对三种频域变换的理解

对三种频域变换的理解

这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。

这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。

三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。

另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。

具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：

傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。

但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）

而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）

为什么要变换？

一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。

周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张（*^__^*）（来自知乎用户牛咩咩）

拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。

拉布拉斯变换：

其中

把带回公式可得

跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？

因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让积分之后有意义。这个稍微涉及了一点微积分的知识。最后的答案在直角坐标系看，分界线平行于Y轴。

Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的替换成为z，再乘以一个加权系数表示z的模（通常等于1），就进化成了z变换。z变换用于离散信号。

z变换：

其中

带进去就可以还原了。

同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。

从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z 变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）

怎么理解？

我假定现在大家对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。

一个信号，通常用一个时间的函数来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可

以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化（实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数，就好像矩阵的特征向量一样，而这个复幅度对应特征值）。

因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）

那么就可以用一个传递函数

来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题

这样一个线性系统都可以用一个传递函数

来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。

如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。

首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用

作为坐标，那么信号就可以表示为，而采用则表示为傅里叶变换的形式。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐

标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。

如果我们将拉普拉斯的

域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴的值就是傅里叶变换。到现在，对信号的形式还没有多少假定，如果信号是带宽受限信号，也就是说只在一个小范围内（如）不为0。

根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将沿虚轴方向作周期延拓！这个性质从数学上可以很容易验证。

z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换，T是采样的周期。这个变换将信号从s域变换到z域。请记住前面说的那个观点，s域和z域表示的是同一个信号，即采样完了之后的信号。只有采样才会改变信号本身！从复平面上来看，这个变换将与轴平行的条带变换到z平面的一个单叶分支

你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了，因为具有周期性，所以z域

不同的分支的函数值是相同的。换句话说，如果没有采样，直接进行z变换，将会得到一个多值的复变函数！所以一般只对采样完了后的信号做z变换！

这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，但是要记录这样一个信号，仍然需要无限大的存储空间，可以进一步