Cantor集的性质及其应用

Cantor集的拓展及其应用

黄玉霞指导老师：郭金生

（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）

摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.

关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集

中图分类号O174

The Expandability and Applications of Cantor Set

Huang Yuxia Instructor Guo Jinsheng

（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,

Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）

Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.

Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set

1 引言

Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.

2 预备知识

=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.

定义2.1[1]设n

E R

⊂,如果E E'

定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.

定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A =

=B =

.

定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.

定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.

定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.

3 主要内容

3.1 Cantor 集的构成

(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫

⎪⎝⎭

,记

作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤

⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;

(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长

度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫

⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别

是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦

,分别记为123

222,,G G G 和42G ;

(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13

n 的开区间1

221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个

长度为13

n 的闭区间,记为12,,n n G G n

n G 2, ;

上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:

第1次分割

第2次分割

第3次分割

第n 次分割

开区间个数 02 12 22 12n -

闭区间个数 12 22 32 2n

小区间长度

13

213

313

13

n

表1

(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列1

221

1

n n n G G G

G

=()=1,2n ，.作点集P =

1

n n G ∞

=,则称P 为

Cantor 集.

3.2 对Cantor 集构造方法的拓展

基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.

3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造

(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为

15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭

和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和2

1F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦

,分别记为11G ,21G 和31G ;

(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4

[,1]5

分别继续五等分,然后去掉其中间六个

长度为21

5

的开区间

2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭

. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为

210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦

2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;

(3)如此继续下去,第n 次去掉()1

221n -+个长度为1

5

n 的开区间()1

22112,,

,n n n n

F F F

-+,剩

下3n 个长度为

15

n

的闭区间,记为12,,n n G G n

n G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:

第1次分割 第2次分割 第3次分割

第n 次分割

开区间个数 023⨯ 123⨯

223⨯ 123n -⨯

闭区间个数 13

23 33

3n

小区间长度

15 215

315

15

n

表2

(4)将上述过程无限进行.