带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析

带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析

一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时,一般先根据题意画出运动的轨迹，确定圆心,从而根据几何关系求出半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。 1、首先确定圆心：

一个基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 三个常用方法：

方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心

由于向心力的方向与线速度方向互相垂直,洛伦兹力（向心力）沿半径指向圆心，知道两个速度的方向，画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力,其延长线的交点即为圆心。

例1：如图1所示，一个质量为ｍ电荷量为ｑ的带电粒子从x 轴上的P （a ,０）点以速度v,沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。

解析：分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段，其交点Ｏ即为粒子做圆运动的圆心,由图可以看出，轨道半径为

3

260sin a a r =

= ,洛仑兹力是向心力r mv qBv 2

= ，由①②解得aq mv B a r 23,32==. 射出点的纵坐标为（ｒ+r ｓin30°）=1.５r ，因此射出点坐标为（０,a 3)。

方法二:利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心

带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时,如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向,可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。 例2:电子自静止开始经M 、N 板间(两板间的电压为U)的电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为ｄ的匀强磁场中,电子离开磁场时的位置P 偏离入射方向的距离为Ｌ,如图2所示,求：

(1)正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； (２）匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为ｍ，电量为e)

解析:（1)联结ＡP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦,做弦AP 的中垂线,由于电子通过Ａ点时的速度方向与磁场左边界垂直，因此过Ａ点的半径与磁场的左边界重合。ＡP 弦的中垂线ＯC 与磁场左边界的交点O 即是电子圆运动的圆心,以O 为圆心以OA 为半径画圆弧,如图3所示，

（2)在M 、Ｎ间加速后获得的速度为v ，由动能定理得: 22

1mv eU =

电子进入磁场后做匀速圆周运动,设其半径为r ，则：r

v m eBv 2

=

在△ＡQP 中：2

2

sin d

L L +=

θ 在△A ＣO

中 :r

d L r AC 2/sin 2

2+==θ 由①②③④解得:Ｂ

=

e

mU d L L 222

2+ 方法三:利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心

当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置,而不知道射出点的位置,应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。 例3、一质量为ｍ、带电量为+q 的粒子以速度v 从O 点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后,从Ｂ 处穿过ｘ轴,速度方向与x 轴正方向的夹角为３0°,同时进入场强为E 、方向沿与x 轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中,通过了B 点正下方的C 点。如图示4所示,不计重力，试求： （1)圆形匀强磁场区域的最小面积; （2）C 点到B 点的距离h 。

解析:（1)反向延长ｖb 交ｙ轴于O 2点，作∠B Ｏ2O 的角平分线交x 轴于Ｏ1,O 1即为圆运动轨道的圆心,OO 1即为圆运动轨道的半径,其半径为 qB

mv OO R ==1

画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交B O 2于A 点,最小的圆形磁

场区域是以ＯA 为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则 R r OA 32== 2m in r S π= 利用①②③解得2

222min 43B q v m S

π=

（２） Ｂ到C 受电场力作用，做类平抛运动,沿初速方向:vt h =

30sin 沿电场方向：22130cos t m

qE h ⋅=

利用④⑤消去ｔ解得qE

mv h 2

34=.

2.半径的确定和计算

一个基本思路:半径一般在确定圆心的基础上用平面几何知识求出,常常要解三角形。 两个重要的几何特点：（1)粒子速度的偏转角（φ)等于回旋角（α)并等于弦切角θ ( A Ｂ弦与切线的夹角)的两倍(如图所示），即φ＝ α=2θ;

(2)相对的弦切角（θ）相等,与相邻的弦切角（θ’）互补,即θ+ θ’=18０0 3.运动时间的确定

一个基本思路：利用圆心角与弦切角的关系或者四边形的内角和等于360０

计算出粒子所转过的圆心角α的大小。

两个基本公式：

v r t α=, T t π

α2=

例4:如图所示，在xOy 平面上，ａ点坐标为(0,Ｌ),平面内一边界通过a 点和坐标原点Ｏ的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向里,有一电子(质量为m,电量为ｅ)从a 点以初速度ｖ

０

平行x 轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x 轴

上的b 点(未标出)射出磁场区域，此时速度方向与x 轴正方向夹角为6０°,求:

（1)磁场的磁感应强度； （２）磁场区域圆心Ｏ1的坐标(,)； （3)电子

在磁场中运动的时间．

练习１:如图所示,在第Ⅰ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一对正、负电子分别以相同速率与ｘ轴成30°角的方向从原点射入磁场,则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ B ) Ａ、1:2 B 、２：１ C 、 3:1 D 、１:1

二．带电粒子在常见有界磁场区域的运动轨迹

1、基本轨迹。

（1)单直线边界磁场(如图1所示）。 带电粒子垂直磁场进入磁场时。

①如果垂直磁场边界进入,粒子作半圆运动后垂直原边界飞出; ②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出(有两种轨迹,图１中若两轨迹共弦,则θ1＝θ2） （２）平行直线边界磁场(如图2所示）。

带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， ①速度较小时,作半圆运动后从原边界飞出;

②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切; ③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。

例5:如图所示,一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中,穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是３0°，则电子的质量是 ,穿过磁场的时间是 ,若电子质量m 已知,则要带电粒子能从磁场的右边界射出,粒子的速度V 必须满足的条件为 。m=２d Ｂe/V ， t=πd/3Ｖ, V>Bed/m

练习2.如图所示,相互平行的直线M 、N 、Ｐ、Q 间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O 点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定,射入时速度方向与OM 间夹角的范围为0<θ＜9０º,不计粒子的重力，则：( ) ＡＣD A ．θ越大,粒子在磁场中运动的时间可能越短 Ｂ.θ越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长

C ．θ越大,粒子在磁场中运动轨迹的圆心到ＭN 的距离一定越小 D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无关

（3）矩形边界磁场(如图３所示)。

带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时,

①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出; ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；

③速度为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切; ④速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。

例6:长为Ｌ的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图所示,磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电,现有质量为m ，电量为q 的带正电

粒子（不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(ＡB ）

Ａ.使粒子的速度ＶBqL/m; Ｄ．使粒子速度B ｑL/4m

练习3：如图所示,一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面为一正方形的匀强磁场区,在从ab 边离开磁场的电子中，下列判断正确的是（ AD ） A.从ｂ点离开的电子速度最大

O 1

O 2O

V 1

V 2

V

V V 1V 2θ1θ2

θ1

θ2

图（1）V 2

V 3

O 1

O 2

O 3

q

V 1

V 2V 3

O 1

O 2O 3图（3）O 4

V 4

q