圆锥曲线中动直线过定点问题(共14页)
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圆锥曲线中动直线过定点问题
老师姓名：
1
动直线过定点的总体思路
目 录
D I R E C TO RY
2 3
解决动直线恒过定点的两种方法
例题解析
/
（1）动直线过定点的总体思路
若要证明动直线恒过定点 (1, 2) ，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，
因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例 y kx 3 ，我们只需要令 含有参数部分的 x 等于零即可消去参数； 若动直线的参数位置在截距上，例 y x b ，则此时动直线并不是以定点为对称点 转动，因此无法证明直线过定点； 若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例 y mx 2m 1 ， 方程可写成
y m(x 2) 1 ，能看出直线过 (2,1) 点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次
的且为同一个参数都可以求出所过的定点； 但是若直线中含有两个参数呢？例 y kx b 无法求出恒过的点，但是若知道 k 和
b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。
（1）动直线过定点的总体思路
则直线 MN 的斜率 kMN 则直线 MN 的方程为 y 则直线恒过定点 (3, 0)
y3 y4 k x3 x4 1 k 2
2 k 2 k ( x 1 2 ) ，化简得 y ( x 3) 2 k 1 k k 1 k 2
（3）例题解析
方法二：用两个参数表示出直线方程，从题目条件中求出直线上两个参数的关系或某 个参数的值，即可求出定点。
设直线 AB 的斜率为 k ，则直线 CD 的斜率为 则直线 AB 的直线方程为 y k (x 1) 联立
1 k
y k (x 1) y 4x
2
k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0
则 M (1
2 2 , ) ，同理可得 N (1 2k 2 , 2k ) 2 k k
因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含 有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给 出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。 圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思， 因为题目中都会明确给出一个等量 关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜 率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。
1 x 1 k
y kx 1 8k 2 2 2 x 0( 舍 ) 或 x 解得 (1 4 k ) x 8 kx 0 x 2 1 4k 2 y 1 4
8k 1 4k 2 8k k 2 4 , ) ，同理可求出 N ( 2 , ) 所以点 M ( 1 4k 2 1 4 k 2 k 4 k2 4 k 2 1 3 x 用两点式可求得直线 MN 的方程为 y 5k 5
例 1： 已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F， 过 F 作两条互相垂直的弦 AB, CD ， 设弦 AB, CD
的中点分别是 M , N ，求证直线 MN 恒过定点。
解析：由题知两条直线的斜率均存在，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 )
（2）解决动直线过定点的两种方法
x2 y 2 1，过点 A(0,1) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 分别交椭 引题：已知椭圆的方程为 4 圆于 M , N 两点，求证：直线 MN 恒过定点，并求出定点。
分析：题目中所给的两条互相垂直的直线都过点 A(1, 0) ，故两条直线的斜率有关
因为 AM AN AM AN 0 x1x2 y1 y2 0 即 (1 k 2 ) x1x2 k (b 1)( x1 x2 ) b2 2b 1 0 代入得
5b 3 0 b
3 5 3 5 3 5
所以直线方程为 y kx ，故直线恒过定点 (0, )
（2）解决动直线过定点的两种方法
解决动直线恒过定点问题的方法： 方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范 围是否存在。
方法二：用两个参数表示出直线方程，从题目条件中求出直线上两个参数的关系或某 个参数的值，即可求出定点。
（3）例题解析
方法一：用一个参数Hale Waihona Puke Baidu出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范 围是否存在。
解析：设 MN 的方程为 y kx b, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
y kx b 8kb 4b2 4 2 2 2 2 (1 4k ) x 8kbx 4b 4 0 x1 x2 , x1 x2 x 2 2 1 4 k 1 4k 2 y 1 4
系，因此我们只需要设一个斜率即可表示出另外一条直线的斜率，从题意得出 两条直线斜率肯定都存在，故不需要讨论斜率是否存在。
（2）解决动直线过定点的两种方法
常规思路：若要求 MN 恒过的定点，则我们要先求出直线方程，而直线的方程只能通过
M , N 两点来求出，故需要分别求出 M , N 的坐标。
解析：设直线 l1 的方程为 y kx 1 ，则直线 l2 的方程为 y
故直线 MN 恒过定点 (0, )
3 5
（2）解决动直线过定点的两种方法
但是我们上面所说的定点问题一般都会给出一个等量关系，在这个题目中很隐晦， 但是也出现了，即 AM AN ，因此若不用两点式求出 MN 的直线方程而是直接设出直 线方程为 y kx b ，则根据垂直等量关系我们应该可以得到一个 k 和 b 的关系，但是 这个题目过于特殊直接就能把 b 的值求出来，方法如下:
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解决动直线恒过定点的两种方法
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（1）动直线过定点的总体思路
若要证明动直线恒过定点 (1, 2) ，则应该是所有斜率不确定的直线都过这一点，
因此所要证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，例 y kx 3 ，我们只需要令 含有参数部分的 x 等于零即可消去参数； 若动直线的参数位置在截距上，例 y x b ，则此时动直线并不是以定点为对称点 转动，因此无法证明直线过定点； 若动直线的斜率部分和截距部分同时含有参数呢？例 y mx 2m 1 ， 方程可写成
y m(x 2) 1 ，能看出直线过 (2,1) 点，因此只要截距位置和斜率位置的参数是齐次
的且为同一个参数都可以求出所过的定点； 但是若直线中含有两个参数呢？例 y kx b 无法求出恒过的点，但是若知道 k 和
b 的关系，则两个参数可转化为一个，也可求出动直线恒过的点。
（1）动直线过定点的总体思路
则直线 MN 的斜率 kMN 则直线 MN 的方程为 y 则直线恒过定点 (3, 0)
y3 y4 k x3 x4 1 k 2
2 k 2 k ( x 1 2 ) ，化简得 y ( x 3) 2 k 1 k k 1 k 2
（3）例题解析
方法二：用两个参数表示出直线方程，从题目条件中求出直线上两个参数的关系或某 个参数的值，即可求出定点。
设直线 AB 的斜率为 k ，则直线 CD 的斜率为 则直线 AB 的直线方程为 y k (x 1) 联立
1 k
y k (x 1) y 4x
2
k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0
则 M (1
2 2 , ) ，同理可得 N (1 2k 2 , 2k ) 2 k k
因此在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含 有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给 出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。 圆锥曲线中证明直线过定点的问题非常有意思， 因为题目中都会明确给出一个等量 关系，这种关系有可能是一个等式（向量形式），也可能是垂直关系，再或者是给出斜 率的加减乘除关系，因此看到并会用这种等量关系是解决定点问题的关键。
1 x 1 k
y kx 1 8k 2 2 2 x 0( 舍 ) 或 x 解得 (1 4 k ) x 8 kx 0 x 2 1 4k 2 y 1 4
8k 1 4k 2 8k k 2 4 , ) ，同理可求出 N ( 2 , ) 所以点 M ( 1 4k 2 1 4 k 2 k 4 k2 4 k 2 1 3 x 用两点式可求得直线 MN 的方程为 y 5k 5
例 1： 已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F， 过 F 作两条互相垂直的弦 AB, CD ， 设弦 AB, CD
的中点分别是 M , N ，求证直线 MN 恒过定点。
解析：由题知两条直线的斜率均存在，设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 )
（2）解决动直线过定点的两种方法
x2 y 2 1，过点 A(0,1) 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 分别交椭 引题：已知椭圆的方程为 4 圆于 M , N 两点，求证：直线 MN 恒过定点，并求出定点。
分析：题目中所给的两条互相垂直的直线都过点 A(1, 0) ，故两条直线的斜率有关
因为 AM AN AM AN 0 x1x2 y1 y2 0 即 (1 k 2 ) x1x2 k (b 1)( x1 x2 ) b2 2b 1 0 代入得
5b 3 0 b
3 5 3 5 3 5
所以直线方程为 y kx ，故直线恒过定点 (0, )
（2）解决动直线过定点的两种方法
解决动直线恒过定点问题的方法： 方法一：用一个参数写出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范 围是否存在。
方法二：用两个参数表示出直线方程，从题目条件中求出直线上两个参数的关系或某 个参数的值，即可求出定点。
（3）例题解析
方法一：用一个参数Hale Waihona Puke Baidu出直线方程，即可求出定点，需要注意这个参数的范 围是否存在。
解析：设 MN 的方程为 y kx b, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )
y kx b 8kb 4b2 4 2 2 2 2 (1 4k ) x 8kbx 4b 4 0 x1 x2 , x1 x2 x 2 2 1 4 k 1 4k 2 y 1 4
系，因此我们只需要设一个斜率即可表示出另外一条直线的斜率，从题意得出 两条直线斜率肯定都存在，故不需要讨论斜率是否存在。
（2）解决动直线过定点的两种方法
常规思路：若要求 MN 恒过的定点，则我们要先求出直线方程，而直线的方程只能通过
M , N 两点来求出，故需要分别求出 M , N 的坐标。
解析：设直线 l1 的方程为 y kx 1 ，则直线 l2 的方程为 y
故直线 MN 恒过定点 (0, )
3 5
（2）解决动直线过定点的两种方法
但是我们上面所说的定点问题一般都会给出一个等量关系，在这个题目中很隐晦， 但是也出现了，即 AM AN ，因此若不用两点式求出 MN 的直线方程而是直接设出直 线方程为 y kx b ，则根据垂直等量关系我们应该可以得到一个 k 和 b 的关系，但是 这个题目过于特殊直接就能把 b 的值求出来，方法如下: