排列组合常见题型及解题策略(详解)说课讲解
排列组合问题经典题型(含解析)
排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
(完整版)排列组合题型分类解析(教师版)
排列组合题型分类解析一. 知识梳理：1、 两个计数原理：___________________________(分类)____________________________(分步)2、 排列：（1）排列的定义：_______________________（2）排列数公式：__________________________3、 组合：（1）组合的定义：_______________________（2）组合数公式：__________________________（3）组合数性质：①______________②_______________二.排列组合题常见解法.1. 分类法.例1：50件产品中有4件是次品从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共多少种．解析：分两类，有4件次品抽法14644C C ⋅；有三件次品的抽法24634C C ⋅，所以共有14644C C ⋅ +24634C C ⋅＝4186种不同的抽法．练习1. 假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件. ①至少有两件是次品的抽法共多少种? ②至多有两件是次品的抽法共有多少种?2. 捆绑法例2： 6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有___种 ( C )(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种解析 将甲、乙两人视为一人，则有55A 种，再将甲、Z 两人互换位置，则共有5522A A ⋅=240种.练习2. 7个人按如下各种方式排队照相, 甲乙两人要站在一起的排法共有多少种?练习3. 6人站成一排，其中甲乙丙不全相邻的排法共有_________种3. 对称法例3. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，若B 必须站在A 的右边(A 、B 可以不相邻)．则不同排法共有( )。
A. 24种B. 60种C. 90种D. 120种解析：考虑对称性，B 在A 右和A 在B 右机会均等．应得排法5521A =60种． 说明 本题还可以推广到更为一般的情况，m 个人并排站成一排，其中n(m>n)个人的相对顺序一定，共有n n m m A A 种．如例3中，若A 、B 、C 顺序一定，共有3355A A =20种。
排列组合应用题的类型及解题策略
排列组合应⽤题的类型及解题策略排列组合应⽤题的类型及解题策略排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，解决问题的有效⽅法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运⽤。
⼀．处理排列组合应⽤题的⼀般步骤为：①明确要完成的是⼀件什么事（审题）②有序还是⽆序③分步还是分类。
⼆．处理排列组合应⽤题的规律两种思路：直接法，间接法。
两种途径：元素分析法，位置分析法。
三、解决问题的⼊⼿点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
1、特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西⼊⼿，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个⼴告，其中含4个不同的商业⼴告和2个不同的公益⼴告，要求⾸尾必须播放公益⼴告，则共有种不同的播放⽅式（结果⽤数值表⽰）.解：分⼆步：⾸尾必须播放公益⼴告的有A 22种；中间4个为不同的商业⼴告有A 44种，从⽽应当填 A 22·A 44＝48. 从⽽应填48．（3）对排列组合的混合题，⼀般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及⽅法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，整体处理（捆邦法）例2、6名同学排成⼀排，其中甲，⼄两⼈必须排在⼀起的不同排法有（ C ）种。
A ）720 B ）360 C ）240 D ）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某⼏个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作⼀个“⼤”元素。
（2）、全不相邻问题，插空处理法例3、要排⼀张有6个歌唱节⽬和4个舞蹈节⽬的演出节⽬单，任何两个舞蹈节⽬不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节⽬排好，其中不同的排法有6！，这6个节⽬的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节⽬有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节⽬不得相邻的排法为4676A A 种例4（06重庆卷)⾼三（⼀）班学要安排毕业晚会的4各⾳乐节⽬，2个舞蹈节⽬和1个曲艺节⽬的演出顺序，要求两个舞蹈节⽬不连排，则不同排法的种数是（A ）1800 （B ）3600 （C ）4320 （D ）5040解：不同排法的种数为5256A A ＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插⼊，故叫插空法。
排列组合常见题型及解题策略(详解)
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复， 把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类 问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38B 、83C 、38AD 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的 结果。
所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A 种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
第一轮复习排列组合常见题型及解法
排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。
4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
高考排列组合常见题型及解题策略
可重复的排列求幂法相邻问题捆绑法相离问题插空法元素分析法〔位置分析法〕多排问题单排法定序问题缩倍法〔等几率法〕标号排位问题〔不配对问题〕不同元素的分配问题〔先分堆再分配〕一样元素的分配问题隔板法：多面手问题〔分类法---选定标准〕走楼梯问题〔分类法与插空法相结合〕排数问题〔注意数字“0〞〕染色问题“至多〞“至少〞问题用间接法或分类: 十三．几何中的排列组合问题:排列组合常见题型及解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客〞，能重复的元素看作“店〞，那么通过“住店法〞可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】〔1〕有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？〔2〕有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？〔3〕将3封不同的信投入4个不同的邮筒，那么有多少种不同投法？【解析】：〔1〕43〔2〕34〔3〕34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有〔〕A、38B、83C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店〞，3项冠军看作3个“客〞，他们都可能住进任意一家“店〞，每个“客〞有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，4424A种【例2】〔2021卷理〕3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是〔 〕 A.360 B.188 C.216 D.96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432 种其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A 种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有种不同的插法〔具体数字作答〕 【解析】：111789A A A =504【例3】 高三〔一〕班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256A A ＝3600【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进展，工 程丙必须在工程乙完成后才能进展，有工程丁必须在工程丙完成后立即进展。
考研数学：排列组合的7大方法及例题解析
考研数学：排列组合的7大方法及例题解析
考研数学:排列组合的7大方法及例题解析
1.元素分析法
【例】求7人站一队，甲必须站在当中的不同站法。
【解析】要求甲必须站在当中，因此只需对其它6人全排列即可，不同的站法共有几种。
2.位置分析法
【例】求7人站一队，甲、乙都不能站在两端的不同站法。
【解析】先站在两端的'位置有几种站法，再站其它位置有几种站法，因此所有不同的站法共有几种站法。
3.间接法
【例】求7人站一队，甲、乙不都站两端的不同站法。
【解析】考虑对立事件为甲乙都站在两端，共有几种站法;7人站成一队所有的站法共几种，所以甲乙不都站两端的不同站法共几种。
4.捆绑法
【例】求7人站一队，甲、乙、丙三人都相邻的不同站法。
【解析】先将甲、乙、丙看成一个人，即相当于5个人站成一队，有几种站法，再对这三个人全排列即得所有的不同站法共几种。
5.插空法
【例】求7人站一队，甲、乙两人不相邻的不同站法。
【解析】先将其它五人全排列，然后将甲、乙两人插入所产生的6个空中即可，共几种不同的站法。
6.留出空位法
【例】求7人站一队，甲在乙前，乙在丙前的不同站法。
【解析】由于甲、乙、丙三人的顺序一定，因此只要其余4人站好，这7个人就站好了，不同的站法共有几种。
7.单排法
【例】求9个人站三队，每排3人的不同站法。
【解析】由于对人和对位置都无任何的要求，因此，相当于9个
人站成一排，不同的站法显然共有几种。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题，联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。
实践证明，备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。
本文介绍十二类典型排列组合问题的解答策略，供参考。
一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种A. 720B. 360C. 240D. 120解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。
由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。
现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
排列组合的常见题型及其解法(good)
排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。
本文就排列、组合问题的常见题型的求解方法加以归纳，供大家参考。
1、特殊元素——优先法：对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。
例1，用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。
①当0排在末尾时，有 24A 个；②当0不排在末尾时，有 141312A A A 个，根据分类记数原理，其中偶数共有3014131224=+A A A A 个。
例2，1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。
[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有 13A 种。
剩下的位置由4名学生全排列，有 44A 种。
因此共有 724413=A A 种不同的排法。
2、相邻问题——捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。
例3，5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。
[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有 66A 种排法；而3名老师之间又有 33A 种排法，故满足条件的排法共有 43203366=A A 种。
例4，计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合常见题型及解题策略(详解).docx
排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法（2）有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果（3）将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法【解析】：（1）34（ 2）43（3）43【例 2】把 6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法【解析】：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7 种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案 .【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军，获得冠军的可能性有（）A、83 B 、38 C 、A83 D 、C83【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8 种可能，因此共有83种不同的结果。
所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 .【例 1】A, B,C , D , E五人并排站成一排，如果A, B 必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A4424 种【例 2】（2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A. 360 B.188 C. 216 D.96【解析】：间接法 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32 A 22A 42 A 22 =432 种，其中男生甲站两端的有 A 12C32A 22 A 32A 22 =144 ，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例 1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A62种，不同的排法种数【解析】：除甲乙外，其余 5 个排列数是 A55 A623600 种【例 2】架上某有 6 本，新 3 本插去，要保持原有 6 本的序，有种不同的插法（具体数字作答）【解析】： A 17A18 A 91 =504【例 3】高三（一）班学要安排晚会的 4 各音目， 2 个舞蹈目和 1 个曲目的演出序，要求两个舞蹈目不排，不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数 A55 A62＝3600【例 4】某工程有 6 工程需要独完成，其中工程乙必在工程甲完成后才能行，工程丙必在工程乙完成后才能行，有工程丁必在工程丙完成后立即行。
排列组合八种题型的技巧解法
排列组合八种题型的技巧解法一、占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。
一就是认真审题。
在切换题目之前先使学生认真审题，从特定字眼小球和盒子都已“编号”著手，确切这就是一个“排序问题”，然后对题目展开等价切换。
二是转换题目。
在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（凳子已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。
三就是解决问题。
这时我出马另一名学生去精心安排这5十一位学生挤位子（学生之争着上台，积极性已经获得了很大的提升），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），不懈努力地“出谋划策”，没两分钟的时间，同学们存有了统一的观点：先选取合乎题目特定条件“两个学生与其正下方的凳子编号相同”的两位同学，存有c种方法，使他们坐在与自己编号相同的凳子上，然后剩的三位同学不挤编号相同的凳子存有2种排法，最后根据乘法原理获得结果为2×c=20（种）。
这样原题也就获得了化解。
四是学生小结。
接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案（课堂气氛又一次活跃起来）。
五就是老师总结。
对于这一类占到位子问题，关键就是把握住题目中的特定条件，先从特定对象或者特定位子抓起，再考虑通常对象，从而最终解决问题。
二、分组问题基准2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别挑选出3个和2个数共同组成五位数，问这样的五位数存有几个？（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是p×p）一就是认真审题。
先由学生审题，明晰共同组成五位数就是一个排序问题，但是由于这五个数源自两个相同的组与，因此就是一个“分组排序问题”，然后对题目展开等价切换。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是概率论的一个重要内容，常见于数学和统计学的相关考试中。
它涉及将一组元素按照一定的规则进行排列或组合，从而求解出不同可能性的个数。
在数学领域中，排列与组合属于不同的问题类型，需要采用不同的解答策略。
首先，我们来讨论排列问题。
排列指的是从给定的一组元素中按照一定顺序选取若干个元素，形成一个有序的排列。
对于排列问题，常见的求解策略有全排列和有限排列两种。
全排列问题是指将给定的所有元素进行排列，即对于每一个元素都有可能处于不同的位置。
解答全排列问题时，可以使用递归算法。
首先确定第一个位置的元素，然后将剩余的元素进行全排列，依次确定后面的位置，直到所有元素都被排列。
全排列问题的解答策略比较直接，但对于元素较多的情况下，可能会导致运行时间较长。
有限排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列，但排列的长度有限制，即不一定需要将所有元素都排列出来。
解答有限排列问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路与全排列问题类似，需要确定每个位置的元素，但要考虑到排列的长度限制。
迭代算法则可以通过循环来实现，每次选取一个元素并确定位置，直到达到排列长度限制或所有元素都被选取。
接下来，我们讨论组合问题。
组合指的是从给定的一组元素中选取若干个元素，形成一个无序的组合。
对于组合问题，常见的求解策略有全组合和有限组合两种。
全组合问题是指将给定的所有元素进行组合，即对于每一个元素都有可能被选取或不被选取。
解答全组合问题时，可以使用位运算的思想。
假设元素个数为n，可以使用n位二进制数表示每个元素的选取状态，0表示不选取，1表示选取。
通过遍历所有可能的二进制数，即可得到全组合的解。
有限组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，但组合的个数有限制。
解答有限组合问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路是从第一个元素开始选取，然后对剩余元素进行组合，依次确定后面的元素，直到达到组合个数限制或所有元素都被选取。
高二数学排列组合问题的常见题型与解题策略
排列组合问题的常见题型与解题策略解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，防漏防重；周密思考，用准加乘；直接间接，思路可循；先选后排，有条不紊；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）.两个原则：（1）特殊元素（特殊位置）的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
多数情况下，其特征是某一个或几个位置不能放置某一个或某几个特殊元素。
针对实际问题， 可采用“元素优先”或 “位置优先”。
例1-1 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有种。
故共有（2）排列组合混合问题------先选后排例1-2: 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解: 第一步 从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?（二）．合理分类与准确分步25C 44A 25C 44A解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质（约束条件）进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．分类是高中数学中一种重要的思想方法例2-1 已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数．解法1：233241454545105C C C C C C ++=解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为三类：233241⎧⎪⎨⎪⎩个偶数，个奇数个偶数，个奇数个偶数，个奇数 解法2：55419554105C C C C --=解题思路是：从反面考虑，全部子集个数为59C ，减去不符合条件的两类：541⎧⎨⎩全部个都是奇数个奇数，个偶数 直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法．错解：23472105C C =解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选3个数，组成含有5个元素的集合且满足至少有2例2-2：（与上面例2是完全相同的题目）由12人组成文娱小组，其中5人只会唱歌，5人只会跳舞，2人又会唱歌又会跳舞。
（完整版）排列组合常见21种解题方法
（完整版）排列组合常见21种解题⽅法排列组合难题⼆⼗⼀种⽅法排列组合问题联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，⾸先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采⽤合理恰当的⽅法来处理。
教学⽬标1.进⼀步理解和应⽤分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常⽤策略;能运⽤解题策略解决简单的综合应⽤题。
提⾼学⽣解决问题分析问题的能⼒3.学会应⽤数学思想和⽅法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成⼀件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的⽅法，在第2类1办法中有m种不同的⽅法，…，在第n类办法中有n m种不同的⽅法，那么2完成这件事共有：种不同的⽅法．2.分步计数原理（乘法原理）完成⼀件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的⽅法，做第2步1有m种不同的⽅法，…，做第n步有n m种不同的⽅法，那么完成这件事共2有：种不同的⽅法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的⼀般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进⾏,确定分多少步及多少类。
3.确定每⼀步或每⼀类是排列问题(有序)还是组合(⽆序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握⼀些常⽤的解题策略⼀.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和⾸位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排⾸位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？⼆.相邻元素捆绑策略例2. 7⼈站成⼀排,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲⼄两元素捆绑成整体并看成⼀个复合元素，同时丙丁也看成⼀个复合元素，再与其它元素进⾏排列，同时对相邻元素内部进⾏⾃排。
排列与组合问题的解题思路与示例解析
排列与组合问题的解题思路与示例解析在数学中，排列与组合是一类常见的问题类型，需要运用一定的思维方法和技巧来解决。
本文将介绍一些解题思路和示例解析，帮助读者更好地理解和应用排列与组合的知识。
一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。
解决排列问题的关键在于确定元素的选取顺序和确定每个位置的元素个数。
1.1 顺序问题在解决排列问题时，首先需要确定元素的选取顺序。
例如，有6个人参加一场比赛，需要确定他们的名次。
这是一个顺序问题，因为名次的不同会导致结果的不同。
解决这类问题时，可以使用乘法原理。
即，第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置有1种选择。
因此，总的排列方式为6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720种。
1.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决排列问题时需要考虑重复元素的影响。
例如，有4个字母A、B、C、D，需要排列成3位的字符串。
解决这类问题时，可以使用分情况讨论的方法。
首先，考虑第一位的选择，共有4种选择。
然后，考虑第二位的选择，由于第一位已经选择了一个元素，所以只剩下3种选择。
最后，考虑第三位的选择，由于前两位已经选择了两个元素，所以只剩下2种选择。
因此，总的排列方式为4 × 3 × 2 = 24种。
二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。
解决组合问题的关键在于确定元素的选取个数和确定元素的组合方式。
2.1 选取个数问题在解决组合问题时，首先需要确定元素的选取个数。
例如，有8个人参加一场晚会，需要从中选取3个人组成一个小组。
解决这类问题时，可以使用组合数的公式。
即，从8个人中选取3个人的组合数为C(8,3) = 8! / (3! × (8-3)!) = 56种。
2.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决组合问题时需要考虑重复元素的影响。
排列组合主要题型及解答方法
一、相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ )种Ａ。
７20 B。
３6０ C. 240 D。
12０解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。
由分步计数原理可知，共有=２40种不同排法，选C。
评注:从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”,就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大"元素。
二、相离问题插空法例2 要排一张有６个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法?（只要求写出式子，不必计算）解:先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法．由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种.评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。
此类问题可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法.三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号.现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是___＿_＿_＿（用数字作答）.解:５面旗全排列有种挂法，由于３面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种)．评法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。
这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）种A. 6种 B。
９种 C. 11种Ｄ. 2３种解：此题可以看成是将数字1，２,3，4填入标号为1，2，3,４的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。
所以先将１填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字，填入其它３个方格,又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法.故共有3×３×１＝9种填法，而选Ｂ．评注:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题．求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
高中数学排列组合题型归纳总结生说课讲解
⾼中数学排列组合题型归纳总结⽣说课讲解排列组合1.分类计数原理(加法原理)完成⼀件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的⽅法，在第2类办法中有m 种不同的⽅法，…，在第n 类办法中有n m 不同的⽅法．2.分步计数原理（乘法原理）完成⼀件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的⽅法，做第2步有2m 种不同的⽅法，…，做第n 步有n m3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理⽅法相互独⽴，任何⼀种⽅法都可以独⽴地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的⽅法完成事件的⼀个阶段，不能完成整个事件．⼀.特殊元素和特殊位置优先策略例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由分步计数原理得113434288C C A =练习题：7种不同的花种在排成⼀列的花盆⾥,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆⾥，问有多少不同的种法？⼆.相邻元素捆绑策略例2、 7⼈站成⼀排 ,其中甲⼄相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习题：某⼈射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在⼀起的情形的不同种数为_________三.不相邻问题插空策略例3.、⼀个晚会的节⽬有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节⽬不能连续出场,则节⽬的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个新节⽬插⼊原节⽬单中，且两个新节⽬不相邻，那么不同插法的种数为_________四.定序问题倍缩空位插⼊策略例4.、 7⼈排队,其中甲⼄丙3⼈顺序⼀定共有多少不同的排法练习题: 10⼈⾝⾼各不相等,排成前后排，每排5⼈,要求从左⾄右⾝⾼逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略例5.、把6名实习⽣分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节⽬已排成节⽬单，开演前⼜增加了两个新节⽬.如果将这两个节⽬插⼊原节⽬单中，那么不同插法的种数为______________2. 某8层⼤楼⼀楼电梯上来8名乘客⼈,他们到各⾃的⼀层下电梯,下电梯的⽅法_______六.环排问题线排策略例6.、 8⼈围桌⽽坐,共有多少种坐法?练习题：6颗颜⾊不同的钻⽯，可穿成⼏种钻⽯圈?七.多排问题直排策略例7.、8⼈排成前后两排,每排4⼈,其中甲⼄在前排,丙在后排,共有多少排法练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2⼈就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2⼈不左右相邻，那么不同排法的种数是___________⼋.排列组合混合问题先选后排策略例8.、有5个不同的⼩球,装⼊4个不同的盒内,每盒⾄少装⼀个球,共有多少不同的装法.练习题：⼀个班有6名战⼠,其中正副班长各1⼈现从中选4⼈完成四种不同的任务,每⼈完成⼀种允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐⼀安排各个元素的位置，⼀般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种⼀般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n任务,且正副班长有且只有1⼈参加,则不同的选法有_________种九.⼩集团问题先整体后局部策略例9.⽤1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习题：１、计划展出10幅不同的画,其中1幅⽔彩画,４幅油画,５幅国画, 排成⼀⾏陈列,要求同⼀品种的必须连在⼀起，并且⽔彩画不在两端，那么共有陈列⽅式的种数为___________２、2、 5男⽣和５⼥⽣站成⼀排照像,男⽣相邻,⼥⽣也相邻的排法____________-有种.⼗.元素相同问题隔板策略例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班⾄少⼀个,有多少种分配⽅案？练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒⾄少⼀有多少装法？2、100x y z w +++=求这个⽅程组的⾃然数解的组数?⼗⼀.正难则反总体淘汰策略例11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这⼗个数字中取出三个数，使其和为不⼩于10的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班⾥有43位同学,从中任抽5⼈,正、副班长、团⽀部书记⾄少有⼀⼈在内的抽法有多少种?将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份⾄少⼀个元素,可以⽤m-1块隔板，插⼊n 个元素排成⼀排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C --有些排列组合问题,正⾯直接考虑⽐较复杂,⽽它的反⾯往往⽐较简捷,可以先求出它的反⾯,再从整体中淘汰.。
排列组合题型及解答策略
排列组合题型及解答策略解排列、组合问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列、组合问题；其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答；同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
本文归纳了排列组合常见题型及解题策略，供参考。
（一）特殊元素“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素。
例1. 用0，1，2，3，4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。
分析：由于三位数都是偶数，故末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。
解：按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①0排末尾时，有a，②0不排末尾时，有aaa由分类加法计数原理：a＋aaa＝30个。
（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时注意既不能多减去也不能少减。
例2. 四面体的顶点与各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种。
分析：10点中取4点，有c，每个面上6个点中取4点有4c，每条棱中点共6个，其中共面3个；每条棱上3点，与对棱中点共面，共有6个面。
解：c-4c-3-6＝141（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按素的性质，进行分类，事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例3. 五人从左至右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，则不同的站法有种。
分析：由题意可先安排甲，并按其进行分类讨论：①若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有a种方法；②若甲在第三或第四个位置上，则由分步计数原理，不同站法有a aa种。
解：由分类计数原理，不同站法共有：a＋aaa＝78种（四）相邻问题用“捆绑”法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
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排列组合常见题型及解题策略(详解)排列组合常见题型及解题策略一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216D. 96【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，22223242C A A A =432种， 其中男生甲站两端的有1222223232A C A A A =144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）【解析】： 111789A A A =504【例3】高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为52A A＝360056【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5 A＝20种不同排法。
个空中，可得有25【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.A A A=990【解析】：11191011【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的C种方法,灯35所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A 33，○*○*○*○，在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A 14种，所以每人左右两边都空位的排法有3314A A =24.解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A 34=24种.【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A 88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有C 19种方法，所以共有C 19A 88种方法.注：题中*表示元素，○表示空.四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A. 36种B. 12种C. 18种D. 48种【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
2333A 36A = 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A. 【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种。
. 【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一：1656A 3600A = 法二： 25653600A A = 法三：3600666677=--A A A五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A 、36种B 、120种C 、720种D 、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为（A ）510515A A（B ）3355510515A A A A （C ）1515A （D ）3355510515A A A A ÷（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C . （2）答案：C（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故有1254455760A A A =种排法. 五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【例1】.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）【解析】：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种 【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同插法？【解析】：法一：39A 法二：99661A A 【例3】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C在后的原则（A 、B 、C 允许不相邻），有多少种不同的排法？【解析】：法一：36A 法二：66331A A 六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种 B、9种 C、11种D、23种【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种【解析】答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种（B）9种（C）11种（D）23种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有3129()种分配方式。
故选（B）⨯+=【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( ) （A ）60种 （B ）44种（C ）36种（D ）24种【解析】 答案：B六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ （1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
【解析】：（1）332516C C C （2）33332516A C C C （3）33222426A C C C （4）222426C C C （5）2111115554321544C C C C C C A A【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122C C C A ⋅⋅; 第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有211342132236C C C A A ⋅⋅⋅=说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（A ）150种 (B)180种 (C)200种(D)280种【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3113521322C C C A A ⨯＝60种，若1,1,3，则有1223542322C C C A A ⨯＝90种，所以共有150种，选A 【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70B ．140C ．280D ．840【解析】：（ A ）【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ） （A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215C C A ⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，选B.【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A ．16B ．36C ．42D ．60【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴2223343243362460C C A C A+=+=故选D；【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种【解析】：答案：B.（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？【解析】：答案：4443 1284333AAC C C【例8】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260 B、2025 C、2520 D、5040【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C.【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A方法，所以共有383A；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种. 七．相同元素的分配问题隔板法：【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有120216=C 种。