高中数学课下能力提升(九)人教A版选修22

课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 求曲边梯形的面积
1．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2
所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2i －1n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2i n ，2i ＋1n
2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3
所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯
形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
A.19
B.125
C.
127 D.130
3．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．
题组2 求变速直线运动的路程
4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )
A.13
B.12
C. 1
D.32
5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2
在0≤t ≤a 内经过的路程为9，求a 的值．
题组3 定积分的计算及性质 6．下列等式不成立的是( )
7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.⎠⎛012x
d x B.⎠⎛01(2x
－1)d x
C .⎠⎛0
1(2x ＋1)d x D.⎠⎛0
1(1－2x )d x
8．S 1＝⎠⎛01x d x 与S 2＝⎠⎛0
1x 2
d x 的大小关系是( )
A ．S 1＝S 2
B ．S 21＝S 2
C ．S 1>S 2
D ．S 1<S 2
9．已知⎠⎛0
1x 2d x ＝13，⎠⎛1
2x 2d x ＝73，⎠⎛0
21d x ＝2，则⎠
⎛0
2(x 2
＋1)d x ＝________.
10．用定积分的几何意义计算下列定积分：
[能力提升综合练]
1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛a b g(x)d x ＝－3，则⎠⎛a b
[2f(x)＋g(x)]d x ＝( )
A ．2
B ．－3
C ．－1
D ．4
2．若f(x)为偶函数，且⎠⎛06
f(x)d x ＝8，则
等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
3．定积分⎠⎛13
(－3)d x 等于( )
A ．－6
B ．6
C ．－3
D ．3
6．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积． (1)y ＝|sin x|，y ＝0，x ＝2，x ＝5；
答案
题组1 求曲边梯形的面积
1．解析：选C 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2
n
，第i 个小
区间为⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2i －1n ，2i n .
2．解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为
S ＝03·1
3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
133·1
3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
233·13＝981＝1
9
.
3．解：(1)分割
将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：
⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n －1n ，1， 记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为
Δx ＝i
n －
i －1n ＝1
n
. 把每个小曲边梯形的面积记为
ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替
根据题意可得第i 个小曲边梯形的面积 ΔS i ＝⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx
＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎣
⎢
⎡⎦⎥⎤i －1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n
＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．
(3)求和
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n 个小矩形的面积的和
S n ＝∑i ＝1n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝
⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx
＝∑i ＝1
n
i －1n 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－i －1n
＝16·⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－1n 2， 从而得到所求图形面积的近似值S ≈16·⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1n 2.
(4)取极限
即直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为1
6.
题组2 求变速直线运动的路程
4．解析：选B 曲线v (t )＝t 与直线t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积S ＝1
2即为这
段时间内物体所走的路程．
5．解：将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为a i －1n ，ai
n
(i ＝1,2，…，n )，此区间长为a
n
，
用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑i ＝1n
⎝
⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n ＝a 3
n 3·(12＋2
2
＋…＋n 2
)
＝a 33⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2
与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的
曲边梯形的面积．
∴a
3
3
＝9，解得a ＝3. 题组3 定积分的计算及性质
6．解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立． 例如⎠⎛02
x d x ＝2，⎠⎛02
2d x ＝4，⎠⎛02
2xd x ＝4，但⎠⎛02
2xd x ≠⎠⎛0
2
xd x ·⎠⎛02
2d x .
7．解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛0
1
(2x －
1)d x.
8．解析：选C ⎠⎛01x d x 表示由直线x ＝0，x ＝1，y ＝x 及x 轴所围成的图形的面积，而⎠⎛0
1
x 2d x 表示的是由曲线y ＝x 2
与直线x ＝0，x ＝1及x 轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]
内直线y ＝x 在曲线y ＝x 2
的上方，所以S 1>S 2.
9．解析：由定积分的性质可知
⎠⎛0
2(x 2
＋1)d x ＝⎠⎛02x 2
d x ＋⎠⎛021d x
＝⎠⎛0
1x 2d x ＋⎠⎛1
2x 2
d x ＋2 ＝13＋73＋2＝143. 答案：143
10．
而S ＝52×52＝254
，
(2)令y ＝4－x 2＋2，则y ＝4－x 2
＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，
[能力提升综合练]
1．解析：选C ⎠⎛a b [2f(x)＋g(x)]d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛a b
g(x)d x ＝2×1－3＝－1.
2．解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，
∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等． 3．解析：选A
∵⎠⎛13
3d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，
∴⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛13
3d x ＝－6.
4.
又y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0
5.解析：由y ＝4－x 2
可知x 2
＋y 2
＝4(y≥0)，其图象如图．
等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和．
S 弓形＝12×π3×22
－12×2×2sin π3＝2π3－ 3.
S 矩形＝AB·BC＝2 3.
答案：2π
3
＋ 3
6．解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S ，
(2)曲线所围成的平面区域如图所示．
7.解：如图，。