根轨迹的概念和系统阐述
自动控制原理 第四章根轨迹
第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
根指的是闭环特征根(闭环极点)。
根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。
K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。
3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。
4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。
★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。
有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。
(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。
说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。
(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。
由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。
2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。
由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。
根轨迹的概念和系统分析
ih1(Tis 1)
K2r
l
(s
j1
Z
j
)
h
(s
i 1
Pi
)
（6-3）
式中 K1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨 迹增益；K2 为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹 增益。
9
系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
K
m
j1
(
js
1)
s
n
i 1
(Tis
1)
Kr
m
(s
j1
Z
j
)
(6-4)
s
n
i 1
本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。
2
§6–1 根轨迹的概念
一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。
例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s) H(s) K r s(s 2)
(s
Pi
)
K K1 K2 为系统的开环增益，
Kr K1r K2r 为开环系统的根轨迹增益；
m=f+L
为开环系统的零点数，
n q h 为开环系统的极点数。
将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得
(s)
s
K1r
f
(s
i 1
Zi
n
i 1
(s
Pi
)
)
h
j1
(s
Pj
)
K
r
m
(s
j1
Zi
)
（6-5）10
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理根轨迹法
21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n
根轨迹法的基本概念
(2k 1)
3
,k 31
0,1 1
, 2
2
2
0231 2 31
4、求分离点：
1
1
d1 d
d
2.47
1 d2
1 d3
j
2.47 3 2 1 0
6、根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处 切线与正实轴的夹角：
m
n
p1 (2k 1) ( p1 zi ) ( p1 p j )
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
j 1
i 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 (si )
i 1
i 1
i 1
an1s an
n
n
当n m 2 时， si p j
i 1
j 1
4-3 广义根轨迹法
一、参数根轨迹
以非开环增益K*为可变参数的根轨迹，称为参数根 轨迹。
引入等效开环传递函数的概念
G(s)H (s) K * (s z1 ) s(s 2 2s 2)
z1是附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择， 当 z1→∞时，表明不存在有限零点。
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
根轨迹法基本概念
KG0 (s)
则闭环特征方程为:
1 K num 0 den
特征方程旳根随参数K旳变化而变化,即为闭环根轨迹.
项目1:已知系统旳开环传递函数模型为：
K Gk (s) s(s 1)(s 2) KG0(G)
利用下面旳ＭＡＴＬＡＢ命令可轻易地绘制出系统旳根轨迹 >>G=tf(1,[conv([1,1],[1,2]),0]);
引言
A.闭环系统旳稳定性和动态性能 取决于闭环极点特征方程旳根。
B.当待定参数变化时特征根随之变 化，这个根旳变化轨迹就形成根轨迹。
C.用来研究根轨迹旳变化规律以及 和闭环系统性能间旳关系旳措施，称为 控制系统根轨迹分析法。
§4.2 根轨迹旳概念
要求： 1)掌握根轨迹旳概念 2)掌握根轨迹幅值条件和相角条件
2)相角条件是决定根轨迹旳充要条件， s平面上一点若满足相角条件,即为根轨迹 上旳一点。
3)幅值方程用于拟定根轨迹上一点旳K值;
根轨迹点
幅值方程
四. 根轨迹与系统性能
1.稳定性 假如系统特征方程旳根都位于S平面 旳左半部，系统是稳定旳，不然是不稳定旳。若
根轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交
另一种问题是，经过解方程求得旳闭环 极点，是在系统参数一定旳情况下求得旳。 但当系统中旳参数变化时，如开环增益K变化 时，又得重新解方程求根，因而很不以便。
为了处理以上问题，1948年，伊万斯提 出了控制系统分析设计旳根轨迹法。
这种措施是根据反馈控制系统旳开环、闭 环极点传递函数之间旳关系，根据一定旳准 则，直接由开环传递函数旳零、极点，求出 闭环极点。从而，比较轻易旳得到系统旳性能.
要点： 1)根轨迹旳概念 2)闭环系统旳特征根旳根轨迹与开环 传递函数旳关系
自动控制原理 4根轨迹法
σa − 45o 0
n −m = 3
n −m = 4
5.根轨迹的分离点 5.根轨迹的分离点
分离点 :L条根轨迹分支在s平面上相遇后又立即 条根轨迹分支在s 分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点) 分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)，用d 表示。 为特征方程重根的值。 表示。d为特征方程重根的值。 分离点计算公式： 分离点计算公式： n m 1 1 ∑d − p = ∑d − z i=1 i=1 i i 若系统无开环零点，则 若系统无开环零点， n 1 ∑d − p = 0 i=1 i
2.根轨迹的分支数和对称性 2.根轨迹的分支数和对称性 分支数=特征方程阶数； 分支数=特征方程阶数； 根轨迹对称于实轴。 根轨迹对称于实轴。 3.根轨迹在实轴上的分布情况 3.根轨迹在实轴上的分布情况 实轴上某一区域右边的开环零、极点总数 实轴上某一区域右边的开环零、 为奇数时，则该区域是根轨迹。 为奇数时，则该区域是根轨迹。
二、闭环零极点与开环零极点的关系
R(s) G(S) C(s)
H(S)
开环传递函数 闭环传递函数
G(s)H(s)
G(s) φ(s) = 1+ G(s)H(s)
一般情况下， 一般情况下，前向通路传递函数
G(s) =
* KG
* KG∏(s − zi ) i=1
a
∏(s − p )
i i=1
b
前向通路根轨迹增益 Zi为前向通路的零点;Pi为前向通路的极点 为前向通路的零点;P
根轨迹的分离点或出现在实轴上, 根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出 现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 现在复平面中,但以实轴上的分离点最为常见。 实轴上的分离点： 实轴上的分离点： 1）若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹， 若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹， 则这两极点之间至少存在一个分离点。 则这两极点之间至少存在一个分离点。 2）若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹， 若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹， 则这两零点之间至少存在一个分离点（ 则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个 零点可以是无限零点）。 零点可以是无限零点）。 注意：由分离点公式求出d 一定要进行检查， 注意：由分离点公式求出d后，一定要进行检查， 应舍弃不在根轨迹上的点d 应舍弃不在根轨迹上的点d。
根轨迹的知识点总结
根轨迹的知识点总结根轨迹的基本概念根轨迹理论的核心概念包括了无意识、防御机制、冲突、心理动力学和精神分析过程。
无意识是根轨迹理论的重要概念，指的是人类心灵中存在着一些无法察觉且不能轻易被察觉的思想、欲望和情感。
这些无意识的内容可能源自于童年时期的经历和后天的经历。
防御机制是人类心理保护自我免受无意识冲突的发生的方法，种类有很多，包括了压抑、退行、投射、转移等。
冲突是根轨迹治疗的核心，指的是患者心理内部的不同要求和愿望之间的矛盾，这些矛盾一旦不能得到合理的解决就会引起心理问题和精神压力。
心理动力学是指个体心理过程中的动力，包括了冲突、防御机制和深层心理过程，是根轨迹治疗理论的基础。
精神分析过程是根轨迹理论的治疗过程，包括了自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
根轨迹治疗的技术和方法根轨迹治疗的技术和方法主要包括了精神分析过程中的自由联想、潜意识材料解析、幻想解析和转移分析等。
在治疗过程中，治疗师主要通过与患者建立信任关系，让患者自由联想来探索其内心的无意识内容。
同时，治疗师会根据患者的自由联想和言语来对患者的潜意识材料进行解析，帮助患者理解自己的内心矛盾和冲突。
同时，治疗师还会对患者的幻想进行解析，帮助其从幻想中发现自己的内心真相。
最后，治疗师会对患者的转移情感进行分析，帮助患者解开内心的冲突和矛盾。
这些方法和技术帮助患者解决内心深层的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐。
根轨迹治疗的应用领域根轨迹治疗主要适用于那些有内心矛盾和冲突，无法通过其他途径得到解决的患者。
其主要应用于心理疾病、人际关系问题、个人成长和发展问题等方面。
心理疾病包括了焦虑症、抑郁症、强迫症、创伤后应激障碍等心理疾病。
人际关系问题包括了婚姻问题、亲子关系问题、朋友关系问题等。
个人成长和发展问题包括了青少年问题、职业发展问题、自我认识问题等。
在这些领域中，根轨迹治疗可以帮助患者解决内心的矛盾和冲突，找到内心的平衡和和谐，从而使其生活更加健康和愉快。
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
根轨迹
-2
-1
K= 1
-1 -2
K= 2.5 K
动态性能： ① 当 0<K<0.5 时，系统的闭环极点位于负实 轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃 响应为非周期过程。 ②当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态， 单位阶跃响应也为非周期过程。 ③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点， 处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼 的振荡过程。
三、根轨迹方程 1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式 控制系统的结构图
R(s) C(s)
其闭环传递函数
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G ( s) H ( s)
式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。
将开环传递函数用其分子、分母多项式方程 根的因式来表示，得 开环传递函数
3.91 根轨迹的基本概念 一、根轨迹的定义 根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。 常规根轨迹 ：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。 广义根轨迹 ：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
R(s)
s an1 s
n n1
a1 s a0 0
, sn
并设它的n个根为 s1 , s2 ,
则根据代数方程的根与系数的关系可知，有
n si an1 i 1 n ( s ) a i 0 i 1
把系统的传递函数写成
( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) G0 ( s ) K ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
1 1 K Kd
一般情况下，两条根轨迹相遇又分开 时，它们的会合角和分离角分别是０º 、 180º 和90º 、-90º ，或者相反。这一规律具 有一般性。可以证明：
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
4-1根轨迹基本概念
s 特征根为： 特征根为：1, 2 = −1 ± 1 − 2 K
[讨论]： 讨论] K=0时 ① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点 K=0.32时 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 K=0.5时 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 K=1时 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j K=5时 ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j K=∞时 ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
1 j= 1 j=
i= 1 q
∏(s − zi )∏(s − zi )
i= 1 h
* * 为开环根轨迹增益。 K* = KG KH 为开环根轨迹增益。
2011-1-15
9
整理后则有： 整理后则有： Φ(s) =
K ∏(s − zi )∏(s − pi )
* G i=1
f
h
∏(s − p j ) + K ∏(s − z j )
2011-1-15
2
例1：如图所示二阶系统 系统开环传递函数为： 系统开环传递函数为：
K Gk ( s ) = s (0.5s + 1)
R (s )
-
K s (0.5s + 1)
C (s )
2K Φ (s) = 2 闭环传递函数： 闭环传递函数： s + 2s + 2K
特征方程为： 特征方程为： s2 + 2s + 2K = 0 特征根为： 特征根为：s1,2 = −1± 1− 2K
2011-1-15 6
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。 然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图， 然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图， 显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法， 显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，因为 开环传递函数相对容易得到， 开环传递函数相对容易得到，因此要求能够根据已知的 开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要： 开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。
根轨迹 实轴 重根-概述说明以及解释
根轨迹实轴重根-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式进行编写：根轨迹、实轴和重根是控制系统理论中的重要概念。
在控制系统设计和分析中，根轨迹是一种图形工具，用以描述系统在不同参数下的稳定性和动态响应特性。
通过绘制根轨迹图，我们可以直观地了解系统的稳定性、振荡性以及对不同输入信号的响应能力。
而实轴则是复平面上的实数轴，它在根轨迹分析中具有重要的作用。
实轴上的点表示系统的特征根中的实部，而特征根则是指控制系统的传递函数分母多项式的根。
实轴上的点可以揭示系统在不同参数下的稳定性，特别是当特征根的实部为负数时，系统会趋向于稳定。
此外，重根也是一个值得关注的概念。
当控制系统的传递函数分母多项式中存在重根时，系统的动态响应会呈现出一些特殊的特征。
重根会导致系统的阶数减小，从而影响系统的性能指标和稳定性。
本文将深入探讨根轨迹、实轴和重根在控制系统中的定义、性质和影响。
在正文部分，将详细介绍根轨迹的概念，并探讨实轴在根轨迹分析中的重要作用。
同时，将讨论重根的特征以及其对系统动态性能和稳定性的影响。
最后，在结论部分，将总结根轨迹、实轴和重根在控制系统设计和分析中的重要性，并提出应对重根带来的挑战的策略。
通过本文的研究，读者将能够更深入地理解根轨迹、实轴和重根在控制系统中的意义，从而为系统的设计和优化提供更加准确和有效的指导。
同时，对于控制系统的稳定性分析和振荡特性评估，本文所提供的知识也将为工程师和研究人员提供有益的参考。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论根轨迹、实轴和重根的相关概念和性质。
第一部分是引言部分，我们将概述本文的主要内容和目的。
首先我们将介绍根轨迹的定义和概念，以及其在系统稳定性分析中的作用。
接着我们将探讨实轴的性质和其对系统稳定性的影响。
最后，我们将介绍重根的特征和其对系统的影响。
第二部分是正文部分，主要包括三个小节。
在第一个小节中，我们将详细讨论根轨迹的定义和概念，以及如何通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性。
系统根轨迹分析
需要注意的几点
• ⑴、得到的等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需判定。 • ⑵、得到的等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后的等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。 • ⑶、等价开环传递函数的系统和原系统只是根轨 迹（闭环极点）相同，闭环零点并不相同，性能 也不尽相同。
m i =有 1 + G ( s ) H ( s ) = 0
m n
j =1
j
则相角条件为：∑ ∠( s + zi ) − ∑ ∠( s + p j ) = (2l + 1)π
i =1 j =1
幅值条件为：
∏ s+z
k
i =1 n j =1
m
i
∏ s+ p
= −1
j
二、一般根轨迹的绘制
6、平面上根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴交点为：
∑ p − ∑z
σa =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
渐近线与实轴正方向夹角为：
ϕ a = ( 2l + 1)π /( n − m ), l = 0、 L、n − m − 1 1、
7、根轨迹与虚轴交点 方法1：将 s = jω 代入特征方程，然后令特征方程 的实部和虚部为零，即可求得。 方法2：利用Roth代数判据求得。 8、平面上根轨迹的出射角、入射角 n m 出射角：
θ − p = ( 2l + 1)π −
a
j =1, j ≠ a
n
∑
∠( s + p j ) + ∑ ∠( s + zi )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当 K r 0 时, s10 ,s2 2; 当0 Kr 1时，s 1 与 s 2为不相等的两个负实根； 当 K r 1 时，s1s21为等实根；
当1Kr 时，s1,21j Kr1为一对共 轭复根，其实部都等于-1，虚部随 K r 值的增加 而增加；
如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征 方程根的影响，需要大量反复的计算。
1948年伊万斯（W·R·EVANS）提出了根轨迹 法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只 需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。
二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立
开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭 环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方程。设 控制系统如图6-2所示，闭环传递函数为
i 1
i 1
开环系统的根轨迹增益 K r 与开环系统的增 益K之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只 与开环传递函数中的零点和极点有关。
根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、
极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法 找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环 传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点 可由式（6-5）直接得到。在已知闭环传递 函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用 拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接 求解。
三、根轨迹增益 K r与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为
第六章 根轨迹法
• §6–1 根轨迹的概念 • §6–2 绘制根轨迹的规则 • §6–3 广义根轨迹 • §6–4 系统性能分析
根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理
论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由 于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即 系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根 轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶 系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法 更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
m=f+L
为开环系统的零点数，
nqh为开环系统的极点数。
将式（6-2）和（6-4）代入（6-Z i)K j hr1j(m s1(sP j)Zi)
（6-5）
比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论：
试分析该系统的特征方程的根随系统参数K r 的变 化在S平面上的分布情况。
解 系统的闭环传递函数
(s C R ) ( ( 1 s s G G ) )H ( (s s ( s 2 ) ) s2 K s ) r K r
系统的特征方程为 s22 sK r0
特征方程的根是
H (s)K 2ji h l1 1 ((T ijs s 1 1 ))K 2rj i l h 1 1 ((s s P Z ij)) （6-3）
式中 K 1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨 迹增益；K 2 为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹 增益。
系统的开环传递函数为
当系统参数 K r为某一确定的值时，闭环系 统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定， 由此可进一步分析系统的性能。 值的K r变化对闭 环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到， 因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所 以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。 上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二 阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方 程的根就比较困难了。
K lis m G (s)H (s) （6-6） s 0
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，
由它来确定该系统是零型系统（ 0）,Ⅰ型系统
（ 1）或Ⅱ型系统（2）等。
将（6-4）代入（6-6）可得
m
m
( sZj) (Zj)
Ks l i0 s m νG(H s)( ss l i)0K m rn j 1 ν( sP i)K rn j 1 ν(P i)
本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。
§6–1 根轨迹的概念
一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。
例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(sH) s() Kr s(s2)
(s) G(s) 1G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
-
G(s)
C(s)
H(s)
图6-2 控制系统
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s) 可分别表示 G (s)K 1s j fi1 q (1 (T jsis 1 1 ))K 1rsj f1 i q (1 s(s Z P ji)（)6-2）
G (s)H (s)K s jm n i1 ( 1 (jT si s 1 )1 )K rs jm n i1 (1 s( s Z P j)i()6-4)
K K 1K 2 为系统的开环增益，
Kr K1rK2r 为开环系统的根轨迹增益；
当 K r→∞时， s 1 、s 2 的实部都等于-1，是常
数，虚部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到 无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示。
Kr
j
[s]
P1 K r 0
-2
K r 1
-1
P2 K r 0
0
Kr
图6-1 例6-1的根轨迹
⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 路根轨迹增益 K1r ；对于单位反馈系统，闭环系统 根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。
⑵闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反 馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统， 闭环零点就是开环零点。
⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹 增益K r 均有关。