离散数学最小生成树例题

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最小生成树及算法

|S|=n-1, 说明是树最后S={a1, a2, a3,… ,an-1}
B. 破圈法
算法2 步骤如下： (1) 从图G中任选一棵树T1. (2) 加上一条弦e1，T1+e1中生成一个圈. 去掉此圈中最大权边，得到新树T2, 以T2代T1,重复(2)再检查剩余的弦，直到全部弦检查完毕为止.
例 n个城市,各城市之间的距离如下表(距离为 ∞，表示两个城市之间没有直接到达的线路)。从一个城市出发走遍各个城市,如何选择最优的旅行路线.
性质任何一棵树至少有两片树叶。证明设树T=(V,E),结点数为v，因T是连通的，因此，树中每个结点vi,有deg(vi)1,且 deg(vi)=2(v-1)=2v-2. 若T中结点度数都大于2，则 deg(vi) 2v,矛盾。若T中只有一个结点度数为1，则 deg(vi) 2(v-1)+1=2v-1 矛盾。
4 3
v5 3 v6
3.5 生成树的计数
1、一些概念 • • ① 设 G 是一个连通图。 T , T 分别是 G 的两个生成树，如果 E (T ) E (T ) ，则认为 T , T 是 G 的两个不同的生成树。 G 的不同的生成树个数用 (G) 表示。如：
v1 v3 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2
证明:⑴⑵ 当 n=2时, e=1, 显然 e=n-1. 假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G无圈、连通，则至少有一条边(u,v),deg(u)=1，删去u，得到连通无圈的图G1, G1的边数e1,结点数n1满足： e1=n1-1= k-2 将u,边(u,v)加到 G1中，得到T,且 e=n-1.
( K3 ) 3。则：
② G-e: 从G中去掉边e后所得的图。

1.6最小生成树及其算法

如果生成树T *的权 w(T * ) 是 G 的所有生成树的权中最小者，则称 T * 是 G 的最小生成树，简称为最小树，即
w(T * ) min{w(T )}，式中取遍 G 的所有生成树T .
T
介绍最小树的两种算法： Kruskal算法（或避圈法）和破圈法.
A. Kruskal算法（或避圈法）
b)广探法例用广探法求出下图10的一棵生成树步骤如下： i) 在点集V中任取一点u, 给u以标号0. ii) 令所有标号i的点集为 Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点是否均已标号. 对所有未标号之点均标以i+1,记下这些边. iii) 对标号i+1的点重复步步骤ii)，直到全部点得到标号为止.
步骤
u
L( b)
L( c)
L( d)
L( e)
L(f)
L( g)
e
V
T0
C(T 0)
1 2 3 4
a b e c
4 －－－
15 9 5 －
32 25
7 7 －－

28 28 28 (a, b) (a, e)
{a} {a, b} {a, b, e}
{(a, b)} {(a, b), (a, e)} {(a, b), (a, e), (c, e)}

(5)T T {e k }, k，t t 1, k k 1, 转（） 3
例5.3 用Kruskal算法求下图的最小生成树。
解：将图的边按照权值从小到大进行排列,列出下表
边 (a, b) (c, e) (a, e) (b, c) (d, g) (a, c)
3) 当第2)步不能继续执行时，则停止. 定理5.3 由Kruskal算法构作的任何生成树都是最小树。

运筹学最小生成树破圈法例题

运筹学最小生成树破圈法例题引言运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它可以帮助我们在面对各种约束条件和目标函数的情况下，找到一个最优解。

其中一个重要的问题是最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）问题，它用于解决图论中的连通性问题。

在本文中，我们将重点讨论用破圈法（Cycle Breaking Algorithm）求解最小生成树问题的例题。

什么是最小生成树问题？最小生成树问题是在一个加权连通图中，找到一个边的子集，使得这个子集形成一棵树，并且这棵树上所有边的权重之和最小。

最小生成树问题常被用于网络设计、电力传输、通信网络等领域。

最小生成树破圈法为了解决最小生成树问题，我们介绍一种常用的算法——破圈法。

该算法的基本思想是不断将新的边加入到当前的生成树中，同时保证生成树中不会形成闭合的回路。

下面通过一个例题来详细介绍破圈法的具体步骤。

例题描述假设我们有一个无向连通图，共有6个顶点，边的权重如下表所示：边权重AB 4AD 6AC 5BC 1BD 2BE 3CE 7DE 8DF 9边权重EF 10我们的目标是找到这个图的最小生成树。

破圈法求解步骤以下是破圈法求解最小生成树问题的具体步骤：1.初始化：选择一个起始顶点作为生成树的根节点，将该顶点加入生成树的顶点集合V’中，将该顶点的所有相邻边加入到候选边集合E’中，并按权重从小到大排序。

2.迭代：从候选边集合E’中选择一条权重最小且不会形成回路的边e，将该边的两个顶点加入到顶点集合V’中，并将这条边加入生成树的边集合中。

同时更新候选边集合，将与新加入顶点有关的边加入候选边集合，并按权重排序。

3.终止条件：重复步骤2，直到生成树包含了全部的n-1个顶点，其中n为原图的顶点个数。

破圈法求解最小生成树例题解析根据以上步骤，我们逐步求解例题中给出的图的最小生成树。

Step 1: 初始化我们选择顶点A作为起始顶点，并将其加入生成树的顶点集合V’中。

最小生成树实际城市建设例题

最小生成树实际城市建设例题在实际的城市规划和建设中，经常需要考虑如何在城市中建立高效的交通网络，以便居民可以便捷地出行，最小生成树实际城市建设例题：1. 最小生成树算法可以通过计算城市道路网络的最短路径来确定交通系统的建设方案。

这意味着，我们可以通过最小生成树来找到连接城市不同区域的最佳道路，确保居民可以高效地到达目的地。

2. 在城市建设中，最小生成树算法可以帮助决策者选择相对最优的交通线路布局。

通过计算不同道路之间的权重（如距离、交通流量等），最小生成树可以找到连接城市不同区域的最短路径，并在最佳位置建设道路。

3. 最小生成树算法还可以帮助决策者优化城市交通网络的设计。

通过分析城市道路的拓扑结构，最小生成树可以帮助找到一个连接城市各个地区的最小的道路集合，从而提高交通系统的效率和可持续性。

4. 最小生成树算法在城市建设中可以被用来规划公共交通系统。

通过将公交线路视作图中的节点，道路视作图中的边，可以利用最小生成树算法来确定最佳的公交线路布局，以满足居民的出行需求。

5. 最小生成树算法还可以应用于城市供水系统的规划。

通过将供水管道网络看作图中的边，不同供水站点看作图中的节点，可以使用最小生成树算法来确定供水系统的建设方案，确保每个区域都能获得足够的水源。

6. 在城市绿化方面，最小生成树算法可以用来规划公园和绿地的布局。

通过将不同公园和绿地看作图中的节点，道路连接的路径看作图中的边，最小生成树算法可以帮助确定最佳的公园布局，使得每个居民都能够方便地享受自然环境。

7. 最小生成树算法在城市建设中还可以被用来规划电力系统的布局。

通过将不同电源点和用电点看作图中的节点，电力线路看作图中的边，可以使用最小生成树算法来确定最佳的电力线路布局，以确保电力供应的连通性和稳定性。

8. 最小生成树算法还可以应用于城市安防系统的规划。

通过将不同监控点看作图中的节点，监控设备之间的连接路径看作图中的边，使用最小生成树算法可以确定最佳的监控点布局，提高城市的安全性和治安。

离散数学作业5[答案]

一、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15 ．2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是{f，c} ．3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数等于边数的两倍．4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数．5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．6．若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为W≤|S|．7．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．8．结点数v与边数e满足e=v-1 关系的无向连通图就是树．9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去4 条边后使之变成树．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．不正确，图G是无向图，当且仅当G是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G是否是连通的。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．错误．因为图G为中包含度数为奇数的结点．3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．解：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．错，没有提到面5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2 ，即为连通平面图，这里6-11+7=2三、计算题1．设G=<V，E>，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试(1) 给出G的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出其补图的图形．解：（1）G的图形如图十二（2）邻接矩阵：图十二⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡111111111111（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2（4）补图如图十三：2．图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形；（2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值．解：（1）G的图形表示如图十四：图十四（2）邻接矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111（3）粗线表示最小的生成树，如图十五如图十五最小的生成树的权为1+1+2+3=7：3．已知带权图G如右图所示．(1) 求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．四、证明题1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图．。

最小生成树

思路

假设 d 已知，把所有铺设线路的村庄连接起来，构成一个图。需要卫星设备的台数就是图的连通支的个数。 d越小，连通支就可能越多。那么，只需找到一个最小的d，使得连通支的个数小于等于卫星设备的数目。
结论

一个图的两棵最小生成树，边的权值序列排序后结果相同
把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序，称排好序的边权列表为有序边权列表，则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。（算法导论23.1-8）
答案

只需先求最小生成树，d 的最小值即为第 k 长边！
例题2：POJ 1639 Picnic Planning
矮人虽小却喜欢乘坐巨大的轿车，车大到可以装下无论多少矮人。某天，N(N≤20)个矮人打算到野外聚餐。为了集中到聚餐地点，矮人A 要么开车到矮人B 家中，留下自己的轿车在矮人B 家，然后乘坐B 的轿车同行；要么直接开车到聚餐地点，并将车停放在聚餐地。虽然矮人的家很大，可以停放无数量轿车，但是聚餐地点却最多只能停放K 辆轿车。给你一张加权无向图，描述了N 个矮人的家和聚餐地点，求出所有矮人开车最短总路程。
最小生成树

对于一个连通网（连通带权图，假定每条边上的权均为大于零的实数）来说，每棵树的权（即树中所有边的权值总和）也可能不同具有权最小的生成树称为最小生成树。
最小生成树

生成树

无向连通图的边的集合无回路连接所有的点所有边的权值之和最小

最小

Prim算法

假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的连通网， T=(U,TE)是G的最小生成树，U,TE初值均为空集。
int HeapPrim(const vector<vector<XEdge> > & G, int n) //G是邻接表,n是顶点数目，返回值是最小生成树权值和 { int i,j,k; XEdge xDist(0,0); priority_queue<XEdge> pq; vector<int> vDist(n); //各顶点到已经建好的那部分树的距离 vector<int> vUsed(n);//标记顶点是否已经被加入最小生成树 int nDoneNum = 0; //已经被加入最小生成树的顶点数目 for( i = 0;i < n;i ++ ) { vUsed[i] = 0; vDist[i] = INFINITE; } nDoneNum = 0; int nTotalW = 0; pq.push(XEdge(0,0));

离散数学最小生成树例题

离散数学最小生成树例题
离散数学最小生成树例题是：
给定一个带权无向图G，其中顶点集V={1，2，3，4，5}，边集E={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，5)，(3，5)}，权值集合W={1，2，3，4，5}。

用Kruskal算法求最小生成树。

首先对边集E和权值集合W按照边的权值从小到大进行排序；然后初始化一个空的并查集和一个空的森林；将并查集的根节点设置为第一个顶点，森林中添加这个顶点；对于每一条边，如果它的两个顶点不在同一个集合中，将这条边添加到森林中，并将这两个顶点合并到同一个集合中；最后森林中的边就是最小生成树。

离散数学试题库简答题

- - 优质资料编号题目答案题型分值大纲难度 11 设集合A={a ，b ，c ，d}上的关系R={<a , b > , ,< b, c > , < c ,d >}用矩阵运算求出R 的传递闭包t (R)。

答: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000001010010134R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M∴t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , , , , , < c , d > }简答题8 4.332如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价答: 用Kruskal 算法求产生的最优树。

算法略。

结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。

简答题8 7.2 3- - 优质资料最小。

3设<Z 6,+6>是一个群，这里+6是模6加法，Z 6={[0 ]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出<Z 6,+6>的所有子群。

答: 子群有<{[0]},+6>；<{[0],[3]},+6>；<{[0],[2],[4]},+6>；<{Z 6},+6>简答题8 8.3 34权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树。

7.2.3 最小生成树问题

12 E 38
25 C 17
25 C
25 C
D
(a) 连通网，U={A} cost={(A, B)34,(A, C)46, (A, D)∞,(A, E)∞,(A, F)19} 34 A 46 C 17 (d) U={A, F, C, D} cost={(A, B)34, (F, E)26} 19 B 26 12 E 38 A
34 19
B
12
B E 38 C D
12 E A
B
12 E
A
26 F 25
17 D
A
F
46
25
F 17 17 12 E F 25 17 A 19 F 25 C 17 D (e) B 12 26 E
C
C
D (c)
(a)
B A 19
(b) 12
E A 19
B
F
17 C (d) (f) D C
D
Kruskal方法构造最小生成树的过程
在算法7.2中，如果操作“在E'中选取最短边 (u, v)”用顺序查找，则算法7.2的时间性能是
O(n2)，如果采用堆排序的方法将集合E'中的边
建立堆，则选取最短边的操作可以是O(log2n)，
对于两个顶点是否连通以及是否会产生分枝，可
以用并查集的操作将其时间性能提高到O(n)，此
时算法7.2的时间性能为O(nlog2n)。
算法7.5——Kruskal算法
1. 初始化：U=V； TE={ }； 2. 循环直到T中的连通分量个数为1 2.1 在E中寻找最短边(u，v); 2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则 2.2.1 将边(u，v)并入TE； 2.2.2 将这两个连通分量合为一个； 2.3 E=E-{(u，v)}；

最小生成树(Minimal Spanning Tree，MST)问题

例7.6 最小生成树（Minimal Spanning Tree，MST）问题求解最小生成树的方法虽然很多，但是利用LINGO建立相应的整数规划模型是一种新的尝试。

这对于处理非标准的MST问题非常方便。

我们主要参考了文[7]。

在图论中，称无圈的连通图为树。

在一个连通图G中，称包含图G全部顶点的树为图G 的生成树。

生成树上各边的权之和称为该生成树的权。

连通图G的权最小的生成树称为图G 的最小生成树。

许多实际问题都可以归结为最小生成树。

例如,如何修筑一些公路把若干个城镇连接起来；如何架设通讯网络将若干个地区连接起来；如何修筑水渠将水源和若干块待灌溉的土地连接起来等等。

为了说明问题,以下面的问题作为范例。

范例：假设某电话公司计划在六个村庄架设电话线，各村庄之间的距离如图所示。

试求出使电话线总长度最小的架线方案。

为了便于计算机求解，特作如下规定：（1）节点V1表示树根；（2）当两个节点之间没有线路时，规定两个节点之间的距离为M（较大的值）。

MST的整数规划模型如下：Array运用WinSQB软件：Network Modeling1——3——4——2，，，，4——6——5 最短距离为8Solution for Minimal Spanning Tree Problem road07-25-2000 From Node Connect To Distance/Cost From Node Connect To Distance/Cost1 Node4 Node2 2 4 Node6 Node5 22 Node1 Node3 1 5 Node4 Node6 13 Node3 Node4 2Total Minimal Connected Distance or Cost = 8直接用人脑算：避圈法：把图中所以的点分为V 与_V 两个部分。

其步骤为：（1）从图中任选一点i v 为树根，让i v V ∈，图中其余的点均包含在_V 中。

图论-最小生成树

图论算法二、最小生成树算法.什么是图的最小生成树（MST）？不知道大家还记不记得关于树的一个定理：N个点用N-1条边连接起来，形成的图形只可能是树，没有别的可能。

一个有N个点的图，边一定是大于等于N-1条的。

图的最小生成树，就是在这些边中选择N-1条出来，连接所有的N个点。

这N-1条边的边权之和是所有方案中最小的。

.最小生成树用来解决什么问题？就是用来解决如何用最小的“代价”用N-1条边连接N个点的问题。

例如：城市公交网建设问题[问题描述]有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。

现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？.1.Prim算法根据图的基本定义，一个有n个点的图，它的最小生成树必定含有n个点，（n-1）条边。

prime算法所采取的是每条向树中添加的边，都采取贪心算法选取权值最小的进行。

2).算法时间复杂度：O (N算法描述：假设从s点开始生成最小生成树（一般s都设为1），dis[v]表示从v点到已生成的树的最短路径,w[I,j]表示i到j的距离，如果i，j不相连就设为无穷大。

pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

a)初始化：dis[v]=maxint(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=s; 起点s标记为未进入最小生成树; tot=0;b)For i:=1 to n1.在没有进入最小生成树的点中找一个到树的距离（dis[u]）最小的点u。

2.u标记为已经进入最小生成树3.tot = tot + dis[u];4.For 与u相连的每个未进入最小生成树的顶点v doif w[u,v]<dis[v] thenbegindis[v]:=w[u,v];pre[v]:=u;end；c)算法结束：tot为最小生成树的总权值；pre[v]为v的前驱节点，用来输出进入最小生成树的边。

离散数学大作业(求最小耗费)

离散数学大作业求最小耗费姓名：学号：班级：一、题目：离散数学作业如下图所示的赋权图表示某七个城市及预先算出它们之间的一些直接通信成路造价（单位：万元），试给出一个设计方案，使得各城市之间既能够通信又使总造价最小并计算其最小值.二、问题分析：为了求解最小代价，使花费的总代价最小，这是数学中经典的求解最小耗费生成树的算法。

其核心思想是寻找每一步的最优解继而求得全局最优解。

为了求得最小耗费生成树，我们运用数学中经典的Krusal算法，此算法的核心思想是：1、假设该图G是不连通的，对该图的边以非降序权重新排列2、对于排序表中的每条边，如果现在把它放入T不会形成回路的话，则把它加入到生成树T中；否则丢弃3、输出最小生成树的结果，得到我们想要的答案三、编程实现：#include <stdio.h>#include <limits.h>//用于检测整型数据数据类型的表达值范围#define N 100int p[N], key[N], tb[N][N];void prim(int v, int n){int i, j;int min;for (i=1; i <= n; i++){p[i] = v;key[i] = tb[v][i];}key[v] = 0;for (i = 2; i <= n; i++){min = INT_MAX;for (j = 1; j <= n; j++)if (key[j] > 0 && key[j] < min){v = j;min = key[j];}printf("最小耗费是：%d和%d ", p[v], v);key[v] = 0;for (j = 1; j <= n; j++)if (tb[v][j] < key[j])p[j] = v, key[j] = tb[v][j];}}int main(){int n, m;int i, j;int u, v, w;printf("请输入所求图的顶点数目和边的数目：\n");//输入所求的顶点数目和边数while (scanf("%d%d", &n, &m)){for(i = 1; i <= n; i++){for (j = 1; j <= n; j++)tb[i][j] = INT_MAX;}printf("请输入两条边的节点序号以及他们的权值：\n");while (m--) //输入所有边数以及他们的权值 {scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); //输入边数以及他们的权值tb[u][v] = tb[v][u] = w; //}prim(1, n);printf("\n");}return 0;}四、结果分析：因而最后求得的最小耗费是：此时的最小耗费是：23+1+4+9+3+17=57（万元）所求的最小耗费生成树为：。

数学建模最小生成树例题

数学建模最小生成树例题例题1：某城市计划建设一条高速公路，需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。

已知各个村庄之间的距离，请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。

例题2：一个通信网络由若干个节点和边组成，节点代表城市，边代表通信线路。

已知各个城市之间的距离和通信需求，请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构，以满足各个城市之间的通信需求。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的权重从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

2. Prim算法：首先选择权重最小的边加入生成树，然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树，直到所有边都加入生成树。

例题3：一个城市的电力网由多个节点和边组成，节点代表发电厂或变电站，边代表输电线路。

已知各个节点之间的电抗和传输功率，请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。

参考答案：最小生成树算法可以用于解决此类问题。

通过最小生成树算法，我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构，以满足各个节点之间的电力传输需求。

常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。

1. Kruskal算法：按照边的电抗从小到大排序，依次将边加入生成树，如果加入的边与已选择的边不构成环，则加入，否则不加入。

离散数学习题集及答案第6-7章图论含答案

第6-7章一．选择/填空1、设图G 的邻接矩阵为0101010010000011100000100，则G 的边数为( D )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．42、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( A )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的3、给定无向图G 如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（ B ）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e }4、图G 如下图所示，以下说法正确的是 ( D ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集5、无向图G 存在欧拉通路，当且仅当(D )．A ．G 中所有结点的度数全为偶数B ．G 中至多有两个奇数度结点C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数D ．G 连通且至多有两个奇数度结点6、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( A )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n −+B ．m n −C ．1m n ++D ．1n m −+7、已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（B ）．A ．8B ．5C ．4D ．38、已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 9、连通无向图G 有6个顶点9条边，从G 中删去 4 条边才有可能得到G 的一棵生成树T ．10、如右图相对于完全图K 5的补图为（A ）。

11、给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ B ）。

A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。

12、设D 是有n 个结点的有向完全图,则图D 的边数为( A ) (A))1(−n n (B))1(+n n (C)2/)1(+n n (D)2/)1(−n n 13、无向图G 是欧拉图,当且仅当( C )(A) G 的所有结点的度数都是偶数 (B)G 的所有结点的度数都是奇数(C)G 连通且所有结点的度数都是偶数 (D) G 连通且G 的所有结点度数都是奇数。

最小生成树题目

最小生成树文档========1. 图的表示和基本操作-----------在图论中，图是由顶点（vertices）和边（edges）组成的一种结构。

顶点通常用V表示，边用E表示。

一个边连接两个顶点，可以用一个有序对(u, v)表示一条从顶点u到顶点v的边。

无向图中的边没有方向，而有向图中的边有方向。

在图的操作中，常见的有添加/删除顶点，添加/删除边，查找顶点等。

在最小生成树算法中，主要涉及到的操作有添加/删除边，查找顶点等。

2. 最小生成树的定义和性质----------------最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是指一个连通无向图中，一个连接所有顶点的子图，使得所有边的权值和最小。

最小生成树具有如下性质：* 最小生成树是连通的，即任意两个顶点之间都有路径相连。

* 最小生成树的边数等于V-1，其中V是顶点的数量。

* 最小生成树的权值和等于所有边的权值和。

4. Kruskal算法---------Kruskal算法是一种基于贪心策略的最小生成树算法。

算法步骤如下：1. 将所有的边按照权值从小到大排序。

2. 初始化一个空的森林F。

3. 从第一条边开始，遍历所有的边，如果这条边的两个顶点在森林F中不连通，则将这条边加入森林F中，否则忽略这条边。

4. 如果森林F中的顶点数不等于V，则返回步骤3。

否则，森林F就是最小生成树。

Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E是边的数量。

该算法具有稳定性和可并行性。

但是由于需要维护森林的数据结构，实际实现起来比较复杂。

5. Prim算法-------Prim算法是一种基于贪婪策略的最小生成树算法。

算法步骤如下：1. 初始化一个空的集合C，用于存储已经访问过的顶点。

2. 从任意一个顶点开始，将其加入集合C中。

3. 对于每一个顶点v，计算它到集合C中所有已经访问过的顶点的最小距离。

将距离最小的边对应的顶点加入集合C中。

4. 如果集合C中的顶点数不等于V，则返回步骤3。

图论算法--最小生成树

最小生成树。在此例中，最小
生成树的权值之和为 39。
A, D, F, 无 B, E, C,
G
算法时间复杂度：O (N2)。【例 02】最优布线问题(wire) 【问题描述】
学校有 n 台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
率先选择了边 AD。这样我们的图就变成了左图
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南京外国语学校史钋镭
在剩下的变中寻找。我们找到了 CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了 6,7,7，即 DF，AB，BE。
下面继续选择，BC 或者 EF 尽管现在长度为 8 的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于 BC 可以通过 CE,EB 来连接，类似的 EF 可以通过 EB,BA,AD,DF 来接连）。所以不需要选择他们。类似的 BD 也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。最后就剩下 EG 和 FG 了。当然我们选择了 EG。
二、最小生成树用来解决什么问题？
就是用来解决如何用最小的“代价”用 N-1 条边连接 N 个点的问题。
【例 01】城市公交网建设问题【问题描述】
有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少？【输入格式】
}
int cmp(const point &a,const point &b){
//sort()自定义的比较函数

31树与最小生成树

教师：田检
9
如图，若取 S {v1 , v 4 }, 则G S 有3个连通分支，而 S 2, 故不满足必要条件，所以该图不是哈密尔顿图。
教师：田检
10
判断哈密尔顿图的充分条件很多，我们仅介绍一个。
定理8.4.2 设G＝〈V ,E〉是有n个结点的简单图， 1）如果任一对不相邻结点u， v∈V，均有 deg(u)＋deg(v)≥ n－1，则在G中存在一条哈密尔顿路； 2）如果任一对不相邻结点u， v∈V，均有 deg(u)＋deg(v)≥ n，则G是哈密尔顿图。证明略。
e
e
这两棵树与上页的树相比显然不具有优越性
教师：田检
22
无向连通图G的所有生成树中带权最小的那个称为最小生成树
如以下右图就是左图的最小生成树
a
900 120
100 400
b
370
a
120
100
b
370
c
450 200
d
c
200
d
e
教师：田检
e
23
避圈法
a
900 120
100 400
b
370
a
120
教师：田检
7
•
对右图，图中粗线给出了这样的回路。定义 8.4 给定图G，若有一条路通过G中每个结点恰好一次，则这样的路称为哈密尔顿路；若有一个圈，通过G中每个结点恰好一次(起点两次)，这样的圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）。具有哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。
教师：田检
900
200
悉尼
试分别用避圈法和破圈法求解最佳飞行网络

16-L.04 最小生成树

离散数学基础•单元内容提示−最小生成树问题−Prim 算法−Kruskal 算法•定义. 网络图的子图的权值−对无向网络 (G, w )，w 是一个非负实函数。

G =(V, E) 的一个子图 G’=(V’, E’) 的权值定义为()()e E w G w e ∈=∑''•定义. 最小生成树−无向连通网络 (G, w ) 的生成树 T 称为是网络的一棵最小生成树，如果在 G 的所有生成树中，w (T) 最小。

•Kruskal 算法1. (G, w ) 为无向网络，n =|V|。

(1)排序：将 E 中所有边按权值按非递减次序构成排列 L ；(2)T ← ∅；// T 由其含有的边标记(3)While L ≠ ∅ and |T|<n ‐1(4)Begin (5)e = getfirst (L)；L=L ‐{e }；(6)if T ∪{e } 中不存在回路 then T=T ∪{e }；(7)End输出： |T|<n ‐1 时 G 不连通，否则输出 T 。

•例： Kruskal 算法1。

2017-11-20边排序：ab, fe, bc, bf, af, ce, cd, de•例： Kruskal 算法1。

•将所有边按照非递减排序后，选边的次序是：选中144，选中184，选中187，选中337（形成森林），选中621，放弃740，选中802，放弃849，放弃867，选中946，放弃1090，放弃1121，选中1235，现在有8条边背选中，算法结束。

结果的最小生成树如下：•Kruskal 算法是一种寻求局部优化的贪心算法，但得到了一个全局最优解。

•定理1.−对无向连通网络 (G, w) 使用 Kruskal 算法1得到的 T 是 G 的一棵最小生成树。

−证明：由下面的引理1和引理2易得到。

•引理1.−对无向连通网络 (G, w) 使用 Kruskal 算法1得到的 T 是 G 的一棵生成树。

第十二章(最小生成树)

第十二章最小生成树路；连通图；圈。

树：连通，且不含圈。

一个树中：点个数减1等于边个数。

若图G中的一个树包含了G的全部顶点（通常会少一些边），则称该树为图G的一个生成树。

同一个图可能有多个生成树，比较每个生成树的权，最小者称为最小生成树。

求一个给定图的最小生成树：法一：Kruskal算法（1）全部边，按权全从小到大排列，取出第一个边放入集合T ；（2）从剩余的边中取出权最小的，若该边与T中边能组成圈，则去掉该边，否则将该边放入集合T ；（3）重复（2）的工作，直至全部顶点出现，则T 就是最小生成树。

法二：Prim算法（1）从顶点集V中任取一个顶点，放入集合S；（2）考虑V\S的点与S的点之间的边，从中取权最小者放入集合T，对应的点放入S；（3）重复（2），直至S包含全部顶点，则T就是最小生成树.手工做Kruskal或Prim计算都很容易，但只适用于规模小（即：顶点数、边数都不大）的图。

例：手工做P189之操练题。

更重要的，还是用机器做：1．用Matlab实现Kruskal算法输入“边权矩阵”b，顶点数n，将b的列，按第三行从小到大排序，命令为b=sortrows(b’,3)’关键是如何让机器识别“某个边是否与T中边组成圈”。

这样设计：共有n个顶点1,2,…,n，用t表示i顶点i的标记，初始令it；集合T中边的任何一组i端点，只要它们沿着T中的路连通就令它们的标记相同，都等于这组端点的最小标记；对于T外的一条边，“它与T中边组成圈”的充分必要条件是“它的两个端点的标记相等”。

下面程序（函数M---文件）就是根据“边权矩阵”b用Kruskal算法给出最小生成数T：function [T,quan]=syp175hswj(b)n=max(max(b(1:2,:)));m=length(b(1,:));b=sortrows(b',3)';t=1:n;k=0;quan=0;for j=1:mif t(b(1,j))~=t(b(2,j))k=k+1;T(k,:)=b(:,j)';quan=quan+b(3,j);xbh=min(t(b(1,j)),t(b(2,j)));dbh=max(t(b(1,j)),t(b(2,j)));for i=1:nif t(i)==dbht(i)=xbh;endendendif k==n-1breakendend如：输入P172图12.1的边权矩阵b=[1,1,1,2,2,3,3,4;2,4,5,3,5,4,5,5;8,1,5,6,7,9,10,3]；再调用函数文件[T,quan]=syp175hswj(b)输出结果：T =1 4 14 5 32 3 62 5 7quan =17再做P189之操练题：b=[1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,9,10;2,8,9,3,9,4,10,5,11, 6,11,7,11,8,10,9,10,11;2,1,8,1,6,2,3,9,7,4,2,1,1,9,4,7,1,6]; [T,quan]=syp175hswj(b)输出结果：T =1 8 12 3 16 7 16 11 19 10 11 2 23 4 25 11 23 10 37 10 4quan =182．用Matlab实现Prime算法Prime算法的函数文件：function [T,quan]=syp177hswj(a)n=length(a(1,:));lh=ones(1,n);lh(1)=0;gs=1;k=0;quan=0; while gs<nzx=Inf;for i=1:nfor j=1:nif lh(i)==0&lh(j)==1&a(i,j)<zxzx=a(i,j);zxi=i;zxj=j;endendendlh(zxj)=0;k=k+1;gs=gs+1;quan=quan+zx;T(k,:)=[zxi,zxj,zx];end书P177之例2：cleara=[0,8,Inf,1,5;8,0,6,Inf,7;Inf,6,0,9,10;1,Inf,9,0,3;5,7,10,3, 0];[T,quan]=syp177hswj(a)书P189之Prime算法：cleara=ones(11,11)*Inf;for i=1:11a(i,i)=0;enda(1,2)=2;a(1,8)=1;a(1,9)=8;a(2,3)=1;a(2,9)=6;a(3,4)=2;a( 3,10)=3;a(4,5)=9;a(4,11)=7;a(5,6)=4;a(5,11)=2;a(6,7)=1; a(6,11)=1;a(7,8)=9;a(7,10)=4;a(8,9)=7;a(9,10)=1;a(10,11 )=6;a(2,1)=2;a(8,1)=1;a(9,1)=8;a(3,2)=1;a(9,2)=6;a(4,3)=2;a( 10,3)=3;a(5,4)=9;a(11,4)=7;a(6,5)=4;a(11,5)=2;a(7,6)=1; a(11,6)=1;a(8,7)=9;a(10,7)=4;a(9,8)=7;a(10,9)=1;a(11,10 )=6;[T,quan]=syp177hswj(a)。