21等差数列

第二十一讲：等差数列

一、知识提纲

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2

，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋

n n －1

2

d ＝

n a 1＋a n

2

.

3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 4．常用结论

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．

(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差

是{a n }公差的1

2

.

(7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶

＝

a n

a n ＋1

. (8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1

. (9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎨

⎧

a m ≥0，

a m ＋1≤0的项数m 使得S n

取得最大值S m ；若a 1<0，d >0，则满足⎩⎨

⎧

a m ≤0，

a m ＋1≥0

的项数m 使得S n 取得最小值

S m .

二、巩固练习

1、(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )

A ．3

B ．7

C ．9

D ．10

3、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )

A ．420

B ．340

C ．－420

D ．－340

5、在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )

A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

6、已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

.

(1)求证：⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列．

(2)求a n的表达式．

7、已知数列{a n}的前n项和S n＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于( )

A．13 B．49 C．35 D．63

8、已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－

1

a

n－1

(n≥2，n∈N*)，设b n＝

1

a

n

－1

(n∈N*)．求

证：数列{b n}是等差数列．

9、已知在等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝( )

A．10 B．20

C．40 D．2＋log

2

5

10、设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若a5＝2b5，则S

9

T

9

＝( )

A．2 B．3 C．4 D．6

11、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )

A．63 B．45 C．36 D．27

12、在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为( )

A．S15B．S16 C．S15或S16 D．S17

13、在等差数列{a n}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )

A．－12 B．－13 C．12 D．13

14、设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为( )

A．6 B．7 C．12 D．13

15、设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S

n

＝324(n＞6)，则数列{a n}的项数为________．

16、在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋2，S n为{a n}的前n项和，则S10等于( )

A．90 B．100