北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
东城高三理科期末数学试题
北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于正（主）视图 侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ① ()B ②()C ③（D ）④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 22 （10） 21;3-（11） 58 （12） 1;0 （13） 01=+-y x（14）①④三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列， 所以11n n a a q -=．因为1234,3,2a a a 成等差数列，所以213642,a a a =+即2320q q -+=．解得2,1()q q ==舍.又它的前4和415s =，得41(1)15(0,1)1a q q q q-=>≠-， 解得11a = ．所以12n n a -= . …………………9分 （Ⅱ）因为2n n b a n =+， 所以11122(n 1)1n n nn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑． ………………13分（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值.解：（Ⅰ）由已知22()sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2π2sin(2).6x xx =-=-所以 最小正周期2π2ππ.2T ω===由ππ3π2π22π,.262k x k k z +???得2π10πππ,36k x k k z +＃+?故函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间15π,π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦ …………9分（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-． 所以7π()212f α+=7ππ2sin()2sin 66αα+-=-85=．…………………13分（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM求出PMMC的值，若不存在，说明理由. （Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ， 所以PA ⊥CD ． 因为AD CD ⊥， 所以CD PAD ⊥面. 由于AE PAD ⊂面， 所以有CD AE ⊥．…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，()0,2,0D ，B CA()0,0,2P .由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =uu u v向量(2,2,0)BD =-u u u r ,(2,0,2)PB =-u u r.设(,,)n x y z =r为平面PBD 的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅00PB n 即⎩⎨⎧=-=+-022022z x y x ．不妨令1y =，可得=n（1,1,1）为平面PBD 的一个法向量.所以cos ,3AE EF =uu u v uu u v .所以，直线EF 与平面PBD…………………11分（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =--u u r ，(2,2,0)AC =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r. 由点M 在棱PC 上，设,(01)CM CP λλ=≤≤u u u r u u r. 故 (12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r.由AC FM ⊥，得0=⋅AC FM，因此，(1-2)2(2-2)20λλ⨯+⨯=，解得34λ=. 所以 13PM MC =. …………………13分（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g的取值范围． 解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，解得2,a b ==所以椭圆的标准方程为22143x y +=． ……………………………5分 （Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,)2B -，则229||||4AF F B =g，不符合题意. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-= （*）．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以2222834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．所以21||1AF ==-，所以22||1F B ==-所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x =+-++g222224128(1)13434k k k k k-=+-+++ 229(1)34k k=++ 2229(1)3491(1).434k k k=++=++当20k =时，22||||AF F B g取最大值为3， 所以 22||||AF F B g的取值范围9,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B g取值为94． 所以22||||AF F B g的取值范围9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. …………13分 （19）（本小题共14分）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，/2e (1)1()1x xf x x x-=-+，/(1)0f =，(1)e 1f =-． 方程为e 1y =-． …………………4分（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=-- 2e (1)(1)x x ax x x ---=， 2(e )(1)xa x x x --= ．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，所以 '()0f x > ⇒1x >；'()0f x < ⇒ 01x <<0.所以 单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1) ． …………………8分（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则'()f x 在(0,1)x ∈内有解．令'2(e )(1)()0x ax x f x x --== ⇒e 0xax -= ⇒e x a x= . 设e ()xg x x= (0,1)x ∈,所以 'e (1)()x x g x x-=, 当(0,1)x ∈时，'()0g x <恒成立，所以()g x 单调递减.又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞, 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞,所以 当e a >时，'2(e )(1)()0x ax x f x x --== 有解. 设()e x H x ax =-，则 ()e 0xH x a '=-< (0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减. 因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<,所以()e xH x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x .所以有：所以 当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一.当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，'()0f x ≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞． …………………14分（20）（本小题共13分）已知曲线n C 表示,x y 满足*1()n nx y n N +=∈的方程. （Ⅰ）求出1,2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.解:（Ⅰ）当1,2n = 时, 由图可知1141122C =⨯⨯⨯=, 2πC =. …………………3分（Ⅱ)要证()n S n N *∈是关于n 递增的，只需证明：1(n )n n S S N *+<∈．由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递 增．现在考虑曲线n C 与1n C +，因为 1()(1)nnx y n N *+=∈L L 因为 111()(2)n n xyn N ++*+=∈L L在(1)和(2)中令00,(0,1)x x x =∈，当0(0,1)x ∈，存在12,(0,1)y y ∈使得011n n x y +=， 11021n n x y +++=成立，此时必有21y y >．因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>， 所以121n n y y +>．两边同时开n 次方有，1221n ny y y +>>．（指数函数单调性）学习必备 欢迎下载这就得到了21y y >，从而()n S n N *∈是关于n 递增的． …………………10分(III)由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x y z z+=， 反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，,x y 全是有理数，不妨设,q t x y p s ==，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质． 则由1n n x y +=可得， 1n n q t p s+=． 即n n n qs pt ps +=．这时,,qs pt ps 就是*(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解，这与方程*(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数． …………………13分。
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题 命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD. }63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是 A ． ），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第Ⅱ卷二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则)4tan(πα+=_____________． 13. 若等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比=q _________； 前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 部分图象如图所示，则ω=______________；ϕ=____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，则称函数)(x f 为n 阶整点函数，有下列函数：① xx f 2sin )(= ② 3)(x x g = ③ x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三数学（理科）命题校：北京市第五十中学分校 2014年11月第Ⅰ卷三、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5答案 B D C A A第Ⅱ卷四、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。
2015年东城一模数学卷(理科)(附答案)
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习高三数学 （理科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知全集U =R ，集合{|12}A x x =-≤≤，{|3B x x =<-，或4}x >，那么()U AB =ð（A ）{|14}x x -≤≤ （B ）{|32}x x -≤≤ （C ）{|12}x x -≤≤ （D ）{|34}x x -≤≤ （2）已知复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a = （A ）2-（B ）12-（C ）2（D ）12（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，若事件“30x m -<”发生的概率为16，则实数m = （A ）1（B ）12 （C ）13（D ）16（4）已知点M 的极坐标为2(5,)3π，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为（A ）5()2- （B ）5()2（C ）5(2 （D ）5(2-（5）“1x <”是“12log 0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（A ）2465A A ⨯种 （B ）246A 5⨯种 （C ）2465C A ⨯种 （D ）246C 5⨯种（7）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A ）16（B）6（C（D ）12（8）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 （A ）(0,2) （B ）(0,8) （C ）(2,8) （D ）(,0)-∞D第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ． （10）曲线sin (0y x x =≤≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为 ．（11）如图，在△ABC 中，60A ∠=，28AB AC ==，过C 作△ABC 外接圆的切线CD ，BD CD ⊥于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE = ．（12）已知12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴．若122||2||F F PF =，则该椭圆的离心率为 ．（13）已知函数)(x f 是R 上的减函数，且(2)y f x =-的图象关于点(2,0)成中心对称．若,u v 满足不等式组()(1)0,(1)0,f u f v f u v +-≤⎧⎨--≥⎩则22u v +的最小值为 ．（14）已知x ∈R ，定义：()Ax 表示不小于x 的最小整数．如2A =，( 1.2)1A -=-．若(2+1)3A x =，则x 的取值范围是 ；若0x >且(2())5A x A x ⋅=，则x 的取值范围是 ．O 频率组距a三、解答题（共6小题，共80分。
北京市东城区2015届高三二模数学(理)试卷 Word版含答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的1） （A）（B） （C）（D） （2）设，，，则，，的大小关系是 （A）（B） （C）（D） （3）已知各项数的等比数列若 （A）（B） （C） D） （4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有 （A）， （B）， （C）， （D）， （5），是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （6）满足不等式组则的取值范围是 （A）（B） （C）（D） （7）定义在上的函数满足.当时,当时，则 A）（B） （C）（D） （8）为提高在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息原信息为（），传输信息为，，运算规则为：，，．例如原信息为则传输信息为在传输过程中到干扰导致接收信息，则信息一有误的是A）（B） （C）（D）第二部分（非选择题的二项展开式中各项的二项式数的是则展开式中项数字作答0）数，那么的最小值为11）若直线为参数为参数有且有一个公共点，． （12）截抛物线的准线所得线段长为，则． （13）零向量，与的夹角为则取值围是． （14）平面中两条直线相交于点上任意一点若是直线和的距离，则称有序非负实数对是点“距离坐标” 给出下列个命题： ，则“坐标”的点有且仅有，且则“坐标”的点有且仅有，则“坐标”的点有且仅有 ④若，则的轨迹是条点的命题序号为三、解答题（共6小题，共80分。
北京市东城区普通高中示范校2015届高三3月零模数学(理)试卷 Word版含答案
北京市东城区普通高中示范校2015届高三3月零模数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数1z i=在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,02、sin 3的取值所在的范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎭B ．⎛ ⎝C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,⎛- ⎝3、在极坐标系中，圆2cos ρθ=的半径为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D ．44、执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、已知直线1:l 1ax y +=和直线2:l 42x ay +=，则“20a +=”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、已知数列{}n a 满足11a =，且12n n n a a +=，则数列{}n a 的前20项的和为（ ） A ．11323⨯- B ．11321⨯- C ．10322⨯- D ．10323⨯-7、已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量．当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ）A ．)0,60⎡⎣ B ．)60,120⎡⎣C ．)120,180⎡⎣D ．)60,180⎡⎣8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、双曲线C :2213y x -=的离心率为 ．10、已知()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则01a a += ．11、如图，AB 是半圆O 的直径，D B 与C A 相交于点E ，且C OE ⊥A ．若3D 3BE =E =，则C A 的长为 ．12、某门选修课共有9名学生参加，其中男生3人，教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．13、已知函数x y ae =（其中0a >）经过不等式组010x x y <⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则实数a 的取值范围是 ．14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱()1sin t t I =，()()2sin t t ϕI =+，2πϕ<，它们合成后的电流瞬时值的函数()()()12t t t I =I +I 的部分图象如图所示，则()t I = ，ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、13分）如图，在锐角三角形C AB 中，2AB =，点D 在C B 边上，且D A =，DC 135∠A =．()I 求角B 的大小；()II 若C A =C B 的长．16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为14，乙队胜、平、负丁队的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立．()I 求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；()II 设随机变量X 为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望；()III 在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）17、（本小题满分14分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 是以C A 为斜边的等腰直角三角形，且111C C 2B A =B =B B =A =．()I 求证：平面1C B A ⊥底面C AB ；()II 求1C B 与平面11ABB A 所成角的正弦值；()III 若E ，F 分别是线段11C A ，1C C 的中点，问在线段1FB 上是否存在点P ，使得//EP 平面11ABB A ．18、（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-．()I 若直线y x b =+与()f x 在1x =处相切，求实数a ，b 的值； ()II 若0a >，求证：()f x 存在唯一极小值．19、（本小题满分14分）已知椭圆1C 过点⎫⎪⎪⎭，且其右顶点与椭圆2C :2224x y +=的右焦点重合．()I 求椭圆1C 的标准方程；()II 设O 为原点，若点A 在椭圆1C 上，点B 在椭圆2C 上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆221x y +=的位置关系，并证明你的结论．20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集{}123,,,,,n a a a a A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅（123n a a a a <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅）具有性质P ：对任意互不相等的正整数i ，j ，k ，总有i k j a a a +-∈A ．()I 若{}1,21⊆A 且5∉A ，判断13是否属于A ，并说明理由； ()II 求证：1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a ，⋅⋅⋅是等差数列；()III 已知x ，y ∈N 且0y x >>，记M 是满足{}0,,x y ⊆A 的数集A 中的一个，且是满足{}0,,x y ⊆A 的所有数集A 的子集，求证：x ，y 互质是M =N 的充要条件．。
2015年北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试(数学理)试题Word版带答案
北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。
考试时长120分钟。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。
（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 设U=R ，集合{}{}04|,0|2≤-∈=>=x Z x B x x A ，则下列结论正确的是A. (){}0,1,2--=⋂B A C UB. ()]0,(-∞=⋃B A C UC. (){}2,1=⋂B A C UD. ()∞+=⋃,0B A2. 双曲线()301362222<<=--m my m x 的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 22362m -3. 设二项式431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项为A ，则A=A. -6B. -4C. 4D. 64. 如图所示的程序框图表示求算式“179532⨯⨯⨯⨯”之值，则判断框内不能填入A. 17≤k ？B. 23≤kC. 28≤k ？D. 33≤k ？5. 已知()a x x f x++=24有唯一的零点，则实数a 的值为A. 0B. -1C. -2D. -36. 设C B A c b a ,,,,,为非零常数，则“02>++c bx ax 与02>++C Bx Ax 解集相同”是“CcB b A a ==”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件7. 设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,B. ⎪⎭⎫⎝⎛∞+-,32 C. )31,32[-D. ),32[∞+-8. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是 A. ()0,2-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()2,-∞-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。
北京市东城区普通校高三11月联考——数学(理)数学(理)
北京市东城区普通校2015届高三11月联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A. B. C. D.2. 复数在复平面上对应的点的坐标是A ．B ．C ．D ．3. 已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于A. B. C. D.4.是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知角的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，则的值为 A. 3 B. -3 C. D. 5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否定是_____________.12. 已知53),sin ,2(=∈αππα，则 =_____________．13. 若等比数列满足40,205342=+=+a a a a ，，则公比_________；前项和_______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的部分图象如图所示，则=______________； =____________________.15. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，则=_______________,函数的的值域是 . 16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图像恰好通过个整点，则称函数为n 阶整点函数，有下列函数：① ② ③④其中，是一阶整点函数的是_____________________.参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．。
北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含答案
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，，则 （A）（B） （C）（D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 ，则“”是“”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）等差数列的前项和，，则 （A）（B） （C）（D） （5）时，如图所示的程序框图， 输出的为 （B） （C） （D） （6）已知若，则的取值是（B） （C）（D） （7）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，，．画该四面体三视图中的正视图时，以投影，则得到正视图可以 （A）（B）（C）（D） （8）已知圆直线点直线存在上的点使（为坐标原点，则的取值范围是 A）（B）（C）（D） 第二部分（非选择题的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 ． （10）满足则的最大值为1）在△中，，，则的面积为 12）已知向量，不共线，）∥（）_______． （13）已知函数是上的奇函数为偶函数．若， 则．14）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形, ，，分别为线段上的点．，则三棱锥 . 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分） 已知函数部分图象如图所示． （Ⅰ）求的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数图象平移单位长度得到函数图象，在区间上的最大值和最小值． （16）（本小题共13分） 已知数列是等数列，，数列是公比为等比数列且 （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． （17）14分） 如图平面，，，为的中点证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段存在点使得并求 （18）（本小题共14分） 已知函数，，其中． （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，的单调区间； （Ⅲ）若存在，使得不等式，求 （19）（本小题共13分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在上轴长为心率为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为交椭圆于，两点，求证：为定值． （20）（本小题共13分） 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束. （Ⅰ）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由； （Ⅱ）设数列，对数列变换”，得到数列数列，求，的值 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由. 结束 输出 输入 开始 是 否。
北京市2015届高三综合能力测试(二)(东城区示范校零模)数学(理)试题(附答案) (1)
北京市2014-2015学年高三年级综合能力测试（二）（东城区普通高中示范校2015届高三3月零模）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数1z i=在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,02、sin 3的取值所在的范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,⎛- ⎝⎭3、在极坐标系中，圆2cos ρθ=的半径为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 4、执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、已知直线1:l 1ax y +=和直线2:l 42x ay +=，则“20a +=”是“12//l l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知数列{}n a 满足11a =，且12n n n a a +=，则数列{}n a 的前20项的和为（ ）A ．11323⨯-B ．11321⨯-C ．10322⨯-D ．10323⨯-7、已知向量a ，b 是夹角为60的单位向量．当实数1λ≤-时，向量a 与向量a b λ+的夹角范围是（ ）A ．)0,60⎡⎣B ．)60,120⎡⎣C ．)120,180⎡⎣D ．)60,180⎡⎣8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、双曲线C :2213y x -=的离心率为 ． 10、已知()5234501234521x a a x a x a x a x a x +=+++++，则01a a += ．11、如图，AB 是半圆O 的直径，D B 与C A 相交于点E ，且C O E⊥A ．若3D 3B E=E=，则C A 的长为 ．12、某门选修课共有9名学生参加，其中男生3人，教师上课时想把9人平均分成三个小组进行讨论．若要求每个小组中既有男生也有女生，则符合要求的分组方案共有 种．13、已知函数x y ae =（其中0a >）经过不等式组010x x y <⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则实数a 的取值范围是 ．14、已知两个电流瞬时值的函数表达式唯爱()1sin t t I =，()()2sin t t ϕI =+，2πϕ<，它们合成后的电流瞬时值的函数()()()12t t t I =I +I 的部分图象如图所示，则()t I = ，ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分13分）如图，在锐角三角形C AB 中，2AB =，点D 在C B 边上，且D A ，DC 135∠A =．()I 求角B 的大小；()II 若C A =C B 的长．16、（本小题满分13分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为14，乙队胜、平、负丁队的概率均为13，且四个队之间比赛结果相互独立． ()I 求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；()II 设随机变量X 为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列与数学期望； ()III 在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）17、（本小题满分14分）已知三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 是以C A 为斜边的等腰直角三角形，且111C C 2B A =B =B B =A =．()I 求证：平面1C B A ⊥底面C AB ；()II 求1C B 与平面11ABB A 所成角的正弦值；()III 若E ，F 分别是线段11C A ，1C C 的中点，问在线段1F B 上是否存在点P ，使得//EP 平面11ABB A ．18、（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-．()I 若直线y x b =+与()f x 在1x =处相切，求实数a ，b 的值；()II 若0a >，求证：()f x 存在唯一极小值．19、（本小题满分14分）已知椭圆1C 过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，且其右顶点与椭圆2C :2224x y +=的右焦点重合． ()I 求椭圆1C 的标准方程；()II 设O 为原点，若点A 在椭圆1C 上，点B 在椭圆2C 上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆221x y +=的位置关系，并证明你的结论．20、（本小题满分13分）已知无穷整数数集{}123,,,,,n a a a a A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅（123n a a a a <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅）具有性质P ：对任意互不相等的正整数i ，j ，k ，总有i k j a a a +-∈A ．()I 若{}1,21⊆A 且5∉A ，判断13是否属于A ，并说明理由；()II 求证：1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a ，⋅⋅⋅是等差数列；()III 已知x ，y ∈N 且0y x >>，记M 是满足{}0,,x y ⊆A 的数集A 中的一个，且是满足{}0,,x y ⊆A 的所有数集A 的子集，求证：x ，y 互质是M =N 的充要条件．。
北京市东城区2015届高三二模理科数学试题及答案(word版)
7 83 5 5 72 38 9 4 5 5 6 1 2 9 7 8 乙甲2015北京市东城区高三二模试卷数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）23sin()6π-= （A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2（2）设4log a =π，14log b =π，4c =π，则a ，b ，c 的大小关系是（A ） b c a >> （B ）a c b >> （C ） a b c >> （D ）b a c >>（3）已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a ⋅=，则567a a a ⋅⋅=（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）64（4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >（5）已知p ，q 是简单命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是真命题”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是（A ）[1,3]- （B ）[1,11] （C ）]3,1[ （D ）]11,1[-（7）定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+.当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011(p ,q )第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）若1)nx的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（10）已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ．（11）若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有（12）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>截抛物线24y x =的准线所得线段长为b ，则a = ．（13）已知非零向量,a b 满足||1=b ，a 与-b a 的夹角为120，则||a 的取值范围是 ．（14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”． 给出下列四个命题：① 若0p q ==，则“距离坐标”为② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个． ③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个． ④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线． 其中所有正确命题的序号为 ．EFA三、解答题（共6小题，共80分。
2015年高三期末东城理解析
ＱＱＮ 在
√ ABC 中， a ］ Ｓ ， b ］ ＱＳ ， B ］ ＶＰ◦ ，则 c ］ ； √ 答案： Ｔ ； Ｓ Ｓ · · · · · · · · · · · · · · · · · · 第一空 Ｓ 分Ｌ第二空 Ｒ 分
ABC 的面积为
．
解析：由余弦定理可得 ｣ｯｳ B ］ a 2 Ｋ c 2 − b2 , Ｒac
ＸＮ 已知圆 C Ｚ x2 Ｋ y 2 ］ Ｒ ，直线 l Ｚ x Ｋ Ｒy − Ｔ ］ Ｐ ，点 P Ｈx0 , y0 Ｉ 在直线 l 上，若存在圆 C 上的点 Q ，使得 ∠OP Q ］ ＴＵ◦ （ O 为坐标原点） ，则 x0 的取值范围是Ｈ ａＮ ｛Ｐ, Ｑ｝ 答案：ｂ 解 析：计 算 知， 直 线 l 与 圆 相 离， 过 直 线 l 上一 点 P 作 圆 C 的 两 条 切 线， 记该 点 对 圆 C 的 张 角 ï ò θ 为 θ ，则圆上存在点 Q 使得 ∠OP Q ∈ n } 是 等 差 数 列， 满 足 a2 ］ Ｓ ， a5 ］ Ｖ ， 数 列 {bn − Ｒan } 是 公 比 为 Ｓ 的 等 比 数 列， 且 b2 − Ｒa2 ］ Ｙ ．
Ｙ （Ｑ）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式； （Ｒ）求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ． 解析： （Ｑ）设等差数列 {an } 的公差为 d ． 由 a2 ］ Ｓ ， a5 ］ Ｖ 得 Ｖ ］ Ｓ Ｋ Ｓd ，解得 d ］ Ｑ ． 所以 an ］ a2 Ｋ Ｈn − ＲＩ d ］ Ｓ Ｋ Ｈn − ＲＩ ］ n Ｋ Ｑ ． 所以数列 {an } 的通项公式为 an ］ n Ｋ Ｑ ， n ∈ N∗ ． 由于 {bn − Ｒan } 是公比为 Ｓ 的等比数列，且 b2 − Ｒa2 ］ Ｙ ， 所以 bn − Ｒan ］ Ｈb2 − Ｒa2 Ｉ · Ｓn−2 ］ Ｙ × Ｓn−2 ］ Ｓn ． 从而 bn ］ Ｒan Ｋ Ｓn ］ ＨＲn Ｋ ＲＩ Ｋ Ｓn ， n ∈ N∗ ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Ｖ分
北京市东城区普通校2015届高三数学11月联考试题 理 新人教A版
市东城区普通校2015届高三11月联考数学〔理〕试题本试卷分第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。
考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第1卷一、 选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，如此A B =A.}5,4,3{B.}6,5,4{C.}63/{≤<x xD.}63/{<≤x x2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ． ），（11B ．），（11- C ．）（1,1--D ．）（1,1- 3. {}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设36a =，312S =，如此公差d 等于A. 1B.53C. 2D. 3 4.”1“>x 是”1“2>x 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 角α的终边经过点53cos 且)4,(-=-αm P ，如此m 的值为 A. 3 B. -3 C. 3± D. 5第2卷二、 填空题：本大题共6小题，每一小题5分，共30分。
11. 命题022,:0200≤++∈∃x x R x P ，那么该命题的否认是_____________. 12. 53),sin ,2(=∈αππα，如此)4tan(πα+=_____________． 13. 假设等比数列}{n a 满足40,205342=+=+a a a a ，，如此公比=q _________；前n 项和=n S _______________________.14．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的 局部图象如下列图，如此ω=______________；ϕ=____________________.15. 假设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=232121022x x x x x f ，，，）（，如此)3(f =_______________,函数的的值域是 .16. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数)(x f 的图像恰好通过)(*∈N n n 个整点，如此称函数)(x f 为n 阶整点函数，有如下函数：①xx f 2sin )(=②③x x h )31()(= ④x x ln )(=ϕ其中，是一阶整点函数的是_____________________.东城区普通校2014-2015学年第一学期联考试卷答案高三 数学〔理科〕第1卷三、 选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每一小题列出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．第2卷四、 填空题：本大题共6小题，每一小题5分，共30分．。
北京市东城区高三上学期期末统一练习数学理科试题 Word版含答案.pdf
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，则满足的集合B的个数是 （A） (B) (C) (D) （2）已知是实数，是纯虚数，则等于 （A） （B） （C） （D） （3）已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于 （A） （B） （C） （D） （4）执行如图所示的程序框图，输出的的值为 （A） （B） （C） （D） （5）若，是两个非零向量，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是 （A） （B） （C） （D） （7）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为 （A）4 （B）8 （C）16 （D）32 （8）给出下列命题：①在区间上，函数,,,中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④已知函数则方程 有个实数根，其中正确命题的个数为 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若，且，则 ． （10）图中阴影部分的面积等于 ． （11）已知圆：，则圆心的坐标为 ； 若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 ．12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 . （14）定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件: ①；②若，；③， 则 ， ．6小题，共80分。
2015-2016学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3 C．3cm3 D．9cm33．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．[ln2，+∞）7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．68．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=；如果|+|=|﹣|，那么y=．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n（n＞2，n ∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2015秋•东城区期末）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∩B={2}．故选：A．【点评】本题考查了交集与补集的定义与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2015秋•东城区期末）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3 C．3cm3 D．9cm3【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．【点评】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，是基础题．3．（5分）（2015秋•东城区期末）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z 的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部．【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得．∴z的虚部为1．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．4．（5分）（2015秋•东城区期末）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵m∈（0，1），则a=log m2＜0，b=m2∈（0，1），c=2m＞1，那么a，b，c之间的大小关系为a＜b＜c．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2015秋•东城区期末）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．即可判断出．【解答】解：直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，∴k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．∵“”是“”的必要而不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）（2015秋•东城区期末）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．[ln2，+∞）【分析】作函数f（x）=与y=k的图象，从而利用数形结合求解．【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，∵ln2，∴结合图象可知，k≥；故选：B．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．7．（5分）（2015秋•东城区期末）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．6【分析】如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，利用抛物线的定义，及，即可求出|AF|的值．【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠BCF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．【点评】本题考查抛物线的定义，考查特殊角的三角函数，正确转化是关键．8．（5分）（2015秋•东城区期末）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x ∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据已知中正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）=V ABCD﹣A′B′C′D′=为常数函数，故错误；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，函数的最值，函数的单调性，棱锥的体积等知识点，难度中档．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2015秋•东城区期末）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵B=30°，C=105°，∴A=45°．由正弦定理可得：，∴b====，故答案为：2．【点评】本题考查了正弦定理、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•东城区期末）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=1；如果|+|=|﹣|，那么y=﹣．【分析】代入数量积公式计算．【解答】解：∵•=5，∴1×2+3y=5，解得y=1．∵|+|=|﹣|，∴⊥，∴1×2+3y=0，解得y=﹣．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．11．（5分）（2015秋•东城区期末）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为58．【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，7）；联立方程组，解得：B（6，4）．|OA|=，|OB|=．坐标原点O到直线x+y=10的距离d=．∴z=x2+y2的最大值为58．故答案为：58．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）（2016•东阳市模拟）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=1；f（﹣t）=0．【分析】由函数性质列出方程组，求出a=1，t2sint=1，由此能求出f（﹣t）．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13．（5分）（2015秋•东城区期末）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【分析】利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2015秋•东城区期末）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的①．（写出所有正确结论的序号）【分析】由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．然后结合函数的单调性逐一核对四个命题得答案．【解答】解：由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐减小．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误．故答案为：①．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2015秋•东城区期末）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，∴．∵4a1，3a2，2a3成等差数列，∴6a2=4a1+2a3，即q2﹣3q+2=0．解得q=2，q=1（舍）．又它的前4和S4=15，得，解得a1=1．∴．（Ⅱ）∵b n=a n+2n=2n﹣1+2n，∴数列{b n}的前n项和=+=2n﹣1+n（n+1）．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2015秋•东城区期末）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．【分析】（Ⅰ）利用倍角公式及辅助角公式化积，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得函数的单调减区间；（Ⅱ）由α的范围结合已知求出sinα，再结合三角函数的诱导公式求得的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知=．∴最小正周期；由，得．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．∴==．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．17．（14分）（2015秋•东城区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面PAD，由此能证明CD⊥AE．（Ⅱ）以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面PBD所成角的正弦值．（Ⅲ）设，则．由此利用向量法能求出结果．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，AD∩AP=A，所以CD⊥面PAD．由于AE⊂面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．=（0，1，1）向量，．设为平面PBD的法向量，则=0，即∫﹣2x+2y=0．不妨令y=1，可得=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．设直线AE与平面PBD所成角为θ，则sinθ===，所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为．…（11分）（Ⅲ）解：向量，，．由点M在棱PC上，设．故．由FM⊥AC，得=0，因此，（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2=0，解得．所以．…（13分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（13分）（2015秋•东城区期末）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用|F1F2|=2，离心率为，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意．当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以==当k2=0时，|AF2|•|F2B|取最大值为3，所以|AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2|•|F2B|取值为．所以|AF2|•|F2B|的取值范围．…（13分）【点评】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．19．（14分）（2015秋•东城区期末）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出f′（1），f（1），代入直线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题转化为即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，结合图象求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（1）=0，f（1）=e﹣1．∴方程为y=e﹣1．（Ⅱ）==．当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）==0在（0，1）内有解，∴e x﹣ax=0在（0，1）内有解，即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，如图示：，x=1时，y=e x=e，故a＞e或a＜0．【点评】本题考查了求曲线的切线方程问题，考查导数的应用，函数的单调性问题，考查数形结合思想，是一道中档题．20．（13分）（2015秋•东城区期末）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n（n＞2，n ∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【分析】（Ⅰ）取n=1，n=2，得到C1、C2的方程，画出图象，结合图象求得面积；（Ⅱ）要证是关于n递增的，只需证明：．转化为证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．然后借助于函数单调性求证；（Ⅲ）由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，利用反证法证明曲线（n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解答】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线C n与C n+1，∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【点评】本题考查曲线的方程和方程的曲线，考查逻辑思维能力和推理论证能力，考查数学转化思想方法，考查了反证法，是难题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项。
（1）已知集合{0,1}A =，2{|4}B x x =≤ ，则A
B =
（A ）{0,1} （B ） {0,1,2} （C ）{|02}x x ≤< （D ）{|02}x x ≤≤ （2）在复平面内，复数
i
1+i
对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）设a ∈R ，则“2
a a >”是“1>a ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若493=+a a ，则11S 等于
（A ）12 （B ）18 （C ）22 （D ）44 （5）当4n =时，执行如图所示的程序框图，
输出的S 值为 （A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）30
（6）已知函数
1
3
log,0,
()
2,0,
x
x x
f x
x
>
⎧
⎪
=⎨
⎪≤
⎩
若
1
()
2
f a>，则实数a的取值范围是
（A）(1,0)(3,)
-+∞（
B）(1
-
（C）
3
(1,0)(,)
3
-+∞（D）(1,)
3
-
（7）在空间直角坐标系O xyz
-中，一个四面体的顶点坐标为分别为(0,0,2)，(2,2,0)，(0,2,0)，(2,2,2)．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为
（A）（B）（C）（D）
（8）已知圆22
:2
C x y
+=，直线:240
l x y
+-=，点
00
(,)
P x y在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得45
OPQ
∠=（O为坐标原点），则
x的取值范围是（A）[0,1]（B）
8
[0,]
5
（C）
1
[,1]
2
-（D）
18
[,]
25
-
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若抛物线22(0)
y px p
=>的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为
．
（10）若实数,x y满足
10,
10,
3,
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪≤
⎩
则3
z x y
=-的最大值为_______．
（11
）在△ABC中，3
a=，b60
B=，则c=；△ABC的面积为_______．
（12）已知向量a，b不共线，若（λ+
a b）∥（2
-
a b），则实数λ=_______．
（13）已知函数)
(x
f是R上的奇函数，且)2
(+
x
f为偶函数．若1
)1(=
f，则=
+)9(
)8(f
f．
（14）如图，在四棱锥ABCD
P-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形,
2
PD AD
==，M，N分别为线段AC上的点．若︒
=
∠30
MBN，则三棱锥
M PNB -体积的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数()sin()(,0,0,||)2
f x A x x A ωϕωϕπ
=+∈>><R 部分图象如图所示． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[0,2
π
上的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
已知数列{}n a 是等差数列，满足23a =，56a =，数列{2}n n b a -是公比为3等比数列，且2229b a -=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．
C
B
P
（17）（本小题共14分）
如图，PA⊥平面ABC，AB BC
⊥，22
AB PA BC
===，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A PC B
--的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD AC
⊥，并求
PD
PC
的值．
（18）（本小题共14分）
已知函数
2
()(21)ln
f x ax a x
x
=-+-，
2
()2ln
g x a x
x
=--，其中a∈R．
（Ⅰ）当2
a=时，求曲线()
y f x
=在点(1,(1))
f处的切线方程；
（Ⅱ）当0
a>时，求)
(x
f的单调区间；
（Ⅲ）若存在2
1
[,e]
e
x∈，使得不等式()()
f x
g x
≥成立，求a的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x
轴上，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为
1
2
的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：2
2|
|
|
|PB
PA+为定值．
（20）（本小题共13分）
对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束.
（Ⅰ）试问数列:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”
得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设数列123:,,A a a a ，对数列A 进行“T 变换”，得到数列:,2,()B b a a b ≥，若数列B
的各项之和为2014，求a ，b 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的
最小值，并说明理由.。