八.错位相减法求数列的前n项和

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求数列前n项和8种的方法(史上最全)

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =时，1n S na =；（2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

高考数学必杀技系列之数列8：数列求和（错位相减法）

高考数学必杀技系列之数列8：数列求和（错位相减法）
数列
专题八：数列求和（错位相减法）
一、必备秘籍
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.
2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.
二、例题讲解
感悟升华（核心秘籍）错位相减法是高考数列的高
频考点，这部分的考点往往
得分点偏低：
1、错位相减过程中最后一项
是“－”，很多同学错把原
来的“＋”抄下来了；
2、错位相减后，其中一部分
构成新的等比数列，项数数
错了，多了一项，或者少了
一项；
3、最后化简算错；
总之，错位相减，计算过程
多练，多算，细心算，重在
计算。

【详解】。

求前n项和的几种方法

求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

高考数学数列求和的8种常用方法（最全）

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法(定义法):i.等差数列求和公式：特别地，当前〃项的个数为奇数时，S2灯|=(2&+1).%1，即前〃项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：(1) q = 1, S n =叫:。

1(1-矿)(2)S n =—~，特别要注意对公比的讨论:3. 可转化为等差、等比数列的数列；4. 常用公式：(2)1» = l + 2 + 3+L +〃=_〃(〃+1)：22 = ]2 + 22 + 32 +L + / =项〃 +1 )(2〃 +1 )=项〃 + '(〃 +1 )：4-1 63 2(3)£(2Sl)=l + 3+5+L +(2〃-1)=片.▲■I例 1 已知 log3X= T ,求x+x 2+x 3 + ...+x n 的前〃项和.log? 3解：由 log3 x = —zl_ => log 3 x = -log 3 2 n x = 5= x + x 2 + x 3 +L +y*n J = 1(1-1)A2(4)log 2 3由等比数列求和公式得x(l —x 1-X1&例 2 设S “=l + 2+3+ • +〃，解：易知 S =]_〃(〃+1), "2S..2"，求_/•(〃)=— 的最大值.(〃 + 32)S tS . =!(〃+1)(〃+2)jt+i 2n .・'(〃)-(〃 + 32)s* — / + 34〃+ 64= ]_________1_______ 1〃 +34+丝一(V ；-_L)2+50 - 50n JnQ1・•・当而-如即〃 =8时,f(n) =_.V82 50二.倒序相加法:如果一个数列{%},与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前〃项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前〃项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到〃个（0+4）.例3求sii?1°+sin22°+sin23° +-+sin288°+sin289°的值解：设S=sin2l°+sin22°+sin23°+•••+sin288°+sin289°........①将①式右边反序得S=sin289°+sin288°+…+sin23°+sin22°+sin21°........②(反序)又因为sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=1①得(反序相加)2S=(sin21°+cos2l°)+(sin22°+cos22。

运用错位相减法求数列和的步骤

思路探寻数列是数学高考的必考内容之一.近几年的高考数学全国卷试题中的数列问题侧重于考查等差和等比数列的通项公式、性质、前n项和公式的应用.求数列和的方法很多，其中错位相减法比较常用.等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-q n)1-q(q≠1)就是用错位相减法求得的.如果一个数列的通项公式可以变形为一个等差数列与一个等比的通项公式的乘积，我们就可以用错位相减法求数列的和.错位相减法的运用步骤为：第一步，根据数列的通项公式列出数列的前n项和式，并将其记为①式；第二步，在①式的左右两边同乘以等比数列的公比q，得到②式；第三步，将②式右边的式子与①式右边的错开一位，使q的指数相同的项对齐；第四步，将两式相减，合并同类项，并提取公因式；第五步，构造出等比数列，利用等比数列的前n 项和公式进行求和，并化简.例1.若数列{}a n是以a1为首项，d为公差的等差数列，数列{}b n是以b1为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，令c n=a n b n，求数列{}c n的前项和T n.解：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1+a n，①qTn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+⋯+a n−1b n−1q+a n b n q=a1b2+a2b3+a3b4+⋯+a n−1b n+a n b n q，②由①-②得：(1-q)T n=a1b1+d(b2+b3+⋯+b n−1+b n) -a n b n q，当q≠1时，Tn=a1b1+d()b2+b3+⋯+b n−1+b n-a n b n q1-q=a1b1+déëêêùûúúb2()1-q n−11-q-a n b n q1-q周永松思路探寻。

数列前n项与的求与之错位相减法

数列前n项和的求法
错位相减法
基础检测
4
-
n2 2 n 1
4
-
n2 2 n 1
［教你一个万能模版］
利用错位相减法求数列的前 n 项和，一般可用以下几步解答：
第一步：将数列 c n 写成两个数列的积的形式c n = a n bn ，其中
a n 为等差数列， b n 为等比数列；
第二步：写出数列 c n 的前 n 项和
S n = c 1 + c 2 ++ c n = a 1 b 1 + a 2 b 2 ++ a n b n
q 第三步：S n = c 1 + c 2 ++ c n = a 1 b 1 + a 2 b 2 ++ a n b n 的两边同乘以公比，
得 q S n= q a 1 b 1+ q a 2 b 2++ q a n b n 第四步：两式错位相减得 (q 1)Sn 第五步：等式两边同时除以 q 1 ，得 S n . 第六步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.结果写成两项
学会什么时候放
观察所求结论：求数列 {9
2an } 1 可利用错位相减法求和.
［教你快速规范审题流程汇总］
【第审（题2规）范问】第1步：审条件，挖解题信息
观察条件：a n
9 2
n
及数列
9
2 2n
an
可化简数列9 -22nan
9 2an 2n
①
等式两边同乘以2
2Tn=2+2+3 2+ +n 2n 3 1+2n n 2 ② ②错位 -① 相减:

错位相减法求数列的前n项和

错位相减法求数列的前n 项和基本方法：一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ×的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解；若{}n b 的公比为参数(字母)，则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和. 一、典型例题1. 设数列{}n a 的通项公式2n n a n =?，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a 满足11a =，()*1N n n n na na a n +=-?. 数列{}nb 的前n 项和为nS ，23nn S b =-，求数列{}n n b a ×的前n 项和n T . 二、课堂练习1. 设数列{}n a 的通项公式11283n n a n -骣琪=?琪桫，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*231n n S a n N =-?. 求数列21nn a 禳-镲睚镲铪的前n 项和n T . 三、课后作业1. 设数列{}n a 的通项公式123n n a n =?，求其前n 项和.2. 已知数列{}n a ，1e a =，31n n a a +=()*n N Î. 设()21ln n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .3. 已知数列{}n a 中,111,()3nn n a a a n a *+==?+N . （1）求证：112n a 禳镲+睚镲铪是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足(31)2n n n n n b a =-鬃，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT l --<+对一切n *ÎN 恒成立，求l的取值范围.。

8.错位相减法求数列的前n项和

基本方法：
第 74 课错位相减法求数列的前 n 项和
一般地，如果数列{an} 是等差数列，{bn} 是等比数列，求数列{an ×bn} 的前 n 项和时，可采用错位相减法
求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列{bn} 的公比，然后作差求解；若{bn} 的公比为参数(字母)，则应对公比分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和. 一、典型例题
1 3
得
1 3
Tn
=
2
1 32
4
1 33
6
1 34
2(n - 1)
1 3n
2n
1 3n+1
……②，
①式减②式得
2 3
Tn
=
2
1 31
2
1 32
2
1 33
2
1 3n
2n
1， 3n+1
所以
2 3
Tn
=
2´
1 3
1
-
1 3n
1- 1
3
-
2n
´
1 3 n+1
=
1
-
(2n
+
3)
×
1 3 n+1
，则 Tn
=
32
2n + 3 2 × 3n
.
( ) ( ) 2. 已知数列 {an} ， a1 = e ， an+1 = an3 n Î N * . 设 bn = 2n -1 lnan ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn .
答案： Tn = (n - 1)´3n +1 .
解析：由 a1 = e ， an+1 = an3 知， an > 0 ，所以 lnan+1 = 3lnan ，数列{lnan} 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，

错位相减法求数列前n项和

错位相减法求数列前n项和
1、写出新数列的Sn，Sn=a1*b1+a2*b2+a3*b3+......+an*bn，只要求把等差部分的数列算出来，等比数列部分保留指数形式不变。

2、对求和的等式左右同时乘以等比数列部分的公比q，只要求乘的公比q乘到等比数列部分去，保留等差部分的形式不变。

3、错位相减，第一步中的Sn中的第二项和第二步中的qSn第一项减，第三项和第二项减，以此类推，只需要对等差部分数列计算，保留等比部分的形式不变，千万别忘记最后还有一个减的项。

4、等比数列n-1求和公式，Sn-qSn=a1*b1+d
（b2+b3+......+bn）-an*bn+1，中间是n-1项的等比求和，注意公式别背成了n项求和公式，第一项和最后一项单独列出。

5、化（1-q）Sn的系数为1，等式左右同时除以1-q，就得到了Sn=代数式的形式，最后再把指数进行运算，化为最简形式即可。

数学-求数列前n项和之错位相减和裂项相消

介绍精通高中知识体系，有很强的数理逻辑能力，擅长培养学生运用数学解决问题的创造能力，授课富有激情，注重学生课堂上的吸收。

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目前带有高级中学、翠园中学、育才中学多名重点班学生。

授课教案公司任课教师授课题目数列求前n 项和之错位相减和列项相消授课时间长度 30 分钟内容讲解一、求数列的前n 项和（1）错位相减法适用于数列由等差和等比数列相乘 \ 除结合得来的，注意相除时最好先化为相乘的结构【经典例题1】若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .【解析】 n n n S 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯= ， ①∴14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n S ②①-②，得14323)12(32323232312+⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n n n n S14323)12()3333(231+⋅--+++++⨯=n n n 63)22(1-⋅-=+n n . ∴n S 33)1(1+⋅-=+n n .（2）裂项相消法基础裂项：常见的拆项公式有：1()n n k =+111()k n n k-+ ， 1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+，等. 【经典例题2】（1）求和1+=++++++++++n32113211211 分析因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=++++1112)2(23211n n n n n ，所以原式=21211141313121211+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+-n n n n常见裂项：1n k n =++1()n k n k +-, （2）设n S =n n +++++++++11341231121 ，则n S 为 . 【解析】n n n n -+=++111 ∴nn +++++++++11341231121 ()()()()n n -+++-+-+-=1342312 11-+=n . （3）已知数列{}n a 满足1)1(1+++=n n n n a n ，求=n S . 分析由1)1(1+++=n n n n a n =)1()1(1)1(22+-++-+n n n n n n n n =111+-n n . 得 n S =)3121()211(-+-111)111(+-=+-+n n n .。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

2
2
2
解：设 ak k (k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2 k
∴ Sn
n
n
3
2
k (k 1)( 2k 1) ＝ (2k 3k k)
k1
k1
将其每一项拆开再重新组合得
Sn
＝
（分组）
＝ 2(13 23
n3 ) 3(12 22
n
2 k3
k1
n
3 k2
k1
n
k
k1
n2 ) (1 2
n)
＝（分组求和）
n2( n 1)2 n( n 1)( 2n 1) n( n 1)
求数列前 N项和的七种方法
点拨 :
核心提示：求数列的前 n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
1. 公式法
等差数列前 n 项和：
Sn
n(a1 an ) 2
2xn 1 ( 2n 1)x n
（错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
(1 x)Sn
1 xn 1 1 2x
(2n 1) xn
1x
(2n 1) xn 1 (2n 1)xn (1 x)
∴
Sn
(1 x) 2
24 6 [例 4] 求数列 2 , 2 2 , 2 3 ,
2n , 2n ,
前 n 项的和 .
na1
n(n 1) d 2
特别的，当前 n 项的个数为奇数时， S2k 1 (2k 1) ak 1 ，即前 n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前 n 项和：

求数列前n项和的七种方法

求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。

3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。

5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。

6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。

7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。

以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。

求数列前n项和的几种方法

六、分段求和法求和【例 7】已知数列{an}前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝3＋log4an，设 Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求 Tn.
1n n 6－n (2)法一：bn＝3＋log4( ) ＝3－＝ . 2 2 2 n11－n 当 n≤6 时，bn≥0，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝； 4 当 n≥7 时，bn＜0， Tn＝b1＋b2＋…＋b6－(b7＋b8＋…＋bn) 6×5 n2－11n＋60 1 n－6n－7 1 ＝－[(n－6)(－ )＋ ×(－ )]＝， 4 2 2 2 4
(1)若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和． (2)使用裂项相消法求和时，要注意正、负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项． 1 1 1 1 1 1 (3)常见的拆项有：① ＝－，②a ＝a＋，③ ＝ b b nn＋1 n n＋1 n＋ n＋ 1 1 1 1 1 n＋1－ n，④ ＝ ( － )等． 2n－12n＋1 2 2n－1 2n＋1
(1)解：由题设得 a3a4＝10，且 a3，a4 均为非负整数， ∴a3 的可能值为 1,2,5,10. 3 若 a3＝1，则 a4＝10，a5＝，与题设矛盾； 2 35 若 a3＝5，则 a4＝2，a5＝，与题设矛盾； 2 3 若 a3＝10，则 a4＝1，a5＝60，a6＝，与题设矛盾． 5 ∴a3＝2.
综上可知，T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n11－n 4
n≤6 . n≥7
1n n 6－n 法二：bn＝3＋log4( ) ＝3－＝ . 2 2 2 当 n≤6 时，bn≥0，|bn|＝bn， n11－n ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ . 4 当 n≥7 时，bn＜0，|bn|＝－bn， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋b6－b7－b8－…－bn ＝2(b1＋b2＋…＋b6)－(b1＋b2＋…＋bn) n2－11n＋60 ＝2T6－Sn′＝，(其中 Sn′表示{bn}的前 n 项和) 4