立体几何动点问题

5 、 平 面 内 两 正 方 形 ABCD 与 ABEF ， 点 M , N 分 别 在 对 角 线 AC, FB 上 ， 且
AM : MC FN : NB ，沿 AB 折起，使得 DAF 90 ,若 AM : MC 2: 3 ，在线段 AB 上是否存在一点 G ，使平面 MGN //平面 CBE ?若存在，试确定点 G 的位置.
2 1．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF=2，
则下列结论中错．误．的个数是( ) (1) AC⊥BE.
2 (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为2.
(3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值.
(4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条.
解法一（：1）如图，过点 E 作 EG⊥AC，垂足为 G，过点 F 作 FH⊥AC，垂足为 H，则 EG FH 2 ，
GH 2 2 ．
D
C
H
E
M
O
F
G
A
B
D
E
M
O
A
G
H
C
F
B
因为二面角 D－AC－B 为直二面角，EF 2 GH 2 EG2 FH 2 2EG FH cos90
(2 2)2 ( 2)2 ( 2)2 0 12. 又在 EOF 中， OE OF 2 ，
x-2y=-a
①又因 BH =(x,a,y,0),且 BH 与 BD 的方向相同，故 x a ＝ y ，即 a 2a
2x+y=2a
②由①②解得 x= 3 a,y= 4 a,从而 GH ＝ 2 a, 1 a,0 ，
55Βιβλιοθήκη 5 5 ｜ GH ｜＝
5 a.tanEHG= EC =
Ka 2
=
5 k.
5
GH 5 a 2
1
1
EG = 3 PA = 3 , ------5 分连接 BD 交 AC 于 O, 过 G 作 GH//OD ，交 AC 于 H，
连接 EH．GH AC , EH AC , EHG 为二面角 D—AC―E 的平面角． -----6 分
tanEHG
=
EG GH
=
2 2
． 二面角 D—AC―E 的平面角的余弦值为
又 BQ PQ Q, NC 平面PQB NC 平面PCN,平面PCN 平面PQB
4．(12 分)点 O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心，点 E ，F 分别是 AD ， BC 的中点．沿 对角线 AC 把正方形 ABCD 折成直二面角 D AC B ． （1）求 EOF 的大小；（2）求二面角 E OF A 的余弦值．
5
由 k＞0 知，EHC 是锐角，由 EHC＞ 30, 得 tanEHG＞tan 30, 即
5 k ＞ 3 .故 k 的取值范围为 k＞ 2 15
2
3
15
cos EOF OE2 OF 2 EF 2 22 22 (2 3)2 1 ． EOF 120 ．…..6 分
2OE OF
222
2
（2）过点 G 作 GM 垂直于 FO 的延长线于点 M，连 EM． ∵二面角 D－AC－B 为直二面角，∴平面 DAC⊥平面 BAC，交线为 AC， 又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面 BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得 EM⊥OF．
C．三棱锥 A BEF 的体积为定值 D．△AEF 与△BEF 的面积相等
3. 关 于 图 中 的 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 ， 下 列 说 法 正 确 的 有 ：
D1
___________________．
A1
① P 点在线段 BD上运动，棱锥 P AB1D1 体积不变；
G
② P 点在线段 BD上运动，二面角 P B1D1 A 不变；
6 ⑤当 CQ 1时,S 的面积为 2 .
①⑤
1．（本小题满分 13 分） 如图所示，在三棱锥 A—BCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜 边，且 AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面 ABC 是正三角形.
(1)当正视图方向与向量 的方向相同时，画出三棱锥 A—BCD 的三视图;(要求标出尺
z D
E
O
A
x
C Fy B
cos OE,OF OE OF 1 ．EOF 120 ．…..6 分 | OE || OF | 2
（2）设平面 OEF 的法向量为 n1 (1, y, z) ．
由 n1 OE 0, n1 OF 0, 得
1 y
2z 0, 解得 y 0,
2 y 0,
6．（15 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA 底面 ABCD, DAB 为直角，
AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、CD 的中点.
（Ⅰ）试证：CD 平面 BEF;
（Ⅱ）设 PA＝k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ,求 k 的取值范围. 解：（Ⅰ）如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),
(5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40并且与平面 BEF 所成角为 50的直线有 2 条.
A.0
B.1
C.2
D.3
2．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点
E, F ，且 EF
2 2
,则下列结论中错．误．的是（
）
A． AC BE
B． EF ∥平面 ABCD
2.（本小题满分 12 分）如图所示， 四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，
PACD，PA = 1， PD＝ 2 ，E 为 PD 上一点，PE = 2ED．（Ⅰ）求证：PA 平面 ABCD； （Ⅱ）求二面角 D－AC－E 的余弦值； （Ⅲ）在侧棱 PC 上是否存在一点 F，使得 BF // 平面 AEC？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ） PA = PD = 1 ,PD = 2 , PA2 + AD2 = PD2, 即：PA AD ---2 分
又 PA CD , AD , CD 相交于点 D, PA 平面 ABCD-------4 分
（Ⅱ）过 E 作 EG//PA 交 AD 于 G，从而 EG 平面 ABCD，且 AG = 2GD ,
z
2 2
．所以， n1
(1, 0,
2 ) ．…..9 分 2
又因为平面 AOF 的法向量为 n2 (0, 0,1) ，…..10 分
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
3 ．…..11 分 3
且根据方向判断，二面角 E OF A 的大小为余弦为 3 ．…..12 分 3
（此题改编自《选修 2-1》P118，12）
2
2
（Ⅱ）设 E 在 xOy 平面上的投影为 G，过 G 作 GH BD 垂足为 H,由三垂线定理知 EH BD.
从而 EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角.由 PA＝k·AB 得 P(0,0,ka),E a, a, ka ,G(a,a,0). 2
设 H(x,y,0)，则 GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0),由 GH · BD =0 得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即
中点，MO // PA ， MO 平面 MBD, PA 平面 MBD, PA // 平面 MBD
（2）二面角 P BD A 的余弦值为 7 7
（3）解，存在点 N , 当 N 为 AB 中点时，平面 PQB 平面 PNC 四边形 ABCD 是正方形，Q 为
AD 的中点，BQ NC. 由（1）知， PQ 平面 ABCD, NC 平面ABCD, PQ NC,
（1）求证： PA // 平面 MBD ；
（2）求：二面角 P BD A的余弦值；
（3）试问：在线段 AB 上是否存在一点 N , 使得平面 PCN 平面
PQB ? 若存在，试指出点 N 的位置，并证明你的结论；若不存在，
请说明理由.
（1）证明：连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 MO, 由正方形 ABCD 知 O 为 AC 的中点， M 为 PC 的
BC
BC
则由 n1⊥→知：n1·→＝－x＋y＝0，
AC
AC
同理由 n1⊥→知：n1·→＝－x－z＝0，
可取 n1＝(1,1，－1)， 同理，可求得平面 ACD 的一个法向量为
n1＝(1,0，－1).
n1·n2 1＋0＋1 6 ∴cos〈n1，n2〉＝|n1||n2|＝ 2 ＝3.
6 即二面角 B—AC—D 的余弦值为3. …… 5 分
6
-------8 分
3
（Ⅲ）以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则 A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，
1 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， E （ 0
,
2 3
,
1 3
）,
AC
= （ 1,1,0 ） ,
AE
=
（0
,
2 3
,
1 3
∴ EMG 就是二面角 E OF A 的平面角．…..9 分 在 Rt EGM 中， EGM 90 ， EG 2 ， GM 1 OE 1，
2
∴ tan EMG EG 2 ,COSEMG 3
GM
3
所以，二面角 E OF A 的余弦值为 3 。…..12 分 3