树分解定理
四叉树分解法
四叉树分解法四叉树分解法（Quadtree Decomposition）是一种常用的数据结构和算法，用于处理多维空间中的数据。
它将空间划分为四个象限，并将数据按照其位置放入相应的象限中，从而实现高效的数据存储和检索。
1. 背景介绍多维空间中的数据处理是计算机科学中的重要问题之一。
传统的数据结构如数组、链表等在处理多维数据时效率较低，而四叉树分解法则能够有效地解决这一问题。
四叉树分解法最早由Burkhard和Keller于1973年提出，被广泛应用于计算机图形学、地理信息系统等领域。
2. 原理与构造四叉树分解法是一种递归的数据结构，它将一个二维空间划分为四个相等的象限，并将数据按照其位置放入相应的象限中。
每个节点可以有四个子节点，如果一个象限中的数据过多，就可以继续将该象限划分为四个子象限，直到满足某个终止条件为止。
3. 插入数据在四叉树中插入数据时，首先需要找到数据所在的象限。
如果该象限已经有子节点，则递归地将数据插入到子节点中；如果该象限没有子节点，则创建子节点并将数据插入。
4. 查询数据在四叉树中查询数据时，首先需要确定查询范围所在的象限。
如果该象限完全包含在查询范围内，则将该象限中的所有数据返回；如果该象限与查询范围有交集，则递归地查询子节点中的数据。
5. 删除数据在四叉树中删除数据时，首先需要找到数据所在的象限。
如果该象限中只有一个数据，则直接删除；如果该象限中有多个数据，则递归地删除子节点中的数据。
6. 应用领域四叉树分解法在计算机图形学中的应用非常广泛。
例如，在图像压缩中，可以使用四叉树分解法将图像划分为多个小块，并根据每个小块的灰度值来判断是否需要进一步细分。
在地理信息系统中，四叉树分解法可以用于快速检索地理数据，如地图上的点、线、面等。
7. 优缺点分析四叉树分解法的优点是能够高效地存储和检索多维数据，尤其适用于稀疏数据。
它的缺点是对于密集数据的存储和检索效率较低，而且在数据更新频繁的情况下，维护四叉树结构的开销较大。
树枝分解法
树枝分解法树枝分解法是一种解决问题的方法，它将复杂的问题逐步分解为简单的子问题，并通过求解子问题的方式来解决原始问题。
树枝分解法可以应用于各种领域，如计算机科学、数学、物理学等。
在本文中，我们将探讨树枝分解法的一般原理和应用。
一、树枝分解法的原理树枝分解法的基本原理是将一个复杂的问题分解为多个相对简单的子问题，并通过求解这些子问题来解决原始问题。
这种分解可以形成一棵树状结构，其中树的根节点表示原始问题，叶子节点表示最简单的子问题。
通过逐个求解叶子节点，然后逐层向上汇总结果，最终可以得到原始问题的解。
二、树枝分解法的步骤树枝分解法通常包括以下几个步骤：1. 确定原始问题：首先需要明确原始问题是什么，以及需要求解的目标是什么。
2. 分解问题：将原始问题分解为多个相对简单的子问题，可以使用递归、迭代或其他方法进行分解。
3. 求解子问题：逐个求解子问题，可以使用适当的算法、技术或工具来解决。
4. 汇总结果：将子问题的解逐层向上汇总，得到原始问题的解。
5. 验证解答：对得到的解答进行验证，确保其符合原始问题的要求。
三、树枝分解法的应用树枝分解法可以应用于各种问题的求解过程中。
以下是一些典型的应用场景：1. 图像处理：树枝分解法可以用于图像处理中的图像分割、边缘检测、目标跟踪等问题的求解。
2. 优化问题：树枝分解法可以用于解决优化问题，如最短路径问题、旅行商问题等。
3. 数据挖掘：树枝分解法可以用于数据挖掘中的分类、聚类、关联规则挖掘等问题的求解。
4. 人工智能：树枝分解法可以用于人工智能领域中的问题求解，如机器学习、自然语言处理等。
5. 运筹学：树枝分解法可以用于运筹学中的调度、资源分配等问题的求解。
四、树枝分解法的优势树枝分解法具有以下几个优势：1. 可扩展性：树枝分解法可以灵活地处理各种规模的问题，从小规模问题到大规模问题都可以有效求解。
2. 模块化：树枝分解法将问题分解为多个模块，使得问题的求解过程更加清晰和易于管理。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
树枝分解法分解素因数
树枝分解法分解素因数
小朋友，树枝分解法分解素因数听起来是不是有点复杂呀？嘿嘿，其实它没有那么难，让我来给你讲讲。
比如说，我们要分解60 这个数的素因数。
那我们就像画树枝一样来做。
首先，把60 写在最上面，就好像是树的树干。
然后呢，找两个数相乘等于60，比如6 和10 。
那6 和10 就像是从树干分出来的两个树枝啦。
接着，再看6 ，它还能分成2 和3 ，这2 和3 可都是素数哟，就像是小树枝不能再分啦。
再看10 ，它能分成2 和5 ，这2 和5 也都是素数，也是不能再分的小树枝。
那60 分解素因数就是2×2×3×5 。
你说这是不是很有趣？就像把一个大苹果一点点切成小块一样！
再比如说84 ，我们还是用树枝分解法。
先把84 写在最上面，然后想想，84 可以分成12 和7 。
12 又能分成2 和6 ，6 还能分成2 和3 。
7 可没办法再分啦，它本身就是素数。
所以84 分解素因数就是2×2×3×7 。
你看，我们通过这样像画树枝一样的方法，就能把一个数的素因数都找出来啦！
这树枝分解法就像我们在探险，一点点找到数字的秘密，是不是超级好玩？
哎呀，我觉得这种方法可比那些干巴巴的数学定义有趣多啦！它让我们像是数字世界的小侦探，一点点揭开数字背后的神秘面纱。
我相信，只要你多练习几次，用树枝分解法分解素因数对你来说就是小菜一碟！你说对不对？
我的观点就是：树枝分解法分解素因数是一种既有趣又实用的方法，能让我们轻松搞定数学难题，让我们更爱数学！。
离散数学 树(思维导图)
树
1
无向树:连通且不含任何简单回路的无向图称为无向树,简称树。
树中度数为1的顶点称为叶子，度数大于1的顶点称为分枝点
2
树的相关性质
定理1 : 设n(n≥2)阶无向连通图G的边数满足m=n-1,则图G中至少存在两个度数为
1的顶点
定理2 : 设T是(n，m)-无向图，则下述命题相互等价
1.T是树，即T连通且不存在简单回路
2.T的每一对相异顶点之间存在唯一的简单道路
3.T不存在简单回路，但在任何两个不相邻的顶点之间加一条新边后得到的图中存
在简单回路。
(也称作“极大无圈”)
4.T连通，但是删去任何一边后便不再连通，即T 中每一条边都是桥。
(也称作“极
小连通")
5.T是树，即T连通且不存在简单回路
6.T连通且m=n-1
7.T不存在简单回路且m=n-1
定理3 : 无向树都是平面图。
定理4 : 假设无向树T中有aᵢ个度数为i的顶点，aᵢ则T的叶子数为\sum \limits
_{i=3}(i-2) \times a_{i}+2
生成树 : 若连通图G的支撑子图T是一棵树，则称T为G的生成树
或支撑树 一个连通图可以有多个不同的支撑树。
最小生成树 : 给定一个无向连通赋权图，该图所有支撑树中各
边权值之和最小者称为这个图的最小支撑树。
kruskal算法
备注：
1. 根据这个定义，一阶简单图K₁也是树，称作平凡树,它是一个既无叶子又无分枝点的特殊树 由定义可知，树必定是不含重边和自环的，即树一定是简单图。
不含任何简单回路的图称为森林(显然，森林的每个连通分支都是树
2. 无向,连通,m=n-1。
第3章-1 树分解
非线性结构 之 树
16
2020/10/18
完全二叉树的特点
除最后一层外，每一层都取最大结点数， 最后一层结点都有集中在该层最左边的若 干位置。
叶结点只可能在层次最大的两层出现。 对任一结点，若其右子树的深度为m，则
的零结点为分支结点。 树中结点的子树的根结点称为该结点的子
结点。相反，称该结点为孩子结点的双亲 结点。
非线性结构 之 树
5
2020/10/18
基本术语
一个结点的直接后继结点是兄弟结点， 他们拥有相同的双亲结点。
祖先结点是从根结点达到某结点所经过分 支上的所有结点称为该结点的祖先。子孙 结点以某结点为根的子树中的任一结点都 称为该结点的子孙。
B=n1+2*n2
(3)
由（2）式和（3）式，得：
n=n1+2*n2+1
(4）
由（1）式和（4）式，得：
n0+n1+n2=n1+2*n2+1，
立得：
n0=n2+1，
即：
二叉树中的叶子结点数=度为2的结点数+1。
非线性结构 之 树
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2020/10/18
两个定义
满二叉树 —— 是指高度 为k且有2k-1个结点的二 叉树。
二叉树的性质
性质三：在任意一棵二叉树中，度为0,1,2的
结点数分别为n0,n1,n2，则有：n0=n2+1。
因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2，故结点总数为
n=n0+n1+n2
(1)
又因为：在二叉树中，除根结点外，其余结点都有一个分支进
入，设B为分支总数，则有：
n=B+1
矩阵树定理证明
矩阵树定理证明
矩阵树定理是图论中的一个经典定理，用于计算一个无向图的生
成树数量。
该定理指出，一个无向图的所有生成树数量等于其任意一
个基尔霍夫矩阵的任意一个n-1阶行列式。
基尔霍夫矩阵是无向图的一个矩阵表示，其中每个元素都是该边
的权值或为0。
n-1阶行列式是基尔霍夫矩阵任取n-1行n-1列后所得
矩阵的行列式。
该定理的证明需要用到线性代数中的一些概念和定理，例如矩阵
的行列式性质、伴随矩阵、克拉默法则等。
其中重要的一步是，利用
伴随矩阵计算基尔霍夫矩阵的任意一个n-1阶行列式，将其表示为图
中任意一个割的权值和的乘积。
该定理的证明比较复杂，需要较强的线性代数基础和抽象思维能力。
但是，它为计算无向图生成树数量提供了一种简单而有效的方法，是图论中的一个重要结果。
模糊上下文无关树文法的分解定理和表现定理
１ 模糊上下文无关树文 法
定义 １ ｌ ．１ｌ 模 糊 上 下 文 无 关 树 文 法
３
（ｃ Ｆ ｎＢ） 义为 五 元组 ｃ ＝ （ Ａ， Ｐ，）其 中 定 互， Ｘ， ｆ ，
采用左括号表示 ； （ ． ： ， ≠ ， ， ）
） ．． ， ）
， ≠ ，． （ （ ０
（ ）＝ （ ｊａ ａ ｓ ）＝
Ｖ
（（， ｆ ｒ）Ａ， ） （
＝ｒ ｌ ’ ∈Ｐ
Ａ … ＾ ， ） ， 中 ａＣ ． －Ａ为起 始符 ， （ ）其 －互 ＳＣ
作者简介： 程
￣（９７） ． １７．女 硕士生
维普资讯
１２ ２
￡ （ ）ｃ Ｌ ） 由分解 定理 （） （）可得 Ｇ （ ） （ ， １和 ２
＝
Ｖ Ｌ ） （ ） ｃｙ Ｌ ）＝Ｇ 因而 （ ｃＶ Ｌ （ ） ａ （ ．
Ｄ （ ）故 日（ ） ２ ． ． （ ）（ Ｖ口＜ ， ２ 试） 有
定义 １ ．
将 Ｆ Ｆ Ｇ中所有 产生式隶 属度 Ｃｒ
模 糊 上 下 文 无关 树 文法 的分 解 定理 和 表 现 定理
程 限 ， 莫 智 文
（ Ｊ师范大学 教学与软件科学学院 ， Ｉ成都 ６０嘶） 四 Ｉ Ｉ 瑚Ｊ ｌ １０
摘要 ； 义 了 糊上 下文无关树文法 （ｃ Ｂ）讨论了其构 造性质 ， 定 模 Ｆ兀 ， 给出了其分 解定理及 表现定理 ， 从 两个不同的角度 ， 阐明了 ＦＹＧ与非模糊上下文无关树文法 的代 数结 构之阃 的关系 ， 了将 ＦＦ￣转化 Ｃｒ ． 提供 ＣＩ
为普 通文ｊ 害问题 的方法 ．
关ｔ 词 ： 糊上下文无关树 文法 ； 模 分解定理 ； 表现定理
六年级树形结合的知识点
六年级树形结合的知识点在六年级的数学学习中，树形结合是一个重要的知识点。
通过学习树形结合，学生们可以更好地理解和应用各种数学概念和运算规则。
本文将从不同角度介绍六年级树形结合的知识点。
一、树形结合的概念树形结合是指将一组数或算式按照树的形状进行排列组合，并根据树的结构进行运算的方法。
在树形结合中，每个数或算式都是树的一个节点，而运算符号则是树的分支。
通过将数和运算符号按照特定顺序排列组合，可以得到不同的运算结果。
二、树形结合的应用1. 算式求值在树形结合中，可以将算式按照树的形式排列，然后利用树的结构进行运算。
例如，对于算式4 + (3 - 2)，可以将其排列为如下的树形结合结构：+/ \4 -/ \3 2按照从树顶向下的顺序进行运算，首先计算子树3 - 2的值为1，然后将结果与根节点上的+运算符结合，得到最终的结果5。
2. 算式展开树形结合还可以用于算式的展开。
通过将树形结合中的算式按照从上到下的顺序展开，可以将复杂的算式转化为简单的部分。
例如，对于算式4 × (2 + 3)，可以将其展开为4 × 2 + 4 × 3，然后再进行运算。
3. 方程求解树形结合还可以应用于方程求解。
通过将方程按照树形结合的方式排列，可以更清晰地观察方程中各个元素之间的关系，并找到解的方法。
例如，对于方程3x + 2 = 8，可以将其排列为如下的树形结合结构：=/ \3x + 2 8通过对树形结合的观察，可以发现3x + 2与8相等，从而得到方程的解x = 2。
三、树形结合的特点1. 顺序不变性在树形结合中，无论如何改变树的排列顺序，所得的运算结果都是相同的。
这种性质称为顺序不变性。
2. 层次性树形结合中的算式按照从上到下的层次排列。
每一层的运算结果都是由上一层的运算结果得出的。
这种性质称为层次性。
3. 分解与合并树形结合可以将复杂的算式分解为简单的部分，然后再进行合并。
这种分解与合并的过程有助于理解和解决问题。
离散数学——树
例16.2
例16.2 7阶无向图有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度 数均无1和3。试画出满足要求的所有非同构的无向树。
解答 设Ti为满足要求的无向树，则边数mi＝6，于是 ∑d(vj)＝12＝e+3+d(v4)+d(v5)+d(v6)。
由于d(vj)≠1∧d(vj)≠3，而且d(vj)≥1且d(vj)≤6，j＝4,5,6， 可知d(vj)＝2，j＝4,5,6。于是Ti 的度数列为
s
s
s
m mi (ni 1) ni s n s
i 1
i 1
i 1
由于s≥2，与m＝n-1矛盾。
(4)(5)
如果G是连通的且m＝n1，则G是连通的且G中任何边均为桥。
只需证明G中每条边均为桥。 e∈E，均有|E(G-e)|＝n-1-1＝n-2， 由习题十四题49（若G是n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1）可
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
(1)(2)
如果G是树，则G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。
存在性。 由vj(Gvi的v连j)通存性在及通定路理，1则4.vi5到的v推j 一论定（存在在n阶长图度G小中于，等若于从n顶-1点的v初i到 级通路(路径)）可知，
u,v∈V，u与v之间存在路径。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
质数分解定理
质数分解定理质数分解定理：了解数的真相数学是自然科学的一种基础学科，其研究对象既涵盖了抽象的概念，也包含了具体的实体。
其中一个重要知识点便是质数分解定理。
它不仅是数学学科的基础知识，也是科学技术的重要实用数学工具。
下面我们将从定义、特性和应用等方面介绍这一有趣而又极其重要的数学理论。
一、质数分解定理的定义质数分解定理又叫素因子分解，是指任意一个正整数都可以唯一地表示成一系列质数乘积的形式。
其中所用的质数是唯一的，乘积顺序不同，但所乘的质数不同所得到的积不同。
例如，正整数60可以表示为2×2×3×5的形式，而2、3、5是质数，且只有这三个质数可以将60表示出来，且其分解式唯一。
二、质数分解定理的特性1. 质数分解定理的唯一性每个正整数都可以表示为若干个质数的积形式，而且所使用的质数是唯一的。
也就是说，对于任意一个正整数n，如果按照其质因子的极小值和极高值的组合来分解，它们最后所得到的积仍然是n。
2. 质数分解定理的存在性任意一个大于1的正整数n，都可以分解为若干个质数的积。
这也就是说，质数是数学中最基本的单元，任何数都可以拆分成质数的乘积。
3. 质数分解定理的唯一分解定理质数分解定理的最重要的特性是唯一分解定理。
它指的是一个数以质数形式唯一分解的性质。
在质数分解中，唯一性是指不管以任何顺序，采用哪些质数相乘，所得到的数都是唯一的，不存在两个不同的分解形式，这个性质方便人们进行数学证明和计算。
三、质数分解定理的应用1. 密码技术在现代密码学技术中，质数分解定理扮演着至关重要的角色。
它可以用于RSA公钥算法的加密和解密过程中。
通过把一个数字分解成若干个质数的乘积，就可以保证这一过程的安全性。
2. 数论在数论中，质数分解定理是一个重要的基础知识。
通过了解和应用这一理论，可以帮助人们更好地研究数学理论、提高推理能力和解题能力。
3. 金融业在金融衍生品领域，质数分解定理也是一个特别重要的应用。
定理713：霍夫曼算法得到的带权w1,w2,,wn的二分树是最优树分PPT课件
❖ 下面考虑G是; 连通图情况。
❖ (2) κ(G)≤λ(G) ❖ 若G是不连通图或平凡图，则κ(G)=0=λ(G)，结论成
立。
❖ 下面考虑G是连通图情况。
❖定定义义88.5.4：:若若图图GG的的κ边(G连)≥通k，度称λ(GG是)≥k-$连, 称通G的是k-
❖边例连如通图的G。3的点连通度是2，所以它是2-连通的, 例也如是图1-G连3的通边的连, 但通不度是是32-连, 所通以的它。是2-边连通
❖ (1) v是G的一个割点。
❖ (2)对于顶点v, 存在两个不同的顶点u和w, 使顶点v在 每一条从u到w的路上。
❖ (3)存在V-{v}的一个分成U和W的划分, 使对任意两 顶点 uU和wW，顶点v在每一条从u到w的路上。
❖ 定理 8.3：设G是顶点数n≥3的连通图, 下列论断是等 价的:
❖ (1)G中没有割点。 ❖ (2)G的任意两个顶点在同一条回路上。 ❖ (3)G的任意一个顶点和任意一条边在同一条回路上。 ❖ (4)G的任意两条边在同一条回路上。 ❖ 定义 8.6：有割点的非平凡连通图称为可分图。没
❖ 树是最小的连通图，删去任何一条边，必定 不连通。
第八章 连通度，运输网络，匹配
❖ 8.1 连通度与块
❖ 为了衡量一个图的连通程度, 定义图的两个不 变量:
❖ 点连通度和边连通度。
❖ 一、点连通度与边连通度
❖ 1. 点连通度 ❖ 定义 8.1：设图G的顶点子集V'，若 (G-
V')>(G)，则称V'为G的一个点割。|V'|=1时, V'中的顶点称为割点。 ❖ 点割是集合，割点是顶点。
有割点的非平凡连通图称为不可分图。
❖ 顶点数n≥3的不可分图是2-连通图, 又称双连通图,
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
价值树分解模型
价值树分解模型一、概述价值树分解模型是一种用于分析和量化复杂问题的方法。
它可以帮助我们理清问题的层次结构，从而更好地理解和解决问题。
本文将介绍价值树分解模型的基本概念、应用场景以及具体的分解步骤。
二、基本概念2.1 价值树价值树是指将一个问题或目标分解成多个层次的树状结构。
它由根节点、中间节点和叶子节点组成，根节点代表问题或目标，中间节点代表问题或目标的子问题或子目标，叶子节点代表具体的任务或行动。
2.2 价值价值是指某个节点对于上一级节点的重要程度或贡献度。
在价值树中，每个节点都有一个相对于其父节点的价值，通过对各个节点的价值进行量化，可以帮助我们更好地理解问题的层次结构和解决方案的优先级。
2.3 分解分解是指将一个节点拆分成多个子节点的过程。
通过逐层分解，可以将一个复杂的问题或目标分解成多个简单的子问题或子目标，从而更好地理解和解决问题。
三、应用场景价值树分解模型可以应用于各种复杂问题的分析和决策过程中。
以下是一些常见的应用场景：3.1 项目管理在项目管理中，我们经常需要将整个项目的目标和任务分解成多个子目标和子任务，以便更好地进行计划和执行。
价值树分解模型可以帮助我们理清项目的层次结构，确定各个子目标和子任务的优先级，从而提高项目管理的效率和成功率。
3.2 产品设计在产品设计过程中，我们需要考虑各个功能和特性对于产品整体的价值和贡献。
通过价值树分解模型，我们可以将产品的目标和需求分解成多个子目标和子需求，从而更好地评估和优化产品的功能和特性。
3.3 组织战略在制定组织战略时，我们需要考虑各个战略目标的重要程度和贡献度。
通过价值树分解模型，我们可以将组织战略分解成多个子目标和子行动，从而更好地确定各个战略目标的优先级和执行计划。
四、分解步骤价值树分解模型的分解步骤如下：4.1 确定根节点首先，确定问题或目标作为价值树的根节点。
根节点应该是一个明确的问题或目标，能够清晰地表达我们想要解决或达到的结果。
逻辑树分析法
逻辑树分析法
逻辑树又称问题树、演绎树或分解树等。
麦肯锡分析问题最常使用的工具就是“逻辑树”。
逻辑树是将问题的所有子问题分层罗列，从最高层开始，并逐步向下扩展。
把一个已知问题当成树干，然后开始考虑这个问题和哪些相关问题或者子任务有关。
每想到一点，就给这个问题（也就是树干）加一个“树枝”，并标明这个“树枝”代表什么问题。
一个大的“树枝”上还可以有小的“树枝”，如此类推，找出问题的所有相关联项目。
逻辑树主要是帮助你理清自己的思路，不进行重复和无关的思考。
逻辑树能保证解决问题的过程的完整性;它能将工作细分为一些利于操作的部分;确定各部分的优先顺序;明确地把责任落实到个人。
逻辑树是所界定的问题与议题之间的纽带;它能在解决问题的小组内建立一种共识。
判断树原理
判断树原理判断树原理是指在逻辑学和计算机科学中，用于描述一种特定的逻辑推理方法。
它是一种基于树形结构的推理方法，通过不断地将问题进行分解，最终得到问题的解决方案。
判断树原理在人工智能、决策分析、逻辑推理等领域有着广泛的应用，对于解决复杂的问题具有重要的意义。
首先，我们来看一下判断树原理的基本概念。
判断树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点表示一个判断或决策，而边表示不同的判断结果或决策选择。
在判断树中，从根节点开始，通过不断地进行判断或决策，最终到达叶子节点，从而得到问题的解决方案。
判断树的构建过程就是问题分解和决策选择的过程，通过将问题分解为更小的子问题，然后对每个子问题进行决策，最终得到整个问题的解决方案。
其次，判断树原理的应用非常广泛。
在人工智能领域，判断树被广泛应用于专家系统、决策支持系统等方面。
专家系统利用判断树原理对专家知识进行建模和推理，从而实现对复杂问题的智能化解决。
在决策支持系统中，判断树可以帮助决策者进行决策分析，通过构建判断树模型，对不同的决策方案进行评估和比较，从而选择最优的决策方案。
此外，判断树原理还在逻辑推理和问题求解方面发挥着重要作用。
在逻辑推理中，判断树可以帮助人们进行推理和论证，通过构建判断树模型，对不同的假设进行分析和比较，从而得出合理的结论。
在问题求解方面，判断树可以帮助人们对复杂的问题进行分解和分析，通过构建判断树模型，逐步解决每个子问题，最终得到整个问题的解决方案。
总的来说，判断树原理是一种重要的逻辑推理方法，它通过树形结构的方式，对问题进行分解和决策，从而得到问题的解决方案。
判断树在人工智能、决策分析、逻辑推理等领域有着广泛的应用，对于解决复杂的问题具有重要的意义。
希望通过本文的介绍，读者能对判断树原理有一个更加深入的了解，从而在实际应用中能够更好地运用判断树方法解决问题。
第4讲-生成树
图G
· u·
·v ···w
· x··
图G的生成树T
· u·
·v ···w
· x··
T的余树
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割集
• 割集的定义：连通图G的一个边集 BE（G），如果它是使得G-B不 连通的极小边集，则称B为G的割 集。
• 例：图的割集
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2.2 割 集
定义：连通图G的一个边集BE(G)，如果它是使G-B不连通的
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定理2.6 设B为连通图G的割集，则ω(G-B)=2 证：用反证法。 设 B为连通图G的割集，且ω(G-B)≥3，将B中任一边e添回到GB中，一条边只能使两分支连接，故G-B+e仍是不连通的，而 B-e是B的真子集，这与B为极小边集矛盾，故ω(G-B)=2。
*割边为只含一条边的割集。
记号：对V 的子集V1 和V2，用[V1,V2]表示一个端点在V1 中另 一个端点在V2 中的所有边的集。 定义：若S ⊂V，记 S V/S，则边集 [ S ，S ] 称为G 中的割。
• 等价说法：图G中的割点v为满足于 ω（G-v）> ω（G）的顶点v。
• G-v是什么？ ω（G）是什么？
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关于割点的结论
• 定理： v为图G的割点的充要条件是G 中存在与v不同的两个顶点u和w，使 得图G所有的uw路都通过v。
• 证明？
• 定理：树G中的每个d(v) > 1的顶点
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破圈法求解结果
v2
1
3
v1
3
3 v7
v6
v3 7
2 v4
v5
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树的几个证明
定理1 无向图T是树，当且仅当以下五条之一成立。
（1）T中无回路且m=n-1，其中m为边数，n为顶点数。
（2）T是连通图且m=n-1。
（3）T中无回路，但增一条边，则得到一条且仅一条初级回路。
（4）T连通且每条边均是桥。
（5）每对顶点间有唯一的一条初级通路。
证明①由树的定义可得（1）。
对顶点数n作归纳。
当n=1时，m=0，则m=n-1成立。
假设当n=k时，m=n-1成立。
则当n=k+1时，因为树是连通的且无回路，所以至少有一个度数为1的顶点v，从树中删去v和与它关联的边，则得到k个顶点的树T′。
根据假设它有k-1条边，现将v和与它关联的边加到T′上还原成树T，则T有k+1个顶点，k 条边，边数比顶点数少1，故m=n-1成立②由（1）可得（2）。
再证反证法，若图T不连通，设T有k个连通分支T1，T2，…，Tk（k≥2），其顶点数分别为n1，n2，…，nk，则有n1+n2+…+nk=n边数分别为m1，m2，…，mk，则有m1+m2+…+mk=n其中：m1=n1-1,m2=n2-2,……mk=nk-1.因此，有m=n1+n2+……+nk-k=n-k<n-1即m＜n-1，这与m=n-1矛盾，故T是连通的m=n-1图。
③由（2）可得（3）。
若T是连通图并有n-1条边。
施归纳于顶点数n。
当n=2时，m=n-1=1，所以没有回路，如果增加一条边，只能得到唯一的一个回路。
假设n=k时，命题成立。
则当n=k+1时，因为T是连通的并有n-1条边，所以每个顶点都有d（v）≥1，并且至少有一个顶点v0，满足d（v0）=1。
否则，如果每个顶点v都有d（v）≥2，那么必然会有总度数2m≥2n，即m≥n，这与条件m=n-1矛盾。
因此至少有一个顶点v0，满足d（v0）=1。
删去v0及其关联的边，得到图T′，由假设知T′无回路，现将v0及其关联的边再加到T′，则还原成T，所以T没有回路。
如果在连通图T中增加一条新边（vi，vj），则（vi，vj）与T中从vi到vj的一条初级路径构成一个初级回路，且该回路必定是唯一的，否则当删去新边（vi，vj）时，T中必有回路，产生矛盾。
萨维奇定理证明
萨维奇定理证明
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目录
1.萨维奇定理的概述
2.萨维奇定理的证明方法
3.萨维奇定理的应用
4.萨维奇定理的结论
正文
1.萨维奇定理的概述
萨维奇定理（Savitch"s theorem）是图论中的一个著名定理，它指
出对于任意一个无向树，其边数与节点数之和等于节点数加一。
换句话说，无向树的边数等于节点数减一。
这个定理在图论的研究中具有重要地位，它为许多图论问题的求解提供了便利。
2.萨维奇定理的证明方法
萨维奇定理的证明方法并不复杂，它主要依赖于基本的组合数学知识。
首先，对于一个无向树，我们可以知道其节点数为 n，边数为 e。
根据组合数学中的知识，无向树的生成树（即无向树的一棵生成树）的边数为 n-1，因为生成树是指无向树中保留节点数最多的生成树。
所以，我们可以得出
结论，无向树的边数等于节点数减一。
3.萨维奇定理的应用
萨维奇定理在图论中有广泛的应用，其中一个典型的应用就是求解无向树的最小生成树。
根据萨维奇定理，我们知道无向树的边数等于节点数
减一，所以，我们可以通过求解边数为节点数减一的无向树的最小生成树，来得到原无向树的最小生成树。
4.萨维奇定理的结论
根据萨维奇定理，我们可以得到无向树的边数等于节点数减一。
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树分解定理
树分解定理（Tree decomposition theorem）是离散数学中一项重要的定理，它与图的分解和图的算法密切相关。
树分解定理描述了任意图都可以根据其边集的某个树分解表达。
首先，我们来介绍一下树分解的概念。
树分解是对一个无向图进行分解的一种方法。
给定一个无向图G=(V,E)，其中V表示图的顶点集，E表示图的边集。
树分解是将图G分解成一些子图的集合，这些子图采用树的结构组织，且满足如下条件:
1. 每个子图都是图G的子图。
2. 每个顶点都属于一个或多个子图。
3. 任意两个子图之间要么没有公共顶点，要么有且只有一个公共顶点。
根据树分解的定义，我们可以得到一个关键结论：每个子图都可以用一个包含该子图所有顶点的集合作为标记。
这就是树分解的核心思想。
树分解定理指出，对于任意的无向图G=(V,E)，存在一个树分解{(B_x, X_x)}，其中B_x是一个子图，X_x是子图B_x的标记集合，满足以下三个条件：
1. 图G的每个顶点都属于某个子图，即图G中所有的顶点在树分解的所有子图的标记集合中都有。
2. 图G的每条边都关联于某个子图，即图G中所有的边连接的顶点在树分解的某两个子图的标记集合中都有。
3. 任意的顶点v在树分解的所有子图中的标记集合的交集，称为顶点v的袋，即B_v = ∩{X_x|v∈X_x}。
树分解的每个子图
袋的大小要小于等于某个常数k，即B_x ≤ k。
树分解定理的证明非常复杂，可以依靠递归的方法得到。
首先，我们定义以v为根的子图B_v和相应的标记集合X_v。
然后，我们选择树G的深度最大的顶点u，将其从图中删除并得到一个新的图G'。
此时，原图G的每个顶点都属于G'的一个子图，并形成一个包含u的袋B_u。
我们再次选择G'中深度最大的
顶点，重复上述操作，直到最后得到只包含一个顶点并且没有边的子图。
这样就得到了一个树分解。
树分解的主要应用领域是图算法和计算理论。
在图算法中，树分解可以帮助我们设计一些高效的算法，例如解决最大独立集、最小支配集、最小顶点覆盖等图论问题。
在计算理论中，树分解可以帮助我们研究NP完备问题的特性和难解性。
总结一下，树分解定理是离散数学中一项重要的定理，它描述了任意图都可以根据其边集的某个树分解表达。
树分解定理是树分解方法的理论基础，应用广泛于图算法和计算理论。
通过树分解定理，我们可以便捷地描述和解决各种图论问题，并在实际应用中提高算法效率。
树分解定理（Tree Decomposition Theorem）是离散数学中一个重要的定理，它与图的分解和图
算法密切相关。
树分解定理描述了任意图都可以根据其边集的某个树分解表达。
树分解的核心思想是将图分解成一个树的结构，每个子图都可以用一个标记集合来表示。
根据树分解的定义，我们可以得到一个关键结论：每个子图都可以用一个包含该子图所有顶点的集合作为标记。
也就是说，每个子图的标记集合可以表示该子图中的所有顶点。
这个结论是树分解的核心思想，也是树分解定理的关键点之一。
树分解定理的表述比较抽象，如果想要更好地理解，可以通过一个具体的例子来说明。
考虑一个无向图G=(V,E)，其中V表示图的顶点集，E表示图的边集。
我们想要对图G进行树分解。
首先，我们选择图G中的一个顶点作为根节点，将其标记为1。
然后，我们将与根节点相邻的顶点作为子图的一部分，并给这些顶点标记为2。
再然后，我们将与标记为2的顶点相邻的、
未被包含在子图中的顶点作为子图的一部分，并给这些顶点标记为3。
依此类推，直到所有的顶点都被包含在子图中并给予
相应的标记。
通过上述过程，我们可以得到一个树分解，其中每个子图都可以用一个标记集合来表示。
这个树分解可以帮助我们更好地理解图的结构，并且可以应用于图算法中。
比如，在求解一些图论问题时，我们可以根据图的树分解，将大问题分解成小问题，然后利用小问题的解来求解大问题。
树分解定理的证明非常复杂，一般是依靠递归的方法得到。
证明的过程需要利用图的连通性、顶点覆盖、最大匹配、最大团等概念，并借助动态规划等技巧来完成。
证明的细节超出了本文的范围，感兴趣的读者可以查阅相关的数学文献来进一步了解。
树分解定理在图算法和计算理论中有着广泛的应用。
在图算法中，树分解可以帮助我们设计一些高效的算法，例如解决最大独立集、最小支配集、最小顶点覆盖等图论问题。
通过树分解，我们可以将大问题分解成小问题，从而降低求解复杂度。
在计算理论中，树分解可以帮助我们研究NP完备问题的特性和难
解性。
通过分析图的树分解，我们可以得到一些关于问题难解性的结论，从而推导出一些计算复杂性的界限。
总之，树分解定理是离散数学中的一个重要定理，它描述了任意图都可以根据其边集的某个树分解表达。
树分解定理的核心思想是将图分解成一个树的结构，每个子图都可以用一个标记集合来表示。
树分解定理的应用广泛于图算法和计算理论，通过树分解可以帮助我们设计高效的算法，研究NP完备问题的
特性和难解性，提高算法效率。
树分解定理的证明较为复杂，需要用到图的连通性、顶点覆盖、最大匹配、最大团等概念，以及动态规划等技巧。