北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案解析

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北师大版九年级上册数学期中测试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF 为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，连接DE 交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD 为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2 B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF 为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE，连接DE 交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD 为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1；12．20；13．18；14．25%；15．5；16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．做好时间规划才能更有效率充分——利用你的一天时间我们都知道,对于中学生来讲,很大程度上,一个人学习成绩的好坏,是与他是否会管理自己的时间有关的。

2024年北师大版九年级上册数学期中模拟试题+答案

北师大版九年级上册期中模拟测试数学试题（1）（1-3章）考试时间:120分钟满分150分班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________一、单选题（本大题共10小题，总分40分）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直2．关于x的一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．2，3，﹣1B．2，﹣3，1C．2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，13．物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．13B．23C．12D．144．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（）A．2√5B．2√3C．4D．25．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2021年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2023年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（）A．18（1+x2）＝23.6B．18（1﹣x）2＝23.6C．23.6（1﹣x）2＝18D．18（1+x）2＝23.66．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．27．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，BE平分∠CBD，交CD于点E，交OC于点F，若AB ＝4，则CF的值为（）A．32B．4√2−4C．2√2+2D．28．若x1，x2为方程x2+4x﹣1＝0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（）A．5B．﹣5C．﹣3D．39．若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值是（）A．3B．4C．3或4D．210．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△ODP，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为10；③当P在运动过程中，CD的最小值2√34−6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，总分20分）11．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表：投篮总次数n1020501002005001000投中次数m8184286169424854投中的频率0.80.90.840.860.8450.8480.854根据上表，该运动员投中的概率大约是（结果精确到0.01）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作OE⊥AD，垂足为E，若AB＝6，则OE的长为．13．若m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的实数根，则代数式m2+m+2＝．14．已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0的两根，第三边长为4，当△ABC是等腰三角形时，则k的值是．15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，总分90分）16．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；17．求阴影部分面积．（单位：厘米）18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0．（1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值；（2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．19．已知：关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；（2）若xx12+xx22+x1x2＝3，求m的值．20．3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示．根据上述信息，解决下列问题．（1）本次调查总人数为，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；（2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数；（3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，连接BE．求证：四边形AEBD是矩形．22．阅读与思考配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式2x2﹣x+2+y2的最小值．我们使用的方法如下：原式=2(xx2−12xx)+2+yy2=2(xx2−12xx+116−116)+2+yy2=2(xx2−12xx+116)−18+2+yy2=2(xx−14)2+yy2+158．∵2(xx−14)2≥0，y2≥0，∴2(xx−14)2+yy2+158≥158，∴2x2﹣x+2+y2的最小值是158．根据材料方法，解答下列问题．（1）﹣x2+4x﹣1的最大值为；（2）求m2+n2+6m﹣4n+15的最小值．23．如图，矩形ABCD的对角线交于点G，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABEC为平行四边形；（2）过点D作DF⊥BE于F，连接FG，若AB＝1，BC＝2，求FG的长．24．已知菱形ABCD的两边AB，AD的长为关于x的方程xx2−mmxx+mm2−14=0的两个实数根．（1）求m的值；（2）求菱形ABCD的周长．25．如图1，正方形ABCD中，E为对角线上一点．（1）连接DE，BE．求证：BE＝DE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，FE交AB于点G．①求证：BF＝FG；②当BE＝BF时，求证：GGGG=(√2−1)DDGG．参考答案一、单选题（本大题共10小题，总分40分）1-5．BAABD．6-10．ABBCC．二、填空题（本大题共5小题，总分20分）11．0.85．12．3．13．3．14．2或3．15．7．三、解答题（本大题共10小题，总分90分）16．解：（1）[2（x﹣1）]2﹣32＝0，[2（x﹣1）+3][2（x﹣1）﹣3]＝0，即（2x+1）（2x﹣5）＝0，∴2x+1＝0或2 x﹣5＝0，解得：xx11=−1122，xx22=5522；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴xx−11=±√66，解得：xx11=11+√66，xx22=11−√66．17．解：S阴影=1122×5×（5+4）﹣（52−1144π×52）=225522−111144（平方厘米），答：阴影部分的面积为225522−111144平方厘米．18．（1）解：把x＝2代入x2﹣2mx+2m﹣2＝0中得：22﹣4m+2m﹣2＝0，解得m＝1；（2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4≥0，∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根．19．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∴Δ≥0，故无论m为何值，方程总有实数根．（2）解：由题意得：x1+x2＝m+2，x1•x2＝2m，∵xx_11(xx11+xx22)22−22xx11xx22+xx11⋅xx22=(xx11+xx22)22−xx11⋅xx22，∴（m+2）2﹣2m＝3，整理得：m2+2m+1＝0，解得：m＝﹣1．20．解：（1）20÷10%＝200（人），∴本次调查总人数为200；200﹣（40+20+60+30）＝50（人），∴喜欢24点游戏的有50人；补全条形统计图如下：故答案为：200；（2）3000×6611221111=900（人），∴该校参加魔方游戏的学生人数约为900人；（3）根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是881122=2233．21．证明：∵AE∥BC，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．22．解：（1）﹣x2+4x﹣1＝﹣（x2﹣4x）﹣1＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）﹣1＝﹣（x﹣2）2+4﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，∵﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+3≤3，∴﹣（x﹣2）2+3的最大值为3．∴﹣x2+4x﹣1的最大值为3；（2）m2+n2+6m﹣4n+15＝m2+6m+9+n2﹣4n+4+2＝（m+3）2+（n﹣2）2+2∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，∴（m+3）2+（n﹣2）2+2≥2，∴（m+3）2+（n﹣2）2+2的最小值为2，∴m2+n2+6m﹣4n+15的最小值为2．23．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵E点在DC的延长线上，∴AB∥CE，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC为平行四边形．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BG＝DG，AC＝BD，即G点是BD中点，∵AB＝1，BC＝2，∴AAAA=√AABB22+BBAA22=√1122+2222=√55，∴BBBB=√55，∵DF⊥BE，∴∠BFD＝90°，∴FFFF=1122BBBB=�5522．24．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵两边AB，AD的长为关于x的方程xx22−mmxx+mm22−1144=11的两个实数根，∴ΔΔ=(−mm)22−44(mm22−1144)=mm22−22mm+11=11，解得：m1＝m2＝1，∴m的值为1；（2）由（1）得：m＝1，∴方程为xx22−xx+1144=11，解得：xx11=xx22=1122，∵四边形ABCD是菱形，∴AABB=AABB=BBAA=BBAA=1122，∴菱形ABCD的周长为44×1122=22．25．（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD＝90°，∴∠AGD+∠ADG＝90°，由（1）知，△ABE≌△ADE，∴∠ADG＝∠EBG，∴∠AGD+∠EBG＝90°，∵FB⊥BE，∴∠EBF＝90°，∴∠FBG+∠EBG＝90°，∴∠AGD＝∠FBG，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝∠FGB，∴FG＝FB；②证明：∵FB⊥BE，∴∠FBE＝90°，在Rt△EBF中，BE＝BF，∴EEFF=√BBEE22+BBFF22=√BBEE22+BBEE22=√22BBEE，由（1）知，BE＝DE，由①知，FG＝BF，∴FG＝BF＝BE＝DE，∴FFEE=EEFF−FFFF=√22BBEE−BBEE=√22BBEE−BBEE=(√22−11)BBEE。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（）A．B．6米C．D．3米2．下列各组图形中一定相似的图形是（）A．底角对应相等的两个等腰梯形B．有一个角为60的两个菱形C．两邻边之比相等的两个平行四边形D．两个矩形3．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变成菱形，需要添加的条件是（）A．AC=BD B．AD=BC C．AB=BC D．AB=CD4．a、b、c是ABC的三边长，且关于x的方程222-++=有两个相等的实x2cx a b0数根，这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形∽，相似比为1:2，则ABC与A'B'C'的面积比为（）5．已知ABC A'B'C'A．1:2 B．2:1 C．1:D．1:46．如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是（）A．15 B．16 C．19 D．207．如图，Rt ABC 中，点D 是斜边AB 上一点，过点D 作一条任意直线，使所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线可以作（）条．A ．1B ．2C ．3D ．48．一个等腰三角形的两条边长分别是方程27100x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是（）A ．12B ．9C ．13D ．12或99．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且DE //AC ，若BDE CDE S :S 1:3=，则BDE ACD S :S (= )A ．1:5B ．1:9C ．1:10D ．1:1210．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的（）A ．7.5米处B ．8米处C ．10米处D ．15米处二、填空题 11．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%．设平均每次降息的百分率为x ，则依题意所列的方程为________．12．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE 5=，BF 3=，那么FG :EF 的比值是________．13．如图，矩形ABCD 中，AB 12cm =，BC 4cm =，点P 从A 开始沿折线A B A --以4cm /s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边以2cm /s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为()t s ，当t =________时，四边形APQD 也为矩形．14．如图，DE //BC ，AD :DB 1:1=，则ADE 与ABC ________位似图形．15．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，DE //AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ，若添加条件________，则四边形AEDF 是矩形；若添加条件________，则四边形AEDF 是菱形；若添加条件________，则四边形AEDF 是正方形．16．如图，在ABC 中，AB =BC 1=，ABC 45∠=，以AB 为边作等腰直角ABD ，使ABD 90∠=，连接CD ，则线段CD 的长为________．17．菱形的周长是20cm ，两条对角线的长度之比是3:4，则菱形的面积为________2cm ．18．不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是红球的概率是____________．三、解答题19．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）20．有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有数字3，4，5，第二组的三张卡片上分别写有数字1，3，5，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为正数的概率为________21．按指定的方法解方程21(x 2)250+-=（）（直接开平方法）（2）22t 6t 30-+=（配方法）（3）()23x 52x 10++=（用公式法） 22．如图，等腰直角三角形ABC 中，B 90∠=，AB BC 8cm ==，动点P 从A 出发沿AB 向B 移动，通过点P 引PQ //AC ，PR //BC ，问当AP 等于多少时，平行四边形PQCR 的面积等于216cm ？设AP 的长为xcm ，列出关于x 的方程．23．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）能否使每天的利润为800元？为什么？24．如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，且横、竖彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积为2184cm，应如何设计彩条的宽度？25．将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x，再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y．（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，写出（x，y）所有可能出现的结果．（2）求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P．26．以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．1（）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？2（）当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？3答案与详解1．A【详解】分析：本题考查的是菱形的性质，直角三角形的性质解决即可.解析：因为菱形周长为24米，所以边长为6米，因为60BAD ∠=︒，所以∠BAO=30°，∴OA=,∴AC= .故选A.2．B【解析】【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此判断．【详解】A. 不能保证对应边成比例，故本选项错误；B. 因为菱形的四边相等，所有对应边成比例；又有一角是60°，则另一个大角为120°，对应角相等，故一定相似；C. 不能保证对应角相等，故本选项错误；D. 不能保证对应边成比例，故本选项错误；故选B.【点睛】本题考查的是相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键.3．C【解析】【分析】根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形可得答案．【详解】A. 添加AC=BD可证明平行四边形ABCD是矩形，不能使它变成菱形，故此选项错误；B. 添加AD=BC不能证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C. 添加AB=BC可证明平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；D. 添加AB=CD不能可证明平行四边形ABCD是变成菱形，故此选项错误；故选：C.【点睛】本题考查的是菱形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.4．C【详解】试题解析：根据题意得△=（-2c）2-4（a2+b2）=0，即a2+b2=c2，所以原三角形为直角三角形．故选C．点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．D【解析】【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案．【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1:2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1:4，故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.6．A【详解】如图1，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，，∵AD∥BC,AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形的宽都是3，∴AE=AF=3，∵S四边形ABCD=AE⋅BC=AF⋅CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形．如图2，，设AB=BC=x，则BE=9−x，∵BC2=BE2+CE2，∴x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴四边形ABCD面积的最大值是：5×3=15.故选A.7．C【解析】【分析】过点D分别作与AC、BC平行的直线或作AB的垂线，即可得出结果．【详解】如图所示：过点D 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线共三条直线.故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.8．A【详解】因式分解可得：(x －2)(x －5)=0，解得：1x =2，2x =5，当2为底，5为腰时，则三角形的周长为12；当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，故选A.9．D【解析】试题分析：设△BDE 的面积为a ，表示出△CDE 的面积为3a ，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BE CE，然后求出△DBE 和△ABC 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC 的面积，然后表示出△ACD 的面积，再求出比值即可．解：∵S △BDE :S △CDE =1:3，∴设△BDE 的面积为a ，则△CDE 的面积为3a ，∵△BDE 和△CDE 的点D 到BC 的距离相等， ∴BE CE =13， ∴BE BE =14， ∵DE ∥AC ，∴△DBE ∽△ABC ，∴S △DBE :S △ABC =1:16，∴S △ACD =16a −a −3a =12a ，∴S △BDE :S △ACD =a :12a =1:12.故选D.10．C【解析】试题分析：设她应站在离网的x 米处，根据题意得：0.852.45x =+，解得：x=10．故选C ．考点：相似三角形的应用．11．22.25%(1x) 1.98%-=【解析】【分析】等量关系：经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降低至1.98%．【详解】经过一次降息,是2.25%(1−x)；经过两次降息,是2.25%(1−x)2.则有方程2.25%(1−x)2=1.98%.故选D.【点睛】本题考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握一元二次方程的性质是解题的关键. 12．38【解析】【分析】作GM ⊥BC 于M ，GN ⊥AB 于N ，由正方形的性质得出∠ABD=∠CBD=45°，由角平分线的性质得出GM=GN ，得出BFG BF 3BEG BE 5==的面积的面积，即可得出结果．【详解】作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴GM=GN，∴BFG BF3 BEG BE5==的面积的面积，∴BFG GF3 BEF FE8==的面积的面积；故答案为：3 8 .【点睛】本题考查的是正方形的综合运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.13．2s【解析】【分析】求出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,AP=4t,DQ=12-2t,由矩形的性质得出∠A=∠D=90°,CD∥AB ,得出AP=DQ时,四边形APQD是矩形,得出方程4t=12-2t ,解方程即可.【详解】根据题意得: ∠A=∠D=90°,CD∥AB则DQ=12-2t,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,CD∥AB,∴当AP=DQ时,四边形APQD是矩形,即4t=12-2t,解得:t=2,∴当t=2s时,四边形APQD是矩形;故答案为2s.【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、解方程等知识;熟练掌握矩形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.14．是【解析】【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，因而△ADE 与△ABC 是位似图形．【详解】∵DE ∥BC ，AD:DB=1:1，∴△ADE ∽△ABC ，且每组对应点所在的直线都经过同一个点，∴△ADE 与△ABC 是位似图形.【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键.15．90BAC ∠= AD 平分BAC ∠ 90BAC ∠=且AD 平分BAC ∠【分析】根据已知条件判定四边形AEDF 是平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定方法添加适当的条件即可解答.【详解】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形；①添加条件：90BAC ∠=，根据有一个角是直角的平行四边形为矩形即可得四边形AEDF 是矩形；②添加条件：AD 平分BAC ∠，可得∠DAF=∠DAE ，由DE ∥AC ，∠ADE=∠DAF ，所以∠ADE =∠DAE ，即可得AE=ED ，根据一组邻边相等的平行四边形为菱形即可得四边形AEDF 是菱形；③添加条件：90BAC ∠=且AD 平分BAC ∠，在①②的基础上即可判定四边形AEDF 是正方形．故答案为∠BAC=90°；AD平分∠BAC；∠BAC=90°且AD平分∠BAC.【点睛】本题考查了矩形、菱形及正方形的判定方法，熟记矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键.16【解析】【分析】延长BC交AD于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=1 2AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得CD的长．【详解】延长BC交AD于点E，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD，∴BE=DE=12AD，BE⊥AD，∵∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键. 17．24【解析】菱形的四边相等，对角线互相垂直，菱形的面积等于对角线乘积的一半．解：由题意得，菱形的边长为20/4=5cm，设OA=3x，BO=4x，则AB==5x，即5x=5解得：x=1．∴AO=3，BO=4．∴AC=6，BD=8．所以菱形的面积：1/2×6×8=24．故答案为24．18．49．【详解】试题分析：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率=49．故答案为49．考点：列表法与树状图法．19．1米【详解】解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（30﹣2x ）（20﹣x ）=532．整理，得x 2﹣35x+34=0，解得，x 1=1，x 2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．20．59【详解】由树状图易得差为正数的概率为59.21．11x 3=（），2x 7=-；（2）1t =，2t =；（3）1x =2x =【解析】【分析】（1）将方程常数项移动右边，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程两边都除以2并将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（3）将方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】21(x 2)250+-=（），变形得：2(x 2)25+=，开方得：x 25+=±，则1x 3=，2x 7=-；（2）22t 6t 30-+=，变形得：23t 3t 2-=-，配方得：293t 3t 44-+=，即233(t )24-=，开方得：3t 2-=则1t =，2t =；（3）()23x 52x 10++=，整理得：23x 10x 50++=，这里a 3=，b 10=，c 5=，∵2b 4ac 1006040=-=-=，∴x ==，则1x =2x =【点睛】本题考查的是方程的求解，熟练掌握直接开方法，配方法和公式法是解题的关键. 22．()816x x -=．【分析】设AP 的长为xcm ，▱PQCR 的面积等于16cm 2，根据等腰三角形的性质和平行四边形的面积公式可列方程求解．【详解】设AP 的长为xcm 时，PQCR 的面积等于216cm ，依题意有()x 8x 16-=．【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语“▱PQCR 的面积等于16cm 2”，得出等量关系是解决问题的关键．23．（1）售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）不能，理由见解析.【分析】（1）设涨价x 元，根据题意可得：销量×每件利润=总利润，即可得出方程，解出x 的值；（2）设涨价x 元，根据题意可得：销量×每件利润=总利润，即可得出方程，判断方程根的情况即可．【详解】设涨价x 元，(10+x −8)×(200−20x)=700整理得：x 2-8x+15=0解得：x=3或x=5售价为13元或15元时，每天的利润可得到700元；（2）不能，理由：设涨价x 元，(10+x −8)×(200−20x)=800，此方程无解，故不能使每天的利润为800元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键.24．彩条宽2cm ．【详解】试题分析：假设图案中的彩条被减去，剩余的图案就可以合并成一个长方形．为所以如果设彩条的x ，那么这个长方形的长为（30﹣2x ）cm ，宽为（20﹣x ）cm ．然后再根据彩条所占面积为184cm 2，列出一元二次方程．试题解析：设彩条的宽为xcm ，则有（30﹣2x ）（20﹣x ）=20×30﹣184，整理，得x 2﹣25x+46=0，解得x 1=2，x 2=23．当x=23时，20﹣2x ＜0，不合题意，舍去答：彩条宽2cm ．考点：一元二次方程的应用．25．（1）6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P 为13【详解】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得抽取的两张卡片结果中数字之和为偶数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】（1）画树状图得：由树状图知共有6种等可能的结果：（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）∵共有6种等可能结果，其中数字之和为偶数的有2种结果，∴取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P=2163=. 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．26．1（）四边形ADEG 是平行四边形，理由见解析；2（）当BAC 135∠=时，平行四边形ADEG 是矩形；3（）当BAC 135∠=且AC =时，四边形ADEG 是正方形．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得△BDE ≌△BAC ，所以全等三角形的对应边DE=AG ．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED ∥GA ；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD ．由□ABDI 和□ACHG 的性质证得，．【详解】1（）图中四边形ADEG 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形，∴AC AG =，AB BD =，BC BE =，GAC EBC DBA 90∠∠∠===． ∴ABC EBD ∠∠=（同为EBA ∠的余角）．在BDE 和BAC 中，BD BADBE ABC BE BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE BAC SAS ≅，∴DE AC AG ==，BAC BDE ∠∠=．∵AD 是正方形ABDI 的对角线，∴BDA BAD 45∠∠==．∵EDA BDE BDA BDE 45∠∠∠∠=-=-，DAG 360GAC BAC BAD ∠∠∠∠=---36090BAC 45∠=---225BAC ∠=-∴EDA DAG BDE 45225BAC 180∠∠∠∠+=-+-=∴DE //AG ，∴四边形ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）．2（）当四边形ADEG 是矩形时，DAG 90∠=．则BAC 360BAD DAG GAC 360459090135∠∠∠∠=---=---=，即当BAC 135∠=时，平行四边形ADEG 是矩形；3（）当四边形ADEG 是正方形时，DAG 90∠=，且AG AD =．由2（）知，当DAG 90∠=时，BAC 135∠=．∵四边形ABDI 是正方形，∴AD =．又∵四边形ACHG 是正方形，∴AC AG =，∴AC =．∴当BAC 135∠=且AC =时，四边形ADEG 是正方形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定和正方形的判定与性质，熟练掌握这几点是解题的关键.。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．2x 2+y ＝1B ．9y ＝3y ﹣1C ．3x﹣2x 2＝8 D ．2x 2＝1 2．如图，在△ABC 中，已知△ADE ＝△B ，则下列等式成立的是（）A ．AE AD AB AC = B ．AD AE AB AC = C ．DE AE BC AB= D ．DE AD BC AC = 3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．若转动转盘2000次，指针落在“一袋橘子”区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是（）A ．0.3B ．0.7C ．0.4D ．0.24．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为A ．()1,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()2,1-5．在六张卡片上分别写有6，227-，3.1415，π，0上的数为无理数的概率是（）A ．23B ．12C ．13D ．16 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（） A ．1 B ．1或－3 C ．－1 D ．－1或37．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，过点D 分别作BC 和AB 的平行线，交AB 于点E ，交BC 于点H ，连接EH 交BD 于点G ，在AE 上截取EF BE =，连接DF ．下列说法中正确的是（）△:1:2GH FD =；△2BD BF BC =⋅；△四边形EBHD 是菱形；△29ADF ABC S S =△△A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE△AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：△△ABC=2△ABF ；△EF=BF ；△S 四边形DEBC =2S △EFB ；△△CFE=3△DEF,其中正确结论的个数共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AM MD等于（）A．35B．23C．38D．4510．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH△AB于点H，连接OH，若△DHO＝20°，则△ADC的度数是（）A．120° B．130° C．140° D．150°二、填空题11．已知13a cb d==，则a cb d++的值是_____．12．关于x的方程20x mx+=的一个根是−1，则m的值为______．13．如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于O，试添加一个条件使四边形ABCD成为矩形．你添加的条件是__．（只填一个即可）14．关于x的方程2(5)410a x x---=有实数根，则a的取值范围是_______．15．如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝6，AD＝8，则图中阴影部分的面积为_____．16．已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x2﹣8x+12＝0的根，该等腰三角形的周长为____．17．如图，某一时刻一根2米长的竹竿EF 影长GE 为1.2米，此时，小红测得一棵被风吹斜的杨树与地面成30角，树顶端B 在地面上的影子点D 与B 到垂直地面的落点C 的距离是3.6米，则树长AB 等于________米．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线,AC BD 相交于点O ，点E ，F 分别在,BC CD 的延长线上，且2,1CE DF ==，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为________．三、解答题19．解方程：（1）22284x x x ++=+（2）()()23230x x x -+-=20．如图，在菱形ABCD 中，CE ＝CF.求证：AE ＝AF.21．如图，AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，BAF DAG ∠=∠．（1）求证：AABC DE∽△△；（2）若3DE=，25ADAB=，求BC的长．22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求每次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，若每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？23．如图，在矩形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连接OE，过点C作//CF BD交线段OE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：ODE FCE≌；（2）求证：四边形ODFC是菱形．24．如图，A、B在一直线上，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，4秒后走到点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续沿AB方向以同样的速度匀速前进4秒后到点F，此时他（EF）的影长为2米，然后他再沿AB方向以同样的速度匀速前进2秒后达点H，此时他（GH）处于灯光正下方．（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明沿AB方向匀速前进的速度．25．如图，△ABC在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A（0，3）、B（3、4）、C（2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B 重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：ACAM；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．参考答案1．D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A．含有二个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数最高是2的整式方程，叫一元二次方程．2．B【解析】【详解】△△A=△A，△ADE=△B，△△AED△△ACB，△AD AEAB AC=，故选B．3．A【解析】【分析】用频率估计概率即可得到答案．【详解】某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是6000.3 2000=．故选：A．【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握大量的重复试验时频率可视为事件发生概率的估计值．4．B【解析】【分析】根据位似变换的概念得到△A1OB1△△A2OB2，△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：△△A1OB1与△A2OB2位似，△△A1OB1△△A2OB2，△△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，△△A1OB1与△A2OB2的相似比为1：2，△A1的坐标为（-1，2），△A1OB1与△A2OB2在原点O的两侧，△点A1的对应点A2的坐标为（2，-4），故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．C【解析】【分析】首先根据无理数定义确定哪些是无理数，再根据概率的公式计算即可．【详解】解：在6，227-，3.1415，π，0π2个，△从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是21 63 =，故选：C．【点睛】此题考查概率的计算公式，正确掌握无理数的定义会判断无理数是解题的关键．6．C【解析】【分析】解出一元二次方程，将根代入分式方程即可求出a 的值.【详解】解：解方程2230x x +-=，得：x 1=1，x 2=﹣3，△x=﹣3是方程213x x a=+-的增根， △当x=1时，代入方程213x x a =+-，得：21131a=+-，解得a=﹣1．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．7．C【解析】【分析】△由题意可证四边形EBHD 是平行四边形，可得GH EG =，BG DG =，由三角形中位线定理可得EG DF ∥，12GE DF =，可得12GH DF =； △通过证明BDF BCD ，可得BD BF BC BD =，可证2BD BF BC =⋅； △由菱形的判定可证四边形EBHD 是菱形；△条件不足，无法证明．【详解】ED BC ∥，DH AB ∥，∴四边形EBHD 是平行四边形，GH EG ∴=，BG DG =，EF BE =，EG DF ∴∥，12GE DF =， 12GH DF ∴=，即:1:2GH FD =，故△正确； BD 平分ABC ∠，ABD DBC ∴∠=∠，ED BC ∥，EDB DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE DE EF ∴==，90BDF C ∴∠=︒=∠，BDF BCD ∴，BD BF BC BD∴=，即2BD BF BC =⋅，故△正确； BE DE =，∴平行四边形EBHD 是菱形，故△正确；条件不足，无法证明29ADF ABC S S =△△，故△错误．故选：C ．8．D【解析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE△△FCG 得EF=FG ，BE△BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于点G ，取AB 的中点H ，连接FH ．△CD=2AD ，DF=FC ，△CF=CB ，△△CFB=△CBF ，△CD△AB ，△△CFB=△FBH ，△△CBF=△FBH，△△ABC=2△ABF．故△正确，△DE△CG，△△D=△FCG，△DF=FC，△DFE=△CFG，△△DFE△△FCG，△FE=FG，△BE△AD，△△AEB=90°，△AD△BC，△△AEB=△EBG=90°，△BF=EF=FG，故△正确，△S△DFE=S△CFG，△S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故△正确，△AH=HB，DF=CF，AB=CD，△CF=BH，△CF△BH，△四边形BCFH是平行四边形，△CF=BC，△四边形BCFH是菱形，△△BFC=△BFH，△FE=FB，FH△AD，BE△AD，△FH△BE，△△BFH=△EFH=△DEF，△△EFC=3△DEF，故△正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9．A【解析】【详解】解：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.试题解析：△四边形MBND是菱形，△MD=MB．△四边形ABCD是矩形，△△A=90°．设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，解得a=4b3，△MD=MB=2a-b=53 b，△3553AM bMD b==.故选A．10．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC△BD，又由DH△AB，△DHO＝20°，可求得△OHB 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得△ABD的度数，然后求得△ADC的度数．【详解】△四边形ABCD是菱形，△OB＝OD，AC△BD，△ADC＝△ABC，△DH△AB，△OH＝OB＝12BD，△△DHO＝20°，△△OHB＝90°﹣△DHO＝70°，△△ABD＝△OHB＝70°，△△ADC ＝△ABC ＝2△ABD ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH 是等腰三角形是关键．11．13【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．【详解】解：由13a cb d ==，得3a b =，3c d =，1333a ca cb d ac ++==++，故答案为13．【点睛】本题考查了比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质进行变形求解．12．1【解析】【分析】把1x =-代入方程20x mx +=，即可求出m 的值．【详解】20x mx +=的一个根是1-，∴把1x =-代入方程20x mx +=得：10m -=，1m ∴=．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解,了解方程解的含义是解题的关键.13．AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）【解析】【分析】根据矩形的判定即可得出答案．【详解】解：根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得△ABC=90°，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得AC=BD ，故答案为：AC=BD 或△ABC=90°（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握平行四边形和矩形的区别和联系是解决本题的关键． 14．1a ≥【解析】【分析】分情况讨论当二次项系数为零时：原式为一元一次方程有实数根；当二次项系数不为零时：根据一元二次方程根的情况结合根的判别式列出不等式，求解即可．【详解】解：△关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，当50a -=时，即5a =时，原方程为410x --=有实数根；当50a -≠时，即5a ≠时，则240b ac -≥，即2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得：1a ≥，综上，a 的取值范围是1a ≥，故答案为：1a ≥．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根与根的判别式的关系是解题的关键．15．24【解析】【分析】连接AC ，根据三角形中位线定理得到EH△AC ，EH=12AC ，得到△BEH△△BAC ，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】解：连接AC，△E、H分别为边AB、BC的中点，△EH△AC，EH＝12AC，△△BEH△△BAC，△S△BEH＝14S△BAC＝18S矩形ABCD，同理可得，图中阴影部分的面积＝12×6×8＝24，故答案为：24．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的性质，掌握三角形中位线定理、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．12，16，17【解析】【分析】先求出一元二次方程的根，再讨论5是等腰三角形的底还是腰，求出三角形周长．【详解】解：28120x x-+=()()260x x--=，解得12x=，26x=，若5是等腰三角形的底，则等腰三角形的腰只能是6，因为2不能构成三角形，此时周长是17，若5是等腰三角形的腰，则等腰三角形的底可以是2或6，那么周长是12或16．故答案是：12，16，17．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰长和底长，需要注意构成三角形的条件．17．12【解析】【分析】先利用△BDC△△FGE 得到3.6BC =21.2，可计算出BC=6，然后在Rt△ABC 中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB 的长．【详解】解：如图，CD=3.6m ，△△BDC△△FGE ， △BC CD =EF GE，即3.6BC =21.2， △BC=6，在Rt△ABC 中，△△A=30°，△AB=2BC=12，即树长AB 是12米．故答案为12．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．18 【解析】【分析】先作辅助线构造直角三角形，求出CH 和MG 的长，再求出MH 的长，最后利用勾股定理求解即可．【详解】解:如图,作OK△BC ，垂足为点K ，△正方形边长为4，△OK=2，KC=2，△KC=CE ，△CH 是△OKE 的中位线 △112CH OK ==，作GM△CD ，垂足为点M ，△G 点为EF 中点，△GM 是△FCE 的中位线， △112GM CE ==，()()1115412222MC FC CD DF ==+=⨯+=， △53122MH MC HC =-=-=，在Rt△MHG 中，GH ==【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．19．（1）13x =23x =（2）13x =-或23x =【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）22284x x x ++=+，262x x -=，2226323x x -+=+，2(3)11x -=，3x ∴-=13x ∴=23x =（2）()()23230x x x -+-=，(32)(3)0x x x ---=，(3)(3)0x x ---=，30x ∴--=或30x -=，13x ∴=-或23x =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法解方程是解题的关键． 20．证明见解析【解析】【分析】由四边形ABCD 为菱形，可得AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又因为CE=CF ，所以CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．可证△ADE△△ABF ，所以AE=AF ．【详解】证明：△四边形ABCD 为菱形，△AD=AB=CD=CB ，△B=△D ．又△CE=CF ，△CD -CE=CB -CF ，即DE=BF ．在△ADE 和△ABF 中AD AB D B DE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADE△△ABF （SAS ）．△AE=AF ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判断和性质形，能够灵活运用菱形知识解决有关问题是解题的关键．21．（1）见解析；（2）152BC =【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质得出B ADE ∠=∠，可证明ABC ADE ；（2）由相似三角形的性质可得到答案．【详解】（1）AF ，AG 分别是ABC 和ADE 的高，AF BC ∴⊥，AG DE ⊥，90AFB ∴∠=︒，90AGD ∠=︒，BAF DAG ∠=∠，B ADE ∴∠=∠，BAC DAE ∴∠=∠，ABC ADE ；（2）ABC ADE △△，AD DE AB BC∴=， 25AD AB =，3DE =， 235BC∴=， 152BC ∴=． 22．（1）两次下降的百分率为20％；（2）每件应降价3元【解析】（1）设每次降价的百分率为x ，根据两次降价，从40降至25.6列方程求解即可；（2）根据总利润＝单件利润×销售量列方程求解即可．【详解】（1）设两次下降的百分率为x ，由题意得：240(1)25.6x -=，解得：10.220x ==％，2 1.8x =（不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为20％；（2）设每件应降价y 元，由题意得：(4030)(488)504y y --+=，整理得：y 2－4y ＋3＝0，解得：11y =，23y =,因为要尽快减少库存，所以3y =，答：每件应降价3元．23．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得△ODE=△FCE ，根据线段中点的定义可得CE=DE ，然后利用“角边角”证明△ODE 和△FCE 全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC ，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC 是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：证明：（1）△CF△BD ，△△ODE=△FCE ，△E 是CD 中点，△CE=DE ，在△ODE 和△FCE 中，ODE FCE CE DEDEO CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ODE△△FCE （ASA ）；（2）△△ODE△△FCE ，△OD=FC ，△CF△BD ，△四边形ODFC 是平行四边形，在矩形ABCD 中，OC=OD ，△四边形ODFC 是菱形．24．(1)答案见解析；(2)1.5米/秒【解析】(1) 利用影长为AD ，进而得出延长AC ，HG 得到O 点，进而求出答案；(2)首先设速度为x 米/秒，然后利用△COG 和△OAH 相似，△EOG 和△OMH 相似得出答案．【详解】解： (1)如图(2)设速度为x 米/秒根据题意得CG//AH△△COG△△OAH △CG OG AH OH =即：OG63 OH105xx==又△CG//AH，△△EOG△△OMH△CG OG AH OH=即：2x3 2+2x5=△ 1.5x=答：小明沿AB方向匀速前进的速度为1.5米/秒．【点睛】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，注意从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长是解题关键．25．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，根据对称性质可得A″B即为PA+PB的最小值，根据A″和B点坐标可得直线A″B的解析式，令y=0即可得P点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）△A′B2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B2=42+22=20，△A′B2=A′C′2+C′B2，△△A′BC′是直角三角形，△△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A关于y轴的对称点A″，连接A″B，交x轴于点P，△PA=PA″，△PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB的最小值，设A″B直线解析式为：y＝kx+b，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝97，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.26．（1）AO=5；（2）证明过程见解析；（3）【解析】【分析】（1）在RT△OAB中，利用勾股定理（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，△M=△AFM=60°，再求出△MAC=90°，在Rt△ACM中tan△M=ACAM，求出AC；（3）求出△AEM△△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=△AFM的周长为【详解】解：（1）△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，OB=OD=12BD，△BD=24，△OB=12，在Rt△OAB中，△AB=13，．（2）如图2，△四边形ABCD是菱形，△BD垂直平分AC，△FA=FC，△FAC=△FCA，由已知AF=AM，△MAF=60°，△△AFM为等边三角形，△△M=△AFM=60°，△点M，F，C三点在同一条直线上，△△FAC+△FCA=△AFM=60°，△△FAC=△FCA=30°，△△MAC=△MAF+△FAC=60°+30°=90°，在Rt△ACM中△tan△M=AC AM，△tan60°=AC AM，．（3）如图，连接EM ，△△ABE 是等边三角形， △AE=AB ，△EAB=60°，由（2）知△AFM 为等边三角形， △AM=AF ，△MAF=60°， △△EAM=△BAF ，在△AEM 和△ABF 中， AE ABEAM BAF AM AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AEM△△ABF （SAS ）， △△AEM 的面积为40，△ABF 的高为AO △12BF•AO=40，BF=16， △FO=BF ﹣BO=16﹣12=4△△AFM 的周长为。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法将x 2﹣8x ＋5＝0化成（x ＋a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（）A ．（x ﹣4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ＋4）2＝112．如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（）A ．23B ．35C ．25D ．523．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）A ．14B ．716C ．12D ．344．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a≥﹣2且a≠0D ．a ＞﹣2且a≠05．已知平行四边形ABCD 中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB BC=B ．AC BD⊥C ．AC BD=D ．AC 平分BAD∠6．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（）A ．(1)132x x +=B ．(1)132x x -=C ．2(1)132x x +=D ．1(1)1322x x +=7．如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ＝6，BD ＝8，且AE 垂直于CD ，垂足为点E ，则AE 的长度为（）A ．485B ．245C ．185D ．1258．如图，在矩形ABCD 中,,E F 分别是,BC AE 的中点，若 23,4CD AD ==，则DF 的长是（）A ．23B ．3C ．22D 69．若1x ，2x 是一元二次方程210x x +-=的两根，则211220202021x x x --的值为（）A ．2023B ．2022C ．2021D ．202010．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF AC ⊥交AB 于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝12BC ；（3） OGE 等边三角形；（4）S △AOE ＝16S 矩形ABCD ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球___个．12．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ∥BD ，DE ∥AC ．若5AC =，则四边形AODE 的周长为_______．13．AOB 的三个顶点坐标()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，将AOB 缩小为'''AO B △，相似比为23，则点B 的对应点'B 的坐标是_______．14．如图，平面直角坐标系中，矩形AOCB 中，AB =A 的坐标为()1,2-，则点C 的坐标为________．15．如图，将直角三角形ABC 沿着AB 方向平移得到三角形DEF ，若6cm AB =，4cm BC =，1cm CH =，图中阴影部分的面积为221cm 4，则三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为__________cm ．16．如图，AD 是ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且13AE AD =，CE 交AB 于点F ．若6AF =cm ，则AB =_____cm ．17．方程26x x =的根是________．三、解答题18．解方程：()2362x x -=-．19．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．20．如图，某测量人员的眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m ，标杆FC=2.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，标杆FC 、ED 垂直于地面．求电视塔的高ED ．21．有四张正面分别标有数字-1，0，1，2的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(),m n 所有的可能情况；（2）求所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率．22．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？23．如图，矩形ABCD 中，16AB =，12BC =，P 为AD 上一点，将ABP △沿BP 翻折至EBP △，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于点G ．（1）求证：AP DG =；（2）求线段AP 的长．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ∥AC ，AE ∥BD ，EO 与AB 交于点F ．(1)求证：四边形AEBO 是矩形；(2)若CD ＝3，求EO 的长．25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，动点M ，N 分别从O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP ⊥OA ，交AC 于P ，连接NP ，设M 、N 运动的时间为t 秒()04t <<．（1）P 点的坐标为（），PC =（用含t 的代数式表示）；（2）求当t 为何值时，以C 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）在平面内是否存在一个点E ，使以C 、P 、N 、E 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．A 【详解】x 2﹣8x ＋5＝02816516x x -+=-+即()2411x -=故选A 2．C【分析】利用平行线分线段成比例可得答案．【详解】解：因为：123l l l ，所以：23AB DE BC EF ==，所以：25DE DF =．故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的实际含义是解题的关键．3．C 【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为61122=，故选：C ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．4．C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，解得2a ≥-且0a ≠．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．5．C 【解析】【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．6．B【解析】【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x （x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．【详解】x-本；解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(1)x x-；则总共送出的图书为(1)又知实际互赠了132本图书，x-=．则x(1)132故选：B．【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO、DO的长，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD×AE，可得出AE的长度．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，114,3,,22DO BD CO AC AC BD ∴====⊥5CD ∴==116824.22ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=ABCD S CD AE=⨯ ∴CD×AE=24，∴AE=245．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．8．A 【解析】【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS 证明DAF AEB ∆≅∆，进而可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，CD =，4=AD ，//AD BC ，90B ∴∠=︒，4BC AD ==，AB CD ==，DAF AEB ∠=∠，E 为BC 的中点，2BE ∴=，4AE ∴=，AD AE ∴=，F 点为AE 的中点，2AF ∴=，AF BE ∴=，()DAF AEB SAS ∴∆≅∆，DF AB ∴==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明DAF AEB ∆≅∆是解题的关键．9．B【解析】【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系计算即可求出值．【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-1=0的两根，∴x 1+x 2=-1，且x 12+x 1-1=0，即x 12+x 1=1，则原式=x 12+x 1-2021（x 1+x 2）=1+2021=2022．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及方程的根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．C【解析】【分析】根据矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理逐一判断即可；【详解】∵点G 是AE 中点，EF AC ⊥，∴12OG AG GE AE ===，∵∠AOG ＝30°，∴30OAG AOG ∠=∠=︒，90903060GOE AOG ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴ OGE 等边三角形，故（3）正确；设2AE a =，则OE OG a ==，由勾股定理得，AO ===，∵O 为AC 中点，∴2AC AO ==，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，∴12BC AC ==，由勾股定理得，3AB a =，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB a ==，∴DC ＝3OG ，故（1）正确；∵OG a =，12BC =，∴12OG BC ≠，故（2）错误；∵2122AOE S a a ==△，2=3ABCD S a =矩形，∴16AOE ABCD S S = 矩形，故（4）正确；综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．11．9．【解析】【分析】设口袋中白球的个数为x ，根据摸到黑球的频率稳定在0.25及摸到黑球的概率为0.25，据此列出关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：设口袋中白球的个数为x ，根据题意，得：33x+＝0.25，解得x＝9，检验：当x＝9时，3+x＝12≠0，∴x＝9是分式方程的解，且符合题意，∴原来口袋中有白球9个，故答案为：9．12．10【分析】根据AE∥BD，DE∥AC，可得到四边形AODE是平行四边形，再由四边形ABCD是矩形，可证得四边形AODE是菱形，即可求解．【详解】解：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=DO，∴四边形AODE是菱形，∴AO=DO=DE=AE，∵5AC=，∴52 AO=，∴四边形AODE的周长为54102⨯=．故答案为：1013．（2，4）或（-2，-4）【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，∴点B 的对应点B′的坐标为22(3,6)33⨯⨯或22(3(),6())33⨯-⨯-，即（2，4）或（-2，-4），故答案为：（2，4）或（-2，-4）．14．(4,2)【分析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，这样易得AOD OCE ∽△△，再根据已知条件求得线段OE ，CE 的长，即可求得点C 坐标．【详解】解：过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，在矩形AOCB 中，OC AB ==90AOC ∠=︒，∵点A 的坐标为()1,2-，∴1OD =，2AD =，∴在Rt AOD 中，AO ===易知DAO AOD AOD COE ∠+∠=∠+∠,∴DAO COE ∠=∠，又∵90ADO OEC ∠=∠=︒，∴AOD OCE ∽△△，∴AD OD AO OE CE OC ==，∵12AO OC =，∴12AD OD OE CE ==，∴24OE AD ==，22CE OD ==，∴点C 的坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．15．32【分析】根据题意，计算得HB ；再根据阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，通过求解一元一次方程得DB ，从而得AD ，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得413HB BC CH cm =-=-=，∵90ABC ∠=︒，∴三角形DBH 为直角三角形，∴21122ABC S AB BC cm =⨯= ，1322DBH S DB HB DB =⨯=△，根据题意得：阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，且阴影部分的面积为221cm 4，∴3211224DB -=，∴92DB cm =，∴93622AD AB DB cm =-=-=，即三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为32cm ，故答案为：32．16．30【解析】过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到12AG AE DC DE ==，进而得出BF=4AF=24cm ，可得AB 的长度．【详解】解：如图所示，过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，∵AE=13AD ，AG ∥BC ，∴△AEG ∽△DEC ，∴12AG AE DC DE ==，又∵AD 是△ABC 的中线，∴BC=2CD ，∴14AGBC =，∵AG ∥BC ，∴△AFG ∽△BFC ，∴14AFAGBF BC ==，∴BF=4AF=24(cm)，∴AB=AF+BF=30(cm)，故答案为：30．17．0x =或6x =【解析】用因式分解法解方程即可.【详解】移项，得260,x x -=提公因式，得x(x−6)=0，∴x=0或x−6=0，解得x=0或x=6.故答案为0x =或6x =.18．x1=3，x2=1．【解析】先移项整理，再根据因式分解法即可求解．【详解】解：移项，得(x−3)2+2(x−3)=0，因式分解得(x−3)(x−3+2)=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=3，x2=1．19．见解析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．20．5.2米【详解】试题分析：作AH⊥ED交FC于点G，根据题意得出AH=BD，AG=BC，然后根据平行线截线段成比例得出答案.试题解析：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，∵FG∥EH，∴，解得：EH=3.6，∴ED=3.6+1.6=5.2（m）答：电视塔的高ED 是5.2米．考点：平行线截线段成比例21．（1）（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）；（2）16【解析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m ，n ）所有的可能情况；（2）求出所选的m ，n 能在一次函数y x =-的图像上的情况数，再根据概率公式列式计算即可．【详解】解：（1）画树状图如下：则（m ，n ）所有的可能情况是（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）．（2）所选的（m ，n ）能在一次函数y x =-的图像上的情况有：（-1，1），（1，-1）共2种所以，所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率：21126=22．（1）16.67%；（2）125元【分析】（1）设平均下降的百分率为x ，根据2021年的出厂价=2019年的出厂价×（1-下降率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为（300-2y ）台，根据每天盈利=每台的利润×每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设平均下降的百分率为x ，依题意得：144（1-x ）2=100，解得：x 1=16≈16.67%，x 2=116（不合题意，舍去）．答：平均下降的百分率约为16.67%．（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+()101405y -=（300-2y ）台，依题意得：（y-100）（300-2y ）=1250，整理得：y 2-250y+15625=0，解得：y 1=y 2=125．答：销售单价应为125元．23．（1）见解析；（2）9.6【分析】（1）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由ASA 证明ODP OEG ∆≅∆，得出OP OG =，PD GE =，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）得出AP EP DG ==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，D E OD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，AP DG ∴=；（2）如图所示，四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）知AP DG =，又AP EP = ，AP EP DG ∴==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，16CG x ∴=-，16(12)4BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即222(16)(412)x x +-=+，解得：9.6x =，9.6AP ∴=．24．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠AOB ＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．(2)解：∵四边形AEBO 是矩形，∴EO ＝AB ，在菱形ABCD 中，AB ＝CD ，∴EO ＝CD ＝3．25．（1）3,64t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；54t ；（2）t=12841；（3）329t =或83．【解析】（1）根据题意表示出OM 的长度，即求出P 点的横坐标，然后根据△APM ∽△ACO 即可表示出PM 和AP 的长度，即求出点P 的纵坐标和PC 的长度；（2）当CNP CBA △∽△时，PN BA ∥，可得点P 和点N 的横坐标相等，然后列方程求解即可，当CPN CBA △∽△时，分别表示出CN ，CP 的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；（3）当四边形CPEN 是菱形时，可得CP=CN ，分别表示出CP 和CN 的长度列方程求解即可；当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN ，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，∴CO=6，AO=8，∴10AC ===，∵点M 以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t 秒，∴OM=t ，AM=AO-OM=8-t ，∴P 点的横坐标为t ，∵MP ⊥OA ，∴CO PM ∥，∴COA PMA ∠=∠，又∵CAO PAM ∠=∠，∴APM ACO △∽△，∴=PM AM AP CO AO AC =，即86810PM t AP -==，解得：364tPM =-，5104tAP =-，∴点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴55101044t tPC AC AP ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由题意可知，BN=t ，∴CN=8-t ，∴点N 的坐标为()86t -，，当CNP CBA △∽△时，由题意可得PN BA ∥，∴点P 和点N 的横坐标相等，∴8t t -=，解得：t=4，∵04t <<，∴应舍去．当CPN CBA △∽△时，∴CP CNBC AC =，即584810tt-=，解得：12841t =．（3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时，∴CP=CN ，∵CP=54t，CN=8-t ，∴584t t =-，解得：329t =；如图所示，当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得，PE 垂直平分CN ，∴N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，∴8-t=2t ，解得：83t =；如图所示，当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质可得CN=PN ，∴8t -=，整理得：2572560t t -=，解得：10t =(舍去)，2256457t =>，应舍去；综上所述，329t =或83．【点睛】此题考查了矩形的性质和动点问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意表示出点P和点N的坐标．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。

(北师大版)初中数学九年级上册期中测试试卷01及答案

期中测试一、选择题1.关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则（）A.0a ＞ B.0a ¹ C.1a = D.0a ≥2.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3.用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A.()216x += B.()229x += C.()216x -= D.()229x -=4.两次连续掷一枚质地均匀的色子，点数都是2朝上的概率是（）A.136B.13C.118 D.125.如图，在菱形ABCD 中，O 为AC 和BD 的交点，3OC =，则AC 的长是（）A.3B.4C.5D.66.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若4OB =，则BD 的长为（）A.4B.6C.8D.107.如图，123l l l ∥∥，两条直线被它们所截，2AB =，3BC =，4DE =，则EF 的长是（）A.10B.8C.6D.48.关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（）A.k 为任何实数，方程都没有实数根B.k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C.k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种9.如图，有一块锐角三角形材料，边120 mm BC =，高80 mm AD =，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则这个正方形零件的边长为（）A.40 mmB.45 mmC.48 mmD.60 mm10.如图，点P 是边长为的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点，过点P 分别作PE BC ^于点E ，PF DC ^于点F ，连接AP 并延长，交射线BC 于点H ，交射线DC 于点M ，连接EF 交AH 于点G ，当点P 在BD B 、D 两点），以下结论中：①MF MC =；②AH EF ^；③2•AP PM PH =；④EF ）A.①③B.②③C.②③④D.②④二、填空题11.一元二次方程2232x x -=的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．2x+1=0B ．y 2+x=1C ．x 2+1=0D ．1x+x 2=12．下列命题正确的是（） A ．对角线相等的平行四边形是菱形 B ．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C ．矩形的对角线互相垂直D ．顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形3．如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（） A ．B ．C ．D ．4．如图，是两条互相垂直的街道，且A 到B ,C 的距离都是7 km ,现甲从B 地走向A 地，乙从A 地走向C 地，若两人同时出发且速度都是4km /h ，则两人之间的距离为5km 时，是甲出发后（）A ．1hB ．0.75hC ．1.2h 或0.75hD ．1h 或0.75h5．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a 和b ，那么点()a b ，在函数2611y x x =-+图象上的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．166．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，AB ＝10，AC ＞BC ，则AC 长为（）A ．1B ．5C ．10D ．15-7．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△A ＝30°，CD△AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为（）A ．2△1B ．1△2C ．D8．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是CD 边的中点．若AB ＝12，OM ＝4.5，则线段OB 的长为（）A ．6.5B ．7C ．7.5D ．89．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，60EFD ∠=︒．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上点B '处，则BE 的长度为（）A ．1 BC D ．210．如图，在矩形ABCD 中，将ADC 绕点D 逆时针旋转90°得到FDE ，B 、F 、E 三点恰好在同一直线上，AC 与BE 相交于点G ，连接DG ．以下结论正确的是（）△AC BE ⊥：△BCG GAD △△；△点F 是线段CD 的黄金分割点；△CG EG = A ．△△ B ．△△ C ．△△△ D ．△△△ 二、填空题11．在某一时刻，测得一根高为1.5 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为60 m ，则这栋楼的高度为________m ．12．一元二次方程22410x x +-=的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______． 13．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ﹣3＝0的两根，且满足121235x x x +-=x ，那么b 的值为_____．14．如图，在菱形ABCD 中，△DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD 的面积为_________．15．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是_________________．16．如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是__．17．如图，在Rt△ABC 中，△ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt△MPN 中，△MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝________．三、解答题18．解方程：（x ﹣2）（x ﹣4）＝3．19．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．20．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB 于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．21．在3张相同的小纸条上，分别写上条件：△四边形ABCD是菱形；△四边形ABCD有一个内角是直角；△四边形ABCD的对角线相等．将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件△的概率是__________；（2）搅匀后先从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签．四边形ABCD同时满足抽到的2张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率．22．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE△AC且DE＝1AC，2连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，△ABC＝60°，求AE的长．24．如图1，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），△OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE△DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为．（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．（3）试判断DEDB的值是否为定值？若是定值，请求出DEDB的值；若不是定值，请说明理由．参考答案1．C【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A、错误，是一元一次方程；B、错误，不符合一元二次方程的定义；C、正确，符合一元二次方程的定义；D、错误，是分式方程．【点睛】此题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件是解题关键．2．D【解析】【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可．【详解】A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示：C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图．D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H，依次连接E、F、G、H，连接AC，BD，交于M点，△E、F分别为AB，CB中点，AC，△EF//AC，EF＝12又△G、H分别为CD、AD中点，AC，△HG//AC，HG＝12△EF//AC//HG，EF＝HG＝1AC，2△四边形EFGH为平行四边形，同理有EH△BD//FG，△四边形ABCD为菱形，△BD△AC，故△BMA＝90°，△另得△HEF＝90°，△平行四边形EFGH为矩形，故D选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理． 3．A 【解析】【分析】利用相似多边形的判定方法判断即可．【详解】解：A 、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；B 、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；C 、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；D 、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4．D 【解析】【分析】据题画出图形如图，设走了x 小时，则BF=AG=4x ，AF=7－4x ，根据勾股定理列出方程，解方程即得答案. 【详解】解：如图，设走了x 小时，根据题意可知：BF=AG=4x ，则AF=7－4x ，根据勾股定理，得()()2274425x x -+=，即24730x x -+=.解得：11x =，234x =.故选D. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和一元二次方程的解法，弄清题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 5．C 【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点()a b ，在函数2611y x x =-+图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案；【详解】解：画树状图得：△共有12种等可能的结果，点()a b ，在函数2611y x x =-+图象上的点为：（2，3）、（3，2）、（4，3）共3种，△点()a b ，在函数2611y x x =-+图象上的概率31124P ，故答案为：C. 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，掌握列表法与树状图法，概率公式是解题的关键. 6．B【解析】【分析】根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，代入已知条件即可求出线段长度．【详解】解：△点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），△AC AB而AB＝10，△105AC==．故选：B．【点睛】题目主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．7．B【解析】【分析】易证得△BCD△△BAC，得△BCD=△A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．【详解】解：△△B=△B，△BDC=△BCA=90°，△△BCD△△BAC；△△△BCD=△A=30°；Rt△BCD中，△BCD=30°，则BC=2BD；由△得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选B．【点睛】此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．8．C【解析】【分析】先说明OM 是△ADC 的中位线，进而求得AD 的长，再根据四边形ABCD 是矩形、AB ＝12可得△D ＝△ADC ＝90°、CD ＝AB ＝12，然后运用勾股定理可求得AC ，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：△O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是CD 边的中点，△OM 是△ADC 的中位线，△AD ＝2OM ＝9，△四边形ABCD 是矩形，AB ＝12，△△D ＝△ADC ＝90°，CD ＝AB ＝12，△Rt△ACD 中，AC 15，△Rt△ABC 中，BO ＝12AC ＝7.5．故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，掌握并灵活运用矩形的性质成为解答本题的关键．9．D【解析】【分析】由CD△AB 得到△EFD=△FEB=60°，由折叠得到60FEB FEB '∠=∠=︒，进而得到60AEB '∠=︒，然后在Rt AEB '中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△CD△AB ，△△EFD=△FEB=60°，由折叠前后对应角相等可知：60FEB FEB '∠=∠=︒，△18060AEB FEB FEB ''∠=︒-∠-∠=︒，△30AB E '∠=︒，设AE=x ，则2BE B E x '==，△AB=AE+BE=3x=3，△x=1，△BE=2x=2，故选：D．【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题，30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点，折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等，对应角相等，折叠产生角平分线，由此即可解题．10．D【解析】【分析】由△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，得到△FDE△△ADC，再由矩形的性质得出△DAG＋△DEF＝90°从而判断△；由△DAG＋△DEF＝90°，可得△BGC＝90°，从而判断△；由Rt△FCB△Rt△FDE和BC＝AD＝DF，DE＝DC，得出FC DFDF DC，可以判断△；在线段EF上作EG′＝CG，如图所示，连接DG′，通过证明△DCG△△DEG′，得出△GDG′是等腰直角三角形，可以判断△．【详解】证明：△△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，△△FDE△△ADC，△AD＝DF，DC＝DE，△DEF＝△DCA，又△四边形ABCD是矩形，△△ADC＝90°，△△DAC＋△DCA＝90°，即△DAG＋△DEF＝90°，△△AGE＝90°，即AC△BE，故△正确；△AC△BE，△△BGC＝90°，即△BGC是直角三角形，而△AGD显然不是直角三角形，△△错误；在Rt△FCB和Rt△FDE中，△△BFC ＝△EFC ，△Rt△FCB△Rt△FDE ， △FCBCDF DE =，△BC ＝AD ＝DF ，DE ＝DC ， △FC DFDF DC =，△点F 是线段CD 的黄金分割点，△△正确；在线段EF 上作EG′＝CG ，如图所示，连接DG′，△DC ＝DE ，△DEF ＝△DCA ，△△DEG′＝△DCG ，在△DCG 和△DEG′中，DC DEDCG DEG CG EG =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，△△DCG△△DEG′（SAS ），△DG ＝DG′，△CDG ＝△EDG′，△△CDG ＋△GDA ＝90°，△△EDG′＋△GDA ＝90°，△△GDG′＝90°，△△GDG′是等腰直角三角形，△GG′DG ，△EG′＝CG ，△EG ＝EG′＋GG′＝CG，△△正确，故选D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用．11．30【解析】【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为hm，△在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，△1.53＝60h，解得h＝30．故答案为：30．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．12．5【解析】【分析】确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．【详解】解：根据题意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次项系数为2，一次项系数为4，及常数项为-1则其和为2+4-1=5；故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和出算式是解题关键．13．4【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝−b，x1x2＝−3，代入求值．【详解】解：根据题意得：x1+x2＝−b，x1x2＝−3，△x1+x2−3 x1x2＝5，△−b−3×（−3）＝5，解得b＝4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝ba-，x1x2＝ca．14．【解析】【详解】解：如图，△菱形ABCD，△AD=AB，OD=OB，OA=OC，△△DAB=60°，△△ABD为等边三角形，△BD=AB=2，△OD=1，在Rt△AOD中，根据勾股定理得：=则S菱形ABCD=12故答案为15．1 3【解析】【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出组成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是3的倍数的有12，21，共2个，所以组成的两位数是3的倍数的概率21 63 ==．故答案为：13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．16．【解析】【分析】连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD△EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．【详解】解：如图，连接BD交AC于点O，△四边形ABCD为正方形，△BD△AC，OD=OB=OA=OC，△AE=CF=2，△OA-AE=OC-CF，即OE=OF，△四边形BEDF为平行四边形，且BD△EF，△四边形BEDF为菱形，△DE=DF=BE=BF，△AC=BD=8，OE=OF=842-=2，由勾股定理得：△四边形BEDF的周长故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．17．3【解析】【分析】如图作PQ△AB于Q，PR△BC于R．由△QPE△△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ△BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．【详解】解：如图作PQ△AB于点Q，PR△BC于点R．△△PQB＝△QBR＝△BRP＝90°，△四边形PQBR是矩形，△△QPR＝90°＝△MPN，△△QPE ＝△RPF ，△~PQE PRF ∆∆，2PQ PE PR PF∴==， 22PQ PR BQ ∴==，△PQ//BC ，::::3:4:5AQ QP AP AB BC AC ∴==设PQ ＝4x ，则AQ ＝3x ，AP ＝5x ，BQ ＝2x ，△2x ＋3x ＝3 △35x =， △AP ＝5x ＝3．故答案为3．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．18．11x =，25x =【解析】【分析】先将原方程化为一般式，再用因式分解法求解即可．【详解】解：△（x ﹣2）（x ﹣4）＝3，△224830x x x --+-=，△2650x x -+=，△(1)(5)0x x --=，△10x -=或50x -=，解得：11x =，25x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程常见的解法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法是解决本题的关键．19．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：△x=﹣1是方程的根，△（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，△a+c ﹣2b+a ﹣c=0，△a ﹣b=0，△a=b ，△△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：△方程有两个相等的实数根，△△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，△2224440b a c -+=，△222a b c =+，△△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．20．（1）OE ＝OF ，详见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，详见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出AD//BC ，求出△EAO ＝△FCO ，根据全等三角形的判定推出EOA FOC ≌即可；（2）根据平行四边形的判定得出四边形AFCE 是平行四边形，再根据菱形的判定得出即可．【详解】解：（1）△四边形ABCD 是矩形，△AD//BC ，△△EAO ＝△FCO ，△AC 的中点是O ，△OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA≌，△OE＝OF；（2）△OE＝OF，AO＝CO，△四边形AFCE是平行四边形，△EF△AC，△四边形AFCE是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定、菱形的判定；关键在于掌握好相关的基础知识．21．（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）根据等可能事件的概率公式，直接求解，即可；（2）先画出树状图，再根据概率公式，即可求解．【详解】解：（1）3支签中任意抽出1支签，抽到条件△的概率=1÷3=13，故答案是：13；（2）画出树状图：△一共有6种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的可能有4种，△四边形ABCD一定是正方形的概率=4÷6=23．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，熟练画出树状图是解题的关键．22．（1）100+200x；（2）1【解析】【分析】（1）销售量=原来销售量+增加销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．【详解】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；故答案为：100+200x ；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，△每天至少售出260斤，△100+200x≥260，△x≥0.8，△x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．23．（1）见解析；（2．【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得OC ＝12AC ，即可证明DE ＝OC ，可得出四边形OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出△COD ＝90°，可证明OCED 是矩形，根据矩形的性质可得OE ＝CD 即可；（2）根据△ABC ＝60°，利用菱形的性质得出AC ＝AB ，即可求出OA 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，再利用勾股定理得出AE 的长度即可．【详解】（1）△四边形ABCD 是菱形，△OC ＝12AC ，AC△BD ，△DE ＝12AC ，△DE ＝OC ，△DE△AC ，△四边形OCED 是平行四边形．△AC△BD ，△平行四边形OCED是矩形．△OE＝CD．（2）△在菱形ABCD中，△ABC＝60°，△△ABC是等边三角形，△AC＝AB＝2，△OA=12AC=1，AC△BD，AD=2，△在矩形OCED中，CE＝OD△在Rt△ACE中，AE【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及勾股定理，菱形中出现了60°角要求线段的长度时，一般要考虑两点：△图形中会有等边三角形，△以60°角的某一边为直角边的直角三角形，再利用勾股定理求解．熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．24．（1）2秒或4秒；（2）125秒或1811秒；（3）有可能．经过1811秒，PQ△CD．【解析】【分析】（1）设PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，依照题意列一元二次方程，解方程．（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，对应边成比例，列方程，解方程．（3）根据直角三角形斜边中线当性质可得AD=BD=CD，根据等腰三角形当性质及直角三角形两锐角互余可得△CPQ=△B，先证明△PCQ△△BCA，根据相似三角形当性质列方程，解方程即可．【详解】（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13，由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，则12×2x（6﹣x）=13×12×8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的13；（2）设运动时间为ts ，△PCQ 与△ACB 相似．当△PCQ 与△ACB 相似时，则有CP CQ CA CB =或CP CQ BC CA =，所以2686t t -=或2668t t -=，解得：t=125，或t=1811．因此，经过125秒或1811秒，△OCQ 与△ACB 相似；（3）有可能．设经过y 秒，PQ△CD ．则CP=2y ，CQ=6-y ，△△C=90°，AC=8m ，BC=6m ，．△CD 为△ACB 的中线，△AD=BD=CD ，△△ACD=△A ，△BCD=△B ，△PQ△CD ，△△CPQ+△ACD=90°，△△A+△B=90°，△△CPQ=△B ，△△PCQ△△BCA ，△△PCQ=△BCA ， △CP CQ BC CA =，2668y y -=，解得：y=1811．因此，经过1811秒，PQ△CD ．25．（1）（2）；（2）存在，AD 的值为2或（3）DE DB 为定值，DE BD = 【解析】【分析】（1）先求出OA=2,再根据矩形的性质可得OC ＝AB 、OC//AB 、△ABC ＝90°、 BC ＝OA=2，进一步可得AC=4，然后再运用勾股定理可以求得AB 的长，即可确定B 的坐标；（2）先说明△ACB ＝60°，然后分当E 在线段CO 上和E 在OC 的延长线上两种情况解答即可；（3）过点D 作MN△AB 交AB 于点M ，交OC 于点N ，再运用待定系数法求得直线AC 的解析式，设D 坐标为,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则2DN =+，BM a =；然后再说明BMD DNE ~，最后运用相似三角形的性质列方程解答即可.【详解】解：（1）△点A 坐标是（0，2）△OA=2△四边形AOCB 为矩形，△OC ＝AB ， OC//AB ，△ABC ＝90°， BC ＝OA=2，△△OCA ＝30°，△△BAC ＝30°，△Rt△ACB 中，AC ＝2BC ，△BC ＝OA ＝2，则AC ＝4，AB ∴===B ∴．（2）存在，理由如下：△四边形AOCB 为矩形，△AB//OC ，△△ACO ＝△CAB ＝30°，△△ACB ＝60°，△如图（1）中，当E 在线段CO 上时，△DEC 为等腰三角形，观察图象可知，只有ED ＝EC ，△△DCE ＝△EDC ＝30°，△△DBC ＝△BCD ＝60°，△△DBC 为等边三角形．△DC ＝BC ＝2，在Rt△AOC 中，△△ACO ＝30°，OA ＝2，△AD ＝AC －CD ＝4－2＝2.△如图（2）中，当E 在OC 的延长线上时，△DCE 为等腰三角形，只有CD ＝CE ，△DBC ＝△DEC ＝△CDE ＝15°，△△ABD ＝△ADB ＝75°，AB ＝AD＝综上，满足条件的AD 的值为2或（3）DEDB 为定值．理由如下：如图（3），过点D 作MN△AB 交AB 于点M ，交OC 于点N ，△A （0，2）和C（0）设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，代入A 、C 坐标后得20b b =⎧⎪⎨=+'⎪⎩解得2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩△直线AC的表达式为2y x =+，设D坐标为,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2DN ∴=+，BM a =， △△BDE ＝90°，△△BDM ＋△NDE ＝90°，△BDM ＋△DBM ＝90°，△△DBM ＝△NDE ，△△BMD ＝△DNE ＝90°，△BMD DNE ~．DE DN BD BM ∴=2+== 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识的综合运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.。

北师大版九年级数学上册期中考试(参考答案)

北师大版九年级数学上册期中考试（参考答案)班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．8的相反数的立方根是（）A．2 B．12C．﹣2 D．12-2．若实数m、n满足402nm-+=-，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8或10 D．63．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4B．5C．6D．74．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．45．下列说法正确的是（）A．负数没有倒数B．﹣1的倒数是﹣1C．任何有理数都有倒数D．正数的倒数比自身小6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜14D．c＜17．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P （1，3），则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是（）A ．x ＞﹣2B ．x ＞0C ．x ＞1D ．x ＜19．如图，已知⊙O 的直径AE ＝10cm ，∠B ＝∠EAC ，则AC 的长为（）A ．5cmB ．52cmC ．53cmD ．6cm10．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（）A ．485B ．325C ．245D ．125二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）123=______________．2．因式分解：a 3－a =_____________．3．若代数式1﹣8x 与9x ﹣3的值互为相反数，则x ＝__________．4．如图1是一个由1～28的连续整数排成的“数阵”．如图2，用2×2的方框围住了其中的四个数，如果围住的这四个数中的某三个数的和是27，那么这三个数是a ，b ，c ，d 中的__________．5．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．6．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为___________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：23121 x x=+-2．先化简，再求值：22121244x x xx x x+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中3x=．3．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF （1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．4．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．5．我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对A 《三国演义》、B《红楼梦》、C《西游记》、D《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：（1）本次一共调查了_________名学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率.6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、B3、C4、C5、B6、B7、D8、C9、B10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、a （a －1）（a + 1）3、24、a ，b ，d 或a ，c ，d5、406、2.5×10-6三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x =52、3x 3、（1）略；（2）S 平行四边形ABCD =244、（1）（m ，2m ﹣5）；（2）S △ABC =﹣82a a ；（3）m 的值为72或．5、（1）50；（2）见解析；（3）16． 6、（1）4元或6元；（2）九折.。

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷(含答案)

2023-2024学年北师大新版九年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，则p的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．如图，在离某围墙AB的6米处有一棵树CD，在某时刻2米长的竹竿垂直地面，太阳光下的影长为3米，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在墙上AE处，墙上的影高为4米，那么这棵树高约为（）米．A．6B．8C．9D．103．两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率4．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．正方体B．圆锥C．四棱柱D．圆柱5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（）A．4B．C．4D．286．如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A．（2+，0）B．（2+1，0）C．（2﹣1，0）D．（2，0）7．下列一元二次方程中，无实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝0 8．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10B．6C．8D．﹣29．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（）米．A．2B．C．D．10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则下列结论中：①BM＝DM；②∠BEC＝∠MDC＝15°；③∠AMD的度数是75°；④△AMB≌△AMD≌△EMD．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么AC＝．12．今年五月上旬我市空气质量指数如下表，省外某单位组织了一次退休职工到我市旅游3天，则他们在我市旅游3天时，空气质量都是优良（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）的概率是．日期12345678910空气质量指数304236588095701155610113．如图，小芸用灯泡O（看作一个点）照射一个矩形相框ABCD，在墙上形成矩形影子A'B'C'D'．现测得OA＝20cm，OA'＝50cm，相框ABCD的周长为36cm，则影子A'B'C'D'的周长为 cm．14．如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 m．15．如图，已知四边形ABCD为矩形，且AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，B'C与AD交于点O，且DO＝B'O，则AO的长为．三．解答题（共7小题，满分75分）16．用适当的方法解一元二次方程：（1）2x2﹣3x＝2；（2）x2+6x﹣111＝0．17．为推进社会主义新农村建设，东胜区某社区决定组建社区文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全社区范围内随机抽取部分居民进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为；并补全条形统计图；（2）若在“纸牌、象棋、跳棋、军棋”这四个项目中任选两项组队参加元旦节庆典活动，请用列表法或画树状图的方法，求恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的概率．18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2），B（1，5），C（3，4），画出△ABC，并画出以原点O为位似中心，将△ABC三条边放大为原来的2倍后的△A1B1C1．19．操作作图如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D在边AC上，请用圆规和直尺作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上（不写作法，但要保留作图痕迹）．阅读理解我们把图①中的菱形DEFG称为△ABC的有一边平行于AB的内接菱形，简称AB类内接菱形．类似的可得到AB类内接矩形．若公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，求CD的长．深入探究（1）当CD长度满足什么条件时，可作2个AB类内接菱形DEFG？说明理由；（2）直接写出AB类内接菱形DEFG面积的最大值．20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）直接写出：OA＝，OB＝；（2）若点E为x轴上的点，且△AOE∽△DAO．求此时点E的坐标．21．小琴的父母承包了一块荒山地种植一批香梨树，今年收获一批香梨，小琴的父母打算以m元/斤的零售价销售5000斤香梨；剩余的5000（m+1）斤香梨以比零售价低1元的批发价批给外地客商，总共的销售额为55000元．（1）小琴的父母今年共收获这种香梨多少斤？（2）批发商买回这批香梨后，零售平均每天可售出200斤，每斤盈利2元．为了加快销售和获得较好的利润，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1元，平均每天可多售出40斤，应降价多少元使得每天销售利润为600元？22．综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．操作发现：（1）如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；探究证明：（2）如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC＝2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵一元二次方程x2+px+2p＝0的一个根为2，∴22+2p+2p＝0．∴4p＝﹣4．∴p＝﹣1．故选：C．2．解：过点A作AF∥DE交CD于点F，则DF＝AE＝4m，△CAF∽△C′CD′．∴D′C′：C′C＝CF：CA，即2：3＝CF：6．∴CF＝4．∴DC＝4+4＝8（m）．即：这棵树高8m．故选：B．3．解：A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；C、转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率为，故此选项不符合题意；D、从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率，故此选项符合题意；故选：D．4．解：该几何体的视图为一个圆形和两个矩形．则该几何体可能为圆柱．故选：D．5．解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，∴AC＝2EF＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝2，∴AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故选：C．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，∵OA＝|﹣1|＝1，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，∴点M的坐标为（2﹣1，0），故选：C．7．解：在x2﹣2x﹣3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项A不符合题意；在x2+3x+2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1＞0，即该方程有两个不等实数根，故选项B不符合题意；在x2﹣2x+1＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，即该方程有两个相等实数根，故选项C不符合题意；在x2+2x+3＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，即该方程无实数根，故选项D 符合题意；故选：D．8．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+t＝8，解得t＝6，即方程的另一个根是6．故选：B．9．解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴＝，即＝，∴PN＝x，∵PN+MN＝PM，∴x+x＝1.6，解得，x＝，故选：D．10．解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA＝45°，BC＝DC，∠BCD＝90°，在△BCM和△DCM中，，∴△BCM≌△DCM（SAS），∴BM＝DM，故结论①正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠DCE＝60°，DC＝CE，∴BC＝CE，∴∠BEC＝∠EBC，∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，∴°，∵△BCM≌△DCM，∴∠MBC＝∠MDC，即：∠BEC＝∠MDC＝15°；故结论②正确；∵∠MDC＝15°，∠DCA＝45°，∴∠AMD＝∠MDC+∠DCA＝60°，故结论③不正确；在△AMB和△AMD中，，∴△AMB≌△AMD（SAS），∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，∴AD＝ED，∠ADC＝90°，∠EDC＝60°，∵∠MDC＝15°，∴∠ADM＝∠ADC﹣∠MDC＝75°，∠EDM＝∠MDC+∠EDC＝75°，∴∠ADM＝∠EDM＝75°，在△AMD和△EMD中，，∴△AMD≌△EMD（SAS），∴△AMB≌△AMD≌△EMD，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②④，共有3个．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，∵AD＝2，DB＝4，AE＝3，∴2：6＝3：AC，∴AC＝9，故答案为：9．12．解：由表格可得，所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），其中旅游3天，空气质量都是优良的有5种结果，所以空气质量都是优良的概率是，故答案为：．13．解：∵OA＝20cm，OA'＝50cm，∴OA：OA′＝20：50＝2：5，∵AB∥A′B′，∵∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB：A′B′＝OA：OA′＝2：5，∴矩形ABCD的周长：矩形A′B′C′D′的周长为2：5，又矩形ABCD的周长为36cm，则矩形A′B′C′D′的周长为90cm．故答案为：90．14．解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12，∴EF＝＝＝6（m）．答：电线杆的高度是6m．故答案为：6．15．解：∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转一定角度得到矩形A'B'CD'，∴AB＝CD＝3，B′C＝BC＝AD＝4，∠D＝90°．设OD＝x，则B'O＝x，OC＝4﹣x．在Rt△COD中，∵∠D＝90°，∴OC2＝OD2+CD2，即（4﹣x）2＝x2+32，解得x＝，∴AO＝AD﹣OD＝4﹣＝．故答案为：．三．解答题（共7小题，满分75分）16．解：（1）2x2﹣3x＝2，2x2﹣3x﹣2＝0，（2x+1）（x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣，x2＝2；（2）x2+6x﹣111＝0，x2+6x+9＝111+9，即（x+3）2＝120，∴x+3＝，∴x1＝﹣3+2，x2＝﹣3﹣2．17．解：（1）这次参与调查的居民人数为：24÷20%＝120（人）；∴喜欢“纸牌”的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9＝42（人），∴扇形统计图中“纸牌”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝126°，故答案为：126°，补全条形图如图所示：（2）设：纸牌为A，象棋为B，跳棋为C，军棋为D，根据题意画树状图：由树状图可知：一共有12种等可能的情况，其中恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的有2种，∴恰好选中“象棋、军棋”这两个项目的的概率是同时选中B、D的概率为＝．18．解：如图，△ABC和△A1B1C1为所作．19．解：操作作图：如图所示中的四边形DEFG为符合条件的其中一个菱形．阅读理解：符合条件的图形如图所示：∵公共顶点为D的AB类内接菱形DEFG恰好以BC类内接矩形DFMC的一边为对角线，∴DG＝GF，DC＝FM，∠C＝∠FMC＝90°＝∠FMB．∴Rt△DCG≌Rt△FMG（HL）．∴CG＝MG．∵DG∥AB，∴∠DGC＝∠B．∴△DCG≌△DMB（AAS）．∴CG＝BM．∴．∵△DCG∽△ACB，∴．即，∴DC＝2．深入探究：（1）如图所示，当点E与点A重合时，此时存在符合条件的两个菱形．在Rt△ABC中，．∵四边形DEFG为菱形，∵DG∥AB，∴，即．解得DC＝．如图，当DE⊥AB时，过点C作CH⊥AB，交DG于点Q，交AB于点H．在Rt△ABC中，．∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴．∴．即，∴．∴当＜CD≤时，可作2个AB类内接菱形DEFG．（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点Q．∵四边形DEFG为菱形，设DG＝x，∵DG∥AB，∴△ABC∽△DGC．∴．即，∴CQ＝．则QH＝．∴S菱形DEFG＝DG×CH＝．配方得．当点F与点B重合时，可求得DG＝，由（1）可知：．在此范围内S菱形DEFG随x的增大而增大，∴当x＝时，S菱形DEFG最大，最大值为．∴AB类内接菱形DEFG面积的最大值为．20．解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，可得：x﹣3＝0，x﹣4＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；故答案为4，3；（2）设点E的坐标为（m，0），则OE＝|m|，∵△AOE∽△DAO，∴＝，∴＝，∴|m|＝，∴m＝±，∴点E的坐标为：（，0）或（﹣，0）．21．解：（1）依题意，得5000m+（m﹣1）×5000（m+1）＝55000，整理，得m2+m﹣12＝0，解得：m1＝3，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴5000+5000（m+1）＝25000．答：小琴的父母今年共收获这种香梨25000斤．（2）设降价x元，则每斤的利润为（2﹣x）元，每天的销售量为200+＝（200+400x）斤，依题意，得（2﹣x）（200+400x）＝600，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得：x1＝0.5，x2＝1，又∵为了加快销售，∴x＝1．答：应降价1元使得每天销售利润为600元．22．解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，∴∠DCE＝90°，DC＝CE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝45°，故答案为：45°；②AD＝BE，理由如下：由①知△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）①，理由如下：∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，∴；②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：∵AC＝2，BC＝2AC，∴BC＝4，AB＝＝2，∴sin∠ABC＝＝＝＝，cos∠ABC＝＝＝，∴＝，＝，∴CF＝，BF＝，∵四边形CGBF是矩形，∴CG＝BF＝，BG＝CF＝，（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：∴BE＝2BG＝，∴△CBE的面积为××＝；（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：此时BE＝BC＝4，∵CG＝BF＝，∴△CBE的面积为×BE•CG＝×4×＝（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：设BE＝CE＝t，则EG＝t﹣，在Rt△CEG中，t2＝（）2+（t﹣）2，解得t＝2，∴BE＝2，∴△CBE的面积为CG•BE＝××2＝8，综上所述，△CBE的面积为或或8．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题(共36分)1．(本题3分)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不相同的几何体是（）A．①②B．②③C．②④D．③④2．(本题3分)将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（）A．B．C．D．3．(本题3分)在如图所示的图形中，形状相同的是（）A．图①与图②B．图②与图③C．图②与图④D．图①与图④4．(本题3分)如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A ．3B ．3或43C ．3或34D ．435．(本题3分)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF=DE ，连接CF ，则CEF BCED S S 四边形：的值为（）A ．1：3B ．2：3C ．1：4D ．2：56．(本题3分)如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ．若NF =NM=2，ME =3，则AN =A ．3B ．4C ．5D ．67．(本题3分)如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图不变C ．主视图不变，俯视图改变D ．主视图改变，俯视图不变8．(本题3分)如图所示，在长为8cm ，宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A ．2cm 2B ．4cm 2C ．8cm 2D ．16cm 29．(本题3分)如图，等腰ABC 中，腰AB a =，A 36∠= ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ．设51k 2=，则DE =（）A ．k 2aB ．k 3aC ．2ak D ．3ak 10．(本题3分)某几何组合体的主视图和左视图为同一个视图，如图所示，则该几何组合体的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．11．(本题3分)已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．11B ．0C ．7D ．-712．(本题3分)四边形ABCD 是面积为1的正方形；点P 为正方形内一点，且△PBC 为正三角形，那么△PBD 的面积是（）A ．3+1B ．3−1C ．3−2D ．3+2二、填空题(共15分)13．(本题3分)如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为__________．14．(本题3分)如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为_______cm2．（结果可保留根号）15．(本题3分)如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC ＝8，则AB的长为________16．(本题3分)如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____．17．(本题3分)△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE的周长与△ABC 的周长之比为1：4；其中正确的有_____．（只填序号）三、解答题(共69分)18．(本题7分)如图，PN BC ∥；AD BC ⊥，交PN 于点E ，交BC 于点D ．（1）若12AP PB =，218cm ABC S =△，求APN S △的值.（2）若1=2APN PBCN S S 四边形△，求AE AD的值.（3）若15BC =cm ，10AD =cm ，且PN ED x ==cm ，求x 的值.19．(本题7分)四张形状相同的卡片如图，将卡片洗匀后背面朝上放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片，记下数字为x ；小亮再随机抽一张卡片，记下数字为y.两人在此基础上共同协商一个游戏规则：当x y >时小明获胜，否则小亮获胜.（1）若小明抽出的卡片不放回，求小明获胜的概率.（2）若小明抽出的卡片放回后小亮再随机抽取，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由.20．(本题7分)用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）求,,a b c 的值；（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成；（3）当2,1,2d e f ===时画出这个几何体的左视图.21．(本题8分)如图，现有一物体CD 在路灯AB 的灯泡（图上点A 处）的照射下，影子顶端正好落在墙脚的点Q 处.已知路灯AB 距物体CD 7.5m ，物体CD 的高为3m ，其影子长为5m.假如另有一高6m 的物体EF 在路灯AB 与物体CD 之间，EF 距路灯AB 2.9m ，问物体EF 的影子是否会落在墙PQ 上.22．(本题8分)（2013衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD ＝4．证明：AE 2＋CF 2的值是一个常数．23．(本题8分)如图，在ABC 中，90B ∠=︒，6AB =cm ，3BC =cm ，点P 从点A 开始沿着AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P 、点Q 分别从点A 、点B 同时出发，只要点P 、点Q 有一点到达△ABC 的顶点便同时停止运动，经过多长时间，点P 、点Q 之间的距离等于？24．(本题8分)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB ＝AC ＝BD ．连接MF ，NF ．（1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．25．(本题8分)如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看，水塔不见了.他心里很是纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别是20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6.m.小张要想看到水塔；他与教学楼之间的距离至少应有多少米？26．(本题8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE（1）求证：AB⊥AE；（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．参考答案1．B2．D3．D4．B5．A6．B7．C8．C9．B10．C11．A12．B13．27．14．（+360）．15．1016．1617．①②③18．（1）22cm APN S =△（2）3AE AD =；（3）6.19．（1）12；（2）不公平.20．（1）a=3,b=1,c=1.（2）9个，11个.（3）详见解析21．物体EF 的影子会落在墙PQ 上.22．见解析23．0.4s24．（1）见解析；（2）见解析.25．小张与教学楼的距离至少应有55.2米.26．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE ，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE ，然后根据“SAS”可判断△BCD ≌△ACE ，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ．210x x +=B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．（x －1）（x ＋ 2）＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2．关于x 一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（） A ．1或1- B ．1 C ．1- D ．03．如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（）A ．3.5B ．4C ．7D ．144．设m 、n 是一元二次方程x 2+3x ﹣7＝0的两个根，则m 2+4m +n ＝（） A ．﹣3 B ．4 C ．﹣4 D ．55．如果顺次连接一个四边形各边中点所得新的四边形是菱形，那么对这个四边形的形状描述最准确的是（）A ．矩形B ．等腰梯形C ．菱形D ．对角线相等的四边形 6．若()()160x y x y +--+=，则x y +的值是（）A ．2B ．3C ．2-或3D ．2或3- 7．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为 8m ，宽为 5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为 18m 2．则花边的宽是（）A ．2mB ．1mC ．1.5mD ．0.5m8．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（）A．12B．13C．14D．349．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A．m＞34B．m≥34C．m＞34且m≠2D．m≥34且m≠210．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.511．用配方法将二次三项式a2+4a﹣5变形，结果是（）A．（a﹣2）2+9 B．（a+2）2+9 C．（a﹣2）2﹣9 D．（a+2）2﹣9 12．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（）A．13B．14C．12D．34二、填空题13．方程（x﹣5）（2x﹣1）＝3的一般形式是_____．14．菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为_____，面积为_____．15．有一个1万人的小镇，随机调查3000人，其中450人看中央电视台的晚间新闻，在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是_____．16．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有________家公司参加商品交易会．三、解答题17．解下列一元二次方程：（1）2（x+3）2＝x（x+3）．（2）x2﹣2x﹣3＝0．（3）2x2﹣9x+8＝0．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1-，2-，3-，4-的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x ；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y.（1）用列表法或画树状图表示出（x ，y ）的所有可能出现的结果；（2）求小强、小华各取一次小球所确定的点（x ，y ）落在一次函数1y x =-的图象上的概率；（3）求小强、小华各取一次小球所确定的数x 、y 满足1y x >-的概率.19．如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF⑴求证：四边形AECF 是平行四边形；⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长．20．如图：四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，把四边形EFGH 称为中点四边形．连接AC 、BD ，容易证明：中点四边形EFGH 一定是平行四边形．（1）如果改变原四边形ABCD 的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD 的对角线满足AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形．当四边形ABCD 的对角线满足时，四边形EFGH 为矩形；当四边形ABCD 的对角线满足时，四边形EFGH 为正方形；（2）探索三角形AEH 、三角形CFG 与四边形ABCD 的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？21．某校甲、乙、丙三人参加语文、数学、英语学科素养展示活动，每人限报一项，求甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率．22．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克；（1）为了获得6000元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？（2）通过涨价可以使利润达到10000元吗？如果能，应涨价多少元？如果不能，请说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）求证：DF∥AB，DF＝1AB2；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形，简述你的理由．24．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当BAC ∠= °时，四边形ADCE 是一个正方形．25．如图，在矩形ABCD 中，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别以3cm/s 、2cm/s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．（1）若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？（2）若点P 沿着AB→BC→CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？参考答案1．C【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程．根据定义即可求解．【详解】解：A选项含有分式，故不是；B选项中没有说明a≠0，则不是；C选项是一元二次方程；D选项中含有两个未知数，故不是；故选：C．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明确一元二次方程的定义．2．C【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0，解得：a＝±1，∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程，∴a−1≠0，即a≠1，∴a的值是−1．故选：C．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．3．A【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=3.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．4．B【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：∵m+n＝﹣3，mn＝﹣7，m2+3m＝7，∴原式＝m2+3m+m+n＝7﹣3＝4，故选B．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，属于基础题型．5．D【解析】试题分析：根据题意对各个选项进行分析从而得到最准确的答案．矩形，等腰梯形均能得到菱形但不够全面，菱形无法得到菱形，即只要对角线相等不管是什么形状均可，故选D．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．6．C【分析】先设x+y=t，则方程即可变形为t2-t-6=0，解方程即可求得t即x+y的值．【详解】解：设t=x+y，则原方程可化为：t（1-t）+6=0即-t2+t+6=0t2-t-6=0∴t=-2或3，即x+y=-2或3．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．7．B【解析】【分析】我们可设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据面积为18 平方米，即长与宽的积是18 平方米，列出方程解答即可．【详解】解：设花边的宽为x，则地毯的长为8﹣2x，宽为5﹣2x，根据题意列方程得(8−2x)(5−2x)=18,解得x1=1，x2=5.5（不符合题意，舍去）．所以，花边的宽为1m．故选：B．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．8．C【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可得.【详解】画树状图如下，共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．故选C．9．C【解析】分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，所以△=b2-4ac＞0，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．详解：∵关于x的一元二次方程（m-2）2x2+（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，即（2m+1）2-4×（m-2）2×1＞0，解这个不等式得，m＞34，又∵二次项系数是（m-2）2，∴m≠2，故M得取值范围是m＞34且m≠2．故选C．点睛：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．10．D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x则2014的教育经费为：2（1+x）万元，2015的教育经费为：2（1+x）2万元，那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．D【分析】二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．【详解】解：a2+4a﹣5＝a2+4a+4﹣4﹣5＝（a+2）2﹣9，故选：D．【点睛】本题考查了配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．12．C【解析】【详解】共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6;2、4、7;2、6、7;4、6、7共4种，其中能构成三角形的结果是2、6、7;4、6、7共2种，所以能构成三角形的概率=24=12．故选C．13．2x2﹣11x+2＝0【分析】利用整式是乘法法则打开括号，然后移项、合并同类项，最后就可以得到方程的一般形式．【详解】解：（x﹣5）（2x﹣1）＝3，∴2x2﹣11x+5﹣3＝0，∴2x2﹣11x+2＝0．故答案为：2x2﹣11x+2＝0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，其中一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．14．52 120【分析】已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积，菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理即可计算菱形的边长，即可解题．【详解】解：如图菱形对角线互相垂直平分，所以AO＝5，BO＝12，∴AB13，故菱形的周长为4×13＝52，×24×10＝120．菱形的面积为12故答案为52、120．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理求AB的长是解题的关键．15．3 20【分析】用看新闻的人数除以被调查的总人数即可得．【详解】解：在该镇随便问一人，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率是4503000＝320，故答案为320．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．16．10【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有12x（x-1）份．【详解】设有x家公司参加，依题意得12x(x−1)=45，整理得：x2−x−90=0，解得：x1=10,x2=−9(舍去)，答：共有10公司参加商品交易会.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的性质并根据题意列出方程.17．（1）x＝﹣3或x＝﹣6；（2）x＝﹣1或x＝3；（3）x【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得；（3）利用公式法求解可得．【详解】解：（1）∵2（x+3）2＝x（x+3），∴2（x +3）2﹣x （x +3）＝0，则（x +3）（x +6）＝0， ∴x +3＝0或x +6＝0，解得x ＝﹣3或x ＝﹣6；（2）∵x 2﹣2x ﹣3＝0， ∴（x +1）（x ﹣3）＝0，则x +1＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3；（3）∵2x 2﹣9x +8＝0， ∴a ＝2，b ＝﹣9，c ＝8，则△＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0，则x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（1）表格见解析；（2）P （点落在一次函数的图象上）=316；（3）P （1y x >-）=316．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出所确定的点（x ，y ）落在一次函数y=x ﹣1的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数x 、y 满足y=x ﹣1的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）列表如下：（2）所有等可能的情况有16种，其中所确定的点（x，y）落在一次函数y=x﹣1的情况有3种，分别为（﹣1，﹣2）；（﹣2，﹣3）；（﹣3，﹣4），则P（点落在一次函数的图象上）=3 16；（3）∵小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的有：(−1,−1),(−2,−1),(−2,−2),(−3,−1),(−3,−2),(−3,−3),(4,−1),(−4,−2),(−4,−3),(−4,−4)，∴小强、小华各取一次小球所确定的数x、y满足y>x−1的概率为：105 168.考点：1.列表法与树状图法2.一次函数图象上点的坐标特征．19．⑴证明见解析⑵5【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长【详解】⑴证明：如图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC∴四边形AECF是平行四边形⑵解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC∴∠1=∠2分∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE∴BE=AE=CE=12BC=520．（1）AC⊥BD，AC⊥BD且AC＝BD；（2）S△AEH+S△CFG＝14S四边形ABCD，见解析；（3）1【分析】（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH=EF，而EF=12AC，EH=12BD，故应有AC=BD．（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得S▱EFGH=12S四边形ABCD=1【详解】解：（1）若四边形EFGH为矩形，则应有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故应有AC⊥BD；若四边形EFGH为正方形，同上应有AC⊥BD，又应有EH＝EF，而EF＝12AC，EH＝12BD，故应有AC＝BD．（2）S△AEH+S△CFG＝14S四边形ABCD．证明：在△ABD中，∵EH＝12 BD，∴△AEH∽△ABD．∴214 AEHABDS EHS BD⎛⎫==⎪⎝⎭．即S△AEH＝14S△ABD同理可证：S△CFG＝14S△CBD∴S△AEH+S△CFG＝14（S△ABD+S△CBD）＝14S四边形ABCD．（3）由（2）可知S△AEH+S△CFG＝14（S△ABD+S△CBD）＝14S四边形ABCD，同理可得S△BEF+S△DHG＝14（S△ABC+S△CDA）＝14S四边形ABCD，故S▱EFGH＝12S四边形ABCD＝1．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质及特殊四边形的判定和性质，相似三角形的性质．21．1 27【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树形图由树形图可知所有可能情况共27中，其中甲报英语、乙报数学、丙报语文的情况有1中，所以甲报英语、乙报数学、丙报语文的概率为127．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）5；（2）不能，见解析【分析】（1）首先设每千克应涨价x元，由题意，得涨价后每千克盈利（10+x）元，销量为（500-20x）千克，利用销量×每千克利润=总利润，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）设涨价x元时总利润为y元，根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值．【详解】解：（1）设每千克应涨价x元，由题意，得（10+x）（500﹣20x）＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x＝5或x＝10，∴为了使顾客得到实惠，所以x＝5．答：应该涨价5元；（2）设涨价x元时总利润为y元，由题意，得y＝（10+x）（500﹣20x），y＝﹣20x2+300x+5 000，y＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，∴当x＝7.5时，y取得最大值，最大值为6125元．利润不能达到10000元，答：利润不能达到10000元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示涨价后的销量和利润，再找出题目中的等量关系，列出方程．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．见解析【分析】（1）先根据AB=AC，AD⊥BC垂足是D，得AD平分∠BAC，然后根据AE是△ABC的外角平分线，可求出AN∥BC，故∠DAE=∠ADC=∠AEC=90°，所以四边形ADCE为矩形；（2）根据四边形ADCE是矩形，可知F是AC的中点，由AB=AC，AD平分∠BAC可知D是BC的中点，故DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF=12 AB；（3）根据矩形的性质可知当△ABC是等腰直角三角形时，则∠5=∠2=45°，利用等腰三角形的性质定理可知对应边AD=CD．再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．【详解】证明：如图（1）∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5，∴∠1＝∠2，∵AE是△ABC的外角平分线，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，即∠DAE＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）∵四边形ADCE是矩形，∴AF＝CF＝12 AC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝12 BC，∴DF是△ABC的中位线，即DF∥AB，DF＝12 AB．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形．∵在Rt △ABC 中，AD 平分∠BAC ∴∠5＝∠2＝∠3＝45°， ∴AD ＝CD ，又∵四边形ADCE 是矩形， ∴矩形ADCE 为正方形．【点睛】本题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用． 24．（1）见解析；（2）90 【分析】（1）根据角平分线的性质，求得90DAE ∠=︒，从而证明四边形为矩形；（2）根据正方形的性质，得到AD CD =，进而求得BAC ∠的度数．【详解】（1）证明：在ABC ∆中，AB AC =， AD 是 BC 边的中线， ∴AD BC ⊥， BAD CAD ∠=∠ ， ∴ 90ADC ∠=︒，AN 为ABC ∆的外角CAM ∠的平分线，MAN CAN ∴∠=∠，90DAE ∴∠=︒， CE AN ⊥ ，90AEC ∴∠=︒， ∴四边形ADCE 为矩形；（2）∵四边形ADCE 是一个正方形 ∴AD CD =又∵ 90ADC ∠=︒ ∴45DAC DCA ∠=∠=︒ 由（1）得 BAD CAD ∠=∠∴290BAC DAC ∠=∠=︒ 【点睛】此题主要考查了矩形的证明和正方形的性质，熟练掌握有关性质及判定方法是解题的关键．25．（1）经过85s 或245sP 、Q 两点之间的距离是10cm ；（2）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】试题解析：()1过点P 作PE CD ⊥于E ．则根据题意，得设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ． 222(1623)610x x --+=，即2(165)64x -=， 1658x ∴-=±， 12824.55x x ，∴==经过8s 5或24s 5点P 和点Q 的距离是10cm ．（2）连接BQ ．设经过s y 后的PBQ △面积为212cm .． ①当160,3x ≤≤时，则163PB y =﹣，112,2PB BC ⋅=即1(163)6122y ⨯⨯=﹣，解得 4.y = ②当1622,33x ≤≤时，则3316,2BP y AB y QC y ，=-=-= 11•(316)21222BP CQ y y =⨯=﹣，解得1226.3y y ==-，（舍去）.③2283x <≤时，21 则22QP CQ PQ y ，=-=- 11•(22)61222QP CB y =-⨯=，解得18.y =（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒PBQ △的面积为212cm ．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题附答案北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A。

AB=ADB。

AC⊥BDC。

AC=BDD。

AD=CD2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A。

2B。

3C。

3√3D。

2√33.用配方法解一元二次方程x^2-4x=5时，此方程可变形为（）A。

(x+2)^2=9B。

(x-2)^2=9C。

(x+2)^2=25D。

(x-2)^2=254.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A。

x^2+3x-4=0B。

2x^3-3x-5=0C。

x+2=1/2D。

x^2+1=2x5.若代数式2x^2-5x与代数式x^2-6的值相等，则x的值是（）A。

-1或6B。

1或-6C。

2或3D。

-2或-36.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（）A。

1/6B。

1/3C。

1/2D。

2/37.2、3、4四个班，某校九年级共有80名学生，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A。

1/8B。

1/6C。

3/8D。

1/28.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A。

1/4B。

1/3C。

1/2D。

3/49.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年均增长率为多少？设该公司这两年缴税的年均增长率为x,根据题意，下列所列的方程正确的是（）A。

40+x^2=48.4B。

40(1+x^2)=48.4C。

40(1-x)^2=48.4D。

40(1+x)^2=48.410.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A。

北师大版数学九年级上册期中考试试卷带答案解析

北师大版数学九年级上册期中考试试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．1．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A．B．C．D．5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定6．如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（）A．B．C．D．7．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.58．根据下列表格对应值：x 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x ＜3.289．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠210．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n，则四边形A n B n C n D n的面积为（）A．﹣B．C．﹣D．不确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．13．若，则的值为．14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．16．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为千米．17．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．18．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．三、解答题19．解下列方程（1）25x2+10x+1=0（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．20．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．22．小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．24．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？25．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．1．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【考点】命题与定理．【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．2．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【解答】解：①ax2+bx+c=0的二次项系数可能为0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；③x+3=不是整式方程；④（a2+a+1）x2﹣a=0整理得[（a+）2+]x2﹣a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程；⑤=x﹣1不是整式方程．故选B．3．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4B．3C．2D．【考点】菱形的性质．【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF 是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴BE=2，∴AE==2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是： EF•AM=×2×3=3．故选：B．4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是： =．故选：C．5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定【考点】三角形中位线定理．【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．【解答】解：连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．故选：C．6．如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据AB∥CD∥EF，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即可得出正确答案．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=， =，，；故选C．7．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2014的教育经费为：2（1+x）万元，2015的教育经费为：2（1+x）2万元，那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．故选D．8．根据下列表格对应值：x 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x ＜3.28【考点】估算一元二次方程的近似解．【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故选B．9．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞B．m≥C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2【考点】根的判别式．【分析】根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，∴，解得：m≥且m≠2．故选D．10．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n，则四边形A n B n C n D n的面积为（）A．﹣B．C．﹣D．不确定【考点】三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．【分析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，依此类推可得四边形A n B n C n D n的面积．【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴A1B1∥AC，A1B1=AC，∴△BA1B1∽△BAC，∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是16，∴S A1B1C1D1=×16，∴四边形A n B n C n D n的面积=16×=．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= 9 cm．【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．【解答】解：在Rt△ABC中，AC==10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．故答案为：9．13．若，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】先由，根据分式的基本性质得出===，再根据等比性质即可求解．【解答】解：∵，∴===，∴=．故答案为．14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则+的值为10 ．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2=﹣6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到+=，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣6，x1x2=3，所以+====10．故答案为10．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故答案为：2．16．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为1250 千米．【考点】比例线段．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离是x厘米，则：1：5 000 000=25：x，∴x=125 000 000，∵125 000 000厘米=1250千米，∴两地的实际距离是1250千米．故答案为1250．17．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得x2﹣70x+825=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0，故答案为：x2﹣70x+825=0．18．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．【解答】解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，∵BM=AE，∴AD=ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，∴∠MEF=∠ADE，∴在△DAE和△EMF中，∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE=MF，∠M=∠A=60°，又∵BM=AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF=AE，∵AE=t，CF=2t，∴BC=CF+BF=2t+t=3t，∵BC=4，∴3t=4，∴t=故答案为：．三、解答题19．解下列方程（1）25x2+10x+1=0（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）直接开平方法求解可得．【解答】解：（1）∵（5x+1）2=0，∴5x+1=0，解得：x1=x2=﹣；（2）∵y+2=±（3y﹣1），即y+2=3y﹣1或y+2=﹣3y+1，解得：y=﹣或y=．20．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？【考点】平行四边形的性质；根的判别式；菱形的判定．【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；（3）将AB=2代入方程解得m=，进而得出x的值．【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+﹣=0，△=m2﹣2m+1=（m﹣1）2∵无论m取何值（m﹣1）2≥0∴无论m取何值方程总有两个实数根；（2）解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC即（m﹣1）2=0，∴m=1代入方程得：∴∴x1=x2=，即菱形的边长为；（3）解：将AB=2代入方程x2﹣mx+﹣=0，解得：m=，将代入方程，x2﹣mx+﹣=0，解得：x1=2，x2=，即BC=，故平行四边形ABCD的周长为5．21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．【解答】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．22．小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【解答】解：（1）4 6 7 81 1+4=5 1+6=7 1+7=8 1+8=92 2+4=6 2+6=8 2+7=9 2+8=103 3+4=7 3+6=9 3+7=10 3+8=115 5=4=9 5+6=11 5+7=12 5+8=13由上表可知，两张牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种．（2）不公平．因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有10种，即小莉去的概率为： =，哥哥去的概率为： =，∵＜，∴小莉去的概率低于哥哥去的概率．可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同，即游戏公平．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．24．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x）元，由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．根据题意，得[（3﹣2）﹣x]﹣24=200．方程可化为：50x2﹣25x+3=0，解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去，∴x=0.3．答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．25．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP 之间的数量关系即可．（3）首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．（4）根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．【解答】（1）证明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．（2）解：在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP；∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．（3）解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．（4）①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，∵AG=MG，点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．附赠材料：考试做题技巧会学习,还要会考试时间分配法：决定考场胜利的重要因素科学分配答题时间,是决定考场能否胜利的重要因素。

北师大版数学九年级上册期中考试试卷(含答案)

北师大版数学九年级上册期中考试试卷(含答案)北师大版数学九年级上册期中考试试卷一、选择题（本大题共12小题）1.下列方程是一元二次方程的是（）A、ax2+bx+c=0B、x2-y+1=0C、x2=0D、(1/2)x+1=22.如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3.关于x的方程(3m+1)x+2mx-1=0的一个根是1，则m的值是（）A、2/3B、-2/3C、-3/2D、3/24．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC、BD 相交于点O，OE⊥AC交AD于E，求△DCE的周长。

A、4cmB、6cmC、8cmD、10cm5.根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是（）x。

ax2+bx+c3.23.-0.063.24.-0.023.25.0.033.26.0.09A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.266.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）7．下列图形：线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（）A、3个B、4个C、5个D、6个8.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A、580(1+x)2=1185B、1185(1+x)2=580C、580(1-x)2=1185D、1185(1-x)2=5809．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°10.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C11.若等腰梯形两底的差等于一腰的长，则最小的内角是（）12.如图，小亮拿一张矩形纸，沿虚线对折一次得到图（2），再将对角两顶点重合折叠得到图（3）。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案） 1．方程()()120x x +-=的解是（）A ．1x =-B ．2x =C ．11x =-，22x =D ．121,2x x ==-2．上海世博会的某纪念品原价150元，连续两次涨价a %后售价为216元．下列所列方程中正确的是（） A ．150(1＋2a %)＝216 B ．150(1＋a %)2＝216C ．150(1＋a %)×2＝216D ．150(1＋a %)＋150(1＋a %)2＝2163．下列命题中，真命题是（）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 4．从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是( )A ．15B ．25C ．310 D ．455．把方程 13x 2﹣x ﹣5=0，化成（x+m ）2=n 的形式得（） A ．（x ﹣ 32）2= 294 B ．（x ﹣ 32）2= 272 C ．（x ﹣32）2= 514 D ．（x ﹣ 32）2=694 6．菱形ABCD 的一条对角线长为6cm ，边AB 的长是方程x 2﹣7x +12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长等于（） A ．10cmB ．12 cmC ．16cmD ．12cm 或16cm7．如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的（）A ．AC ABAD AE= B ．AC BCAD DE= C ．AC ABAD DE= D ．AC BCAD AE=8．如图，四边形ABCD 为菱形，则下列描述不一定正确的是（）A ．CA 平分∠BCDB ．AC ，BD 互相平分 C ．AC ＝CD D ．∠ABD +∠ACD ＝90° 9．已知一元二次方程2310x x --= 的两个实数根分别是 x 1 、 x 2 则 x 12 x 2 + x 1 x 22 的值为 A ．-6B ．- 3C ．3D ．610．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD ，CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①∠ABE ＝∠DCE ；②∠AHB ＝∠EHD ；③S △BHE ＝S △CHD ；④AG ⊥BE ．其中正确的是A ．①③B ．①②③④C ．①②③D ．①③④二、填空题11．方程（x-3）2=x-3的根是_________________．12．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=5，P 为CD 边上的动点，当△ADP 与△BCP 相似时，DP=__．13．已知x 1，x 2是方程x 2+3x +1＝0的两实数根，则1221x x x x +的值为_________． 14．如图，a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a 、b 、c 于点A 、B 、C ，直线n 分别交直线a 、b 、c 于点D 、E 、F ．若AB ＝2，CB ＝4，DE ＝3，则EF ＝_________．15．已知543x y z==（x 、y 、z 均不为零），则32x y y z +=-_____________．三、解答题16．解方程（用指定方法解下列方程）：（1）22410x x --=(配方法) （2）2320x x ++=(公式法)17．如图，点C 是线段AB 上一点，△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连结AE ，BD ，设AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACE ≌△DCB ；（2）求证：△ADF ∽△BAD ．18．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．219．某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆.（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．20．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．21．某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：（1）本次共调查了名家长；扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角是度．已知该校共有1600名家长，则“不赞同”的家长约有名；请补全条形统计图；（2）从“不赞同”的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女”的概率．22．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s 的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．24．已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC ＝90°．（1）当α＝60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD；（2）当α＝90°时（如图2），求BDAE的值．25．正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ．如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF=CF ．（1）如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E ． ①求证：DF=EF ；②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系；并说出理由；（2）若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E ．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）参考答案1．C 【分析】直接根据一元二次方程的解法进行解答即可．【详解】由()()120x x +-=可得：10,20x x +=-=；解得：121,2x x =-=；故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 2．B 【解析】试题分析：上海世博会的某纪念品原价150元，一次涨价a %后售价为150150?%a +，即()1501%a +；第二次涨价a %后售价()()1501%1501%?%a a a +++，即()()()21501%1%1501%a a a ++=+=216，所以选B 考点：列方程解应用题点评：本题考查列方程解应用题，要求考生掌握列方程的方法，关键是搞清题意之间量与量之间的关系 3．D 【详解】A 、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A 错误；B 、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B 错误；C 、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C 错误；D 、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D 正确；故选D ． 4．C 【分析】先判断出五种图形中哪些是中心对称图形，再利用列表法即可求得抽取两个都是中心对称图形的概率．【详解】五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A ，B ，C ，D ，E 列表可得总共有20种等可能的情况，其中抽取两个都是中心对称图形的情况有BC，BE，CB，EB，CE，EC共6种抽取两个都是中心对称图形的概率是：63=2010P故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形的识别和列表法求概率，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性都相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件的概率．5．D【详解】方程13x2−x−5=0，整理得：x2−3x=15，配方得：x2−3x+94=694，即(x−32)2=694，故选D6．C【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可. 【详解】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，即AB＝3或4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC，当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质和三角形的三边关系定理、解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键.7．C【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．【详解】解：∵∠BAC=∠D，AC AB AD DE∴△ABC∽△ADE．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．8．C 【分析】由菱形的性质、等边三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CA 平分∠BCD ，AC 、BD 互相平分，AD=CD ， AB ∥CD ，AC ⊥BD ， ∴∠ABD=∠BDC ，∠BDC+∠ACD=90°， ∴∠ABD+∠ACD=90°，故选项A 、B 、D 不符合题意；当∠ADC=60°时，△ACD 是等边三角形，则AC=CD ， ∴AC=CD ，不一定成立，故选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9．B 【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣1，再把x 12x 2+x 1x 22变形为x 1•x 2（x 1+x 2），然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：x 1+x 2=3，x 1•x 2=﹣1，所以原式=x 1•x 2（x 1+x 2）=﹣1×3=－3．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2b a =-，x 1•x 2ca=． 10．B 【分析】根据正方形的性质证得BAE CDE ∆≅∆，推出ABE DCE ∠=∠，可知①正确；证明ABH CBH ∆≅∆，再根据对顶角相等即可得到AHB EHD ∠=∠，可知②正确；根据//AD BC ，求出BDE CDE S S ∆∆=，推出BDE DEH CDE DEH S S S S ∆∆∆∆-=-，即BHE CHD S S ∆∆=，故③正确；利用正方形性质证ADH CDH ∆≅∆，求得HAD HCD ∠=∠，推出ABE HAD ∠=∠；求出90ABE BAG ∠+∠=︒，求得90AGE ∠=︒故④正确．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，AE DE ∴=，AB CD =，90BAD CDA ∠=∠=︒，()BAE CDE SAS ∴∆≅∆，ABE DCE ∴∠=∠，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC , ∠ABD=∠CBD ，∵BH=BH ，∴ABH CBH ∆≅∆，AHB CHB ∴∠=∠，BHC DHE ∠=∠，AH B EH D ∴∠=∠，故②正确；//AD BC ，BDE CDE S S ∆∆∴=，BDE DEH CDE DEH S S S S ∆∆∆∆∴-=-，即BHE CHD S S ∆∆=，故③正确；四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，45ADB CDB ∠=∠=︒，D H D H =，()ADH CDH SAS ∴∆≅∆，HAD HCD ∴∠=∠，ABE DCE ∠=∠ABE HAD ∴∠=∠，90BAD BAH DAH ∠=∠+∠=︒，90ABE BAH∴∠+∠=︒，1809090AGB∴∠=︒-︒=︒，AG BE∴⊥，故④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题关键要充分利用正方形的性质：①四边相等；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且每条对角线平分一组对角．11．x1=3，x2=4【详解】解：（x﹣3）2=x﹣3，（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣3﹣1）=0，∴x1=3，x2=4．故答案为x1=3，x2=4．点睛：此题考查运用因式分解法解一元二次方程，切忌两边直接除以（x﹣3）．12．1或4或2.5．【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．【详解】设DP=x，则CP=5-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，①、当△PAD∽△PBC时，AD BC=DP CP∴225xx=-，解得：x=2.5；②、当△APD∽△PBC时，ADCP=DPBC，即25x-=2x，解得：x=1或x=4，综上所述DP=1或4或2.5【点晴】本题主要考查的就是三角形相似的问题和动点问题，首先将各线段用含x 的代数式进行表示，然后看是否有相同的角，根据对应角的两边对应成比例将线段写成比例式的形式，然后分别进行计算得出答案．在解答这种问题的时候千万不能出现漏解的现象，每种情况都要考虑到位.13．7【分析】先将1221x x x x +通分变形为()21212122x x x x x x +-，然后根据韦达定理代入x 1+x 2和x 1x 2的值即可．【详解】解：1221x x x x + =221212x x x x + =()21212122x x x x x x +-，∵x 1，x 2是方程x 2+3x +1＝0的两实数根，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∴原式=（-3）2-2=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了代数式求值，韦达定理，将原式进行变形是解题关键．14．EF=6【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．【详解】∵a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF=， ∵AB=2，CB=4，DE=3，4EF∴EF=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．15．32【分析】根据题意，可设x=5k ，y=4k ，z=3k ，将其代入分式即可．【详解】解：∵543x y z == ∴设x=5k ，y=4k ，z=3k ，将其代入分式中得：5k 4k 33212k 6k 2x y y z ++==--．故答案为32．【点睛】本题考查了比例的性质，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数k 表示出x ，y ，z ，再代入计算．16．（1）11x =21x =；（2）11x =-，22x =-．【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解；（2）找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：（1）由原方程22410x x --=，移项得：2241x x -=，方程二次项系数化为1，得：2122x x -=，配方，得212112x x -+=+，2则1x -=∴11x =21x =；（2）2320x x ++=，∵1a =，3b =，2c =，∴2341210，∴原方程有两个不相等的实数根， ∴2131x ， ∴11x =-，22x =-；【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关解法是解题的关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．（1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【详解】解：（1）∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE ≌△DCB （SAS ）；（2）∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC ∥BE ，∴∠CDB=∠DBE ，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．18．(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．【详解】（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．19．（1）98（2）20万元【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：25220.5-×1＋8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x 万元，根据题意得：（25−x−15）（8＋2x ）＝90，解得x 1＝1，x 2＝5，当x ＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）；当x ＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x ＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键． 20．（1）证明见解析；（2）6【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠ADF =∠DE C ，利用等角的补交相等得出∠AFD =∠C ，所以△ADF ∽△DE C ；（2）根据相似三角形的性质得出DE 的长，利用勾股定理得出AE 的长.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四变形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C +∠B =180°，∠ADF =∠DE C ．∵∠AFD +∠AFE =180°， ∠AFE =∠B ，∴∠AFD =∠C ．在△ADF 与△DEC 中，AFD C ADF DEC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ ∴△ADF ∽△DE C ．(2)由（1）知△ADF∽△DEC，则：∵四边形ABCD是平行四边形，AD AFDE CD=∴CD=AB=8．∴DE=12,在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE6=．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．21．（1）200，36，720，见解析；（2）列表法见解析，3 5【分析】（1）从两个统计图可得，“赞同”的有50名，占调查总人数的25%，可求出调查总人数；进而求出“无所谓”和“很赞同”的人数，很赞同的圆心角度数为360°的20200，样本估计总体，样本中“不赞同”的占90200，估计总体1600户的90200是“不赞同”的人数；即可补全条形统计图：（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出1男1女的情况数，进而求出概率．【详解】解：（1）总人数：50÷25%＝200名，无所谓人数：200×20%＝40名，很赞同人数：200﹣90﹣50﹣40＝20名，很赞同对应圆心角：360°×20200＝36°，1600×90200＝720名，故答案为：200，36，720，补全条形统计图如图所示：（2）用列表法表示所有可能出现的情况如下：共有20种可能出现的情况，正确“1男1女”的有12种，∴P（1男1女）＝123205，答：选中“1男1女”的概率为35．【点睛】本题考查的知识点是条形统计图以及扇形统计图，综合利用条形统计图以及扇形统计图中的相关信息是解此题的关键．22．（1）见解析；（2）矩形【分析】（1）首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可．（2）先证明DE=AE=EC=12AC,根据三角形一边的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形,得到∠ADC＝90°，即可得到▱ADCF为矩形．【详解】解：（1）在平行四边形BCFD中，DE//BC，∵E是DF的中点，∴DE＝12BC，∴DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴四边形ADCF是平行四边形．（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC=12AC=AE=EC,∴∠ADC＝90°，∴ADCF是矩形．故答案为：矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质进行证明．23．（1）则P、Q同时出发，经过（S△PCQ=2cm2；（2）点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或2611秒秒△PCQ与△ACB相似．【分析】（1）根据题意用t表示出CQ，PC，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB，△PCQ∽△BCA两种情况列出比例式，计算即可．【详解】（1）由题意得：AP=2t，CQ=t，则PC=8﹣2t，由题意得：12×（8﹣2t）×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，解得：t P、Q同时出发，经过（S△PCQ=2cm2；（2）由题意得：AP=2t，CQ=2+t，则PC=8﹣2t，分两种情况讨论：①当△PCQ∽△ACB时，CPCA=CQCB，即828t-=26t+，解得：t=1.6；②当△PCQ∽△BCA时，CPCB=CQCA，即826t-=28t+，解得：t=2611．综上所述：点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或2611秒秒△PCQ与△ACB相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（1）①等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）16 BDAE=【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．【详解】解：（1）①判断：△ABC 是等边三角形．理由：∵∠ABC=∠ACB=60°∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB∴△ABC 是等边三角形②证明：同理△EBD 也是等边三角形连接DC ，则AB=BC ，BE=BD ，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD∴△ABE ≌△CBD∴AE=CD ，∠AEB=∠CDB=150°∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°在Rt △EDC 中，tan 30CDED =︒=∴AE BD ,即．（2）连接DC ，∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°∴△ABC ∽△EBD ∴ABBC EB BD =，即ABEBBC BD =又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD∴△ABE ∽△CBD ，∠AEB=∠CDB=150°，AEEBCD BD =∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE ）=60°设BD=x 在Rt △EBD 中DE=2x ，在Rt △EDC 中CD=DE×tan60°∴·66CD BE AE x BD BD ===，即16BD AE =．25．（1）①证明见解析；②；（2）结论①成立，结论②不成立，此时②中的三条线段之间的数量关系为【分析】(1)连接PD ，通过△BCP ≌△DCP 证得∠PBC=∠PDC ，由四边形PBCE 的内角得到∠PED=∠PBC ，即可证PD=PE ，由等腰三角形的“三线合一”即可；(2)延长FP 交AB 于点G ，由PC 与CF 的关系，结合EF=DF=AG 逐渐转化得到这三条线段间的数量关系；(3)根据题意画出图形，对比(2)中的结论求解.【详解】解：(1)①连接PD ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 平分∠BCD ，CB=CD ，△BCP ≌△DCP ，∴∠PBC=∠PDC ，PB=PD∵PB ⊥PE ，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，∴∠PED=∠PBC=∠PDC ，∴PD=PE ，∵PF ⊥CD ，∴DF=EF②，理由如下：延长FP 交AB 于点G ，则四边形ADFG 是矩形，∴AG=DF∵△AGP 是等腰直角三角形，∴∵△FCP 是等腰直角三角形，∴(3)结论①成立，结论②不成立，此时②中的三条线段之间的数量关系为。

北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若x 2﹣3x 的值等于零，则x 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．0或3D ．0或﹣32．若234a b c==，a ﹣b+c ＝18，则a 的值为（）A ．11B ．12C ．13D ．143．若两个等腰直角三角形斜边的比是1：3，则它们的面积比是（）A ．1：4B ．1：6C ．1：9D ．1：104．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（）A ．11B ．13C ．11或13D ．以上都不对5．如图，P 是直角△ABC 斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过点P 作一条直线，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条6．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）AB C ．4.5D ．4.37．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在DC 的延长线上取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB ＝4，BC ＝6，CE ＝1，则CF 的长为（）AB ．1.5C D ．18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 交于点H ．下列结论：①CF ＝2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③DP 2＝PH•PC ；④PE ：BC ＝（3）：3．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为_____个．10．已知线段AB ＝4cm ，C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝_____．11．若关于y 的一元二次方程24334ky y y --=+有实根，则k 的取值范围是______12．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为_____．13．如图，菱形ABCD 的周长为16cm ，BC 的垂直平分线EF 经过点A ，则对角线BD 长为_____________cm ．14．某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率为_____．15．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_____．16．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_____．三、解答题17．计算：（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．18．如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，0），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．（1）做出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比是2：1；（3）若M（x，y）是线段AB上一点，则点M关于y轴对称的对应点M1的坐标为．19．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______；（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．20．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．23．如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s 的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．24．如图，过矩形ABCD（AD＞AB）的对角线AC的中点O作AC的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，分别连接AF和CE．（1）判断四边形AFCE是什么特殊四边形，并证明；（2）过点E作AD的垂线交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP．25．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1；②请直接写出AC1与BD1的位置关系；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD 是平行四边形，AC ＝6，BD ＝12，连接DD 1，设AC 1＝kBD 1．请直接写出k 的值和AC 12+（kDD 1）2的值．参考答案1．C 【解析】根据题意得出x 2﹣3x ＝0，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意，得：x 2﹣3x ＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则x 的值为：0或3．故选：C ．2．B 【解析】设234a b c==＝k ，则可利用k 分别表示a 、b 、c ，再利用a ﹣b+c ＝18，所以2k ﹣3k+4k ＝18，然后解k 的方程，从而得到a 的值．【详解】解：设234a b c==＝k ，∴a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∵a ﹣b+c ＝18，∴2k ﹣3k+4k ＝18，解得k ＝6，∴a ＝2×6＝12故选：B ．3．C 【解析】根据相似三角形的判定与性质即可得出答案．【详解】解：如图，△ABC 与△DEF 都为等腰直角三角形，且EF ：AB ＝1：3，则△ABC ∽△EFD ，∴21(9EFD ABC S EF S AB ∆∆==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．A 【解析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，最后求出三角形的周长即可．【详解】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝7或5，当三角形的三边为2，4，7时，2+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5＝11；综合上述：三角形的周长是11，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．5．B【解析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案．【详解】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A∴△APE∽△ACB；∴满足这样条件的直线的作法共有3种．故选：B6．A【解析】根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE+∠DCH ＝90°，∴∠CDF+∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G 为DE 的中点，∴GH ＝12DE ，∵AD ＝AB ＝6，AE ＝AB ﹣BE ＝6﹣2＝4，∴DE ===∴GH故选A ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．D 【解析】【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ，根据平行四边形的性质得到BO ＝DO ，CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM ＝12CD ＝2，OM ＝12BC ＝3，通过△CFE ∽△MOE ，根据相似三角形的性质得到CF CE OM EM=，代入数据即可得到结论．【详解】解：过O作OM∥BC交CD于M，在▱ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∴CM＝12CD＝2，OM＝12BC＝3，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴CFOM＝CEEM，即1 33 CF，∴CF＝1．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．8．D【解析】【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE，∵AD∥BC，∴∠FEP＝∠PBC，∠EFP＝∠PCB，∵∠EPF＝∠BPC，∴∠FEP＝∠EFP＝∠EPF＝60°，∴△EFP是等边三角形，∴BE＝CF，∴CF＝2AE，故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH，故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°，∴AE，∵∠DCF＝30°，∴DF，∴EF＝AE+DF﹣BC﹣BC，∴FE：BC＝（3）：3，∵EF＝PE，∴PE：BC＝（3）：3，故④正确，综上，四个选项都正确，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．9．20【解析】【分析】先由频率＝频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150＝13，设口袋中大约有x个白球，则1010x+＝13，解得x＝20，经检验x＝20是原方程的解，估计口袋中白球的个数约为20个．故答案为：20．【点睛】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．10．2##2-+【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段；所以AC AB，代入数据即可得出AC 的长度．【详解】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝12AB ＝12-×4＝2．故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．11．74k ≥-且0k ≠【解析】【分析】先将方程化为一般形式2770--=ky y ，根据方程有实数根得到.【详解】∵24334ky y y --=+,∴2770--=ky y ∵一元二次方程有实根，∴∆0≥，且0k ≠，∴49+28k 0≥，解得74k ≥-，故答案为：74k ≥-且0k ≠.12．6+6+【解析】根据矩形性质得出AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，推出OA ＝OB ＝OC ＝OD ，得出等边三角形AOB ，求出BD ，根据勾股定理求出AD 即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，OA ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∵∠AOB＝60°，OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝3，∴OA＝OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6，在Rt△BAD中，AB＝3，BD＝6，由勾股定理得：AD＝∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝故答案为：13．【详解】试题分析：连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=12AC=2cm，∴，∴．故答案为考点：菱形的性质；线段垂直平分线的性质．14．20%【解析】先设增长率为x，那么第四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知第四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．【详解】解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：200（1+x ）2＝288，解得：x ＝﹣2.2（不合题意舍去），x ＝0.2，则每季度的平均增长率是20%．故答案为：20%15．【解析】由正方形的对称性可知，PB ＝PD ，当B 、P 、E 共线时PD+PE 最小，求出BE 即可．【详解】解：∵正方形中B 与D 关于AC 对称，∴PB ＝PD ，∴PD+PE ＝PB+PE ＝BE ，此时PD+PE 最小，∵正方形ABCD 的面积为18，△ABE 是等边三角形，∴BE ＝，∴PD+PE 最小值是故答案为：．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．16．（14）n-1【解析】【详解】试题分析：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（14）2-1=14；第三个矩形的面积是（14）3-1=116；…故第n 个矩形的面积为：11()4n -．考点：1.矩形的性质；2.菱形的性质．17．（1）1x =2x =；（2）13y =，235y =【解析】【分析】（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x 2+3＝7x ，移项，得3x 2﹣7x ＝﹣3，除以3，得x 2﹣73x ＝﹣1，配方，得x 2﹣73x+（76）2＝﹣1+（76）2，即（x ﹣76）2＝1336，开方，得x ﹣76＝，解得：x 1，x 2＝76；（2）4y （3﹣y ）＝（y ﹣3）2，移项，得﹣4y （y ﹣3）﹣（y ﹣3）2＝0，（y ﹣3）（﹣4y ﹣y+3）＝0，y ﹣3＝0或﹣4y ﹣y+3＝0，解得：y 1＝3，235y =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）(,)x y 【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点A 2，B 2，C 2即可；（3）利用轴对称的性质求解即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）若M （x ，y ）是线段AB 上一点，则点M 关于y 轴对称的对应点M 1的坐标为（﹣x ，y ）．．【点睛】本题考查作图-位似变换，作图-轴对称变换，作图-相似变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．19．（1）13；（2）23【解析】【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中女生乙的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：（1）∵已确定女生甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中女生乙的只有1种，∴恰好选中乙的概率为13；故答案为：13；（2）分别用字母A ，B 表示女生，C ，D 表示男生画树状如下：4人任选2人共有12种等可能结果，其中1名女生和1名男生有8种，∴P （1女1男）82123==．答：所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【解析】【分析】设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360280)(560)7200x x --+=，解得：18x =，260x =．有利于减少库存，x∴=．60答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解题的关键是根据销售问题的数量关系建立方程．21．（1）见解析；（2）∠BAC＝90°，理由见解析【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AECD是平行四边形，进而理由等腰三角形的性质得出∠ADB＝90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝CD，进而利用正方形的判定得出即可．【详解】（1）证明：∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝FA，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）解：当∠BAC＝90°时，四边形AECD是正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD＝BD＝CD，∵四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．【点睛】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．22．（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为2a【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD 是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一），即BD ⊥AC ，∴▱ABCD 是菱形；（2）解：∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC ＝60°由（1）知，EO ⊥AC ，AO ＝OC∴∠AEO ＝∠OEC ＝30°，△AOE 是直角三角形，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∴∠DAO ＝∠EAO ﹣∠EAD ＝45°，∵▱ABCD 是菱形，∴∠BAD ＝2∠DAO ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积＝AB 2＝a 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．23．（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【解析】【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝12AN•AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为12AB•AD＝12×6×12＝36，∵△AMN的面积是△ABD面积的2 9，∴6t﹣t2＝236 9⨯，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有AM ANAB AD=，即122612t t-=，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有AM ANAD AB=，即122126t t-=，解得t＝24 5，答：当t＝3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．24．（1）四边形AFCE是菱形，见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由过矩形ABCD （AD ＞AB ）的对角线AC 的中点O 作AC 的垂直平分线EF ，易证得△AOE ≌△COF ，即可得EO ＝FO ，则可证得四边形AFCE 是平行四边形，又由EF ⊥AC ，可得四边形AFCE 是菱形；（2）由∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，可证得△AOE ∽△AEP ，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得2AE 2＝AC•AP ．【详解】证明：（1）四边形AFCE 是菱形．理由：由已知可知：AO ＝CO ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴EO ＝FO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形；（2）∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ，∴△AOE ∽△AEP ，∴AO AE ＝AE AP，∴AE 2＝AO•AP ，又AC ＝2AO ，∴2AE 2＝AC•AP ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．25．（1）①见解析；②AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，见解析，35k =；（3）12k =，2211()36AC kDD +=【解析】【分析】（1）①由“SAS”可证△AOC 1≌△BOD 1；②由全等三角形的性质可得∠OBD 1＝∠OAC 1，可证点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，可得结论；（2）由菱形的性质可得OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，由旋转的性质可得OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，通过证明△AOC 1∽△BOD 1，可得∠OAC 1＝∠OBD 1，由余角的性质可证AC 1⊥BD 1，由比例式可求k 的值；（3）与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，可得11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，可求k 的值，由旋转的性质可得OD 1＝OD ＝OB ，可证△BDD 1为直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）①如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC ＝OA ＝OD ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OD 1，∠AOC 1＝∠BOD 1＝90°+∠AOD 1，在△AOC 1和△BOD 1中，1111OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC 1≌△BOD 1（SAS ）；②AC 1⊥BD 1；理由如下：∵△AOC 1≌△BOD 1，∴∠OBD 1＝∠OAC 1，∴点A ，点B ，点O ，点P 四点共圆，∴∠APB ＝∠AOB ＝90°，∴AC 1⊥BD 1；（2）AC 1⊥BD 1，理由如下：如图2，∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝OA ＝12AC ，OD ＝OB ＝12BD ，AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠COD ＝90°，∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OC 1＝OC ，OD 1＝OD ，∠COC 1＝∠DOD 1，∴OC 1＝OA ，OD 1＝OB ，∠AOC 1＝∠BOD 1，∴11OCOA OD OB=，∴△AOC 1∽△BOD 1，∴∠OAC 1＝∠OBD 1，又∵∠AOB ＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD 1＝90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1＝90°，∴∠APB ＝90°∴AC 1⊥BD 1；∵△AOC 1∽△BOD 1，∴11132152AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝35；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC 1∽△BOD 1，∴11112122AC AC OA AC BD OB BD BD ====，∴k ＝12；∵△COD 绕点O 按逆时针方向旋转得到△C 1OD 1，∴OD 1＝OD ，而OD ＝OB ，∴OD 1＝OB ＝OD ，1111,BD O OBD DD O ODD ∠=∠∠=∠，∴1111BD O DD O OBD ODD ∠+∠=∠+∠，∴190BD D ∠=︒，∴△BDD 1为直角三角形，在Rt △BDD 1中，BD 12+DD 12＝BD 2＝144，∴（2AC 1）2+DD 12＝144，∴AC 12+（kDD 1）2＝36．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的旋转，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案详解

北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．方程()20x x +=的根是（）A ．2x =B ．0x =C ．120,2x x ==D ．120,2x x ==- 2．下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．154．用配方法解一元二次方程x 2﹣4x+3＝0时可配方得（）A ．（x ﹣2）2＝7B ．（x ﹣2）2＝1C ．（x+2）2＝1D ．（x+2）2＝2 5．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角相等B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对边相等6．关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m 2﹣1＝0的一个根为0，则m 为（） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．1或﹣1 7．为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（）A ．22025x =B ．20(1)25x +=C ．220(1)25x +=D ．220(1)20(1)25x x +++= 8．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD 的面积是（）A．18 B．C．36 D．9．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC10．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（）A．45°B．30°C．60°D．55°二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为___________，b2-4ac=___________．13．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是____㎝2．14．若2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，则b＝__________15．如图，DA∥EB∥CF，DE=6，EF=7，AB=5，则AC=_______16．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为__________cm．三、解答题17．解方程：x2-6x+5=018．已知：a，b，c，d是成比例线段，其中a＝12，b＝5，c＝18，求线段d的长19．已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．20．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）21．已知，如图菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长为10cm.求（1）对角线AC的长度;（2）菱形ABCD的面积.22．利用旧墙为一边（旧墙长为7米），再用14米长的篱笆围成一个面积为20平方米的长方形场地，则长方形场地的长和宽分别是多少米？23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？24．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB =（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .25．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△BGF ∽△DCF ．参考答案1．D【分析】根据一元二次方程的解法求解即可；【详解】()20x x +=，0x =或20x +=，解得0x =或2x =-；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．2．B【详解】【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，逐一进行判断可得答案．【详解】①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．3．A【解析】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31.62== 故选A.4．B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化1，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．【详解】∵x 2﹣4x+3=0，∴x2﹣4x=﹣3，∴x2﹣4x+4=﹣3+4，∴（x﹣2）2=1．故选B．【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．C【详解】试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，故选C．6．C【分析】将0代入一元二次方程中建立一个关于m的一元二次方程，解方程即可，再根据一元二次方程的定义即可得出答案.【详解】解：依题意，得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根及一元二次方程的定义，准确的运算是解题的关键.7．C【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列方程即可，设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2016年用于绿化投资20万元，2018年用于绿化投资25万元”，可得出方程．【详解】设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=25故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，为平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．8．B【详解】试题分析：过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6 =故选B．考点：菱形的性质．9．B【详解】分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．详解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．点睛：此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．10．A【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【详解】解：设∠BAE=x°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=12（180°-∠BAE）=90°-12x°，∠DAE=90°-x°，∠AED=∠ADE=12（180°-∠DAE）=12[180°-（90°-x°）]=45°+12x°，∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED=180°-（90°-12x°）-（45°+12x°）=45°．∴∠BEF=45°．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．11．-5【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．x2+3x－4=0 25【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把a、b、c的值代入计算即可得到b2-4ac 的值．【详解】一元二次方程4﹣x2=3x的一般形式是x2+3x﹣4=0，b2-4ac=2341(4)91625-⨯⨯-=+=．故答案为：x2+3x﹣4=0，25．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项时要注意符号的变化．13．24【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=12ab=12×6×8=24cm2，故答案为24．14．﹣3【分析】把x=2代入方程x2+bx+2=0得出方程4+2b+2=0，求出方程的解即可．【详解】把x=2代入方程x2+bx+2=0得：4+2b+2=0，解得：b=﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是能否得出一个关于b的方程．15．65 6【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC，计算即可．【详解】∵DA∥EB∥CF，∴AB DE BC EF=，即576 BC=，∴BC=356，∴AC=AB+BC=3556+=656．故答案为：656．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解答本题的关键．16．78【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm．17．x=1或x=5.【解析】试题分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）=0，x﹣1=0，x﹣5=0，x1=1，x2=5．【考点】解一元二次方程-因式分解法．18．7.5【分析】根据成比例线段的定义列式，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】∵a，b，c，d是成比例线段，∴a：b=c：d，∴ad=cb，代入a=12，b=5，c=18，∴12d=5×18解得：d=7.5．故线段d的长为7.5．【点睛】本题考查了比例线段．掌握线段成比例的性质是解答本题的关键．19．m=1，n=-2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值. 【详解】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴2m12m n-+=-⎧⎨-=⎩，解得，m1n2=⎧⎨=-⎩∴m，n的值分别是1、﹣220．（1）13；（2）49．【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．21．（1）AC=24cm ;（2）S ABCD=120(cm2)【解析】考点：菱形的性质．分析：（1）因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE 或CE 的长，从而求得AC 的长；（2）利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．解答：（1）∵四边形ABCD 为菱形∴∠AED=90°∵DE=1/2BD=1/2×10=5（cm ）∴AE 2= AD 2-DE 2=132-52=144∴AE=12（cm ）∴AC=2AE=2×12=24（cm ）（2）S 菱形ABCD =S △ABD +S △BDC=1/2BD?AE+1/2BD?CE=1/2BD （AE+CE ）=1/2BD?AC=1/2×10×24=120（cm 2）点评：主要考查菱形的面积公式：两条对角线的积的一半和菱形的对角线性质，综合利用了勾股定理．22．该长方形的长为5米，宽为4米【分析】设相对墙的一边为x 米，那么另一边长为142x -米，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【详解】设相对墙的一边为x 米(07x <<)，依题意得： 14•202x x -= 整理得：214400x x -+=解得：14x =，2107x => (不合题意，舍去)．当x=4时，141445 22x--==．∴该长方形的长为5米，宽为4米．答：该长方形的长为5米，宽为4米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．23．销售单价为80元．【分析】设每件需涨价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出利润y与降价x之间的方程，然后解出x，进而结合成本不超过10000元得出x的值．【详解】解：设每件需涨价x元，则销售价为（50+x）元．月销售利润为y元．由利润=（售价-进价）×销售量，可得8000=（50+x-40）×（500-10x），解得x1=10，x2=30．当x1=10时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了10000元，不合题意，舍去；当x2=30时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），低于10000元，符合题意．答：销售单价为80元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每天的利润=一件的利润×销售量，进而建立等式是解题关键．24．（1）证明见解析；（2）8【解析】分析：（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．25．见解析．【分析】先根据正方形的性质得出DC=BC，∠DCB =∠DCF =90°，由CE=CF可得出△DCF≌△ECB，故∠CDF=∠CBE，再根据∠F为公共角即可得出结论．【详解】∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．。

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