立体几何中的动点问题
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案
高中数学立体几何动点和折叠问题-含答案1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC的中点为M，点P在正方体的表面DCC1D1上移动，且满足∠APD=∠MPC。
求三棱锥P-BCD的体积的最大值。
2.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别为AB、AC的中点，沿EF把四面体OAEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时，求四棱锥P-BCFE的体积。
3.△ABC是边长为23的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，且EF//BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC。
求四棱锥P-BCFE的体积的最大值。
4.已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，且AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面。
若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则求球O的表面积。
5.已知A、B、C、D四点均在半径为R(R为常数）的球O的球面上运动，且AB=AC，AB⊥AC，AD⊥BC。
若四面体ABCD的体积的最大值为V，求V的值。
6.已知A、B、C是球O的球面上的三点，AB=2，AC=23，∠ABC=60°，且三棱锥O-ABC的体积为V。
求V的值。
7.已知三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个半径为3的球，四边形A1ACC1与B1BCC1为两个全等的矩形，M是A1B1的中点，且C1M=√3.求三棱锥C1-ABC的体积。
8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，连接AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，AO=BD=4，点C'与点C关于平面BC1D对称。
求三棱锥C'-ABD的体积。
1.删除该题，因为这明显是一道数学计算题，没有文章可言。
2.球O的表面积为4π，则球O的体积为(4/3)π。
谈立体几何中动点轨迹问题的解题策略
立体几何中的动点轨迹问题是一个常见的问题类型，它涉及到空间几何中的点、线、面等元素的运动和变化。
解决这类问题的关键在于理解运动和变化的过程，并能够通过数学模型进行描述。
解题策略主要包括以下几个方面：
1. **建立空间坐标系**：为了更好地描述空间几何元素的位置和运动，需要建立一个适当的空间坐标系。
坐标系的建立应依据问题的具体情境和需求，通常选择一个固定点作为原点，并确定三个互相垂直的轴。
2. **确定动点的坐标**：在确定了坐标系之后，需要确定动点的坐标。
这可以通过设定动点的坐标变量来实现，例如设动点的坐标为$(x, y, z)$。
3. **分析运动过程**：在确定了动点的坐标后，需要分析动点的运动过程。
这包括了解动点的运动方向、速度、加速度等参数，以及这些参数与坐标变量的关系。
4. **建立数学模型**：通过分析运动过程，可以建立描述动点运动的数学模型。
这通常涉及到物理、几何、代数等多个方面的知识，需要根据具体问题进行选择和应用。
5. **求解数学模型**：建立了数学模型后，需要求解该模型以得到动点的轨迹方程。
这可能涉及到微积分、线性代数、解析几何等多个数学领域的知识，需要根据问题的复杂程度和要求进行选择和应用。
6. **验证答案**：最后，需要对得到的答案进行验证，以确保其正确性和有效性。
这可以通过将答案代入原问题中进行检验，或者通过与其他已知的答案进行比较来进行验证。
综上所述，解决立体几何中的动点轨迹问题需要综合运用空间几何、物理、数学等多个领域的知识，并能够根据具体问题进行选择和应用。
同时，还需要有一定的逻辑思维和分析能力，以更好地理解和解决这类问题。
立体几何中动点轨迹问题
立体几何中动点轨迹问题
利用三维几何的动点轨迹问题在各行各业有着重要的应用价值。
它在工程、科学技术、数学计算等许多领域有着重要的意义。
三维几何中的动点轨迹是指，当受力作用的粒子穿过物体时，根据物体的几何结构及力场的排列，形成其穿过物体的轨迹。
因此，可以根据这条轨迹来衡量力和物体之间的作用情况，从而可以对物体的几何结构进行各种复杂的计算。
更为重要的是，动点轨迹的计算并不仅仅体现在二维的计算上，而是可以达到真实的三维空间中，进行相对复杂的计算。
可以针对不同的物体及力场结构，研究其动点轨迹的特征，用于研究各种解释力学和其他相关问题。
此外，动点轨迹的计算可以在力学计算、结构分析、宽度计算、流体力学等计算领域大有裨益，可以帮助解决各类技术问题，提高决策效率。
总之，通过三维几何中的动点轨迹问题，可以研究几何结构、探究力学解释、分析流体力学等规律，为各行各业带来重要的实践价值。
如何求解与动点有关的立体几何问题
与动点有关的立体几何问题中的点、线、面的位置往往是不确定的或可变的，此类问题的难度较大，对同学们的空间想象能力和逻辑推理能力有较高的要求.那么求解这类问题有哪些方法呢？下面一起来探讨.一、利用函数思想当问题中的某些点、线、面发生变化时，某些位置关系或量就会发生变化，还会引发其他变量的变化，此时我们可根据题意选择合适的量作为变量，建立关于该变量的函数关系式，运用函数思想，将立体几何问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质来解题.例1.已知正四面体ABCD 的棱长为1，P 为棱AB 上的动点（端点A 、B 除外），过点P 作平面α垂直于AB ，平面α与正四面体的表面相交.记AP =x ，则交线围成的图形面积S =f ()x 的图象大致为（）.A CB D解：取线段AB 的中点O ，连接OC 、OD ，因为△ABC 、△ABD 为等边三角形，O 为AB 的中点，则OC ⊥AB ，OD ⊥AB ，因为OC ⋂OD =O ，OC 、OD ⊂平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，因为AB ⊥平面α，所以平面α与平面OCD 平行或重合，且OD =OC =AC 2-OA 2取CD 的中点M ，连接OM ，则OM ⊥CD ，且OM =OC 2-CM 2故S △OCD =12CD ⋅OM①当0<x <12时，平面α//平面OCD ，平面α⋂平面ABC =PE ，平面OCD ⋂平面ABC =OC ，则PE //OC ，同理可得，PF //OD ，EF //CD ，所以PE OC =AE AC =EF CD =AF AD =PF OD ，故△PEF ∽△OCD .由图1可知SS △OCD =()AP AO2=4x 2，则S =f ()x =2x 2；图1图2②当x =12时，S =f ()12③当12<x <1时，平面α//平面OCD ，平面α⋂平面ABC =PE ，平面OCD ⋂平面ABC =OC ，则PE //OC ，同理可得，PF //OD ，EF //CD ，所以PE OC =BE BC =EF CD =BF BD =PF OD ，故△PEF ∽△OCD ，由图2可知SS △OCD =()BP BO2=4()1-x 2，则S =f ()x =2()1-x 2.综上所述，S =f ()x =ìíîïïïï2x 2,0<x ≤12,2()x -12,12<x <1,故函数f ()x 的图象为C 选项中的图象.故C 项正确.由于P 为棱AB 上的动点，所以我们以AP =x 为自变量，根据正四面体ABCD 的特征，以及点、线、面的位置关系得到当0<x <12和12<x <1时关于x 的函数式，将与动点有关的立体几何问题转化为函数问题，根据函数式画出函数的图象，即可解题.二、构造空间向量向量法是指通过构建空间直角坐标系，将问题转化为空间向量运算问题来求解.由于无法确定问题中动点的位置，所以不妨建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，给各条线段赋予方向，根据点、线、面的位置关系建立关于动点坐标的关系式，进而求得动点的轨迹方程，从而求得问题的答案.例2.（多选题）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长53为2，点P ，Q 分别在正方形A 1B 1C 1D 1的内切圆，正方形C 1D 1DC 的外接圆上运动，则（）.A. PQ ⋅CD ≤2+22 B.|PQ|≥3-2C.∠PAQ >π8D.∠PAQ <π2解：以A 为原点， AD , AA 1,AB 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设P (1+cos α,2,1+sin α),Q (2,1+2cos β,1+2sin β)，可得C ()2,0,2,D ()2,0,0，则 CD =()0,0,-2，PQ =()1-cos α,2cos β-1,2sin β-sin α，所以 PQ ⋅CD =2(sin α-2sin β)≤2+22，故A 选项正确；而|PQ |2=(1-cosα)2+(2cos β-1)2+(2sin β-sin α)2=5-2cos α-22cos β-22sin αsin β≥5-22cos β-4+8sin 2β，记t =22cos β，|PQ |2≥5-t -12-t 2≥5-2=5-26=(3-2)2，故B 选项正确；取C 1D 1的中点M ，AM 穿过一侧的外接圆，取A 1B 1的中点M ′，则AM ′不穿过，故必存在点P ，使得AP 经过外接圆，设公共点为Q ，此时P ，A ，Q 共线，故C 选项不正确；假设D 选项成立，则 AP ⋅AQ =2(1+cos α)+2(1+2cos β)+(1+sin α)(1+2sin β)>0，取α=π,β=54π，得 AP ⋅ AQ =0，即∠PAQ =π2，故D 选项不正确.所以本题的正确答案为AB 两项.建立空间直角坐标系后，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，即可利用空间向量数量积公式、向量的模的坐标公式进行运算，从而确定正确的选项.三、采用转化法动和静是相对的.在动点运动的过程中，要善于寻找或构造与之相关的一些不变量，将一些变化的点、线、面的关系、位置进行合理的转换，如将动点到直线的距离转化为动点所在直线与另一条直线之间的距离、动点所在的平面与另一条直线之间的距离；将动点的位置视为静止的点，以化动为静，构建关系式，运用转化法顺利求得问题的答案.例3.若直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是（）.A.éëêêùûúú42-52,42+52 B.[]22-2,22+2C.éëêêùûúú3-222,3+222 D.[]32-2,32+2图3解：如图3，分别取BC ，AD 的中点M ，N ，连接AM ，MD ，MN ，则AM ⊥BC ,MD ⊥BC ，又AM ⋂MD =M ，AM ⊂平面AMD ，MD ⊂平面AMD ，则BC ⊥平面AMD ，又MN ⊂平面AMD ，则MN ⊥BC .在RtΔABM 中，AM =AB 2-BM 2=42-22=23，在等腰ΔAMD 中，MN ⊥AD ，可得MN =AM 2-AN 2=()232-22=22.若固定正四面体ABCD 的位置，则点O 在以BC 为直径的球上运动，此时球的半径为2，可知点O 到直线AD 的最小距离为球心到直线AD 的距离减去半径，即22-2，最大距离为球心到直线AD 的距离加上半径，即22+2，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是[]22-2,22+2.故选B 项.解答本题，需采用转化法，将问题转化为点O 在以BC 为直径的球上运动的问题.再根据BC 与球的位置关系，以及球的性质，将问题转化为求球心到直线AD 的距离.对于与动点有关的立体几何问题，我们不仅要结合图形，发现并关注动点在运动过程中的不变量，还需通过改变视角，将空间中的点、线、面之间的位置关系转化到平面中进行研究、分析，才能顺利求得问题的答案.无论运用哪种方法解答与动点有关的立体几何问题，都需结合几何图形来分析问题，灵活运用数形结合思想，这样才能达到事半功倍的效果.（作者单位：安徽省阜南第二中学）54。
2022高考数学立体几何—空间中的动点问题全文
可编辑修改精选全文完整版立体几何—空间中的动点问题专题综述空间中的动点问题是指在一定的约束条件下，点的位置发生变化，在变化过程中找出规律，将动点问题转化为“定点”问题、将空间问题转化为平面问题、将立体几何的问题转化为解析几何的问题等,目的是把问题回归到最本质的定义、定理或现有的结论中去.立体几何中考查动点问题，往往题目难度较大，渗透化归与转化思想，对学生的逻辑推理能力要求较高.一般考查动点轨迹、动点的存在性、定值、范围、最值等问题，除了利用化动为定、空间问题平面化等方法，在几何体中由动点的变化过程推理出结果以外，也可以通过建系，坐标法构建函数，求得结果.专题探究探究1：坐标法解决动点问题建立空间直角坐标系，使几何元素的关系数量化，借助空间向量求解，省去中间繁琐的推理过程.解题步骤与空间向量解决立体几何问题一致，建立适当的空间直角坐标系由动点的位置关系，如在棱上或面内，转化为向量的关系，用参数表示动点的坐标通过空间向量的坐标运算表示出待求的量若求最值或取值范围，转化为函数问题，但要注意自变量的取值范围.一般坐标法用于解决动点的存在性问题、求最值、求范围问题.说明：对于求最值、范围问题，也可以直接通过几何体中的某个变量，构建函数，求最值或范围.(2022湖北省宜昌市模拟) （多选）在正方体1111ABCD A B C D -中，点为线段1AD 上一动点，则（ ） A. 对任意的点，都有1B D CQ ⊥ B. 三棱锥1B B CQ -的体积为定值 C. 当为1AD 中点时，异面直线1B Q 与所成的角最小D. 当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大【审题视点】以正方体为载体考查定点的定值、最值问题，正方体便于建立空间直角坐标系，可选择用坐标法解决.【思维引导】选项，可以用几何知识证明；选项，设出点坐标，用坐标表示出异面直线成角的余弦值或线面角的正弦值，求最值，得出点位置.【规范解析】解：对于：连接，1.CD因为在正方体1111ABCD A B C D -中， 1B D ⊥平面1ACD ，CQ ⊂平面1ACD ， 1B D CQ ⊥，故正确； 对于：平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为正方体棱长，1123111326B B CQ Q BCB V V a a a --==⨯⋅=，为定值，故正确；对于：以为坐标原点，直线分别轴，建立空间直角坐标系如下图：设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， ()[](),0,20,2Q x x x -∈，则1(2,2,2)B ， ()2,2,0B ， (0,2,0)C ， 因此()12,2,B Q x x =---， ()2,0,0BC =-， 设异面直线1B Q 与所成的角为θ，则当时，，当时，当时，故当与1D 重合时，异面直线1B Q 与所成的角最小，故不正确；对于： ()12,2,B Q x x =---， 又是平面11BCC B 的一个法向量，设直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角为α，则，所以当1x =时，sin α取得最大值63，而0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因此α取得最大值，即当为1AD 中点时，直线1B Q 与平面11BCC B 所成的角最大， 故正确. 故选.ABD用一个参数表示动点的坐标，并求出参数范围，即为函数定义域转化为函数求最值，求出当函数取最值时的x 的值【探究总结】典例1是一道典型的研究动点问题的多选题，难度中等，但能够反映出坐标法研究最值范围问题的思路.建系设坐标，写出参数范围 根据向量运算构造函数求最值.(2021安徽省蚌埠市联考) 已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，是圆柱的一个轴截面，动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面绕着轴1OO 逆时针旋转(0)θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点.P（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点1C 到平面的距离；（3）证明：不存在(0)θθπ<<，使得二面角D AB P --的大小为.4π探究2：化动为定点的位置在变化的过程中，有些量或位置关系是不变的，比如点到平面的距离不变，从而使几何体的体积不变；动点与另外一定点的连线与某条直线始终垂直，与某个平面始终平行.在证明体积为定值、证明位置关系时，要动中寻定，将动态的问题静态化：将动点转化为定点，寻找动直线所在的确定平面，从而解决问题.答题思路：1.动点到平面的距离为定值：证明平面，动点到平面的距离即为定点到平面的距离；2.为动点，为定点，证明：证明所在平面与垂直；3.为动点，为定点，证明平面：证明所在平面与平面平行.(2021湖南省四校联考) 在正三棱柱中，,，分别为的中点，P 是线段DF 上的一点．有下列三个结论：①平面；②;③三棱锥的体积时定值，其中所有正确结论的编号是 A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【审题视点】求证关于动直线的线面平行或线线垂直，三棱锥的体积为定值问题，要化动为定.【思维引导】证明动直线所在平面与已知平面平行；证明定直线与动直线所在平面垂直；寻找过点与平面平行的直线，即得出点到平面的距离.【规范解析】解：如图，对于①，在正三棱柱中，，分别为的中点，平面平面，由平面，得平面，故①正确；对于②，在正三棱柱中，平面平面，平面平面平面，，平面平面,故②正确；对于③，平面平面，平面到平面的距离为定值，而有为定值，故是定值,线面平行，转化为面面平行异面直线垂直，转化为线面垂直体积的定值问题，转化点到平面的距离是定值，即通过线面平行或面面平行，得出动点到平面距离为定值故③正确．故选D ．【探究总结】立体几何证明中经常出现，求证关于动直线的线面平行与线线垂直问题，其思路是转化为证明动直线所在的定平面与其他平面或直线的位置关系.关键是分析动点,动线或动面间的联系,在移动变化的同时寻求规律.(2021云南省曲靖市联考) 如图所示的几何体中，111ABC A B C -为直三棱柱，四边形为平行四边形，2CD AD =，60ADC ∠=︒，1.AA AC =（1）证明：，1C ，1B 四点共面，且11A C DC ⊥；（2）若1AD =，点是上一点，求四棱锥的体积，并判断点到平面11ADC B 的距离是否为定值？请说明理由．探究3： 巧用极端位置由于点位置连续变化，使研究的图形发生连续的变化，利用点的位置变化“极端”位置，避开抽象及复杂的运算，得到结论.常见题型：1.定值问题：几何体中存在动点，但所求结果是确定的，即随着动点位置的改变不会影响所求的量，故可以考虑动点在极端位置的情况，优化解题过程.2.范围问题：几何体中存在动点，结果会随着动点位置改变而改变，当动点从一侧极端位置移动到令一个极端位置的过程中，所求量在增大、或减小、或先增后减、或先减后增，通过求出极端位置处的值，及最值，从而得出范围；3.探究问题：探究满足条件的点是否存在，也可以转化为求出范围，从而得出结论.(2021湖南省株洲市模拟) 在正四面体中, 为棱的中点, 为直线上的动点,则平面与平面夹角的正弦值的取值范围是 .【审题视点】本例可用极端位置法分析，也可以建系，用坐标法解决.【思维引导】借助极端位置分析，不难看出经过和底边中线的平面与平面垂直，点在移动的过程中，存在一个位置使平面与经过和底边中线的平面平行，即平面平面，此时两平面所成角为，角最大；当点移动到无穷远时，平面平面,此时两平面所成角最小.【规范解析】解：由下左图 设为的中心，为的中点， 则在正四面体中平面， 为中点，为的中点，，故平面连接，并延长交于点， 连接，并延长交于点， 则过点的平面交直线于点. 则平面平面 即平面与平面的夹角的正弦值为1，点从取最值的位置处移动至直线的无穷远处的过程中， 平面与平面的夹角逐渐减小，即当点在无穷远处时，看作， 如下右图 故平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角，求出其正弦值为. 综上可知:面与面的夹角的正弦值的取值范围为.【探究总结】借助极端位置解决典例3中的问题，首先利用几何知识，明确点在移动的过程中 ，所求量的变化情况，若在极端位置处取“最值”，问题就简化为求出极端位置处的值.(2021浙江省杭州市高三模拟)高为1的正三棱锥的底面边长为，二面角与二面角A PB C --之和记为，则在从小到大的变化过程中，的变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大专题升华结合几何知识，两平面成角的变化过程，即动点从一个极端位置变化到另一极端位置时，夹角大小的增减情况在极端位置处取“最值”，直接求出点该处时的夹角的正弦值，即为范围区间的一个端点几何体中研究动点问题往往难度较大，开放性强，技巧性高.总体思路是：用几何知识，经过逻辑推理，证明位置关系或求出表示出所求量；或者建立空间直角坐标系，将几何问题代数化，用空间向量研究动点问题，省去了繁杂的推理环节，但计算量较大.解决动点问题的策略不局限与上述方法，常用的的方法还有：运用条件直接推算，借助条件将几何体还原到长方体中去；构造函数，数形结合；还将空间问题转化为平面几何解决，如化折为直、利用解析几何的知识解决. 但只要我们熟练掌握这些基本方法,并灵活加以应用,不仅能化繁为简,化难为易,而且还可以得到简捷巧妙的解法.【答案详解】 变式训练1【解答】解：（1）在侧面展开图中为的长，其中AB AD π==，∴曲线Γ的长为2;π（2）当2πθ=时，建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,2P π⎛⎫- ⎪⎝⎭、()11,0,C π-， 、(1,1,)2AP π=-、1(1,0,)OC π=-设平面的法向量为(,,)n x y z =，则2002n AB y n AP x y z π⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 取2z =得(,0,2)n π=，所以点1C 到平面的距离为12||||4OC n d n ππ⋅==+； （3）假设存在满足要求的(0)θθπ<<， 在（2）的坐标系中，()sin ,cos ,P θθθ-，，设平面的法向量为111(,,)m x y z =，则111120sin (cos 1)0y x y z θθθ=⎧⎨-+++=⎩，取11x =得sin (1,0,)m θθ=，又平面的法向量为(1,0,0)k =，由二面角D AB P --的大小为4π， 则|cos ⟨,m k ⟩2212|sin .21sin θθθθ==⇒=+ sin (0)2πθθθ<<<，0θπ∴<<时，均有sin θθ<，与上式矛盾．所以不存在(0)θθπ<<使得二面角D AB P --的大小为.4π 变式训练2【解答】（1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱， 所以，且，又四边形为平行四边形，//BC AD ，且BC AD =，，且，四边形为平行四边形，，1B 四点共面；，又1AA ⊥平面，AC ⊂平面，，四边形11A ACC 为正方形，连接1AC 交1A C 于，，在ADC ∆中，2CD AD =，，由余弦定理得，，所以，AD AC ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，1AA AD ⊥，，1AA ⊂平面11A ACC ，，AD ⊥平面11A ACC ，1AC ⊂平面11A ACC ，所以，又，平面，1A C ⊥平面， 1DC ⊂平面，（2）解：由（1）知：1A C ⊥平面，在Rt DAC 中，由已知得3AC =，，四棱锥的体积，//BC AD ，点到平面的距离为定值，即为点到平面的距离变式训练3【解析】解：设二面角为，二面角A PB C --为，当时，正三棱锥趋向于变为正三棱柱，；当时，正三棱锥趋向变为平面，.当正三棱锥为正四面体时，且，，故.当从小变大时，要经过从变为小于的角，然后变为的过程， 故只有选项符合.故选：.静夜思[ 唐] 李白原文译文对照床前明月光，疑是地上霜。
立体几何中的动点问题
立体几何中的动点问题一、立体几何中的动点问题嘿，小伙伴们，咱今天来唠唠立体几何里的动点问题哈。
这动点问题就像一个调皮的小怪兽，在立体几何这个大城堡里到处乱窜呢。
你想啊，立体几何本身就已经够让人头疼的了，再加上个动点，那简直是“难上加难”。
比如说一个正方体或者长方体里面，有个点在棱上或者面上动来动去的，你要去研究它的轨迹啦，它和其他点、线、面之间的关系啦，真的是很考验我们的小脑袋瓜。
我给你们举个例子哈，就像有个三棱柱，在它的一条侧棱上有个动点，这个动点和底面三角形的某个顶点连线，然后问你这条连线和底面的夹角怎么随着这个动点的移动而变化。
这时候你就得动用你学过的那些立体几何的知识了，像什么直线和平面的夹角公式啦，向量的方法啦。
而且呢，这个动点问题还常常和空间想象力挂钩。
有时候你光靠在纸上画图还不行，得在脑子里构建出那个立体的模型，想象着那个点是怎么动的。
这就像是你自己在脑子里玩一个3D游戏一样，不过这个游戏可没那么容易通关哦。
还有一种情况也很常见，就是在一个圆锥或者圆柱里面有动点。
圆锥和圆柱本身就是曲线图形，再加上动点，就像是在弯弯绕绕的迷宫里找出口一样。
比如说在圆锥的侧面上有个动点，要你求这个动点到圆锥底面圆心的距离的取值范围，你就得考虑圆锥的母线长啦，底面半径啦，还有这个动点的运动范围啦。
其实解决立体几何中的动点问题呢，也有一些小窍门。
一个就是多画图，不同位置的图都画一画，这样你就能比较直观地看到动点的变化了。
再一个就是要善于把立体问题转化成平面问题，利用平面几何的知识来解决。
就像把圆锥展开成扇形，把圆柱展开成长方形，这样可能就会让问题变得简单一些呢。
不过呢，不管有多少小窍门，都得靠我们自己多做练习题，多去思考，这样才能真正掌握这个有点“小狡猾”的动点问题。
加油哦，小伙伴们！。
立体几何中的动点轨迹问题
同理，在平面 AA1D1D 内满足条件的点的轨迹长度为52π．在平面 A1B1C1D1 内满足条件 的点的轨迹为以 A1 为圆心，A1F 为半径的14圆弧，长度为 2π×4×14＝2π．同理，在平 面 ABCD 内满足条件的点的轨迹为以 A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为 2π×3×14 ＝32π．故轨迹的总长度为52π＋52π＋2π＋32π＝172π．
的长度最小．因为 B1N1＝D1N1＝ 5，B1D1＝2 2，所以△B1N1D1 的边 B1D1 上的高为
52－ 22＝ 3，则 S△B1N1D1＝12×2 2× 3＝ 6，则当 B1N⊥D1N1 时，B1N 最
小，即 B1Nmin＝2S△DB1N1N1 1D1＝2
6＝2 5
530．
总结 提炼
与平行有关的轨迹问题的解题策略 (1)线面平行转化为面面平行得轨迹； (2)平行时可利用法向量垂直关系求轨迹．
模型 3 动点保持等距关系
3 (2023·湖北联考节选)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 3，P 为正方体表 53
面上的一个动点，A1P＝2 3，则点 P 的轨迹长度为___2__π__．
【解析】 如图，点 P 的轨迹一部分是在平面 ABB1A1，A1B1C1D1， ADD1A1 三个面内以 2 3为半径，圆心角为π6的三段圆弧，另一部分是 在平面 BCC1B1，CDD1C1，ABCD 三个面内以 3为半径，圆心角为π2 的三段圆弧．故点 P 的轨迹的长度为112×2π×2 3×3＋14×2π× 3×3＝523π．
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配套精练
2 ． 如 图 ， 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 的 棱 长 为 2 ， E ， F 分 别 为
2023年高考数学复习：立体几何动点问题
d2＝
|P→A|2－P→A|A→·MA→M| 2＝
204t＋2＋t264，
S△APM＝12 t2＋4·d2＝ 5t2＋16.
S△PAD＝12×2×4＝4，设点 D 到平面 α 的距离为 h，
利用等体积法VD－APM＝VM－PAD，
即13·S△APM·h＝13·S△PAD·t，
可得 h＝ 5t42＋t 16，则 h＝
√A.平面 BCM⊥平面 A1AM
√B.三棱锥 B－MB1C 体积最大值为16
√C.当 M 为 AB1 的中点时，直线 B1D 与直线 CM 所成
的角的余弦值为
2 3
D.直线 CM 与 A1D 所成的角不可能是π4
解 析 对 于 A ， ∵BC⊥AB ， BC⊥BB1 ， AB∩BB1＝B，AB，BB1⊂平面AA1M， ∴BC⊥平面AA1M，又BC⊂平面BCM， ∴平面BCM⊥平面A1AM，A正确； 对于 B，VBMB1C ＝VC BB1M ＝13 S△BB1M ·BC＝13 S△BB1M ，
42－ 126＝3
2－ 12
6，
即当P→A·P→D取得最小值时，点 P 到 AD 的距离为3
2－ 12
6 .
能力 提升
动点问题的解题技巧 (1)应用“位置关系定理”转化. (2)建立“坐标系”计算. (3)依据“曲线定义”判定.
跟踪演练
1.已知 MN 是长方体外接球的一条直径，点 P 在长方体表面上运动，长方
边形
1234
解析 如图，建立空间直角坐标系，延长AE与z轴交于点P， 连接PF与y轴交于点M， 则平面α由平面AEF扩展为平面APM. 由此模型可知A错误，B，D正确. D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)， 设点M的坐标为(0，t，0)(t∈[2,4])， D→A＝(2,0,0)，A→M＝(－2，t，0)，P→A＝(2,0，－4)， 则可知点P到直线AM的距离为
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立体几何中的动点问题
1、如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为2的正方形，⊥PA 平面ABCD ，且4=PA ，M 是PB 上的一个动点（不与B P ,重合），过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()x f y =的图象是C
2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCD A -中，⊥AB 平面BCD ，且CD BD ⊥，CD BD AB ==，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()x f ，则()x f 的图象大致是A
3、 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，1=AB ，N M ,分别在BC AD ,1上移动，始终保持//MN 平面11D DCC ，设x BN =，y MN =，则函数()x f y =的图象大致是 C
4、如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________2π
5、点P 在正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1BC 上运动，给出下列命
题：
①三棱锥PC D A 1-的体积不变；
②//1P A 平面1ACD ；
③1BC DP ⊥；
④平面⊥1PDB 平面1ACD ；
其中正确的命题序号是_______①②④
6、在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为11C B ，11D C 的中点，点P 是底面1111D C B A 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是_______22
7、已知直三棱柱111C B A ABC -中的底面为等腰直角三角形，AC AB ⊥，点N M ,分别是边C A AB 11,上动点，若直线//MN 平面11B BCC ，点Q 为线段MN 的中点，则点Q 的轨迹为 C
.A 双曲线的一支（一部分） .B 圆弧（一部分）
.C 线段（去掉一个端点） .D 抛物线的一部分 解：以AB 为轴，AC 为轴，1AA 为轴建系
设()b ta M ,0,1，()tb ta M ,0,，()b ta N ,,01，则()()b t ta N -1,,0，()tb ta M ,0,()10<≤t
则N M ,中点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,2,2b ta ta Q (通过作与平面11B BCC 平行的平面交C A AB 11,来找N M ,进而找中点Q )。