高等流体力学课件 高等流体力学(1)
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高等流体力学课件
静止流体满足力的平衡条件，即合力为零。
流体静力学的基本概念
流体静力学是研究流体平衡和压力分布的学 科。
压力分布
静止流体的压力分布与重力场和其他外力场 有关，可以通过静力学方程求解。
流体动力学
总结词
流体动力学的基本概念、一维流动、层流与湍流
一维流动
一维流动是指流体沿着一条线的流动，可以用于 描述长距离管道内的流动或某些对称的流动。
水利工程
机械工程
流体动力学在水力发电、水利枢纽设计、 灌溉系统优化等方面具有广泛应用，为水 利工程提供了重要的技术支持。
流体动力学在机械工程领域的应用也十分 广泛，如内燃机、通风 system等的设计和 优化。
流体在自然界中的应用
气候变化
流体动力学在气候变化研究中发挥着重要作用，如风场、洋流等 对气候的影响研究。
详细描述
连续性方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了单位时间内流经某一封闭 曲面微元体的流体质量的增加等于该微元体所受质量源的净增量，用于描述流 体运动的连续性。
动量方程
总结词
描述流体动量守恒的方程
详细描述
动量方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了流体动量的变化率等于作用在 流体上的外力之和，包括重力、压力、摩擦力等。
方法
02
常用的线性稳定性分析方法包括特征值分析、傅里叶分析和庞
加莱截面法等。
应用
03
线性稳定性分析在气象、海洋、航空航天等领域有广泛应用，
用于预测和控制流体运动的稳定性。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是研究流体运动在较大扰 动下的响应，需要考虑非线性效应对流体运 动的影响。
方法
非线性稳定性分析需要求解非线性偏微分方程，常 用的方法包括数值模拟和近似解析法。
流体静力学的基本概念
流体静力学是研究流体平衡和压力分布的学 科。
压力分布
静止流体的压力分布与重力场和其他外力场 有关，可以通过静力学方程求解。
流体动力学
总结词
流体动力学的基本概念、一维流动、层流与湍流
一维流动
一维流动是指流体沿着一条线的流动，可以用于 描述长距离管道内的流动或某些对称的流动。
水利工程
机械工程
流体动力学在水力发电、水利枢纽设计、 灌溉系统优化等方面具有广泛应用，为水 利工程提供了重要的技术支持。
流体动力学在机械工程领域的应用也十分 广泛，如内燃机、通风 system等的设计和 优化。
流体在自然界中的应用
气候变化
流体动力学在气候变化研究中发挥着重要作用，如风场、洋流等 对气候的影响研究。
详细描述
连续性方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了单位时间内流经某一封闭 曲面微元体的流体质量的增加等于该微元体所受质量源的净增量，用于描述流 体运动的连续性。
动量方程
总结词
描述流体动量守恒的方程
详细描述
动量方程是流体动力学的基本方程之一，它表达了流体动量的变化率等于作用在 流体上的外力之和，包括重力、压力、摩擦力等。
方法
02
常用的线性稳定性分析方法包括特征值分析、傅里叶分析和庞
加莱截面法等。
应用
03
线性稳定性分析在气象、海洋、航空航天等领域有广泛应用，
用于预测和控制流体运动的稳定性。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是研究流体运动在较大扰 动下的响应，需要考虑非线性效应对流体运 动的影响。
方法
非线性稳定性分析需要求解非线性偏微分方程，常 用的方法包括数值模拟和近似解析法。
第一章 流体力学的基本概念
dx dy dz dt u v w
第一章 流体力学的基本概念
x x( x0 , y 0 , z 0 , t , ) y y ( x0 , y 0 , z 0 , t , ) z z ( x , y , z , t , ) 0 0 0
τ固定，t变化时，迹线；
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
流体的物理量表示为流体质点和时间的函数。
p p( x0 , y0 , z0 , t )
T T ( x0 , y0 , z0 , t )
( x0 , y0 , z0 , t )
（x0 , y0 , z0） 固定，t 变化： 表示某一确定流体质点的空间位臵及相 关物理量随时间的变化规律。 （x0 , y0 , z0）变化，t 固定： 表示同一时刻不同流体质点的空间位臵 及相关物理量。
0
有限大的正数
r0 , r 互为反函数。
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
r0 r0 (r , t )
x0i x0i ( x j , t )
x0 x0 ( x, y, z , t ) y0 y0 ( x , y , z , t ) z z ( x, y , z , t ) 0 0
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
(2) 已知欧拉参考系的物理量
u u (r , t )
积分 代入
dr u (r , t ) dt
dx dt u ( x, y , z , t ) dy v ( x, y , z , t ) dt dz dt w( x, y , z , t )
第一章 流体力学的基本概念
x x( x0 , y 0 , z 0 , t , ) y y ( x0 , y 0 , z 0 , t , ) z z ( x , y , z , t , ) 0 0 0
τ固定，t变化时，迹线；
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
流体的物理量表示为流体质点和时间的函数。
p p( x0 , y0 , z0 , t )
T T ( x0 , y0 , z0 , t )
( x0 , y0 , z0 , t )
（x0 , y0 , z0） 固定，t 变化： 表示某一确定流体质点的空间位臵及相 关物理量随时间的变化规律。 （x0 , y0 , z0）变化，t 固定： 表示同一时刻不同流体质点的空间位臵 及相关物理量。
0
有限大的正数
r0 , r 互为反函数。
第一章 流体力学的基本概念
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
r0 r0 (r , t )
x0i x0i ( x j , t )
x0 x0 ( x, y, z , t ) y0 y0 ( x , y , z , t ) z z ( x, y , z , t ) 0 0
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
(2) 已知欧拉参考系的物理量
u u (r , t )
积分 代入
dr u (r , t ) dt
dx dt u ( x, y , z , t ) dy v ( x, y , z , t ) dt dz dt w( x, y , z , t )
高等流体力学的讲义课件流体力学的基本概念
t x y z
D lim 1 (xx,yy,zz,tt)(x,y,z,t)
Dt t0t
lit m0t
x t
x
y t
y
z t
z
uvw
t x y z
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
1.1 连续介质假说
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
ur lim(vrm) V m
lim(m)
V V
在微观上充分大统计平均才有确
定的值；宏观上充分小，统计平均 才能代表一点的物理量变化。
V
vr
•
m
连续介质方法的适用条件
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系： u u (x,y,z,t)
x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0)
用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点
的不同空间位置。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
系统 某一确定流体质点集合的总体。 随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换； 始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质 量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组。
D lim 1 (xx,yy,zz,tt)(x,y,z,t)
Dt t0t
lit m0t
x t
x
y t
y
z t
z
uvw
t x y z
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
1.1 连续介质假说
当流体分子的平均自由程远远小于流场的最小宏观尺度时， 可用统计平场的方法定义场变量如下：
ur lim(vrm) V m
lim(m)
V V
在微观上充分大统计平均才有确
定的值；宏观上充分小，统计平均 才能代表一点的物理量变化。
V
vr
•
m
连续介质方法的适用条件
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
通常力学和热力学定律都是针对系统的，于是需要在拉格朗日参考 系下推导基本守恒方程，而绝大多数流体力学问题又是在欧拉参考 系下求解的，因此需要寻求联系两种参考系下场变量及其导数的关 系式
欧拉和拉格朗日参考系中的时间导数
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
欧拉参考系： u u (x,y,z,t)
x - x0 = u ( t - t0) y - y0 = v (t - t0） z - z0 = w (t - t0)
用 x0 , y0 , z0 来区分不同的流体质点，而用 t 来确定流体质点
的不同空间位置。
1.2 欧拉和拉格朗日参考系
系统和控制体
系统 某一确定流体质点集合的总体。 随时间改变其空间位置、大小和形状；系统边界上没有质量交换； 始终由同一些流体质点组成。 在拉格朗日参考系中，通常把注意力集中在流动的系统上，应用质 量、动量和能量守恒定律于系统，即可得到拉格朗日参考系中的基 本方程组。
流体力学课件(全)
X 1 p 0 x
Y 1 p 0 y
欧拉平衡方程
Z 1 p 0 z
p p( , T )
t
1 V V T p
1 V V p T
p p(V , T )
1 t T p
p
p
1 p T
V
p y = pn pz = pn
px = p y = pz = pn = p
28/34
第二章
流体静力学
§1 静压强及其特性 §2 流体静力学平衡方程 §3 压力测量 §4 作用在平面上的静压力 §5 作用在曲面上的静压力 §6 物体在流体中的潜浮原理
29/34
§2流体静力学平衡方程
通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立 起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同 情况下流体静压力的分布规律。 why 因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。 现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足 的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。
《流体力学》
汪志明教授
5/24
第一章 流体的流动性质
§1 流体力学的基本概念
§2 流体的连续介质假设 §3 状态方程 §4 传导系数 §5 表面张力与毛细现象
《流体力学》
汪志明教授
6/24
§2 流体的连续介质假设
虽然流体的真实结构是由分子构成，分子间有一定的孔隙，但流 体力学研究的并不是个别分子微观的运动，而是研究大量分子组成的 宏观流体在外力的作用下所引起的机械运动。 因此在流体力学中引入连续介质假设：即认为流体质点是微观上 充分大，宏观上充分小的流体微团，它完全充满所占空间，没有孔隙 存在。这就摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。
Y 1 p 0 y
欧拉平衡方程
Z 1 p 0 z
p p( , T )
t
1 V V T p
1 V V p T
p p(V , T )
1 t T p
p
p
1 p T
V
p y = pn pz = pn
px = p y = pz = pn = p
28/34
第二章
流体静力学
§1 静压强及其特性 §2 流体静力学平衡方程 §3 压力测量 §4 作用在平面上的静压力 §5 作用在曲面上的静压力 §6 物体在流体中的潜浮原理
29/34
§2流体静力学平衡方程
通过分析静止流体中流体微团的受力，可以建立 起平衡微分方程式，然后通过积分便可得到各种不同 情况下流体静压力的分布规律。 why 因此，首先要建立起流体平衡微分方程式。 现在讨论在平衡状态下作用在流体上的力应满足 的关系，建立平衡条件下的流体平衡微分方程式。
《流体力学》
汪志明教授
5/24
第一章 流体的流动性质
§1 流体力学的基本概念
§2 流体的连续介质假设 §3 状态方程 §4 传导系数 §5 表面张力与毛细现象
《流体力学》
汪志明教授
6/24
§2 流体的连续介质假设
虽然流体的真实结构是由分子构成，分子间有一定的孔隙，但流 体力学研究的并不是个别分子微观的运动，而是研究大量分子组成的 宏观流体在外力的作用下所引起的机械运动。 因此在流体力学中引入连续介质假设：即认为流体质点是微观上 充分大，宏观上充分小的流体微团，它完全充满所占空间，没有孔隙 存在。这就摆脱了复杂的分子运动，而着眼于宏观机械运动。
高等流体力学_第一讲
）算子
保证物理量在不同坐标系表示下量不变，坐标转换应具有
时，经求和运算，张量A
对称张量与反对称张量
22
第一讲 流体力学的基本概念
二、描述流体运动的两种方法
1、拉格朗日法（Lagrangian Lagrangian Method
Method ）（1）质点运动方程：
a ，
b ，
c ：拉格朗日变量，为t=0时，流体质点的坐标值。
（2）特点：质点运动学的研究方法，难以形成对流体域整体运动特性的描述。
（3）流体质点的运动速度：
（4）流体质点的运动加速度：
)
3,2,1( ),,,(==i t c b a x x i i )
3,2,1( =∂∂=i t
x v i
i )
3,2,1( 22
=∂∂=∂∂=i t
x t v a i
i i
线变形率与角变形率
转动角速度
四、作用在流体上的力、应力张量及牛顿本构方程
应力张量与变形率张量的关系。
《高等流体力学》第1章 流体运动学
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来
流体微元的旋转角速度 对比：
2
1 ∂v2 ∂v1 1 ∂v2 ∂v1 )+ ( ) ωπ 4 = ( − − 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1
A1 A2
因A1与A2是任取的，故在同一时刻，沿同一涡管各 界面的涡通量不变—涡管通量守恒。 结论： (1)对于同一微元涡管，面积越小，流体旋转角速度 越大； (2)涡管截面不可能收缩到零。
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − −aβα 2 ∂xα ∂xβ
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ Байду номын сангаасαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
《高等工程流体力学》课件
明确学习和掌握流体力学的预期成果和学术目标。
课程大纲
概述课程重点和每个章节的内容概要，为学习提供指引。
流体力学基础知识
打下坚实的基础，掌握流体的基本性质、流动的描述方法和流体静力学的重要概念。
1
流体的基本性质
深入了解液体和气体的特性，包括密度、
流动的描述方法
2
粘度和表面张力。
学习流体力学中的常见描述方法，如拉
《高等工程流体力学》PPT课 件
欢迎来到《高等工程流体力学》PPT课件，本课程将帮助您深入了解流体力学 的基础知识、流体动力学和应用与案例分析。让我们开始吧！
课程介绍
探索流体力学的世界，从课程背景、目标和大纲开始，为您提供全面的课程导引。
课程背景
介绍流体力学作为工程学科的重要性和应用领域。
课程目标
格朗日和欧拉描述。
3
流体静力学
探索液体和气体的静力学特性，包括压 力分布和浮力原理。
流体动力学
进入流体的动态世界，研究流体的动量方程、能量方程和连续性方程。
流体的动量方程
了解流体的质量、惯性和力之间 的关系，并探讨动量守恒定律。
流体的能量方程
研究流体中的能量传输，包括势 能和动能的转换。
流体的连续性方程
识别并解决在流体力学中可能遇到的常见问题和挑战。
了解质量守恒定律，并学习如何 应用连续性方程解决流体流动问 题。
应用与案例分析
将学到的理论知识应用于实际工程中，深入分析实际案例及潜在问题与解决方案。
流源等领域中的广泛应用。
工程实例分析
通过实例研究，深入分析流体力学在具体工程中的应用和解决方案。
潜在问题与解决方案
课程大纲
概述课程重点和每个章节的内容概要，为学习提供指引。
流体力学基础知识
打下坚实的基础，掌握流体的基本性质、流动的描述方法和流体静力学的重要概念。
1
流体的基本性质
深入了解液体和气体的特性，包括密度、
流动的描述方法
2
粘度和表面张力。
学习流体力学中的常见描述方法，如拉
《高等工程流体力学》PPT课 件
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课程介绍
探索流体力学的世界，从课程背景、目标和大纲开始，为您提供全面的课程导引。
课程背景
介绍流体力学作为工程学科的重要性和应用领域。
课程目标
格朗日和欧拉描述。
3
流体静力学
探索液体和气体的静力学特性，包括压 力分布和浮力原理。
流体动力学
进入流体的动态世界，研究流体的动量方程、能量方程和连续性方程。
流体的动量方程
了解流体的质量、惯性和力之间 的关系，并探讨动量守恒定律。
流体的能量方程
研究流体中的能量传输，包括势 能和动能的转换。
流体的连续性方程
识别并解决在流体力学中可能遇到的常见问题和挑战。
了解质量守恒定律，并学习如何 应用连续性方程解决流体流动问 题。
应用与案例分析
将学到的理论知识应用于实际工程中，深入分析实际案例及潜在问题与解决方案。
流源等领域中的广泛应用。
工程实例分析
通过实例研究，深入分析流体力学在具体工程中的应用和解决方案。
潜在问题与解决方案
高等流体力学第一讲.ppt
3. 叉积 一、 矢量的表征及运算
v v v v a b (a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 a1 a2 v (a1b2 a2b1 )e3 b1 b2
3
v e1
v e2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v e3 a3 b3
第一讲，附录部分：数学基础
二、场的概念，梯度及方向导数
v v v ai a1e1 a2e2 a3e3
a11 a ij a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
2.求和约定
①在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:
aibi a1b1 a2b2 a3b3
n为自由指标 m为哑指标
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
10
第一讲，附录部分：数学基础
3.张量的基本运算规则
（1）克罗内克（Kroneker）符号δ
ij
1 i j ij 0 i j
是二阶单位张量。 符号具有以下重要性质：
v v ij ei e j
两矢量的点积可表示为：
ai bj aiei bj e j aibjij aibi a jbj
11
第一讲，附录部分：数学基础
1 i j 符号具有以下重要性质： ij 0 i j
ij jk i11k i 22k i33k
12
第一讲，附录部分：数学基础
（2）里奇（Ricci）置换符号ε
ijk
ijk
1 1 0
偶排列，即：123,231,312； 奇排列，即：213,321,132 有两个或两个以上指标相同。
v v v v a b (a2b3 a3b2 )e1 (a3b1 a1b3 )e2 a1 a2 v (a1b2 a2b1 )e3 b1 b2
3
v e1
v e2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v e3 a3 b3
第一讲，附录部分：数学基础
二、场的概念，梯度及方向导数
v v v ai a1e1 a2e2 a3e3
a11 a ij a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
2.求和约定
①在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:
aibi a1b1 a2b2 a3b3
n为自由指标 m为哑指标
北京工业大学市政学科部——马长明
高等流体(水）力学讲稿
10
第一讲，附录部分：数学基础
3.张量的基本运算规则
（1）克罗内克（Kroneker）符号δ
ij
1 i j ij 0 i j
是二阶单位张量。 符号具有以下重要性质：
v v ij ei e j
两矢量的点积可表示为：
ai bj aiei bj e j aibjij aibi a jbj
11
第一讲，附录部分：数学基础
1 i j 符号具有以下重要性质： ij 0 i j
ij jk i11k i 22k i33k
12
第一讲，附录部分：数学基础
（2）里奇（Ricci）置换符号ε
ijk
ijk
1 1 0
偶排列，即：123,231,312； 奇排列，即：213,321,132 有两个或两个以上指标相同。
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自由指标和哑指标
ti ijn j
aij bikckj d eij kk
在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标，哑指标在作 求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达 式的内容。
在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标，在同一 方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
散度的性质： diva 0 为无源场，无源场的性质见P14。自己看书。
4.旋度
矢量 a 沿任意曲线L的线积分，即 a 沿任意曲线L的环量：
a • dr axdx aydy azdz
L
L
a • dr
设张于L上的曲面为S，则定义 lim L
为矢量 a
S0 S
的旋度矢量 rota 在法线 n 上的投影，
12月31日,1月8日：粘性不可压缩流体的流动
12月31日（第13周）
N-S方程的精确解
1月8日（第14周）
小雷诺数流动的近似解
1月15日（第15周）
大雷诺数下的边界层理论
绪论
人类生活在流体环境中，人们对一些流体运动 现象却缺乏认识，比如：
1. 高尔夫球 ：表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车阻力 ：来自前部还是后部？ 3. 机翼升力 ：来自下部还是上部？
(1) v w； (2) v w； (3) v v；
(4) e1 v； (5) e2 v； (6) r v, r xi yj zk 是位置矢量。
解:
v w vi wi
v1w1 v2 w2
v3w3
1 3 2 1 5 1 4
i jk v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j(3 5 11) k (11 2 3)
高等流体力学
态度决定一切 Attitude is everything
哈佛大学的一个研究发现：一个人的成功，85%取 决于他积极的态度，而只有15%取决于他的智力和
所知道的事实与数字。
当我们在工作中没有更多明显优势时，那么积极的 工作态度就是我们最大的资本。
《高等流体力学》课程安排
上课时间
课程内容
EXIT
EXIT
流体力学研究方法分三个方面，它们相互配合，互为补 充。
研究方法
理论分析方法 实验方法 数值分析方法
EXIT
理论分析过程一般是：建立力学模型，用物理学基本定律 推导流体力学控制方程，用数学方法求解方程，检验和解 释求解结果。
建立模型
推导方程
求解方程
解释结果
EXIT
实验方法 在相似理论指导下，建立模拟实验装置，用流体 测量技术测量流动参数，处理分析数据可获得反映流动规律 的特定关系，发现新现象，检验理论结果。
则称定义在此空间区域内的函数为场。 (2)分类：标量场和矢量场 （大小和方向） (3)场的几何表示：
标量场：用等位面表示（等压线、等温线）
矢量场：用矢量线表示，既有大小，又有方向，大小为标量， 可用等位面来表示，方向则用矢量线来几何表示，矢量线上每 一点的切线方向与该点的矢量方向重合。
矢量线微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
i jk r v x y z (5y 2z)i (z 5x) j (2x y)k
1 2 5
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
一个具有微分及矢量双重运算的算子,
i
j
k
x y z
利用张量下标表示法哈密顿算子可写为，
ei
xi
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
1
j
vj
v1
1
e1v i (i 2 j 5k ) 1
（1）指标表示法和符号约定
e1 v e1 viei e1 eivi 1ije jvi
ei e j ijk ek
v i 2j 5
w 3i j k
123v2e3 132v3e2 vyk vz j 2k 5 j e1 v i (i 2 j 5k ) 2i j 5i k 2k 5 j
a11a11 a12a21 a13a31 a21a12 a22a22 a23a32 a31a13 a32a23 a33a33 (2) t1 11n1 12n2 13n3 t2 21n1 22n2 23n3 t3 31n1 32n2 33n3
（1）指标表示法和符号约定
3 1 1
3 i 16 j 7 k
（1）指标表示法和符号约定
e1 e2 e3
a b ijka jbkei a1 a2 a3
v w ijkv j wkei 123v2w3 132v3w2 e1 231v3w1 213v1w3 e2 312v1w2 v 321 2w1 e3
梯度
ei
xi
( )
ei
xi
散度
a
ei
xi
ajej
ei e j
a j xi
ij
a j xi
ai xi
(1).指标表示法和符号约定
（5） u (v w) v(u w) w(u v)
e1 (e2 e3 ) e1 e1 1 123, e1 (e3 e2 ) e1 (e1) 1 132
ijk ei e j ek
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
a
b
ai
ei
bjej
aibj ei e j
aibjij aibi
i jk
a • dr
rota lim L S0 S
x
y
a z
ax ay az
i (az ay ) j ( ax az ) k ( ay ax )
y z
z x
x y
故： a • dr rota • ds （斯托克斯公式）
L
S
无旋场和位势场（势流）是等价的
二、张量初步
（1）指标表示法和符号约定
S
若V为曲面S的体积，则定义矢量
矢量 a 的散度为：
a • ndS (ax ay az )dV
diva S
V x y z
ax ay az
V
V
x y z
故矢量的散度为一标量。
散度
令设 V x y z ，则膨胀率：
d
(V
dt
)
x yz
y x z
zx
y
单位体积的膨胀率: 1 d (V ) x y z • diva V dt x y z
0
ijk
1
1
i、j、k 中有两个以上指标相同时
i、j、k 偶排列， 123，231，312 i, j, k 奇排列， 213，321，132
ijk ei • (e j ek )
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks ijk ijt 2 kt
b1 b2 b3
v i 2j 5 w 3i j k
v2w3 v3w2 i v3w1 v1w3 j v1w2 v2w1 k
3 i 16 j 7 k
v v vivi v1v1 v2v2 v3v3 12 22 52 30
e1 v
e1 v j e j
指标表示法
直角坐标的3个方向记做1、2、3，
x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， i , j, k 分别计作 e1, e2 , e3,
a axi ay j azk a1e1 a2e2 a3e3
（1）指标表示法和符号约定
求和约定
在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和,
ij 与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号
ij 符号具有以下重要性质：
ii 3
ii 11 22 33 3
ij jk ik ij ij ii 3
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt ijk ijk 2 kk 6
ijk ij 0
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
ij
ei
ej
e1 e2 e3 123e3,
ei e j ijk ek
e2 e1 e3 e 213 3
9月25日（第3周，第1次） 10月9（第4周，第2次） 10月16(第6周),23日（第7周） 10月30(第8周),11月6日(第9周)
绪论，场论 笛卡尔张量 流体力学基本概念 流体力学基本方程及边界条件
12月11日（第10周）
流体力学几个重要定理
12月18日,12月25日（11-12周） 理想不可压缩流体的流动
相似理论
模型试验
测量
数据分析
EXIT
数值分析方法 随着技算机技术的突飞猛进，过去无法 求解的流体力学偏微分方程可以用计算机数值方法求解。
计算流体力学
有限差分法 有限元法 边界元法 谱分析等
EXIT
EXIT
一、场论
1.场的定义、分类及几何表示：
(1)定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，
a b aiei bje j ei e jaibj ijkaibjek kijaibjek ijka jbkei
e1 e2 e3 a1 a2 a3
b1 b2 b3
ijk a j ak a a 0
两个矢量相乘（点乘或叉乘），它们的下标应取不同的字母。
（1）指标表示法和符号约定
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号
ti ijn j
aij bikckj d eij kk
在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标，哑指标在作 求和运算后就消失了，因此改变哑指标的字母不改变表达 式的内容。
在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标，在同一 方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆，同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
散度的性质： diva 0 为无源场，无源场的性质见P14。自己看书。
4.旋度
矢量 a 沿任意曲线L的线积分，即 a 沿任意曲线L的环量：
a • dr axdx aydy azdz
L
L
a • dr
设张于L上的曲面为S，则定义 lim L
为矢量 a
S0 S
的旋度矢量 rota 在法线 n 上的投影，
12月31日,1月8日：粘性不可压缩流体的流动
12月31日（第13周）
N-S方程的精确解
1月8日（第14周）
小雷诺数流动的近似解
1月15日（第15周）
大雷诺数下的边界层理论
绪论
人类生活在流体环境中，人们对一些流体运动 现象却缺乏认识，比如：
1. 高尔夫球 ：表面光滑还是粗糙？ 2. 汽车阻力 ：来自前部还是后部？ 3. 机翼升力 ：来自下部还是上部？
(1) v w； (2) v w； (3) v v；
(4) e1 v； (5) e2 v； (6) r v, r xi yj zk 是位置矢量。
解:
v w vi wi
v1w1 v2 w2
v3w3
1 3 2 1 5 1 4
i jk v w 1 2 5 i (2 1 1 5) j(3 5 11) k (11 2 3)
高等流体力学
态度决定一切 Attitude is everything
哈佛大学的一个研究发现：一个人的成功，85%取 决于他积极的态度，而只有15%取决于他的智力和
所知道的事实与数字。
当我们在工作中没有更多明显优势时，那么积极的 工作态度就是我们最大的资本。
《高等流体力学》课程安排
上课时间
课程内容
EXIT
EXIT
流体力学研究方法分三个方面，它们相互配合，互为补 充。
研究方法
理论分析方法 实验方法 数值分析方法
EXIT
理论分析过程一般是：建立力学模型，用物理学基本定律 推导流体力学控制方程，用数学方法求解方程，检验和解 释求解结果。
建立模型
推导方程
求解方程
解释结果
EXIT
实验方法 在相似理论指导下，建立模拟实验装置，用流体 测量技术测量流动参数，处理分析数据可获得反映流动规律 的特定关系，发现新现象，检验理论结果。
则称定义在此空间区域内的函数为场。 (2)分类：标量场和矢量场 （大小和方向） (3)场的几何表示：
标量场：用等位面表示（等压线、等温线）
矢量场：用矢量线表示，既有大小，又有方向，大小为标量， 可用等位面来表示，方向则用矢量线来几何表示，矢量线上每 一点的切线方向与该点的矢量方向重合。
矢量线微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
i jk r v x y z (5y 2z)i (z 5x) j (2x y)k
1 2 5
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
一个具有微分及矢量双重运算的算子,
i
j
k
x y z
利用张量下标表示法哈密顿算子可写为，
ei
xi
（1）指标表示法和符号约定
哈密顿算子
利用哈密顿算子进行运算时，需分别进行微分和矢量两种运算。
1
j
vj
v1
1
e1v i (i 2 j 5k ) 1
（1）指标表示法和符号约定
e1 v e1 viei e1 eivi 1ije jvi
ei e j ijk ek
v i 2j 5
w 3i j k
123v2e3 132v3e2 vyk vz j 2k 5 j e1 v i (i 2 j 5k ) 2i j 5i k 2k 5 j
a11a11 a12a21 a13a31 a21a12 a22a22 a23a32 a31a13 a32a23 a33a33 (2) t1 11n1 12n2 13n3 t2 21n1 22n2 23n3 t3 31n1 32n2 33n3
（1）指标表示法和符号约定
3 1 1
3 i 16 j 7 k
（1）指标表示法和符号约定
e1 e2 e3
a b ijka jbkei a1 a2 a3
v w ijkv j wkei 123v2w3 132v3w2 e1 231v3w1 213v1w3 e2 312v1w2 v 321 2w1 e3
梯度
ei
xi
( )
ei
xi
散度
a
ei
xi
ajej
ei e j
a j xi
ij
a j xi
ai xi
(1).指标表示法和符号约定
（5） u (v w) v(u w) w(u v)
e1 (e2 e3 ) e1 e1 1 123, e1 (e3 e2 ) e1 (e1) 1 132
ijk ei e j ek
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
a
b
ai
ei
bjej
aibj ei e j
aibjij aibi
i jk
a • dr
rota lim L S0 S
x
y
a z
ax ay az
i (az ay ) j ( ax az ) k ( ay ax )
y z
z x
x y
故： a • dr rota • ds （斯托克斯公式）
L
S
无旋场和位势场（势流）是等价的
二、张量初步
（1）指标表示法和符号约定
S
若V为曲面S的体积，则定义矢量
矢量 a 的散度为：
a • ndS (ax ay az )dV
diva S
V x y z
ax ay az
V
V
x y z
故矢量的散度为一标量。
散度
令设 V x y z ，则膨胀率：
d
(V
dt
)
x yz
y x z
zx
y
单位体积的膨胀率: 1 d (V ) x y z • diva V dt x y z
0
ijk
1
1
i、j、k 中有两个以上指标相同时
i、j、k 偶排列， 123，231，312 i, j, k 奇排列， 213，321，132
ijk ei • (e j ek )
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks ijk ijt 2 kt
b1 b2 b3
v i 2j 5 w 3i j k
v2w3 v3w2 i v3w1 v1w3 j v1w2 v2w1 k
3 i 16 j 7 k
v v vivi v1v1 v2v2 v3v3 12 22 52 30
e1 v
e1 v j e j
指标表示法
直角坐标的3个方向记做1、2、3，
x、y、z 分别计作 x1、x2、x3， ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3， i , j, k 分别计作 e1, e2 , e3,
a axi ay j azk a1e1 a2e2 a3e3
（1）指标表示法和符号约定
求和约定
在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和,
ij 与 a j 相乘，相当于把 a j 的下标 j 置换为 i。
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号
ij 符号具有以下重要性质：
ii 3
ii 11 22 33 3
ij jk ik ij ij ii 3
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt ijk ijk 2 kk 6
ijk ij 0
（1）指标表示法和符号约定
用指标表示法表示矢量运算
ij
ei
ej
e1 e2 e3 123e3,
ei e j ijk ek
e2 e1 e3 e 213 3
9月25日（第3周，第1次） 10月9（第4周，第2次） 10月16(第6周),23日（第7周） 10月30(第8周),11月6日(第9周)
绪论，场论 笛卡尔张量 流体力学基本概念 流体力学基本方程及边界条件
12月11日（第10周）
流体力学几个重要定理
12月18日,12月25日（11-12周） 理想不可压缩流体的流动
相似理论
模型试验
测量
数据分析
EXIT
数值分析方法 随着技算机技术的突飞猛进，过去无法 求解的流体力学偏微分方程可以用计算机数值方法求解。
计算流体力学
有限差分法 有限元法 边界元法 谱分析等
EXIT
EXIT
一、场论
1.场的定义、分类及几何表示：
(1)定义：设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，
a b aiei bje j ei e jaibj ijkaibjek kijaibjek ijka jbkei
e1 e2 e3 a1 a2 a3
b1 b2 b3
ijk a j ak a a 0
两个矢量相乘（点乘或叉乘），它们的下标应取不同的字母。
（1）指标表示法和符号约定
（1）指标表示法和符号约定
克罗内克尔(Kronecker)符号