第7章截面几何性质答案

第七章 截面几何性质

基本要求与重点

1. 形心与重心

（1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。

（2）记住以下常见规则几何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形 （3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。 2. 面积静矩（又称静矩或面矩）

（1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。 （2）能熟练计算组合图形的静矩。 （3）熟知面积静矩的重要性质。 3. 惯性矩与极惯性矩。

（1）理解惯性矩与极惯性矩

（2）了解惯性矩与极惯性矩的定义

（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系

（4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。 （5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩 （6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。 4. 了解惯性积、形心主轴的概念

主要内容

1. 形心与重心

（1）概念与性质 重心是物体的重力中心，形心是几何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位

置重合 若存在几何对称同，则形心必在对称轴上。

（2）计算 形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的计算公式：

2. 面积静矩（又称静矩或面矩）

（1）定义：分为代数式和积分式两种形式 有限式：几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标

值，称为该图形对该轴的静矩。 积分式：几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩； 所有点的元面积静矩之和，为几何图形的对该轴的静矩。

（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心； 反之亦然。也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。

（3）计算

根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算，工程中主要是利用代数式进行计算

nn

S x S ix

y i A i y c A

i 1 i 1

x c

n

x ic A i i1

y c

n

y ic

A i

i1

A

nn

S y S iy x i A i x c A

i 1 i 1

3. 惯性矩与极惯性矩。

（1）定义

点对轴的惯性矩：dI

z y 2 dA，dI y z 2 dA

点对点的极惯性矩2

dI O 2dA

图形对轴的惯性矩22

I z y2dA , I y z 2dA

AA

图形对点的惯性矩

2 I p 2dA

A

（3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系

若I y、I z 是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，I p 是对该坐标系原点O 的极惯性矩。则：

I p I z I y

（4）惯性矩的平行轴定理：几何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。（太长了，慢慢读）即：

2

I z I z C A d 2

（5）组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。

第1 步：将图形分割为几个简单图形，按形心计算公式求出总的形心位置。

第2 步：利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。

第3 步：将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。

4. 惯性积、形心主轴的概念

惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。

I yz A z ydA

A

惯性积的值可为：正、负或零。

当I yz 0时，对应的坐标轴y、z 称为主轴，对主轴的惯性矩称为主惯性矩。

当坐标原点在形心时，对应的坐标轴称为形心主轴；对应的惯性矩称为形心主惯性矩。两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。

思考题与习题

C 为形心， z 为形心轴，问 z 轴上下两部分对 z 轴的静矩存在

答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正） 。

7-2 ．如图所示矩形截面 m-m 以上部分对形心轴 z 的静矩和 m-m 以下部分对形心轴 z 的 静矩有

何关系？

答：同上

7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、 可负、还

可为零？

答:定义在主要内容中所详细说明。 由定义可知，它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。 面积元为正，坐标可能为正、 负、零。所以惯性积，可为正、负、零。而（极）惯性矩是面积与坐标平方的积，恒为正，所 以它们的积分也为正。

7-4．图 a 所示矩形截面，若将形心轴 z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形 截面图 b ，问此截面对 z 轴的惯性矩有何变化？为什么？

7-1 ．如图所示 T 形截面， 什么关系？

b）图离轴远的点更多。

4

7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩I z D，则对z1轴的惯性矩如下128

计算是否正确？为什么？

Iz1 I1 a2A D4 D 2D 2 5 D4

z1 1128 2 8 128

答：不对。

平行移轴公式I z I z C a2A 中，I z C的轴必须是过形心且与z 平行的轴。

7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z是否就是图形形心到该轴的距离？

答：1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：i z I A z。惯性半径不是图形形心到该轴

的距离。

2.不是，由上式可以看出惯性半径恒大于零，图形形心到该轴的距离可以等于零。（什么时候？）

7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z1轴，试计算对z1z1 轴的静矩。