定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则 需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．
（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？
（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超 过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买支钢笔需要花元，
2.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去 买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一 杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 3.为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动。某家电公司销售 给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台， 启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分 别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售 出1228台。 （1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰 箱分别为多少台？ （2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999 元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13% 给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农 户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果 保留2个有效数字）？
二元一次方程
二元一次方程二元一次方程是数学中常见的一种代数方程，由两个未知数和一次项组成。
其一般形式可以表示为ax + by = c，其中a、b和c为已知数，x和y为未知数。
解二元一次方程的主要目标是求出x和y的值，使得方程成立。
解二元一次方程可以通过多种方法进行，下面将介绍两种常用的解法。
一、代入法：1. 将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数。
例如，假设我们将x表示为y的函数：x = f(y)。
2. 将得到的表达式代入原方程，得到只含有一个未知数的一元一次方程。
将这个一元一次方程求解，得到一个未知数的值。
3. 将求得的未知数的值带入第一步中得到的表达式，计算出另一个未知数的值。
4. 将求得的两个未知数的值带入原方程，验证方程是否成立。
二、消元法：1. 将方程两边进行合并，使得x的系数与y的系数相等或者倍数关系。
2. 通过消去x的系数或者y的系数，得到只含有一个未知数的一元一次方程。
3. 求解得到一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入原方程中，求解另一个未知数。
5. 将求得的两个未知数的值带入原方程，验证方程是否成立。
解二元一次方程的关键是找到合适的解法，并且按照正确的步骤进行计算。
通过代入法或者消元法，我们可以解得方程的唯一解、无解或者无穷解。
总结起来，解二元一次方程的步骤如下：1. 确定方程的类型，判断是一元一次方程还是二元一次方程。
2. 选择合适的解法，代入法或者消元法。
3. 按照所选解法的步骤，逐步计算得到未知数的值。
4. 验证求得的解是否满足原方程。
需要注意的是，在解二元一次方程时，我们要观察方程中的系数和常数项之间的关系，根据不同的情况选择合适的解法。
同时，对于复杂的方程，可以利用化简或使用计算工具辅助求解。
解二元一次方程是数学学习中的基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
掌握了解二元一次方程的方法和技巧，能够更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。
二元一次方程应用
步骤4
将求得的未知数值代回原 方程，求得另一个未知数 的值。
加减消元法
通过两个方程的加减，消 去一个未知数，得到一元 一次方程进行求解。
求解方法及步骤
步骤1
步骤2
步骤3
将两个方程整理成相同 未知数的系数相等或互
为相反数的形式。
通过加减消去一个未知 数，得到一元一次方程。
效率之间的关系，通过求解方程可以得到完成工程所需的时间、人数等
问题。
03
浓度问题
在浓度问题中，二元一次方程可以用来表示溶液的浓度、溶质的质量和
溶剂的质量之间的关系，通过求解方程可以得到溶液的浓度、溶质的质
量等问题。
02 图形与图像在二元一次方 程中
平面直角坐标系表示法
平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角 坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向 ；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标 轴的交点为平面直角坐标系的原点。
点斜式
已知直线l的斜率为k，且过点(x0,y0)，则直线l的方程可表示为y-y0=k(x-x0)，其中k是直线 的斜率，(x0,y0)是直线上的一点。该式叫做直线的点斜式。
斜率截距式与点斜式的转换方法
首先，将斜率截距式y=kx+b中的x和y分别用(x-x0)和(y-y0)替换，得到y-y0=k(x-x0)+b-y0。 然后，将等式右边的b-y0移到等式左边，得到y-y0=k(x-x0)，即为点斜式。
性质
二元一次方程具有线性性质，即 方程中每一项都是常数或未知数 的一次幂的乘积。
求解方法及步骤
01
02
03
八年级数学上册数学课件《二元一次方程组及应用》
X+Y=100 和
X+2Y=160
星期天，我们8 个人去温州动 物园玩，买门 票花了34元。 若设他们中有 x个成人,y个 儿童.由此你 能得到怎样的 方程?
每张成人票5元， 每张儿童票3元。 他们到底去了 几个成人、几 个儿童呢？
星期天，我们8个人去温州动物园玩，买门票花了 34元.每张成人票5元，每张儿童票3元。他们到底 去了几个成人、几个儿童呢？若设他们中有x个成 人,y个儿童.由此你能得到怎样的方程? 可以得到方程:X+Y=8和5X+3Y=34 • 想一想:上面我们所列方程各含有几个未知数? 含未知数的次数是多少?与一元一次方程比较有 什么不同? X-Y=2 X+1=2(Y-1) . X+Y=100 X+2Y=160. X+Y=8 5X+3Y=34
解：设笼中有鸡x只，有兔y只. 由题意可得： x+y=35， 2x+4y=94. x=23, 解此方程组得： y=12. 答：笼中有鸡23只、兔12只. 列方程解应用题步骤 1· 审题 (找等量关系）2· 设未知数 3· 列方程 4· 解方程 5· 检验，作答 关键：找等量关系、列方程
以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺； 若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？
x
…
y
…
二元一次方程组中各个方程的 公共解,叫做 这个二元一次方程组的解.
x = 5, 就是二元一次方程组 y = 3. x +Y= 8, 的解.
例如
5X+பைடு நூலகம்y = 34.
1、下面4组数值中，哪些是二元一次 方程2x+y=10的解？ x = -2 x=3 x=6 x=4 (1) (4) (2) (3) y=6 y=4 y = -2 y=3
二元一次方程讲课逐字稿
二元一次方程讲课逐字稿好的，以下是关于二元一次方程的讲课逐字稿。
各位同学，大家好。
今天我们来学习二元一次方程。
二元一次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
下面我们从二元一次方程的定义、解法、应用三个方面来展开学习。
一、二元一次方程的定义首先，我们来看二元一次方程的定义。
二元一次方程是指含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程。
例如：x + y = 52x - 3y = 6这两个方程都含有两个未知数x和y，且x和y的次数都是1，所以它们都是二元一次方程。
二、二元一次方程的解法接下来，我们来学习二元一次方程的解法。
常用的解法有代入法和加减法。
1. 代入法：先从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，然后将这个表达式代入另一个方程，从而得到一个一元一次方程，解出这个一元一次方程后，再代入原方程求出另一个未知数。
2. 加减法：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出这个一元一次方程后，再代入原方程求出另一个未知数。
下面我们来看一个例题：x + y = 72x - y = 1我们可以用加减法来解这个方程组。
将第一个方程乘以2，然后与第二个方程相加，得到：3x = 15x = 5将x=5代入第一个方程，得到：5 + y = 7y = 2所以这个方程组的解为x=5，y=2。
三、二元一次方程的应用最后，我们来看二元一次方程的应用。
二元一次方程可以解决很多实际问题，例如：1. 行程问题：已知速度和时间，求路程。
2. 工程问题：已知工作效率和工作时间，求工作总量。
3. 几何问题：已知线段长度和角度，求其他线段长度或角度。
同学们可以在生活中多观察，发现可以用二元一次方程解决的问题，提高自己的数学应用能力。
本节课我们学习了二元一次方程的定义、解法和应用。
希望大家能够掌握二元一次方程的相关知识，提高自己的数学素养。
今天的课就上到这里，同学们再见。
二元一次方程的课件
03 二元一次方程的应用
代数问题中的应用
代数方程组的求解
二元一次方程是代数方程组的重要组成部分，通过消元法、代入法等方法，可以 求解代数方程组，得出未知数的值。
代数不等式的求解
将代数不等式转化为等式形式，再利用二元一次方程的求解方法，可以求解代数 不等式。
几何问题中的应用
面积和体积的计算
利用二元一次方程表示几何图形，可以方便地计算面积和体 积等几何量。
坐标系中的轨迹问题
在平面直角坐标系中，二元一次方程表示一条直线，通过研 究直线的性质，可以解决一些轨迹问题。
实际生活问题中的应用
购物问题
在购物时，常常需要比较不同商品的 价格和优惠活动，利用二元一次方程 可以建立数学模型，帮助消费者做出 最优选择。
交通问题
在交通领域中，如路线规划、时间安 排等方面的问题，也可以通过建立二 元一次方程进行求解。
详细描述：基础练习题主要针对二元一次方程的基本概念和解题方法进行训练， 包括方程的建立、解的求解以及实际应用等。这些题目难度较低，适合初学者进 行练习，以加深对基础知识的理解和掌握。
提升练习题
总结词：能力提升
详细描述：提升练习题是在基础练习题的基础上，进一步提高解题难度和能力要求。这些题目可能涉 及到更复杂的方程组、更灵活的解题技巧以及更多的实际应用场景。通过这些题目的练习，可以提高 学生的解题能力和思维灵活性。
二元一次方程的课件
汇报人：
2024-01-06
目录
CONTENTS
• 二元一次方程的定义和形式 • 二元一次方程的解法 • 二元一次方程的应用 • 二元一次方程的解的讨论 • 练习与巩固
01 二元一次方程的定义和形 式
二元一次方程的定义
第四章_二元一次方程_讲义1
慧学教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：七年级 学科教师：谢老师 授课日期及时段课 题二 元 一 次 方 程重点、难点、考点1、二元一次方程的基本解法2、二元一次方程的应用学习目标1、了解二元一次方程的基本概念和解法2、知道如何运用二元一次方程解题教学内容第四章 二元一次方程组4.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
【练习题1】1、下列方程是二元一次方程的是（ ）A ．x 2+x=1 B ．2x+3y-1=0 C ．x+y-z=0 D ．x+1y+1=0 2、下列各组数值中是方程x-2y=4的解的是（ ） A ．2104 (1)121x x x x B C D y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩ 3、方程x+4y=1，x 2+y=1，y+z=0，x ·y=1，3x y+=2y 中，二元一次方程共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、由32x y-=1可以得到用x 表示y 的式子的是（ ） A ．y=223x - B ．y=23x -13 C ．y=23x -2 D ．y=2-23x5、已知12x y =⎧⎨=-⎩是二元一次方程x+ky=9的一个解，求k 的值，并检验13x y =-⎧⎨=-⎩是不是这个方程的解．6、已知方程4a+3b=16．（1）用关于a 的代数式表示b ； （2）求当a=-2，0，1时，对应的b 值，并写出方程4a+3b=16的三个解．4.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
【练习题2】1、下列方程中，属于二元一次方程组的是 （ ）A ．22816581 (35927)23x y x y x y y B C D xxxy y x y x y -=⎧⎧-=+=⎧+=⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎪⎪-=⎩⎩ 2、解为12x y =⎧⎨=⎩的方程组是 （ ）A ．11323 (35353135)x y x y x y x y B C D x y x y x y x y -=-=-=-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+===--=+=⎩⎩⎩⎩ 3、方程3x+4y=16与下面哪个方程所组成的方程组的解是41x y =⎧⎨=⎩（ ）A ．12x+3y=7 B ．3x-5y=7 C ．14x-7y=8 D ．2（x-y ）=3y 4、方程组125x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．1212...2121x x x x B C D y y y y =-===⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎩⎩5、小珍用12.4元恰好买了单价为0.8元和1.20元两种贺卡共12张，•则其中单价为0.8元的贺卡有（ ） A ．5张 B ．7张 C ．6张 D ．4张6、已知下列五对数值：（ ）（1）80104121(2)(3)(4)(5)106131x x x x x y y y y y =-====-⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩⎩① 哪几对数值是方程12x-y=6的解？ ② 哪几对数值是方程2x+31y=-11的解？③ 指出方程组16223111x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解．①②①②7、某班花了50元钱购买笔和讲义夹，每支笔6元，每个讲义夹4元，设买笔x 支，买讲义夹y 个，试用列表尝试法求出x 、y 的值．4.3解二元一次方程组① 消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。
教学案精编二元一次方程组及其应用
二元一次方程【知识点归纳】： 1、二元一次方程含有 个未知数，并且 的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的 解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系： （1）一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解 （2）一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组⎩⎨⎧a 1x+b 1y=c 1a 2x+b 2y=c 2的解可看作两个一次函数 y=- a 1b 1x 1+ c 1b 1和y=- a 2b 2x 1+ c 2b 2的图象的交点。
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解. 【基础训练】1．已知⎩⎨⎧x=3y=5是方程ax －2y ＝2的一个解,那么a 的值是 ．2．已知2x －3y ＝1，用含x 的代数式表示y ，则y ＝ ，当x ＝0时，y ＝ ．3．二元一次方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2,102的解是( )．（A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x （D ）⎩⎨⎧==.2,4y x4．已知y ＝kx ＋b ．如果x ＝4时，y ＝15；x ＝7时，y ＝24，则k ＝ ；b ＝ ．5、下列方程中，是二元一次方程的是（ ） 6．用加减消元法解方程组358752x y x y -=⎧⎨+=⎩，将两个方程相加得（ ）A ．3x=8B ．7x=2C ．10x=8D ．10x=107．用加减消元法解方程组231354y x x y +=⎧⎨-=-⎩，①－②得（ ）A ．2y=1B ．5y= 4C ．7y =5D ．－3y = －38．如果2,3x y =⎧⎨=⎩是方程组 ,2.x y m x y n +=⎧⎨-=⎩的解，则m = , n = 。
七年级上册 数学 课件 3.4 二元一次方程组的应用
代入 消元
70 2y 4y 94,
2y 24,
y 12.
把y=12代入①，得x=23. 答：有鸡23只，有兔12只.
解：设鸡为x 只,兔为y 只.则
x+y=35，
①
2x+4y=94.
②
①×2 得： 2x+2y=70， ③ ②-③ 得： 2y=24，
y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23. 原方程组的解是 x=23,
依题意得
x+y=10 2x+y=18
x=8 解得: y=2
答：２米的应取８段，1米的应取２段。
“一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题，而 一切代数问题又都可以转化为方程问题， 因此，一旦解决了方程问题，一切问题将 迎刃而解!”
——法国数学家 笛卡儿[Descartes, 1596-1650 ]
3.4 二元一次方程组的应用
《孙子算经》
是我国古代一部 较为普及的算书, 许多问题浅显有 趣,其中下卷第31 题“鸡兔同笼”流 传尤为广泛,飘洋 过海流传到了很 多国家.
“鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?
此题的大意是：现有若干只鸡和兔关在 同一笼子里，从上面数，有35个头，从 下面数，有94条腿，问：笼中各有几只 鸡和兔？
x+y=5000 ①
依题意得
x/10+y/5=900 ②
解得: x=1000 m
y=4000 m
答：自行车路段的长度为1km，长跑 路段的长度为4km。
列二元一次方程组解应 用题的步骤是什么？
（1）审题（重点语句的理解）； （2）设两个未知数，找出两个等量关系； （3）根据等量关系列方程，联立方程组； （4）解方程组得出未知数的值； （5）检验并作答.
二元一次方程应用
二元一次方程应用
二元一次方程是一个有两个未知数的一次方程。
这个方程通常是以两个未知数的系数和常数项来表示。
在实际生活中，我们可以利用二元一次方程来解决各种问题。
举例来说，假设有两个未知数分别代表小明和小华的年龄，我们可以通过以下方程来表示他们的年龄关系：x + y = 40。
其中，x代表小明的年龄，y代表小华的年龄，40代表他们两人年龄的总和。
通过解这个方程，我们可以得到小明和小华的年龄。
除此之外，二元一次方程还可以应用于两个物体的运动问题。
举例来说，假设一个物体从地面上抛出，并以一个初始速度v0上升，同时另一个物体从空中下落，并以一个初始速度v1下降。
它们在某一时刻相遇，并且到相遇时它们的高度分别是h0和h1。
我们可以利用以下方程来描述这个物体的运动：v0t - 1/2gt^2 = h0，以及v1t +
1/2gt^2 = h1。
其中，t代表相遇时刻，g代表重力加速度。
通过解这个方程组，我们可以得到物体的运动参数以及相遇的时刻。
总之，二元一次方程在实际生活中有着广泛的应用。
它可以帮助我们解决年龄关系、运动问题等各种实际情况下的方程。
五年级二元一次方程
五年级二元一次方程一、二元一次方程的定义。
1. 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
- 例如：x + y = 5，这里x和y是两个未知数，x的次数是1，y的次数也是1，而且整个方程是整式方程。
2. 一般形式为ax+by = c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。
二、二元一次方程的解。
1. 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
- 对于方程x + y = 5，当x = 1，y = 4时，方程左边=1 + 4=5，方程右边= 5，所以x = 1 y = 4是方程x + y = 5的一组解。
- 二元一次方程有无数组解。
因为对于x+y = 5，如果x = 0，则y = 5；如果x = 2，则y = 3等等。
三、解二元一次方程组（五年级初步接触简单的方法）1. 代入消元法。
- 概念：将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
- 例如：对于方程组y = x+1 x + y = 5- 把y=x + 1代入x + y = 5中，得到x+(x + 1)=5。
- 展开式子得x+x+1 = 5，即2x+1 = 5。
- 移项可得2x=5 - 1，2x = 4，解得x = 2。
- 把x = 2代入y=x + 1，得y=2 + 1=3。
- 所以方程组的解是x = 2 y = 3。
2. 加减消元法（在五年级可能是较为简单的形式）- 概念：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
- 例如：对于方程组x+y=5 x - y = 1- 把这两个方程相加，(x + y)+(x - y)=5 + 1。
- 得到2x=6，解得x = 3。
- 把x = 3代入x + y = 5，得3+y = 5，解得y = 2。
- 所以方程组的解是x = 3 y = 2。
二元一次方程及其应用单元讲义
＝
2.实际问题向数学问题的转化：
3.设未知数有两种设元方法——直接设元、间接设元.
当直接设元不易列出方程时，用间接设元.在列方程(组)的过程中，关键寻找出“等量关系”设元，还是间接设元
、假定每人的工作效率都相同，如果个人天做个玩具熊，那么个人做
二、年龄问题
例1、学生问老师：“您今年多少岁了？”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？
例2、甲乙两人在聊天，甲对乙说："当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。
”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。
”你能算出他们两人各几岁吗？
练习1、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？
三、分配问题
例1、一级学生去饭堂开会,如果每4人共坐一张长凳,则有28人没有位置坐,如果6人共坐一张长凳,求初一级学生人数及长凳数.
例2、运往灾区的两批货物，第一批共480吨，用8节火车车厢和20辆汽车正好装完；第二批共运524吨，用10节火车车厢和6辆汽车正好装完，求每节火车车厢和每辆汽车平均各装多少吨？。
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第四讲 二元一次方程及其应用限时计算能力训练：（1）4213301120912765211-+-+- （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++947511311673198（3）1999199819981998÷ （4）21171171311391951511⨯+⨯+⨯+⨯+⨯一、知识点睛：(一)列方程解应用题的主要步骤⒈ 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；⒉ 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量； ⒊ 找到题目中的等量关系，建立方程； ⒋ 解方程；⒌ 通过求到的关键量求得题目最终答案．（二）解二元一次方程代入消元法：可以将一个方程写成“x=多少的形式”代入另一个方程，求出另一个未知数，再计算消掉的未知数。
加减消元法：构造一个未知数相等的量，然后用加法或减法将这个未知数消掉，求出另一个未知数，再计算消掉的未知数；二、例题讲析一、解一元一次方程例1：求分母的最小公倍数去分母：503045x x +=； 练习：115514464030x x --+=例2：求分母的最小公倍式去分母：27092708(120%)xx x-+=+；例3：根据等比性质去分母：51174205xx+=-；练习：3115312=--xx例4：根据多项式乘多项式去括号；2%)20(2xxx=-+）（练习：(3)( 1.2)(2)x x x x-⋅+=-巩固练习一：（1）10(47)3(1212)216x x x---=-；（2）3811 5923x x=⨯+；（3）21(300)54x x =+⨯；； （4）31(2010)(10)5103x x +-⨯=-⨯+；（5）11(770)501910x x +-=； （6）1601160235x x +=；二、解二元一次方程组例1、代入消元法解方程组⎩⎨⎧=+=+1341632y x x x练习：用代入法解下面各方程组①3102x y x y -=⎧⎨=⎩ ②44323x y x y -=⎧⎨+=⎩③613.543 3.5x y x y +=⎧⎨-=⎩ ④21237x y x y +=⎧⎨-=⎩例2、加减消元法解方程组⎩⎨⎧=+=-13272y x y x例3、加减消元法解方程组⎩⎨⎧=+=+17431232y x y x1. 用消元法解下列方程组①32135217x y x y +=⎧⎨+=⎩ ②3428211x y x y +=⎧⎨+=⎩③37334222x y x y +=⎧⎨+=⎩ ④35399266x y x y +=⎧⎨-=⎩三、方程的应用例1 商贸服务公司为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购物品收取2%的服务费，今有一客户委托公司出售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共扣取客户服务费300元，客户恰好收支平衡，问所购置的新设备话费多少元？巩固练习一1. 服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进A 种型号的服装9件，B 种型号的服装10件，需要1810元；若购进A 种型号的服装12件，B 种型号的服装8件，需要1880元。
A 、+两种型号的服装各多少元？2. 小萱的妈妈在菜市场买回3斤萝卜和2斤排骨，准备做萝卜排骨汤。
妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同样重量的这两样菜只要36元。
”爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%。
”那么今天买的萝卜和排骨的单价各是多少元？3. 某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班男女生各多少人？例2 一辆汽车从甲地到乙地，如果每小时比计划多走15千米，则可节约20%的时间；如果每小时比计划少走15千米，则要迟到1小时。
甲、乙两地相距多少千米？巩固练习二1. 吃车从A 地到B 地，如果速度比预定的每小时慢10千米，达到时间将比预定的多20%；如果速度比计划提高41，则可提前1小时到达。
A 、B 两地相距多少千米？2. 一辆汽车从甲地到乙地，如果速度比预定的每小时快15千米，可节省72的时间；如果速度比预定的减少41，将比预定的到达时间推迟1.2小时。
甲、乙两地之间的路程是多少千米？3. 一辆汽车从甲地开往乙地。
如果把车速提高91，那么要比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶162千米，再把速度提高61，也比原定时间提前1小时到达。
甲、乙两地相距多少千米？例3： 学校买来11根跳绳和9个皮球共用去69元，又买了同样的7根跳绳和3个皮球共用去33元，每根跳绳和每个皮球各多少元？巩固练习三1、7袋大米和4袋面粉共重1640千克，3袋大米和6袋面粉共重1560千克，每袋大米和每袋面粉各重多少千克？2、甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个．问：甲每时加工多少个零件？例4：有一块菜地和一块麦地，菜地的21和麦地的31放在一起是27公亩．麦地的21和菜地的31放在一起是23公亩。
那么，菜地和麦地各是多少公亩？巩固练习四1、某校文艺队，女生的31与男生的51共18人，而女生的51与男生的31共14人.问男、女生各有多少人？2、小明有一些科技书和故事书，其中科技书的41与故事书的51共22本，科技书的51与故事书的41共23本，故事书有多少本？例5：有两堆棋子，甲堆有白子50个，黑子20个；乙堆有白子60个，黑子30个.为了使甲堆中黑子占30%,乙堆中黑子占40％，要从乙堆中取出放到甲堆黑白子各多少颗？巩固练习五1、有两堆棋子，A堆有白子500颗，黑子350颗；B堆有白子100颗，黑子400颗.为了使A堆中的黑子占50％，B堆中黑子占75％，要从B堆中取出放到A堆的黑、白子各为多少颗?2、A盒中放有黑球和白球共210个，其中黑球占30%.B盒中放有黑球和白球共180个，其中黑球占80%．现在将B中的一些球移到A中，使得A中的黑球占50%，B中的黑球占80%．这时B盒中还剩黑球、白球各多少个？例6：两个两位数的和是68，当在较大的两位数的右边接着写较小的两位数时，得到一个四位数，在较大的两位数的左边写较小的两位数时，也得到一四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数各是多少？巩固练习六1、一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．问这个两位数是多少？2、某校有学生若干名，如果女生减少27名，男生增加130名，那么女生人数是男生人数的43；如果女生减少73名，男生增加330名，那么女生人数是男生人数的21。
问这所学校共有多少名学生？例7:甲、乙两项工程分别由一、二队来完成，在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下降10%，结果两队同时完成这项工程，那么，在施工的日子里，雨天有多少天？巩固练习七1、一项工程，由甲队修需80天.费用100万.由乙队修100天，费用80万，为了节省工期和费用，两队合修若干天后，由其中一个队完成剩下工程，结算时共86万，两队合修了几天？2、一项工程，由甲队修需50天.费用100万.由乙队修40天，费用120万，为了节省工期和费用，两队合修若干天后，由其中一个队完成剩下工程，结算时共108万，两队合修了几天？例7：从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲到乙地需90分，从乙地到甲地需102分。
甲地到乙地全程是多少？练习七1、某班同学去36千米的北山郊游.只有一辆汽车,需分两组,甲组先乘车,乙组步行.车行至A处,甲组下车步行,汽车返回接乙组,最后两组同时达到北山站.已知汽车速度是60千米/时,步行速度是4千米/时,求A点距北山站的距离.2、从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(华杯赛复赛)课后作业：综合训练1. 解方程：（1）0.5(45)8.90.6(23)x x-=-+；（2）32(102)605(8)x x x--=++；（3）3(35)4(2)247x x x+--=+；（4）10(47)3(1212)216x x x---=-；（5）38115923x x=⨯+；（6）2(513)113x x+⨯=+；（7）3(225)735x x-+=；（8）21(300)54x x=+⨯；（9）51(645)2()128x x-⨯=+；（10）31(2010)(10)5103x x+-⨯=-⨯+；（11）⎩⎨⎧==+x y y x 123 (12)⎩⎨⎧=+=+825y x y x(13)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-832121y x y x (14)⎩⎨⎧=-=+711y x y x(15)⎩⎨⎧=-=+025223y x y x (16)⎩⎨⎧=+=-32923y x y x(17)⎩⎨⎧=-=+522534y x y x (18)⎩⎨⎧=++=1929372y x x y(19)⎩⎨⎧=+=-31351434y x y x (20)⎩⎨⎧=-=-195.02.013.0y x y x(21)⎩⎨⎧=-=+531723y x y x (22)⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x2、一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。
在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。
问：男孩、女孩各有多少人？3、数学测试卷有20道题，做对一道得7分，做错一道扣4分，不答得0分，张红得100分，她有几道题没答？4、 有两队小朋友做游戏，甲队比乙队的43还多10人。
若乙队给甲队10人，则甲队是乙队的54，求两队原来各有多少人？5、一批零件平均分成三份，分别由甲、乙、丙三人单独完成，结果甲比乙早30分钟完成，乙比丙早30分钟完成，已知甲比乙每小时多做6个，乙比丙每小时多做3个，求这批零件多少个？（2013师大一中）6、张老师从学校骑车到训练基地，先以24千米/时的速度下坡，再以18千米/小时的速度通过平路到训练基地，共用55分钟.返回学校时先以16千米/小时的速度通过平路，再以8千米/小时的速度上坡回到学校，共用1小时30分，从学校到训练基地有多少千米？（2012室外西区）7、俄国作家托尔斯泰，曾提出一个有趣的数学题：一组割草人去两块草地割草。