高中导数小题整理(含答案)

导数的概念及简单应用[小题提速练]

[明晰考情]

本内容是高考命题的热点内容．在选择、填空题中，若考查导数的几何意义，

难度较小；若考查应用导数研究函数的单调性、极值、最值，一般在选择题、填空题最后的位置，难度较大．

题组一导数的几何意义

要点重组

(1)函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )

在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的不同．

1．已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为()A ．1B ．－1C ．0

D ．－

12

答案C

解析

当x >0时，－x <0，则f (－x )＝ln [－(－x )]－x ＝ln x －x ，又f (x )为奇函数，

所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝x －ln x .当x >0时，f ′(x )＝1－1

x ，所以f ′(1)＝0，

即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为0.

2．(2019·合肥质检)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则实数a 的值是()

A.12

B ．1

C ．2

D ．e

答案B

解析

由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入y ＝a e x ＋x ，得y ＝1－ln a ，

所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1，所以a ＝1.

3．(2019·全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．答案y ＝3x

解析

因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x ，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率

k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .

4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2

解析y＝ln x＋2的切线为y＝1

x1

·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．

y＝ln(x＋1)的切线为y＝1

x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2

x2＋1

(设切点横坐标为x2)，

＝

1

x2＋1，

x1＋1＝ln(x2＋1)－x2

x2＋1，

解得x1＝1

2，x2

＝－1

2，∴b＝ln x1

＋1＝1－ln 2.

题组二导数与函数的单调性

要点重组(1)求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．

(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．

5．已知函数f(x)＝－ln x＋1

2

x2＋5，则其单调递增区间为()

A．(0,1]B．[0,1]

C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)

答案D

解析由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

因为f(x)＝－ln x＋1

2

x2＋5，

所以f′(x)＝－1

x＋x＝

x2－1

x，

由f′(x)>0，得x<－1或x>1，

又x>0，所以x>1，

所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．

6．已知定义在R上的函数f(x)＝1

3

ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．[－1,0)∪(0,1]

C．(－1,1)

D ．(－1,0)∪(0,1)答案D

解析

根据题意，函数f (x )＝13ax 3＋x 2＋ax ＋1，其导函数f ′(x )＝ax 2＋2x ＋a .若函数f (x )＝1

3

ax 3

＋x 2＋ax ＋1有三个不同的单调区间，则f ′(x )＝ax 2＋2x ＋a 有2个不同零点，则有Δ＝4－4a 2>0，且a ≠0，可得－1

2x 2－2ax 在(0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是(

)

A ．{1}

B ．{－1}

C ．(0,1]

D ．[－1,0)

答案B

解析

因为f ′(x )＝2(x ＋a )ln x ，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ＝1时，f ′(x )＝0满足题意；

当x >1时，ln x >0，要使f ′(x )≥0恒成立，只需x ＋a ≥0恒成立，因为x ＋a >1＋a ，所以1＋a ≥0，解得a ≥－1；

当0

8．(2019·衡水中学调研)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)内的偶函数f (x )满足：当x >0时，xf (x )＋x 2f ′(x )－1＝0，且f (e)＝1

e ，则不等式

f (x )＋ln 4>0的解集为(

)

－12，

C ．(－e,0)∪(0，e)

D ．(－∞，－e)∪(e ，＋∞)答案B

解析

当x >0时，xf (x )＋x 2f ′(x )－1＝0，

故f (x )＋xf ′(x )＝1

x

，

故[xf (x )]′＝1

x ，故可设xf (x )＝ln x ＋c ，

因为f (e)＝1

e ，所以c ＝0，

故f (x )＝ln x

x ，则f ′(x )＝1－ln x x

2，