面积法与等积变换

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初中平面几何四个重要定理

初中平⾯⼏何四个重要定理初中数学知识重点整理－平⾯⼏何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅⽒线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。

塞⽡(Ceva)定理（塞⽡点）△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。

托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对⾓线乘积的充要条件是该四边形内接于⼀圆。

西姆松(Simson)定理（西姆松线）从⼀点向三⾓形的三边所引垂线的垂⾜共线的充要条件是该点落在三⾓形的外接圆上。

例题：1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。

求证：。

【分析】CEF截△ABD→（梅⽒定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之⼀作CF的平⾏线。

2．过△ABC的重⼼G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。

求证：。

【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。

DEG截△ABM→（梅⽒定理）DGF截△ACM→（梅⽒定理）∴===1【评注】梅⽒定理3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，，AD、BE、CF交成△LMN。

求S△LMN。

【分析】【评注】梅⽒定理4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。

求证：AE、BF、CG相交于⼀点。

【分析】【评注】塞⽡定理5．已知△ABC中，∠B=2∠C。

求证：AC2=AB2+AB·BC。

【分析】过A作BC的平⾏线交△ABC的外接圆于D，连结BD。

则CD=DA=AB，AC=BD。

由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

【评注】托勒密定理6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。

求证：。

（第21届全苏数学竞赛）【分析】【评注】托勒密定理7．△ABC的BC边上的⾼AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于F。

面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。

有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

08.面积问题与面积法

第08讲面积问题与面积法◆知识导航◆：1. 割补法；2.等积变换；3.共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应角两边乘积的比。

4.共边定理：共边，面积比等于高之比，亦等于斜边之比。

5.海伦公式：【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BC边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为_ 。

（用含a的式子表示）【例2】如图1，在五边形ABCDE中，∠E=90°，BC=DE，连接AC、AD，且AB=AD，AC⊥BC。

（1）求证：AC=AE；（2）如图2，若∠ABC=∠CAD，AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形ABCDE的面积为【例3】如图，已知等腰△ABC 和等腰△ADE 中，∠BAC = ∠DAE =90°，求证：S △ACD =S △ABE【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，AE =AB ，连接ED ，且∠E =∠C ，AD =2DE ，则S △AED ：S △ABD =【例5】如图，在△ABC 中，点D 是段AB 的中点，DC ⊥BC ，作∠EAB =∠B ，DE ∥BC 。

连接CE ，若BCAE=25，设△BCD 的面积为S ，则用S 表示△ACE 的面积正确的是（） A .2.5S B .3S C .4S D . 4.5S【例6】如图，已知点E 为正方形ABCD 外一点，连接AE 、BE ，AE ：BE =3：2，∠AEB =90°，过C 点作CF ∥AE ，过D 点作DF ∥BE ，交点为点F ，连接EF ，若EF =100，则四边形EBCF 的面积为【例7】如图，△ABC 中，∠ACB = 90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，DE 垂直平分AC ，点F 为DE 的延长线上一点，满足2∠F =∠B ，则S △ABC ：S △ECF =课后作业每日一练01.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，AD与BE相交于点F，若点C在BD上满足BC=3CD。

高中数学面积问题和面积方法

面积问题和面积方法基础知识1.面积公式由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.设A ABC,恥,c分别为角A,B,C的对边，％为。

的高,R、r分别为△ ABC外接圆、内切圆的半径，p = ^(a + b + c).则△ABC的面2积有如下公式：(1)S SABC = g 叽；(2)sin A(3)S Mli c =jp(p-a)(p-b)5-c)(4)S AABC=^f'(a + b + C)= P r(5)_ abc AOC 4R(6)S RBC =2R\ sin Asin BsinC(7)c a2 sin BsinC 2sin(B + C)(8)S MBC=£乙(方+ c_d)(9)1 7S RBC =—斤(sin2A + sin2B + sin2C)2.面积定理(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和；(2)两个全等形的面积相等；(3)等底等髙的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等；(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比；(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；(6)共边比例定理：若和△"3的公共边所在直线与直线PQ交于M,则S阳：S^B =PM:QM;(7 )共角比例定理：在△ ABC和△ A'B'C中，若ZA = Z/V或ZA + ZA f = \8(r,贝I」也!=.八〃竺.S M*A® •AC3.张角定理：如图，由P点出发的三条射线PA、PB、PC,设ZCPB=J3 , ZAPB=a + p<\^ ,则A,3,C三点共线的充要条件是：sin a sin p sin(a + 0)---- 1 ---- = ---------- •PB PA PC例题分析例1・梯形ABCD的对角线AC.BD相交于0 ,且S M = m , S”。

2019中考数学《面积的计算》专题复习考点讲解(含答案)

面积的计算考点图解技法透析面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆的面积＝×半径的平方；扇形面积＝2360n r（n为圆心角，r为半径）(2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积．(3)面积计算常用到以下方法：①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题．(4)非常规图形的面积计算往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．(5)“等积变换”的方法①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论．②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．名题精讲考点1 用面积公式计算常规图形面积例1 如图，将直角三角形BC 沿着斜边AC 的方向平移到 △DEF 的位置（A 、D 、C 、F 四点在同一条直线上）．直角边DE 交BC 于点G ．如果BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积等于4，那么梯形ABGD 的面积是 ( )A ．16B ．20C ．24D ．28【切题技巧】【规范解答】 B【借题发挥】把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．【同类拓展】 1．如图所示，A 是斜边长为m 的等腰直角三角形，B ，C ，D 都是正方形，则A ，B ，C ，D 的面积的和等于 ( )A ．94m 2B ．52m 2C ．114m 2D ．3m 2考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积例2 如图，P 是平行四边形ABCD 内一点，且S △PAB ＝5， S △PAD ＝2，请你求出S △PAC （即阴影部分的面积）．【切题技巧】 △APC 的底与高显然无法求，则应用已知三角形的面积的和或差来计算△APC 的面积．【规范解答】【借题发挥】对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD 中，△ABP 的面积为a ， △CDG 的面积为b ，则阴影四边形的面积等于 ( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2a bD ．无法确定考点3 列方程（组）求面积例3 如图所示，△ABC 的面积是1cm 2．AD ＝DE ＝EC ， BG ＝GF ＝FC ，求阴影四边形的面积．【切题技巧】条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为13，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，【规范解答】如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．【借题发挥】求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．【同类拓展】3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面积分别为S1、S2、…、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由．考点4 面积比与线段比的转化例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，△COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是 ( )A．16 B．15 C．14 D．13【切题技巧】分析△AOD，△DOC，△AOB，△COB四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．【规范解答】【借题发挥】两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．【同类拓展】 4．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCD ABCDS S 四边形矩形等于 ( )A ．56B ．45C ．34D ．23考点5例5 如图所示，在四边形ABCD 中，AM ＝MN ＝ND ， BE ＝EF ＝FC ，四边形ABEM 、MEFN 、NFCD 的面积分别记为S 1，S 2和S 3．求213?S S S =+【切题技巧】把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，【规范解答】连接A ．E 、EN 、PC 和AC ．【借题发挥】等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．【同类拓展】 5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A 处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由．考点6 格点多边形的面积例6 如图，五边形ABCDE 的面积为多少？我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点．顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转化为规则图形，再求面积．【规范解答】如图，标上字母F 、G 、H 、I 、J 点，使得△ABF ， △BCG ，△CDH ，△DEI ，△EAJ 为直角三角形，【借题发挥】格点多边形面积有如下计算规律：格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．即：若格点多边形的面积为S ，格点多边形内部有且只有n 个格点，它各边上格点的个数和为x ．则S ＝12x ＋n －1．【同类拓展】 6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形格中，阴影部分面积与正方形ABCD 面积的比是 ( ) A ． 3：4 B ．5：8 C ．9：16 D ．1：2 参考答案1．A 2．A 3．S 3＝S 2＋S 7＋S 8． 4．D 5．S △ABF ＝S 四边形AFCD ． 6．B2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS2．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝32或t＝72，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．点P（﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.4．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点F；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E，连接BF，若3BF=， 2.5AB=，则AE的长为( )A.2B.4C.8D.55．如图，点是边长为1的菱形对角线上的一个动点，点，分别是边，的中点，则的最小值是( )A. B.1 C. D.26．方程组的解是( )A.B. C. D.7．多项式4x-x 3分解因式的结果是( ) A ．()2x 4x-B ．()()x 2x 2x -+C ．()()x x 2x 2-+D ．2x(2x)-8．一几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A ．四棱锥B ．圆锥C ．三棱柱D ．四棱柱9．如图，水平的讲台上放置的圆柱笔筒和长方体形粉笔盒，它的俯视图是（）A．B． C．D．10．从甲，乙，丙三人中任选一名代表，甲被选中的可能性是A.12B.1C.23D.1311．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（）A．3b（a2﹣2a）B．b（3a2﹣6a+1）C．3（a2b﹣2ab）D．3b（a﹣1）212．在整数范围内，有被除数＝除数×商+余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和除数b确定，则商q和余数r也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数范围中，也有a＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是，除数是2，则q与r的和( )A．﹣4 B．﹣6 C．-4 D．-2二、填空题13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为_____．14．计算：（﹣12）2=_____．15．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC的长为_____厘米．（结果保留π）16．若关于x 的一元二次方程2230x x m -+-=有两个相等的实数根，则m 的值是______________.17．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．18．计算：（a+b ）（2a ﹣2b ）＝_____．三、解答题19．已知：△ABC 的两边AB 、BC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+2）x+k 2+2k ＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？20．如图，已知⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 在圆上，过A 作AE ∥BC 交CD 延长线于E.（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）若BD 经过圆心O ，其它条件不变，则△ADE 与圆重合部分的面积为_____.(在备用图中画图后，用阴影标出所求面积)21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T 恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T 恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝30时，y ＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，点O在AB上，以点O为圆心，OB 为半径的圆经过点D，交BC于点E（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB＝2，CD留π）．23．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由；（2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．求证：（1）DE＝FE；（2）四边形ADCF是菱形．25．已知，抛物线C1:y=- 12x2+mx+m+12（1）①当m=1时，抛物线与x轴的交点坐标为_______;②当m=2时，抛物线与x轴的交点坐标为________;（2）①无论m取何值，抛物线经过定点P________;②随着m的取值的变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，记为函数C2，则函数C2的关系式为：________ ；（3）如图，若抛物线C1与x轴仅有一个公共点时，①直接写出此时抛物线C1的函数关系式；②请在图中画出顶点M满足的函数C2的大致图象，在x轴上任取一点C，过点C作平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，求点C的坐标；（4）二次函数的图象C2与y轴交于点N，连接PN，若二次函数的图象C1与线段PN有两个交点，直接写出m的取值范围．【参考答案】***一、选择题二、填空题14．415．20π16．417．4218．2a 2﹣2b 2三、解答题19．k ＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k 的式子表示方程的解，根据△ABC 是等腰三角形，分AB ＝AC ，BC ＝AC ，两种情况讨论，得出k 的值．【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k 2+2k)＝4k 2+8k+4﹣4k 2﹣8k=4>0，∴x ＝()222k --+⎡⎤⎣⎦，∴x 1＝k+2，x 2＝k ，设AB ＝k+2，BC ＝k ，显然AB≠BC，而△ABC 的第三边长AC 为10，(1)若AB ＝AC ，则k+2＝10，得k ＝8，即k ＝8时，△ABC 为等腰三角形；(2)若BC ＝AC ，则k ＝10，即k ＝10时．△ABC 为等腰三角形．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k 的值，从而证得△ABC 为等腰三角形．20．（1）见解析；（2）23π．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠O AE=90°，可得：AE 是⊙O 的切线；（2）如备用图，根据等边三角形的性质得到BD ⊥AC ，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，根据平行线的性质得到∠AED=∠BCD=90°，解直角三角形得到AD=2，连接OA ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．(1)证明：如图1，连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°，∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE是⊙O的切线；（2）如备用图，∵△ABC是等边三角形，BD经过圆心O，∴BD⊥AC，∠ABD=∠CBD=30°，∠BAD=∠BCD=90°，∵EA是⊙O的切线，∴∠EAD=30°，∵AE∥BC，∴∠AED=∠BCD=90°，∵∴AD=2，∵OA=OB ，∴∠OAB=OBA=30°，∴∠AOD=60°，∴△ADE 与圆重合部分的面积=S 扇形AOD -S △AOD=260212236023ππ⋅⨯-⨯=故答案为：23π【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积计算，正确的作出图形是解题的关键．21．(1)y ＝﹣110x+8；(2)见解析；(3)销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【解析】【分析】（1）把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，把x ＝30，y ＝5；x ＝50，y ＝3，代入解方程组即可得到结论；（2）根据x 的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】(1)把x ＝50代入y ＝150x得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，∵当x ＝30时，y ＝5，当x ＝50时，y ＝3，∴530350k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1k 10b 8⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣1x+8；故答案为：y ＝﹣110x+8； (2)当30≤x≤60时，w ＝(x ﹣20)(﹣0.1x+8)﹣40＝﹣0.1x 2+10x ﹣200；当60＜x≤80时，w ＝(x ﹣20)• 150x ﹣40＝﹣3000x+110； (3)当30≤x≤60时，w ＝﹣0.1x 2+10x ﹣200＝﹣0.1(x ﹣50)2+50，∴当x ＝50时，w 取得最大值50(百元)；当60＜x≤80时，w ＝﹣3000x +110， ∵﹣3000＜0，∴w 随x 的增大而增大，当x ＝60时，w 最大＝60(百元)，答：销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）23π-【解析】【分析】（1）欲证明AC 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥AC 即可．（2）证明△OBE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝90°，∴OD ⊥AC ，∴AC 是⊙O 的切线．（2）过O 作OG ⊥BC ，连接OE ，则四边形ODCG 为矩形，∴GC ＝OD ＝OB ＝2，OG ＝CD ，在Rt △OBG 中，利用勾股定理得：BG ＝1，∴BE ＝2，则△OBE 是等边三角形，∴阴影部分面积为260?2360π⨯﹣12＝23π- 【点睛】本题考查切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，思想的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．甲组数据的平均数为100cm ；乙组数据的平均数为100cm ；（2）甲种农作物长得比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可；（2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案．【详解】（1）甲组数据的平均数＝16×（98+102+100+100+101+99）＝100（cm ）；乙组数据的平均数＝16×（100+103+101+97+100+99）＝100（cm ）；（2）s 2甲＝16×[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]＝53； s 2乙＝16×[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]＝103． s 2甲＜s 2乙．所以甲种农作物长得比较整齐．【点睛】本题考查了平均数与方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差大，波动性越大，反之也成立．24．（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）由“AAS ”可证AED CEF ∆≅∆，可得DE EF ＝；（2）由直角三角形的性质可得CD AD ＝，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF 是平行四边形，即可证四边形ADCF 是菱形．【详解】（1）证明：∵CF AB ∥ ，∴DAC ACF ∠∠＝，又∵AE EC AED CEF ∠∠＝，＝，∴AED CEF AAS ≌（）， ∴DE EF ＝．（2）∵90ACB ∠︒＝，D 是AB 的中点，∴CD AD ＝∵DE EF AE EC ＝，＝∴四边形ADCF 是平行边形又∵AD CD ＝∴四边形ADCF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．25．（1）（﹣1，0）（3，0）；（﹣1，0）（5，0）；（2）（-1，0）； y=12 (x+1)；（3）点C 的坐标为（1，0）或（-3，0）；（4）-12＜m≤0 【解析】【分析】（1）①把m=1,y=0分别代入抛物线C1，得到一个一元二次方程，解方程即可求出交点横坐标。

面积法与等积变换

等底等高的三角形的面积相等.
等高(比)的两个三角形的面积之经等于底(高)之比.
3.等积变换一个图形经过变形,但面积保持变,这种变形称为等积变换.
思考 1.(教程 P42814 ) △ABC 内有一点 P ，直线 AP, BP,CP 分别与对边交于 D, E, F ，试确定点 P ，使△DEF 的面积尽可能大.
面积法与等积变换
主要知识点
思考1，2，思考3
教程练习
思考4
面积法与等积变换
主要知识：(见教程 P417 ) 1.面积公式
S△ ABC

1 2 aha

1 ab sin C 2

2R2 sin
Asin B sinC
S△ABC p( p a)( p b)( p c) pr (p 是周长的一半) 2.面积定理
提示：分别作点 G、F 关于直线 AC 的对称点 G、F ，连结 FG
G
只要证 FG, EH, BO 三线共点
即可,这可运用塞瓦定理来证.
F
练习
练习: 1.(教程 P426 3)如图,M 在 AC 上,N 在 BC 上,AN 与 BM 相交于点 O,已知 S△OMA 3, S△OAB 2, S△OBN 1, 则 S△CMN =____.
提示：设 AM CN r 0 AC CD
利用面积得图中的一些线段比. 对△DEC 运用梅涅劳斯定理可得关于 r 的方程,解方程即可.
思考4
思考 4.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=DC,过 AC,BD 的交点 O 引 EF,GH,其中 EF 交 AB,CD 于 E,F,GH 交 DA,BC 于 G,H.EH,GF 分别交 BD 于 P,Q, 则 OP=OQ.(1990 年 CMO 选拨试题)

【小升初奥数专题】几何之五大模型（已更新完）

【⼩升初奥数专题】⼏何之五⼤模型（已更新完）在⼩学奥数知识体系中，⼏何五⼤模型是⼏何专题中⾮常重要的⼀块知识点，⽅法性很强，掌握了⼏何的五⼤模型，对于我们解决组合型直图形或者⾮规则图形是⾮常有帮助的，所以⼏何五⼤模型在⼩学⼏何体系中的重中之重！⼏何五⼤模型的难点在于我们要在掌握各个模型适⽤的题型、相应的⽅法、公式的基础上学会灵活运⽤，还有就是有时要根据题意同时运⽤多种模型，从⽽更好的解决问题！接下来e 度徐丽⽼师会针对⼏何五⼤模型进⾏解析，希望能帮助到各位家长，让您的孩⼦在这次⼩升初中⼤战全胜！ps:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供⼤家有针对性学习巩固，相信⼤家对于应⽤题的攻克将不在话下！【⼏何五⼤模型知识点】【⼏何五⼤模型经典例题详解】【⼏何五⼤模型巩固练习】【⼏何五⼤模型巩固练习详解】标签:⼏何模型五⼤⼩升初奥数回复收藏1~3年级奥数每⽇⼀题汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】4~5年级奥数每⽇⼀题汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】⼩升初奥数天天练汇总，含试题详解【每⽇不断更新中】【徐丽⽼师】⼩升初奥数应⽤题专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数⾏程专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数⼏何专题汇总【徐丽⽼师】⼩升初奥数数论专题汇总【徐丽⽼师】⼩学数学毕业总复习专题汇总⼏⼏何五⼤模型⼀、五⼤模型简介（1）等积变换模型1、等底等⾼的两个三⾓形⾯积相等；2、两个三⾓形⾼相等，⾯积之⽐等于底之⽐，如图①所⽰，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b ；3、两个三⾓形底相等，⾯积在之⽐等于⾼之⽐，如图②所⽰，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b ；4、在⼀组平⾏线之间的等积变形，如图③所⽰，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB 平⾏于CD 。

几何问题-面积和等积变换2(30道,含详细解答)

几何问题-面积和等积变换2几何问题-面积和等积变换2一．解答题（共30小题）1．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四边形PEQF面积的最大值．2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m 的草坪，求草坪面积．（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为π×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+9π≈7528（m2）．（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．4．如图1，点P是△ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S△ABP=S△BDP，如图2，在四边形ABCD 中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（0≤≤1）时，直接写出S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系．5．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．6．如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点．若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？8．设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n（n=1，2，3…2008），求S1+S2+S3+…+S2008．9．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．10．如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．11．已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．12．有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间40秒）13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）15．如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）16．（Ⅰ）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．①求r1与r2的关系式；②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．17．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．18．探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=_________（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_________倍．应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等．（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S1，S2，S3三者之间的关系？20．如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？21．已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米．求图中阴影部分面积．22．如图，△ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积．23．如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？24．如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积．25．长方形EFGH的长，宽分别为6厘米，4厘米，阴影部分的总面积为10平方厘米，求四边形ABCD的面积．26．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．27．已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且△ADC的面积比△EFG的面积大6平方厘米．△ABC 的面积是多少平方厘米．28．已知△ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC．求三角形DEF的面积．29．如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SE⊥BC于E，PF⊥CD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，请求出四边形PQRS的面积．30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面积是20，黄色面积是17，绿色面积是7．求正方形盒子底的面积．几何问题-面积和等积变换2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=2，F、E分别在AB、CD上，连接DF、CF、AE、BE交于Q、P．求四边形PEQF面积的最大值．c=d=﹣=c+d2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长），假设黑方只有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．如图（1），某住宅小区有一三角形空地（三角形ABC），周长为2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为3m 的草坪，求草坪面积．（精确到1 m2）由题意知，四边形AEFB，BGHC，CMNA是3个矩形，其面积为2 500×3 m2，而3个扇形EAN，FBG，HCM的面积和为π×32 m2，于是可求出草坪的面积为7 500+9π≈7528（m2）．（1）若空地呈四边形ABCD，如图（2），其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（2）若空地呈五边形ABCDE，如图（3），其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说明理由；（3）若空地呈n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．4．如图1，点P是△ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S△ABP=S△BDP，如图2，在四边形ABCD 中，P是AD边上任意一点，探究：（1）当AP=AD时，如图3，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（4）当AP=AD（0≤≤1）时，直接写出S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系．AP=AD换为；AP=AP=AP=AD﹣S﹣）﹣SAP=AP=﹣S﹣）﹣S=S SAP=AP=﹣S﹣）﹣S=S S5．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：．可以推知﹣；同理；最后将其代入①式求得同理有，代入①得，联系在一起，从而通过化简，证得结论6．如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点．若四边形ABCD 的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．=S=S7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？，abab=2a+2b+2，8．设直线，（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为S n（n=1，2，3…2008），求S1+S2+S3+…+S2008．，•=，）•﹣+﹣﹣，故答案为：（9．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．，所以=====这是个一元二次方程，或．10．如图，在平面直角坐标系xOY中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线l的函数表达式．，，x+．11．已知▱ABCD中，若△ADE、△BEF、△CDF的面积分别为5、3、4，求△DEF的面积．××=5，×=3BE=，×=4CD=AB=AE+BE=++）×=4+=×，×12．有三条线段A、B、C，A长2.12米，B长2.71米，C长3.53米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间40秒）13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）CM=，然后根据三角形面积公式得到大六角星形的面积AM（，14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50秒）15．如图，中正方形的边长是2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间48秒）16．（Ⅰ）如图1，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．①求r1与r2的关系式；②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．上，解等腰直角三角形得，AC=求面积和的最小值．，12，，即1时，⊙是等圆，其面积和的最小值为或．，故．，即17．已知四边形ABCD两条对角线互相垂直，点O是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点A到CD的距离是6，点D到AB的距离是8，求四边形ABCD的面积S．BD 1618．探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=a（用含a的代数式表示）（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=2a（用含a的代数式表示）（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=6a（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍．应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为S1，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S3，S4两种需要花的棵数大致相等．（1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明S3与S4之间关系的理由？）（2）请你用学过的知识探究S1，S2，S3三者之间的关系？20．如图，若长方形APHM，BNHP，CQHN的面积分别为7、4、6，求阴影部分的面积是多少？（21．已知正方形ABCD的边长为10厘米，AE长为8厘米，CF长为2厘米．求图中阴影部分面积．SS==1=×××××22．如图，△ABC被分为四块，其中三块的面积分别为4，6，12平方厘米，求四边形AEDF的面积．23．如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少平方厘米？，根据相似三角形性质得出====，求出BF=CF==，=，=××==，S==，24．如图，正方形ABCD的边长为8厘米，E，F，G，H分别是AD，EC，FB，GA的中点，CE与DH的交点为I，求四边形FGHI的面积．AD=4×××=SS25．长方形EFGH的长，宽分别为6厘米，4厘米，阴影部分的总面积为10平方厘米，求四边形ABCD的面积．，即×26．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，P为BC的中点，N为CD的中点，Q为DA的中点，若图中中间的小四边形的面积为1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．即可求出答案．SS27．已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且△ADC的面积比△EFG的面积大6平方厘米．△ABC 的面积是多少平方厘米．EF=））=，．28．已知△ABC的面积为1，延长AB至点D，使BD=AB，延长BC至点E，使CE=2BC，延长CA至点F使AF=3AC．求三角形DEF的面积．29．如图，四边形PQRS与边长为10的正方形ABCD的内侧相接，SE⊥BC于E，PF⊥CD于F，且RQ=9，EQ=2，RF=3，请求出四边形PQRS的面积．BP CQ DR AP（（）﹣（30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面积是20，黄色面积是17，绿色面积是7．求正方形盒子底的面积．=7。

面积——等面积法

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数”的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明”的效果。

有关面积的公式（1）矩形的面积公式：S=长⨯宽（2）三角形的面积公式：ah S 21=（3）平行四边形面积公式: S=底⨯高（4）梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高（5）对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半（如正方形、菱形等）有关面积的公理和定理 1、面积公理（1）全等形的面积相等；（2）一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理（1）等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD（2）等底等高的平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积相等；（3）等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；（4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方；（5）在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；（6）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△ 9 2cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

【平面图形的面积问题】2023年小升初数学无忧衔接 (通用版)(解析版)

平面图形的面积问题在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能力，比如抽象思维，推理等等。

难度自不必说，思维的层次也大为不同。

甚至一些证明，必须用演绎推理来完成，比如“两直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，这个命题就需要演绎推理思维，学生必须要在自己的心中构建直观图形，难度加大了。

如“三角形的内角和等于180°”这个定理，在小学教材中是由实验得出的，学生较熟悉。

因此，在教学中既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

求几何图形面积常见方法及运用：【解题技巧】常见模型例1．（2022春·六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。

【答案】8平方厘米【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面积，如下图：阴影部分面积等于长是（2＋2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。

【详解】（2＋2）×2＝4×2＝8（平方厘米）【答案】4平方厘米【分析】通过观察图形可知，把阴影部分通过“旋转”或“割补”法，把阴影部分拼成三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。

【详解】如图：4×4÷2÷2＝16÷2÷2＝8÷2＝4（平方厘米）变式1．（2023秋·北京西城·五年级统考期末）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图）。

已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，图中涂色部分的面积是（）cm2。

A．24 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】如图：观察图形可知，三角形ABC左右两边的涂色小三角形完全一样，把左边的涂色小三角形平移至右边，与右边涂色小三角形组合成一个与①一样大的三角形；这样三角形ABC平均分成4份，涂色部分占其中的一份；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形ABC的面积，再除以4即是涂色部分的面积。

五年级奥数-等积变换求面积

等积变换求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道：等底等高的两个三角形面积相等．这就是说两个三角形的形状可以不同,但只要底与高分别相等,它们的面积就相等,当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等.图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把-些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据,抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。

例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积？例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD,若△ABC(阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．基本概念例题分析例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示,它是由四个相同的直角三角形拼成（直角边长为2和3），问：大正方形面积是多少？例4、下图中,三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形,求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米?3、如图，四边形ABCD是平行四边形，DC＝CE，如果△BCE的面积是15平方厘米，那么梯形ABED的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，三角形DEF的面积是多少平方厘米？CF长多少厘米?5、如图，在平行四边形ABCD中，AE＝ED,BF＝FC,CG＝GD，平行四边形ABCD的面积是阴影三角形EFG的多少倍?（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米,25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米?7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中,三角形ABC 的面积是30平方厘米，O 是BC 的中点，AE 的长是ED 的2倍,求三角形CDE 的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米,用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O 重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积?。

初中数学几何模型(九)面积模型

初中数学几何模型（九）面积模型1、铅锤法模型：如图，过△ABC的顶点C、B作铅垂线，顶点A作水平线。

线段a叫△ABC的“水平宽”，线段b叫△ABC的“铅锤高度”。

这样我们可以得到求三角形面积的一种方法：S△ABC=12ab，即三角形面积等于水平宽度与铅锤高度乘积的一半。

在平面直角坐标系中，二次函数、反比例函数为基架的动态问题中，确定水平宽度和铅锤高度，并使用铅锤法求斜三角形的面积及相关最值问题。

口诀：“歪歪三角形中间砍一刀”。

典型例题：1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC的面积。

略解：∵A（1，1）、B（7，3），∴水平宽度AE=6；可以根据中点坐标公式、可以用三角形中位线定理、也可以用待定系数法求出直线AB的解析式三种思路求出点D（4，2），∴铅锤高度CD=5；根据铅锤法求S△ABC=12ab=12×AE×CD=12×6×5=15（平方单位）。

2、如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为G。

（1）求△ABC和△BCG的面积；（2）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求△BCD面积的最大值。

（3）若点D在直线BC下方抛物线上运动，求四边形ACDB面积的最大值。

2、等积模型：用不同方法表示同一个图形的面积，结果相等。

（1）当所表示的图形是“规则”图形时，不同的方法指的是：①直接用面积公式表示；②用其他图形面积的和或差表示。

（2）当所表示的图形是“不规则”的图形时，不同方法指的是：用割补法来表示。

典型例题：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边上的高，用直角三角形的三边表示斜边上的高CD。

解：∵S △ABC =12ch ，S △ABC =12ab ，∴12ch =12ab ，∴h=ab c。

结论：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

2、（1）如图①，已知△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上的一点，PN ⊥AC 于点N ，PM ⊥AB 于点M ，CG ⊥AB 于点G ，求证：CG=PM+PN 。

奥数-面积法-第4讲面积问题

第四讲面积问题一、基础知识面积计算是平面几何中常见的基本问题之一。

由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形的面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础． ➢ 基本的面积公式1. 正方形面积，2S a =（a 为正方形的边长）；2. 矩形面积，S ab =（a 、b 为矩形的长和宽）；3. 平行四边形面积，S ah =（h 为底边a 对应的高）；4. 梯形面积，1()2S a b h =+（a 、b 为上下两底的长度，h 为高）； 5. 三角形面积，12S ah =（h 为底边a 对应的高）；6. 圆面积，2S r π=（r 为圆半径）；7. 扇形面积，2360n r S π=（n 为圆心角，r 为半径）；➢ 等积变换等积变换是指保持面积不变的多边形的变换。

三角形的等积变换是多边形等积变换的基础。

关于等积变换有以下几个主要的事实：1. 等底等高的两个三角形面积相等．2. 两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比．3. 两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比．4. 两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．5. 等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积；6. 三角形一边上的中线平分这个三角形的面积；7. 平行四边形的对角线平分它的面积；➢ 常用方法面积法及等积变换有着广泛的应用，可用于求积，有关面积的不等式和极值，平面几何证明和等积作图。

所用的方法主要有：1. 恰当把图形分成若干部分（即割补法）求面积；2. 用面积方法证明线段（或角）相等、不等或比例关系；3. 把两个三角形面积的比转化为高和底边乘积的比.二、例题第一部分简单的面积例1. （北京市竞赛题★★★）求证：正八边形的面积等于它最长的对角线与最短的对角线的乘积；【分析与解答】：如图所示例2. （★★★第14届迎春杯初赛）在平行四边形ABCD 中，EG 与BC 平行，HF 与AB 平行，EG 和HF 相交于O ，如果平行四边形EBFO 的面积为2平方厘米，平行四边形OGDH 的面积为4平方厘米，那么三角形OAC 的面积等于多少？【分析与解答】：设平行四边形AEOH 的面积为x ，平行四边形OFCG 的面积为y ；有AOCABCAEOOFCBFOESSSSS=---；即2421222AOCxy x yS+++=---=.例3. （★★★第17届迎春杯计算机交流试题）长方形ABCD 中，EF 与BC 平行，HG 与AB 平行，且长方形AEOH 、HOFD 、OGCF 的面积分别为9、4、7，则三角形HBF 的面积是多少？【分析与解答】：设矩形EBGO 的面积为x ，则BHFABCDABHBCFHFDSSSSS=---；即974(947)10222BHFx x Sx ++=+++---=；例4. （★★★）如图所示．P 为△ABC 内任意一点，三边a ，b ，c 的高分别为h a ，h b ，h c ，且P 到a ，b ，c 的距离分别为t a ，t b ，t c ．求证：1a b ca b ct t t h h h ++=【分析与解答】：根据已知条件有111222a b c ABC t a t b t c S ++=；又有222,,a b cS S Sa b c h h h ===，代入得到1a b c a b c t t t h h h ++=.第二部分等积变换例5. （★希望杯训练题）如图，四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 的中点，求证：四边形DEBF的面积是四边形ABCD 的一半。

初中数学重点梳理：面积问题的解决方法

面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理1、等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

六年级上册数学求阴影面积的七种类型归纳

六年级上册数学求阴影面积的七种类型归纳
以下是六年级上册数学求阴影面积的七种类型归纳：
1.直接计算法：当阴影部分是一个规则图形时，可以直接使用相应图形的面积公式进行计算。

2.相减法：当阴影部分是由两个或多个规则图形组成时，可以将阴影部分的面积看作是这些规则图形面积的差。

3.割补法：将阴影部分通过切割、平移、旋转等方式，拼成一个规则图形，然后计算其面积。

4.等积变形法：根据等积原理，将阴影部分与一个已知面积的规则图形进行等积变换，然后计算阴影部分的面积。

5.比例法：当阴影部分与某个规则图形之间存在比例关系时，可以利用比例关系求出阴影部分的面积。

6.方程法：通过建立方程来求解阴影部分的面积。

7.实际问题法：将阴影部分的面积问题与实际生活中的问题相结合，通过分析实际问题来求解阴影部分的面积。

需要注意的是，在解决具体问题时，需要根据具体情况选择合适的方法。

同时，要注意单位的统一和计算的准确性。

初中中考-面积的计算

【小学】小学数学五大直线型面积模型

【关键字】小学小学数学五大直线型面积模型一：等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比二：鸟头定理1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是一样的四、相似三角形模型1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方一：等积变换1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分红四个面积相等的三角形．2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如右图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．4、如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．5、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.6、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。

求图中阴影部分的面积是多少？7、(2008年四中考题)如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是平方厘米．8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?二、鸟头定理1、如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．2、如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？3、如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．4、如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？5、已知的面积为平方厘米，，求的面积．6、如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？7、(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米．8、如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？作业：1、如图，三角形ABC被分红了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？2、已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？3、如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．4、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．三、蝴蝶定理1、如图所示，已知求图中阴影部分的面积.2、下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？4、梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米。