导数计算(2)
导数的计算(二)1
1 x0
) 1 x0
2
,∴依题意得
1
∴ x0
1或 1
⑴当 x 0
1
时,点 P (1, 1 ) 这时 b
2
⑵当 x 0 1 时,点 P ( 1, 1 ) 这时 b 2 ∴ b 2 , 切点坐标为 (1, 1 ) 或 b 2 , 切点坐标为 ( 1, 1)
_. 则实数 a _ 4
二、导数运算法则
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) '
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) '
[ f (x) g (x) ]' f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) ' [ g ( x )]
(lo g a x ) 1 x
0， a 1)
lo g a e 1 x
1 x ln a
( a 0 ,且 a 1 )
特殊地
(ln x )
练习 1: 写出下列函数的导数: （1）y
x
5
6
（2）y
4
x
x
（3）y
2
x
x
x
y 5 x
y 4
x
ln 4
导数的计算(二)
由导数的概念,我们得到了下面几个常用函数的导数公式: ⑴ ( kx b ) ⑶ ( x ) 1 ⑹(
1 x ) 1 x
2
k
(k,b 为常数)
2x
导数的计算(二)1
由导数的概念,我们得到了下面几个常用函数的导数公式: ⑴ (kx b) k (k,b 为常数) ⑶ ( x) 1 ⑷ ( x2 ) 2 x ⑵ (C ) 0 (C 为常数) ⑸ ( x3 ) 3x2
1 1 1 1 1 1 ⑹ ( ) 2 ⑺ ( x ) ( 即 ( x 2 ) x 2 ) x x 2 2 x 观察⑶~⑺的特点,你发现了什么规律?
⑵已知点 P 在函数 y=cosx 上， （0≤x≤2π ） P 处的切线斜 ，在 率大于 0，求点 P 的横坐标的取值范围. 解:设点 P 的横坐标为 x0 ,
则点 P 处的切线斜率为 y |x x0 sin x0 依题意得 sin x0 0 ∴ sin x0 0 ,∵0≤x≤2π ∴ x0 2 ,∴点 P 的横坐标的取值范围为 ( , 2 )
2
1 (2) y (1 x )(1 ) x 3 1 1 y ' (x 2 x 2 ) 2 (4) y tan x
1 y' cos 2 x
y ' 2 cos 2 x
作业：P18 A 组 T4 (1)(2)(3) T5
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
1 1 (a 0, a 1) 且 对数函数求导 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
练习 1: 写出下列函数的导数: （1）y x 5 5 x 6 y （4） y log3 x （3）y x x x 7 1 x y 4 ln 4 y 8 8 x （5）y=sin( +x) (6) y=sin 2 3 （2）y 4 x
函数的导数是怎么算出来的[2]
![函数的导数是怎么算出来的[2]](https://img.taocdn.com/s3/m/244c8128a417866fb84a8eba.png)
(3)取极限: y lim y lim (2x x) 2x x0 x x0
同理可得: (x n ) nx n1(n为正整数）
例2 求正弦函数 y sin x 的导数
解： 因为 y sin(x x) sin x 2cos(x x)sin x 22
(ln x) 1 x
d (ln x) 1 dx x
1 x
dx
ln
x
C
(e x ) e x
d (e x ) e xdx
exdx ex C
定积分是怎么计算出来的
（一）、定积分问题举例
1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
bx
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
采用类似的方法可以求得其他函数的导数.如下表
导数公式
(x n ) nxn1
微分公式
d (x n ) nxn1dx
积分公式
xndx 1 xn1 C n 1
(sin ) cos d(sin ) cosd sind cos C
(cos ) sin d(cos ) sind cosd sin C
i 1
f (i )xi
I
存在，且极限值I不依赖于 i 的选取，也不依
赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上
的定积分(简称积分)，记作
b f (x)dx,即 a
b
n
I f (x)dx lim
a
0
其中：f(x)叫做被积函数;
i 1
f (i )xi
中任意插入若干个分点：
导数的计算(第二课时)
18 x 8 x 9
2
三．函数的商的求导法则 设f(x)，g(x)是可导的函数，g(x)≠0，两 个函数的商的导数，等于分子的导数与分母 的积，减去分母的导数与分子的积，再除以 分母的平方，
f ( x) f '( x ) g( x ) f ( x ) g '( x ) u u ' v uv ' ' 即 [ g( x ) ]' 2 2 g ( x) v v
1 1 3 1 2 ( x ) cos x sin x x cos x sin x 2 x x cos x 1 cos x 2 x sin x sin x 3 x 2x x 2 x
1 2
1 cos x 解法二：y ' =( · cosx) '=( )' x x
3 2 ( 2 )求函数 g ( x ) x x 6 x 2的导数 . 2 3 2 3 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
3
例2．求多项式函数
f(x)= a0 x a1x
x
y sin u, u 3v 1, v e
③ y sin(3e -1)
x
像①②③这样的函数就是复合函数.
2、复合函数的定义 对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果
通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个
函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数， 记作 : y f [ g( x)].
练习：指出下列函数中的复合函数
(1) y 2
x x
导数的计算方法
导数的计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在实际问题中，导数的计算方法可以帮助我们分析函数的特性，解决各种问题。
下面我们将介绍几种常见的导数计算方法。
一、基本导数公式。
1.1 导数的定义。
在介绍导数的计算方法之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以定义为：f'(x) = lim (Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx。
其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
这个定义可以帮助我们理解导数的几何意义，即切线的斜率。
1.2 基本导数公式。
在实际计算中，我们经常会用到一些基本的导数公式。
这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数，其中一些常见的导数公式包括：（1）常数函数的导数公式，若y=c，其中c为常数，则y'=0。
（2）幂函数的导数公式，若y=x^n，其中n为常数，则y'=nx^(n-1)。
（3）指数函数的导数公式，若y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则y'=a^x ln(a)。
（4）对数函数的导数公式，若y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则y' = 1 / (x ln(a))。
（5）三角函数的导数公式，若y=sin(x)，则y'=cos(x)；若y=cos(x)，则y'=-sin(x)；若y=tan(x)，则y'=sec^2(x)。
以上是一些基本的导数公式，掌握这些公式可以帮助我们快速计算各种函数的导数。
二、导数的计算方法。
2.1 使用导数的定义。
在一些特殊情况下，我们可以使用导数的定义来计算函数的导数。
例如，对于一些复杂的函数或者无法直接套用基本导数公式的函数，我们可以利用导数的定义进行计算。
这种方法可能会比较繁琐，但在某些情况下是非常有效的。
2.2 利用导数的性质。
导数具有一些特性和性质，我们可以利用这些性质来简化导数的计算。
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。
一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。
多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。
具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。
如果n=0，则f’(x)=0。
例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。
解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。
指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。
同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。
例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。
解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。
对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。
例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。
解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
高二数学人教A版选修2-2导数的计算(二)课件
复合函数的导数
• 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__y_u_′·_u_x_′___.即y对 x的导数等于__y_对__u_的__导_数___ __与__u_对__x的__导__数__的_乘__积____．
• 2．复合函数求导应注意的问题
(1)y＝3－14x4；(2)y＝cos(2 008x＋8)； (3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．
[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化
解析： (1)引入中间变量 u＝φ(x)＝3－4x. 则函数 y＝3－14x4是由函数 f(u)＝u14＝u－4 与 u＝φ(x)＝3－4x 复合而成的． 查导数公式表可得 f′(u)＝－4u－5＝－u45，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得3－14x4′＝f′(u)φ′(x) ＝－u45·(－4)＝1u65 ＝3－164x5.
高中数学人教A 版选修2-2
1.2.2 导数的计算（二）
• 1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
• 2．能利用复合函数的求导法则进行复合函数 的求导.（难点）
• 3.掌握求曲线切线方程的方法和切线问题求 参数的题型.（重点）
导数的运算法则
• 设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的 和的导数
两个函数的 商的导数
gfxx′＝_f_′__x__g__[xg_－_x_f]_2x__g_′___x_(_g_(_x)_≠__0_)___
• 1．应用导数的运算法则应注意的问题
• (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不 要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用 运算法则求简单函数的导数即可．
• (2)对于和差的导数运算法则，此法则可推 广到任意有限个可导函数的和或差，即 [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)± f′2(x) ±…±f′n(x)．
1.2 导数的计算(2)
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
小结：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系 式为可以直接应用公式的基本函数的模式.
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2 3 2 3 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x) 3x 3x 6 2
2
18 x 8 x 9
2
法则3 :两个函数的商的导数，等于分
子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
( x ) sin x x (sin x) 解：y 2 sin x 2 2 x sin x x cos x 2 sin x
的导数
2
2
3)(3x 2)
2
解： y 法一： (2 x 3)(3x 2) (( 2 x 3) 3
2
18 x 8 x 9 3 2 法二： y (6 x 4 x 9 x 6)
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x
(2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x) 2 ln x 2
3.用两种方法求y (2x
一、知识回顾
几个常用函数的导数：
1.(C ) 0 (C 是常数）
高二数学导数的计算2
x
x3 练习 求函数 y 2 的导数 x 3
x 6x 3 y' 2 2 ( x 3)
2
例1 假设某国家20年期间的年均通货膨胀率为5%， 物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系： 其中p0为t＝0时的物价. 假定某种商品的p0＝1，那么 在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多 少（精确到0.01）？
5284 5 2 8 4 ' (1 0 0 x ) 5 2 8 4 (1 0 0 x )' c'( x) ( )' 100 x (1 0 0 x ) 2
0 (100 x ) 5284 ( 1) 5284 2 (100 x ) (100 x ) 2
f (x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 3. ( g ( x ) 0) 2 g (x) g ( x)
新 课
2 f ( x ) ( a x ) 练习 设
,计算
2
f＇ ( x) .
解 ｆ( x) a 2ax x
p (t ) p 0 (1 5 % )
t
解
p ( t ) 1 (1 5 % ) 1 .0 5 t p ' ( t ) 1 . 0 5 ln 1 . 0 5
t
t
p ' ( 1 0 ) 1 . 0 5 ln 1 . 0 5 0 . 0 8 ( 元 / 年 ) 答: 在第10个年头，这种商品的价格上涨的速 分析：
(1) 求第8 s末水位上升的瞬时速度；
(2) 求水深为3cm时，水位上升的瞬时速度.
解 设第t s末水深为h cm, 则
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化。
在本文中，我将介绍二阶导数的计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数表示为f''(x)，它是函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数。
换句话说，二阶导数是函数的斜率的变化率。
二、二阶导数的计算公式1. 使用极限定义法计算二阶导数：根据极限定义法，函数f(x)的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x) = lim [f'(x + h) - f'(x)] / h，其中h趋近于0。
2. 使用链式法则计算二阶导数：对于复合函数，我们可以使用链式法则来计算二阶导数。
假设y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是函数，那么二阶导数可以通过以下公式计算：y''(x) = f''(g(x)) * [g'(x)]^2 + f'(g(x)) * g''(x)三、二阶导数的应用1. 函数的凹凸性分析：二阶导数可以帮助我们分析函数的凹凸性。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处是凹的；如果f''(x) < 0，那么函数在x处是凸的。
2. 极值点的判断：通过二阶导数可以判断函数的极值点。
如果f''(x) > 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最小值；如果f''(x) < 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最大值。
3. 曲线的拐点分析：二阶导数可以帮助我们分析函数曲线的拐点。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凹向凸；如果f''(x) < 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凸向凹。
4. 泰勒展开：在数值计算中，二阶导数也可以用于泰勒展开的计算中。
五类型函数的二阶导数计算方法举例习题L2
五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。
1. 基础复合函数二阶导数2. 函数和差类型二阶导数3. 函数乘积类型二阶导数4. 函数商类型二阶偏导数5. 三角函数二阶偏导数五种类型函数的二阶导数计算题及答案步骤一、基础复合函数二阶导数☂1：求y=(2x+24)4二阶导数。
☂2：求y=22-24x 2 的二阶导数。
☂3：求y=e 5x 二阶导数y"的计算过程。
☂4：计算y=sin(27x+30)的二阶导数。
☂5：求y=e 3x 2cos1x+53x 二阶导数。
☂6：求y=ln(4x-3x 2-22)的二阶导数。
二、函数和差类型二阶导数☂7：求y=5x4+25x-75的二阶导数。
☂8：求y=3x6+22x8-43x+3的二阶导数。
☂9：求y=x3-7x6+28x+15的二阶导数。
☂10：计算y=12x5-sin6x的二阶导数。
☂11：求y=cos(2x+7)+x8+e2的二阶导数过程。
三、函数乘积类型二阶导数☂12：求函数y=x(33-54x)的二阶导数。
☂13：y=xe7x的二阶导数。
☂14：y=x 4*10x的二阶导数。
☂15：求y=xe -x 4+5的二阶导数。
☂16：y=sin21x*cos15x，求此函数的二阶导数。
☂17：z=xln(3x+5y)，求其所有二阶偏导数。
四、函数商类型二阶偏导数☂18：求y=x-90x+35的二阶导数。
☂19：函数 y=7x 2-15x+25的二阶导数。
☂20：求y=5x 28+x 2的二阶导数。
☂21：计算y=sin2x x+3的二阶导数。
☂22：求y=10x+x x 2-37的二阶导数。
五、三角函数二阶偏导数☂23：y=sin 3x 求二阶导数。
☂24：求函数y=cos6xtan7x 的二阶导数。
☂25：求函数y=cos(14x+20)x的二阶导数。
【课件】人教版2-2 1.2《导数的计算》 课件
巩固练习
求函数y f ( x) x3的导数。
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim ( x x)3 x3 lim 3x2 x 3x(x)2 3(x)3
x0
x
x0
x
lim (3x2 3x x 3(x)2 ) 3x2 x0
1； x2
且随x的变化，斜率在变化； 当x 0时，x ，y 1 减小得越来越快；
x 当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢。
② y ' |x1
1 x2
|x1
1, 斜率k
1所求方程为：x
y
2
0
例5：求函数y f ( x) x的导数。
解：y' lim f ( x x) f ( x)
c'(x)
( 5284 )' 100 x
5 2 8 4 '(1 0 0
x) 5284 (1 0 0 x ) 2
(1 0 0
x)'
0 (100 x ) 5284 (1) (100 x ) 2
5284 (100 x)2
(1)因 为 c ' (90)
O
x
从几何的角度理解：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x；
且随x的变化，斜率在变化；
当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢；
当x 0时，x ，y x2增加得越来越快。
从物理的角度理解：
1.2.2导数的运算法则(二)
1.2.2 导数的运算法则（二）【学习目标】理解复合函数概念，记住复合函数的求导法则.理解导数的物理及几何意义；会求曲线上某点处的切线.【基本概念】一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量y u ,可以表示成x 的 ，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的 ，记作 .如果函数)(),(x g u u f y ==和它们的复合函数))((x g f y =的导数分别记为,]))(([),(),('=''=''='x g f y x g u u f y x x u 那么='x y . 即y 对x 的导数等于y 对 的导数与u 对 的导数的 .【例证题】例1 求下列函数的导数（1）5)32(+=x y （2）)1ln(2+=x y （3）32--=x e y（4）)sin(ϕπ+=x y （其中ϕπ,均为常数）例2 求下列函数的导数（1）)63sin(2π+=x x y （2）x x x y 3cos 2sin += （3）x x y -=1 （4）)12(2+=x y （5）)132(log 22++=x x y （6）x x y 2sin ln=例3 已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(，且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切，求c b a ,,的值.姓名： 学号：【作业】1、函数,)23()(3x x f -=则)(x f '=（ ）2)23(3.x A - 2)23(6.x B - 2)23(6.x C -- 3)23(2.x D --2、若函数),32cos(3)(π+=x x f 则)2(πf '=（ ） 33.-A 33.B 36.-C 36.D3、函数12+=x y 的导数为（ ）121.2+x A 12.2+x x B 1.2+-x x C 1.2+x x D4、函数42-=x e y 在点2=x 处的切线方程为（ ）032.=--y x A 032.=-+y x B 012.=+--e y ex C 012.=-++e y ex D5、★函数22cos 53sin x x y +=的导数是（ ）2s i n 53s i n 2.x x A - 2s i n 106sin 2.x x x B -2s i n 106sin 3.x x C + 2s i n 106sin 3.x x x D -6、若函数)1(log )(3-=x x f ，则2='x y = . 7、已知函数xx x x x x f 153)(2+-+=，则)(x f '= . 8、曲线41-+=x x y 在点8=x 处的切线方程是 . 9、曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程是 .。
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导计算公式是微积分中的重要概念，它用于求函数的二阶导数。
二阶导数表示函数的变化率的变化率，它是函数变化的加速度。
以下是常见的二阶导计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义设函数f(x)在区间I上可导，如果f'(x)在I上也可导，则称f(x)在I上具有二阶导数，记为f''(x)，即 f''(x) = (f'(x))'二、常见函数的二阶导数1. 多项式函数对于函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为自然数，有 f''(x) = n(n-1)ax^(n-2)。
例如，对于函数f(x) = 3x^4，有 f''(x) = 3*4*4x^2 = 24x^2。
2. 指数函数对于指数函数f(x) = e^x，有 f''(x) = e^x。
例如，对于函数f(x) = e^x，有 f''(x) = e^x。
3. 对数函数对于对数函数f(x) = ln(x)，有 f''(x) = -1/x^2。
例如，对于函数f(x) = ln(x)，有 f''(x) = -1/x^2。
4. 三角函数对于正弦函数f(x) = sin(x)，有 f''(x) = -sin(x)。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，有 f''(x) = -sin(x)。
三、二阶导数的应用1. 凸凹性判断通过判断函数的二阶导数的正负可以确定函数的凸凹性。
如果f''(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是凸函数；如果f''(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是凹函数。
例如，对于函数f(x) = x^2，有 f''(x) = 2 > 0，因此函数f(x)在整个实数域上是凸函数。
2. 求极值点函数的极值点通常出现在函数的一阶导数为0的点上。
2019教育第一章12123基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)数学
类型 1 导数运算法则的应用(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； (2)y＝lg x－ex； (3)y＝ 1x·cos x； (4)y＝x－sinx2·cosx2.
解：(1)y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
温馨提示 求导过程中，分步计算的每一步必须明 确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的导数．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) (4)y＝e2x 的导数是 y′＝2·e2x.( )
(3)法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1 x(cos
x)′＝(x
－12)′cos x－ 1xsin x＝－12x－32cos x－ 1xsin x＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x.
法二
y′
＝
1x·cos
x
(2)由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，所以 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线 过点(2，7)， 所以 7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1. 答案：(1)4x－y－3＝0 (2)1
【精品高中数学必修第二册】1.2 导数的计算1.2.1-1.2.2 Word版含答案
1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝limΔx→0(4 026x＋2 013Δx)＝4 026x.规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________． 答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解(1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x.法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A．a B．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2020·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[学习目标]1．能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．[知识链接]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义求函数y＝f(x)的导数？答(1)计算ΔyΔx，并化简；(2)观察当Δx趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值；(3)ΔyΔx趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导数．[预习导引]1．几个常用函数的导数2．基本初等函数的导数公式要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)＝2 013x2的导数．解f′(x)＝limΔx→02 013(x＋Δx)2－2 013x2x＋Δx－x＝limΔx→02 013[x2＋2x·Δx＋(Δx)2]－2 013x2Δx＝limΔx→04 026x·Δx＋2 013(Δx)2Δx＝lim Δx →0 (4 026x ＋2 013Δx ) ＝4 026x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤． (2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )、(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用． 跟踪演练1 用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． 解 y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x ·Δx ＋a ·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a . 要点二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34′＝34x －14＝344x ； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12； (4) y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.要点三 利用导数公式求曲线的切线方程例3 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0.规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．跟踪演练3 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解 ∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|x ＝x 0＝2x 0， 又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ， ∴k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9答案 C解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C ．12xD ．32 答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1， ∴αl ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ， 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．过曲线y ＝1x 上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4. 4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．5．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为： y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5.(3)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e答案 D解析y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1，∴a ＝1.10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．答案 22 解析根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离． 解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 014(x)．解f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x．1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[知识链接]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．[预习导引]1．导数运算法则2．复合函数的求导法则要点一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1) y ＝x 3－2x ＋3； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2. (2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10.规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋x cos x；(3)y＝e x·ln x；(4)y＝lg x－1 x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x；(3)y′＝e xx＋ex·ln x；(4)y′＝1x ln 10＋2x3.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝(1＋sin x)2；解(1)y＝ln u，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)y＝u2，u＝1＋sin x，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(1＋sin x)′＝2u·cos x＝2cos x(1＋sin x)．规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2(1)y＝e2x＋1；(2)y＝(x－2)2.解(1)y＝e u，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(e u)′·(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x .法二 令u ＝x －2，则y x ′＝y u ′·u x ′＝2(x －2)·(x －2)′＝ 2(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x －0＝1－2x .要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程． 解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为 k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ②又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解． 跟踪演练3 已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度． 解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327 m/s.1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ， ∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B．x sin x －sin x －cos x(1－x )2C ．cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D．cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案A解析∵y′＝x′(x＋2)－x(x＋2)′(x＋2)2＝2(x＋2)2，∴k＝y′|x＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.答案ln 2－1解析设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴12＝1x0，∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b，∴b＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)答案D解析y′＝－2(e x sin x＋e x cos x)＝－2e x(sin x＋cos x)．2．当函数y＝x2＋a2x(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．22答案 B 解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．10．(2020·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2解析 令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝11＋1＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程． 解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16， 即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新13．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． (1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ①又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74， ② 由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74.解之得⎩⎨⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
导数计算(2)
（理）1.2 导数的计算1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（文）3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则［素养目标］1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。
2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。
【课前·预习案】[问题导学]知识点1. 导数的运算法则【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能．〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数符号表示：⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)．（理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π4，y ＝f (u )＝cos u ，∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )(3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( )解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x +x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋1x ，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.答案：A3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos2x ＋sin2xB ．y ′＝cos2x －sin2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：y ′＝(sin x ·cos x)′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x)＝cos2x －sin2x.答案：B4．若f(x)＝(2x ＋a)2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax ＋a2，∵f ′(x)＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：15．设f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________.解析：∵f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4·⎝⎛⎭⎫3x ＋π4′ ＝6cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝6cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋π4＝－6. 答案：－6【课堂·探究案】探究一 导数的四则运算法则的应用 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)； (3)y ＝33x 4＋4x 3.【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝⎝⎛⎭⎫15x 5′－⎝⎛⎭⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.(2)法1：y ′＝(3x 5－4x 3)′(4x 5＋3x 3)＋ (3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)′＝(15x 4－12x 2)(4x 5＋3x 3)＋(3x 5－4x 3)(20x 4＋9x 2)＝60x 9－48x 7＋45x 7－36x 5＋60x 9－80x 7＋27x 7－36x 5＝120x 9－56x 7－72x 5.法2：∵y ＝12x 10－7x 8－12x 6 ∴y ′＝120x 9－56x 7－72x 5. (3)y ′＝(33x 4＋4x 3)′＝(3x 43)′＋(4x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x －1x ＋1.解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2； 解法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝2(x ＋1)2. 答案：(1)y ′＝sin x cos x ＋xcos 2x (2)y ′＝3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝2(x ＋1)2（理）探究二 复合函数的导数 【例2】求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3. (2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝1(1－2x )1－2x；(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln100)102x ＋3.【方法总结】 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)3； (2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12. (2)函数y ＝e－0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u)′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e－0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝π cos(πx ＋φ)． 探究三 导数的应用命题角度一 与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018高考全国高考I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =(2)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．（理）（3）求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解析：(1) ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =. 答案：D解：(2)∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23，∴切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0.（3）∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x＋1，∴y ′|12x =-＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.【互动探究】 题(2)的条件改为“f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，且f ′(1)＝5”，求曲线在(1，f (1))处的切线方程．解：∵f ′(x )＝x 2－4x ＋a ， ∴f ′(1)＝1－4＋a ＝5，∴a ＝8， ∴f (x )＝13x 3－2x 2＋8x ，∴f (1)＝193，则切线方程为y －193＝5(x －1)，即15x －3y ＋4＝0.【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 【跟踪训练3】(1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．（理）（3）曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解析：（1）y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. 答案：B（2）由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，y |x ＝0＝1，即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.（3）设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′. ＝cos x e sin x . y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.命题角度二 与最值有关的应用[例4]在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【素养解读】∴点P ⎝⎛⎭⎫23，－49， 即抛物线y ＝－x 2上的点⎝⎛23距离最小．很多综合问题我们可以数形即切线的往可以结合导数4】已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x P 到直线y ＝x －2的最小距离．P 作y ＝x －2的平行直线，且与2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝＝ 2. 【本节小结】【基础巩固】1．（2018•山西太原市期中）已知函数f （x ）=sinx ﹣x ，则f′（0）=（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．﹣2解析：f′（x ）=cosx ﹣1，∴f′（0）=cos0﹣1=1﹣1=0．答案：A2．（2018•四川资阳雁江区期中）下列运算正确的个数为（）A ．B．（3x）'=3x log3eC．（lgx）′=D．（x2cosx）'=﹣2xsinx解析：根据题意，依次分析选项：对于A ，）′==，正确；对于B，（3x）'=3x ln3，错误；对于C，（lgx）′=，错误；对于D，（x2cosx）'=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，错误；答案：A3.（2018•河南商丘市期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0解析：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0．答案：D4.（2018•福建三明三元区月考）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f （x ）=x3﹣x2+8（0≤x＜5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（）A．8 B ．﹣C．﹣1 D．﹣8 解析：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x ﹣）2﹣，∵0≤x≤5∴x=时，f′（x ）的最小值为﹣，即原油温度的瞬时变化率的最小值是﹣.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝() A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，解得f′(e)＝－1e.答案：C6．(2018•高考全国高考II卷）曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：由()2lny f x x==，得()2f xx'=，则曲线2lny x=在点()1,0处的切线的斜率为()12k f='=，则所求切线方程为()021y x-=-，即22y x=-．答案：y =2x –27．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6（文）8．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝12ln2.答案：12ln2（理）8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.答案：π69．求下列函数的导数(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；（理）(3)y ＝ln(2x 2＋x )；（理）(4)y ＝x ·2x －1.解：(1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9. 方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′ ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x2x －1＝3x －12x －1. 10.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－bx 2， 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.【能力提升】11．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 解析： f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ， ∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .答案：C（文）13.已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.答案： 14（理）13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析：设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．答案：(1,1)14．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.答案：212【创新探究】15．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y′|x＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，解得b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y ＝2x－4.。
数学2自我小测：2导数的计算(第2课时)
自我小测1．已知f （x ）＝ax 3＋3x 2＋2,若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!2．若曲线y ＝错误!在点(3，2）处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直,则a 等于（ )A ．2B ．错误!C ．－错误!D ．－23．函数y ＝12(e x ＋e －x ）的导数是（ ） A ．12(e x －e －x ) B ．错误!(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x4．函数f (x ）＝x cos x －sin x 的导函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数5．曲线y ＝2e x 在点(4,e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．4e 2B ．2e 2C ．e 2D ．错误!e 26．已知函数f （x )＝(x －1）（x －2)(x －3），则f ′(1）＝__________.7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为__________．8．已知y＝错误!,x∈（－π，π)，当y′＝2时，x＝________。
9．已知函数f(x)＝ln（ax＋1）＋错误!，x≥0，其中a＞0，若f′(1）＝0，求a的值．10．若函数f（x)＝错误!在x＝c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值．参考答案1．解析：∵f′(x）＝3ax2＋6x,∴f′（－1）＝3a－6＝4.∴a＝错误!。
答案：B2．解析:∵y＝错误!＝1＋错误!,∴y′＝－错误!,∴y′|x＝3＝－错误!,∴－a＝2,∴a＝－2。
答案:D3．解析：设u＝e－x,v＝－x，则u′x＝（e v）′v′＝e v·(－1)＝－e－x，即y′＝错误!(e x－e－x）．答案:A4．解析：∵f′(x)＝x′cos x＋x（cos x)′－cos x＝－x sin x,∴f′（－x）＝x sin(－x）＝－x sin x＝f′(x)．∴f′(x）为偶函数．答案:B5．解析：由导数的几何意义，切线的斜率k＝y′|x＝4＝错误!2e x|x＝4＝错误!e2,所以切线方程为y－e2＝错误!e2(x－4），令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.所以切线与坐标轴所围三角形的面积为S＝错误!×2e2＝e2。
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（理）1.2 导数的计算1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（文）3.2 导数的计算3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则［素养目标］1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。
2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。
【课前·预习案】[问题导学]知识点1. 导数的运算法则【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能．〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)商的导数符号表示：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)．（理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的导数．【提示】令u ＝g (x )＝3x －π4，y ＝f (u )＝cos u ，∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4.〖梳理〗复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评]1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )(3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( )解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cosx+x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－sin 1B ．1＋sin 1C ．sin 1－1D ．－sin 1解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋1x，所以f ′(1)＝－sin 1＋11＝1－sin 1.答案：A3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos2x ＋sin2xB ．y ′＝cos2x －sin2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：y ′＝(sin x ·cos x)′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x)＝cos2x －sin2x.答案：B4．若f(x)＝(2x ＋a)2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f(x)＝4x2＋4ax ＋a2， ∵f ′(x)＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1. 答案：15．设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4′＝6cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝－6.答案：－6【课堂·探究案】探究一 导数的四则运算法则的应用 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝(3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)； (3)y ＝33x 4＋4x 3.【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3.(2)法1：y ′＝(3x 5－4x 3)′(4x 5＋3x 3)＋ (3x 5－4x 3)(4x 5＋3x 3)′＝(15x 4－12x 2)(4x 5＋3x 3)＋(3x 5－4x 3)(20x 4＋9x 2)＝60x 9－48x 7＋45x 7－36x 5＋60x 9－80x 7＋27x 7－36x 5＝120x 9－56x 7－72x 5.法2：∵y ＝12x 10－7x 8－12x 6 ∴y ′＝120x 9－56x 7－72x 5. (3)y ′＝(33x 4＋4x 3)′＝(3x 43)′＋(4x 32)′＝4x 13＋6x 12＝43x ＋6x .【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．【跟踪训练1】求下列函数的导数．(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1.解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x.(2)解法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11；(3)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.答案：(1)y ′＝sin x cos x ＋xcos 2x (2)y ′＝3x 2＋12x ＋11 (3)y ′＝2x ＋12（理）探究二 复合函数的导数 【例2】求下列函数的导数： (1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3.【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．解：(1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x；(3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)．(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.【方法总结】 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y ＝(2x ＋3)3； (2)y ＝e －0.05x ＋1； (3)y ＝sin(πx ＋φ)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u 和函数u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π ＝π cos(πx ＋φ)． 探究三 导数的应用命题角度一 与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018高考全国高考I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =(2)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，在曲线y ＝f (x )的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线y ＝x 垂直．求a 的值和切线l 的方程．（理）（3）求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．解析：(1) ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x =+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =. 答案：D解：(2)∵f (x )＝13x 3－2x 2＋ax ，∴f ′(x )＝x 2－4x ＋a .由题意可知，方程f ′(x )＝x 2－4x ＋a ＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a ＋1)＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝－1可化为x 2－4x ＋4＝0.解得切点横坐标为x ＝2， ∴f (2)＝13×8－2×4＋2×3＝23，∴切线l 的方程为y －23＝(－1)×(x －2)，即3x ＋3y －8＝0.∴a ＝3，切线l 的方程为3x ＋3y －8＝0. （3）∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1， ∴y ′|12x =-＝2，∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程为y －1＝2(x ＋12)，即2x －y ＋2＝0.【互动探究】 题(2)的条件改为“f (x )＝13x3－2x 2＋ax (x ∈R ，a ∈R )，且f ′(1)＝5”，求曲线在(1，f (1))处的切线方程．解：∵f ′(x )＝x 2－4x ＋a ，∴f ′(1)＝1－4＋a ＝5，∴a ＝8， ∴f (x )＝13x 3－2x 2＋8x ，∴f (1)＝193，则切线方程为y －193＝5(x －1)，即15x －3y ＋4＝0.【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 【跟踪训练3】(1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．（理）（3）曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．解析：（1）y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x 2＝1sin x ＋cos x2，故y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.答案：B（2）由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知⎩⎨⎧f 0＝c ，y |x ＝0＝1，即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.（3）设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sinx )′.＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0， 即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝|c －1|2＝2⇒c ＝3或c ＝－1.故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.命题角度二 与最值有关的应用[例4]在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小． 【素养解读】 信息提取 信息转换 素养达成在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直转化为求与直线4x ＋3y －8＝0平逻辑推理：抛物线上到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小的点，线4x ＋3y －8＝0的距离最小.行，且与抛物线y ＝－x 2相切的直线. 转化为平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点．数学运算：导数的运算；解方程.设切点，解关于切点的横坐标的方程.解：如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ，∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，即抛物线y ＝－x 2上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49到直线的距离最小．【方法总结】导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．【跟踪训练4】已知点P是曲线y＝x2－ln x 上一点，求点P到直线y＝x－2的最小距离．解：过P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－ln x相切，设P(x0，x20－ln x0)，则k＝y′|x＝x0＝2x0－1x 0＝1，∴x0＝1或x0＝－12(舍去)，∴p的坐标为(1,1)，∴d min＝|1－1－2|1＋1＝ 2.【本节小结】【课时作业】【基础巩固】1．（2018•山西太原市期中）已知函数f（x）=sinx﹣x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2解析：f′（x）=cosx﹣1，∴f′（0）=cos0﹣1=1﹣1=0．答案：A2．（2018•四川资阳雁江区期中）下列运算正确的个数为（）A．B．（3x）'=3x log3eC．（lgx）′=D．（x2cosx）'=﹣2xsinx解析：根据题意，依次分析选项：对于A ，）′==，正确；对于B，（3x）'=3x ln3，错误；对于C，（lgx ）′=，错误；对于D，（x2cosx）'=（x2）′cosx+x2（cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，错误；答案：A3.（2018•河南商丘市期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0解析：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0．答案：D4.（2018•福建三明三元区月考）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度（单位：℃）为f （x ）=x3﹣x2+8（0≤x＜5），那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（）A．8 B ．﹣C．﹣1 D．﹣8解析：由题意，f′（x）=x2﹣2x=（x ﹣）2﹣，∵0≤x≤5∴x=时，f′（x ）的最小值为﹣，即原油温度的瞬时变化率的最小值是﹣.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( ) A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e解析：∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，解得f′(e)＝－1e.答案：C6．(2018•高考全国高考II卷）曲线2lny x=在点(1,0)处的切线方程为__________．解析：由()2lny f x x==，得()2f xx'=，则曲线2lny x=在点()1,0处的切线的斜率为()12k f='=，则所求切线方程为()021y x-=-，即22y x=-．答案：y=2x–27．(全国大纲卷改编)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析：y′＝4x3＋2ax，因为曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，所以y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.答案：－6（文）8．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.解析：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2. 答案：12ln2（理）8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6.若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )． 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.答案：π69．求下列函数的导数(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；（理）(3)y ＝ln(2x 2＋x )；（理）(4)y ＝x ·2x －1.解：(1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9. 方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′ ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x . (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.10.已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．解：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎨⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎨⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1.【能力提升】11．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1. ∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3. 答案：D12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析： f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .答案：C（文）13.已知直线x －y －1＝0与抛物线y＝ax 2相切，则a 的值为________． 解析：设切点为P (x 0，y 0)． 则f ′(x 0)＝2ax 0，即2ax 0＝1.又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，联立以上三式，得⎩⎨⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.答案： 14（理）13．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________.解析：设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)． 答案：(1,1)14．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋.精选文档 [(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 答案：212 【创新探究】 15．已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程． 解：∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ， 根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。