Cantor集与Cantor函数

Cantor 集与Cantor 函数

【摘要】：本文详细分析并证明cantor 集与cantor 函数的定义与性质，具体内容有：cantor 集的完备性，具有连续统势；cantor 函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor 函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor 集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。

【关键词】：Cantor 集、Cantor 函数、分形、点集、完备集

1 Cantor 集与Cantor 函数的定义

1.1 Cantor 集的定义

将基本区间A=[0，

1]三等分，除去中间的开区间)3

231(11，，=I ,记其剩余部分为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,323101Y ，E ；再将1E 中的两个闭区间各三等分，然后分别去掉中间的开区间)3

837()3231(222,2221,2，，，==I I ,然后记其剩余部分为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1383732313231022222，，，，Y Y Y E 。如此继续下去，在第n 步时，去掉的开区间为)3

13323()3837()3231(12,2,1,n n n n n n n n n n n n I I I --===-，，，，，，Λ。其余部分为n 2个长为n 31的闭区间，令Y Y n m k k m n m

I G 1121,=-==又令Y Y k n k n n n I G G ,,1==∞=，G C \]10[，=，则称所得的C 为Cantor 集。

1.2 Cantor 函数的定义

将基本区间A=[0，1]三等分，并除去中间的开区间,同时令

把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间

)3

837()3231(222,2221,2，，，==I I 同时令

然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。这样，当进行到n次时，一共去掉了个开区间此时令

下面我们定义如下函数：

f=

这个函数f(x)就是Cantor函数。

2 Cantor集与Cantor函数的基本性质

2.1 Cantor集的性质

2.1.1 完备性

Cantor集是完备集：

引理：F G，则F是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，即

两两不相交且无公共端点。

证明：Cantor集C明显满足上述条件

G=[0,1]\C

故：

R-C=G

而：

G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......

为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。

故C为完备集

2.1.2 Cantor集是疏集，没有内点

证明：

假设是C的内点，

则存在，使得

这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

由C是疏集。

2.1.3 G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集

即证明

证明：易得,下面证明

反证法，任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G 的点。可得这个领域在C内。又，故x C，所以x是C中的内点。

与C是疏集矛盾。所以。故，G是[0,1]中的稠密集，证毕。

2.1.4 C具有连续统势

由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。

证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每一点x，有惟一的一个无限三元数列，使

(1)

现在对中所有的点x必定，对及

中所有的点x必定，中所有的点x必定

，等等。即对G中所有的点x，(1)中所有对应的中必有等于1的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列所对应的x都在C 中。而这样的全体有连续统势。证毕.

2.2 Cantor函数的性质（关于课堂小问题：Cantor函数的连续性和稠密性）

2.2.1 Cantor函数是[0,1]上的单增函数

由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了

2.2.2 Cantor函数是[0,1]上的连续函数

引理：f是[a，b]单增实值函数，f([a，b])是区间[f(a),f(b)]的稠子

集，则f连续

证明引理：首先证明f在x=a连续。由假设知对于任意的，存在

y，使得

利用f的单调性知道：当a x y时

这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。

现在取我们只要证明：

明显：,假如二者不相等，则有

这样我们可以取数和，使得

这个,但是对于任意的x

这和f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密矛盾。

同理可证明。

证明Cantor函数是[0,1]上的连续函数：

因为：

对任意的x,的一个自然数n.

不妨设,

则。

故：

在[0,1]中稠密，因此f([0,1])是[0,1]的稠密子集。得用上述引理，f是[0,1]是的连续函数。

3借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集

Cantor集C的余集的构成区间的中点集合是孤立点集并且它的的导集是完备集。

证明：设G=[0,1]\C，则：

G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......

设F是G的构成区间的中点组成的集合，对任意的x F，x是G中某个开区间E的中点，故必然存在中，而G是两两不相交的开区间的并，故区间中不会含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。

下面证明

对任意的x，x的任邻域中有F的无限个点,所以；反过来，我们记：

记为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，也就是说：

一般地，记为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，

则表示的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下的部分，不难发现：

假如，则对于任意的，以及满足的一个自然数n，

由于，x一定属于组成的某个闭区间，注意到包含了G的无限多个构成区间，所以中有F的无限个点。

于是x，这样就证明了

4从Cantor集到分形

4.1 分形简介

分形Fractal，来自拉丁文Fractals，意思是含有断裂和碎片。它的创始人是美籍数学家曼德尔伯罗特。他在1967年发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。